人教B版高中数学选择性必修第三册第五章数列5.5数学归纳法课件(共20张PPT)+教案

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人教B版高中数学选择性必修第三册第五章数列5.5数学归纳法课件(共20张PPT)+教案

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(共20张PPT)
5.5 数学归纳法
新授课
1. 了解数学归纳法的原理及使用范围;
2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论;
3. 能用数学归纳法证明一些简单的命题.
情境 1:有人看到树上有一只乌鸦,感慨道“真是天下乌鸦一般黑啊!”,请问这个结论正确吗?
情境 2:如果{an}是一个等差数列,通过下列推定可得: a1 = a1 = a1 + 0×d,
a2 = a1 + d = a1 + 1×d,
a3 = a2 + d = a1 + 2×d,
······
归纳可得: an= a1 + (n – 1)d.
这个结论一定正确吗?
思考:上述命题结论不一定都是正确的,如何解决这些存在的问题呢?
知识点 1:数学归纳法
思考:当 n 较小时,可逐一验证,但当 n 取所有正整数时,如何验证?
思路:通过有限个步骤的推理,证明 n 取所有正整数时命题都成立.
在多米诺骨牌游戏中,一列排好的多米诺骨牌,如果推倒第1张,则会让第2张倒下,而且后续的每一张倒下时能够导致下一张也倒下,则所有的骨牌都能倒下.
① 第一块骨牌倒下;
② 任意相邻的两块骨牌,前一块倒下一定导致后一块倒下;
(2)条件 ② 的作用是什么?如何用数学语言描述它?
递推关系:第 k 块骨牌倒下 第 k + 1 块骨牌倒下.
结论:无论有多少块骨牌,只要保证①②成立,那么所有的骨牌一定可以全部倒下.
(1)在游戏中,多米诺骨牌都倒下的关键点是什么?
理解:依据当n = k时,①式成立,证明了n = k + 1时, ①式也成立.
已知n=1,2,3,4,5都是成立的,则n=5+1=6也成立,n=6+1=7也成立,依次类推,所以①式对任意的正整数都成立了.
归纳总结
对所有正整数 n (n ≥ n0,n∈N*),命题都成立
证明一个与正整数 n (n ≥ n0,n∈N*) 有关的的命题
ⅰ证明当n = n0 (n0∈N*)时
命题成立
ⅱ假设当n = k (k ≥ n0,k∈N*) 时命题成立,证明当n = k + 1 时命题也成立
归纳奠基
归纳递推
一个结论
数学归纳法
两个步骤
知识点 2:用数学归纳法证明相关问题
典例剖析
典例剖析
用上假设
通分、提取公因式
归纳总结
用数学归纳法证明恒等式时应关注以下三点:
(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况;
(2)弄清从n=k到n=k+1等式两端增加或减少了哪些项;
(3)证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形.
1.用数学归纳法证明 1 + 2 + 3 + + 4n = 8n2 + 2n (n∈N*).
(1)则当 n = k + 1时,等式两端在 n = k 的基础上是如何变化的?
练一练
当 n = k (k∈N*) 时,1 + 2 + 3 + + 4k= 8k2 + 2k ;
当 n = k + 1 时,1 + 2 + 3 + + 4k + + 4(k + 1)= 8(k+1)2+2(k+1) ;
故左端应在 n = k 的基础上加上 (4k+1) + (4k+2) + (4k+3) + (4k+4);
右端应在 n = k 的基础上加上16k+10.
(2)请写出证明等式恒成立的完整过程.
用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n-2)π”时,归纳奠基中n0的取值应为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
练一练
C
典例剖析
典例剖析
典例剖析
归纳总结
用数学归纳法证明不等式
当遇到与正整数n有关的不等式证明时,关键是由n=k成立,推证n=k+1时也成立,证明时运用归纳假设后,可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明.运用放缩法时,要注意放缩的“度”.
练一练
1. 什么是数学归纳法?.
2. 说说如何用数学归纳法证明一些简单的命题?
回顾:结合本节课所学,回答下列问题?《数学归纳法》教学设计
执教教师 ××× 学科 数学 授课日期 2023.5.18
讲授章节 第五章 授课主题 § 5.5 数学归纳法
课时 1课时 课型 新授课 执教对象 高二学生
课标解读 在本节中,应注意从具体示例中感悟数学归纳法的原理,了解数学归纳法的关键步骤,能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题,以及与正整数有关的命题.积累从具体到抽象的活动经验,学习有逻辑地思考问题,形成有条理的思维习惯.引导学生体会从特殊到一般、从无限到有限的思维过程,有利于提升学生的数学抽象、数学运算、直观想象、数学建模、逻辑推理等核心素养.
教材分析 本节内容选自《2019人教B版高中数学选择性必修三》第五章《数列》,本节课主要学习数学归纳法,数学归纳法可以证明与正整数有关的命题,它是一种有鲜明逻辑特色的证明方法.教材从具体实例出发,总结数学归纳法证明的步骤和作用:第一步为基础步骤,第二步为递推关键,二者缺一不可. 数学归纳法亮点就在于,通过有限个步骤的推理,证明取无限多个正整数的情形,这也是无限与有限辨证统一的体现.并且,本节内容是培养学生严谨的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验从特殊到一般的思维过程的素材. 教学时可以根据学生的接受情况,借助“探索与研究”中的多米诺骨牌帮助学生理解数学归纳法.利用数学归纳法可以证明与正整数有关的等式、不等式、命题等,其中不等式的证明是难点.
学情分析 学生已经在之前在数列的通项公式部分初步学习了不完全归纳法,即由有限个特殊例子归纳出一般的结论.但不完全归纳法得出的结论不一定正确,因此,我们需要在不完全归纳法的基础上,进一步学习严谨的科学的论证方法—数学归纳法. 学生学习这部分需要着重理解数学归纳法的原理和核心步骤,引导学生通过对数学归纳法的学习,经历从具体到抽象的过程,逐步形成逻辑的推理方式.
教学目标 了解数学归纳法的原理和步骤,能用数学归纳法证明关于正整数的数学命题; 借助具体实例,进行大胆猜测和证明,理解数学归纳法的原理和步骤; 感受类比、从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法,逐步培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力.
教学 重难点 教学重点:数学归纳法的原理和基本步骤
教学难点:数学归纳法的原理
教学过程
教学环节 师生活动
情境问题 探究1:已知数列中,且 . 问题1:求出这个数列的第2、3、4、5项; 问题2:你能由此猜出数列的通项公式并给出证明吗? 【设计意图】通过具体问题的思考和分析,给予学生表达和交流的机会,借此机会鼓励和引导学生在已有的知识基础上进行大胆猜测,进而提出与正整数有关的问题. 探究2:怎样才能证明这一点呢?我们已经知道前面5项都是满足的,原则上需要对后面的每一项都进行验证,但因为后面有无数项,所以一一验证是不可能的,不过用下述方法可以给出后面的每一项也满足的严格证明.
证明:(ⅰ)已知前5项都满足; (ⅱ)假设时,成立. 根据已知条件和假设可知 , 即时,成立, 由以上两点的陈述,就能说明对任何正整数都是成立的.
探究新知 探究新知 探究3:数学归纳法的定义 数学归纳法的定义 一般地,证明一个与正整数有关的命题,可按下列步骤进行: (ⅰ)当时,命题命题成立; (ⅱ)在假设时命题成立的前提下,能够推出时命题也成立. 由上(ⅰ)(ⅱ)两个步骤,就可以说明命题对大于等于的所有正整数n都成立. 【设计意图】引导学生理解数学归纳法的基本思想,找到把所有结论递推下去的依据,就可以把结论推广到所有的正整数. 深刻理解数学归纳法: 数学归纳法中的两个步骤缺一不可,只完成第一步而缺少第二部就作出判断,可能得出不正确的结论.因为单靠第一步无法递推下去,即取以后的数时命题是否正确,我们无法判定,同样,只有第二步而没有第一步时,也可能得出不正确的结论,缺乏第一步这个基础,假设就失去了成立的前提,第二步就没有意义了. (2)用数学归纳法证明有关问题的关键在于第二步,为何要求,这是要保证的一般性和任意性,能够取到大于等于的所有正整数.此外时命题为什么成立,应该用命题成立这一假设条件,然后根据题意和假设等推出时命题也成立,而不是直接代入,否则时命题成立也变成假设条件了,没有进行递推,命题也就没有得到证明.这里的,保证了命题成立时的连续性.
典例分析 探究4:用数学归纳法证明,对任意正整数,都有 证明:(ⅰ)当时,左边=右边=1,等式成立; (ⅱ)假设时,等式成立,即 则当时, 所以,此时时等式也成立. 综上,由(ⅰ)(ⅱ)可知,等式对任意正整数都成立. 【设计意图】通过典型例题,加深学生对数学归纳法的理解和运用,发展学生逻辑推理,引导学生理解用数学归纳法证明恒等式时,应关注以下三点: (1)弄清取时等式两端项的情况,在第一步中,考察使得结论成立的最小整数,这一步是递推的基础; (2)弄清从到等式两端增加了哪些项或减少了哪些项; (3)证明时结论也成立,要设法将的假设利用上,建立两者之间的联系,并朝证明目标的表达式变形,这一步是递推的关键.
延申拓展 有人认为可以借助多米诺骨牌来理解数学归纳法,如图所示,一列排好的多米诺骨牌,如果推倒第1张,而且后续的每一张倒下时能够导致下一张也倒下,则所有的骨牌都能倒下,你觉得这种理解方式怎么样? 【设计意图】在数学归纳的原理及应用之后,展示多米诺骨牌倒下的过程,由多米诺骨牌帮助学生加深对数学归纳法原理的理解.
课堂小结 【设计意图】通过总结,让学生进一步巩固本节所学内容,提高概括能力,从知识层面和思想层面再次回顾和假设对数学归纳法的理解.
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§ 5.5 数学归纳法 数学归纳法的基本步骤 ppt展示 探究1证明过程
教学反思
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