资源简介

因式分解（教学设计）-2024-2025学年北师大版数学八年级下册 教学设计
教学目标
（1）会用数学的眼光观察现实世界：通过情境导入，引导学生观察现实生活中的数学问题，理解因式分解在实际应用中的意义。
（2）会用数学的思维思考现实世界：通过合作探究，培养学生运用因式分解与整式乘法之间的关系，解决实际问题的能力。
（3）会用数学的语言表达现实世界：通过板书设计和课堂讨论，帮助学生准确表达因式分解的概念及其与整式乘法的关系。
教学重难点
（1）理解因式分解的概念，能够识别并判断一个多项式是否进行了因式分解。
（2）掌握因式分解与整式乘法之间的互逆关系，并能够在实际问题中运用这一关系进行因式分解。
教学难点
（1）因式分解概念的理解与应用，特别是如何区分因式分解与整式乘法的不同。
（2）在理解因式分解与整式乘法关系的基础上，能够正确地将多项式分解为几个整式的积的形式。
教学方法
讲授法、探究法
教学过程
一、情境导入
教师展示问题情境：某中学决定购买 m 台电脑和 m 套桌椅。已知每台电脑的单价是 a 元，每套桌椅的价格是 b 元。小明说：“总共需要 (ma＋mb) 元。” 而小华说：“总共需要 m (a＋b) 元。” 同学们，你们觉得他们计算出的总金额一样吗？（教师可以利用实物或图片来引入这个问题，帮助学生更好地理解情境）
(生：他们的结果是一样的，都是 ma + mb。)
(教师引导学生思考并总结：虽然两种方法都能得出正确答案，但小华的方法更为简洁。今天我们将学习这种更简捷的方法 ——因式分解。)
二、合作探究
探究点一：因式分解的概念
1. 引入概念
教师提出问题：什么是因式分解？它有怎样的定义？
(生：因式分解就是把一个多项式转化成几个整式的积的形式。)
教师进一步解释：确实如此，因式分解就是将一个多项式表示成几个整式的乘积形式。我们可以通过一些例子来具体理解。
2. 通过例题深化理解
【例题】下列从左到右的变形中是因式分解的有 (　　)
①x －y －1＝(x＋y)(x－y)－1；
②x ＋x＝x (x ＋1)；
③(x－y) ＝x －2xy＋y ；
④x －9y ＝(x＋3y)(x－3y)．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
(生：选 B。)
教师分析每个选项：
①没有将一个多项式转化为几个整式的积的形式，所以①不是因式分解；
②将一个多项式转化为几个整式的积的形式，所以②是因式分解；
③是整式的乘法，因此③不是因式分解；
④将一个多项式转化为几个整式的积的形式，所以④是因式分解；
(生：原来因式分解和整式乘法是相反方向的变形，互为逆运算。)
教师总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算。因式分解是把一个多项式表示成几个整式的乘积形式，而整式乘法则是将这些整式的乘积形式展开成一个多项式。
探究点二：因式分解与整式乘法的关系及简单应用
1. 解决实际问题
教师提出问题：已知三次四项式 2x －5x －6x＋k 分解因式后有一个因式是 x－3，试求 k 的值及另一个因式。
(生：设另一个因式为 2x －mx－n，然后将两因式的乘积展开并与原多项式进行比较，从而求出 k 的值。)
教师引导学生解决问题：
设另一个因式为 2x －mx－n。
∴ (x－3)(2x －mx－n) = 2x －5x －6x＋k。
展开后的表达式为：2x －mx －nx－6x ＋3mx＋3n = 2x －5x －6x＋k。
整理得：2x －(m＋6) x －(n－3m) x＋3n = 2x －5x －6x＋k。
比较系数得：m＋6 = 5，n－3m = 6，k = 3n。
解得：m = －1，n = 3，k = 9。
∴ 另一个因式为 2x ＋x－3。
(生：我们可以通过对比整式乘法的结果验证我们的答案。)
教师总结：因为整式的乘法和因式分解互为逆运算，所以分解因式后的两个因式的乘积一定等于原来的多项式。
三、巩固练习
1. 分解因式练习
教师布置练习题：
分解因式：x －4x。
已知二次三项式 x －5x＋6 分解因式后有一个因式是 x－2，试求另一个因式。
学生独立完成，教师巡视指导，并选择部分学生上台展示解答过程。
(生：第一个问题的答案是 x (x －4)，第二个问题的答案是 x－3。)
四、课堂小结
教师带领学生回顾本节课的主要内容：
因式分解的定义：把一个多项式转化成几个整式的积的形式。
因式分解与整式乘法的关系：因式分解是整式乘法的逆运算。
通过具体的例子和练习，加深了对因式分解的理解和应用。
(生：这节课我学会了如何进行因式分解，并且明白了因式分解与整式乘法的关系。)
教师鼓励学生课后继续练习，巩固所学知识。

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