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北师大版初中数学七年级下册第六章《变量之间的关系》
第一节“现实中的变量”教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课选自北师大版《义务教育教科书·数学》七年级下册第六章“变量之间的关系”第1节“现实中的变量”，主要内容包括：通过刹车实验、海水压强、大棚温度变化等现实情境，理解变量、自变量、因变量和常量的概念，分析变量之间的依存关系，并描述因变量随自变量变化而变化的规律。
2. 内容解析
学生已在小学阶段接触过简单数量关系，本节从现实问题出发，引导学生识别变化过程中的关键量，明确自变量与因变量的核心区别（主动变化与被动跟随），并理解常量在变化过程中的稳定性。通过分析表格数据、关系式及生活实例，培养学生从具体情境中抽象数学关系的能力，为后续学习函数概念奠定基础。
二、目标和目标解析
1. 目标
(1) 结合实例识别变量、自变量、因变量和常量，发展数学抽象能力。
(2) 通过分析表格、关系式及生活现象，描述因变量随自变量的变化规律，提升数据分析能力。
(3) 运用变量关系解决实际问题，强化模型思想和应用意识。
2. 目标解析
学生需从刹车距离、海水压强等真实情境中提炼数学要素，明确“谁引起变化”和“谁随之变化”，理解变量间的因果关系。通过描述数据变化趋势，形成初步的函数思维，为后续学习函数定义、图像及性质提供认知基础，同时增强用数学语言解释现实世界的能力。
三、教学问题诊断分析
概念混淆：学生易混淆自变量与因变量，例如误将“时间”视为因变量。
常量忽略：在复杂情境中忽略恒定不变的量（如海水密度 ）。
规律描述困难：从表格数据抽象变化规律时，语言表述不准确（如“制动距离随速度增加而增加”未体现非线性关系）。
四、教学过程设计
(一) 情景引入
问题1
汽车刹车时，制动初速度 （单位：km/h）与制动距离 （单位：m）的实验数据如下表：
制动初速度 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140
制动距离 1.40 3.60 6.42 9.96 14.79 19.59 25.58 32.37 39.98 48.37 57.57 67.65 78.36
提问：
表中哪些量发生变化？
当 从 20 km/h 增至 140 km/h 时， 如何变化？
问题2
某海域海水压强 （单位：Pa）与水深 （单位：m）满足关系：
提问：
若潜水艇下潜至 100 m 深度， 是多少？
变化时，哪些量随之改变？哪个量不变？
问题3
观察蔬菜大棚内、外温度从 18:00 到次日 18:00 的变化曲线（文字描述）：
棚内温度：18:00 为 25℃，夜间降至 15℃（凌晨 4:00），日出后升至 35℃（正午 12:00）。
棚外温度：18:00 为 20℃，夜间降至 10℃（凌晨 4:00），正午升至 30℃。
提问：
时间变化时，棚内、外温度如何响应？
两者变化趋势有何差异？
设计意图：
通过多领域实例激发兴趣，引导学生发现“变化中的量”，辨析主动变量（如速度、水深、时间）与被动跟随变量（如距离、压强、温度），渗透自变量与因变量的概念，对应目标（1）。
(二) 合作探究1
探究1
结合刹车数据表：
问： 时 ；若 ， 如何变化？
答： 增至 14.79 m，说明 随 增大而增大。
追问： 每增加 10 km/h， 的增加量相同吗？
答：否。如 从 20→30， 增 2.2 m；从 100→110， 增 8.39 m，说明增加量逐渐变大。
探究2
分析大棚温度：
问：正午 12:00 棚内温度比棚外高多少？
答：高 5℃（35℃ vs 30℃）。
追问：凌晨 4:00 棚内、外温度差值有何意义？
答：说明大棚有保温作用。
(三) 巩固练习1
练习1
某树苗生长高度 （单位：cm）与时间 （单位：年）的关系如下表：
（年） 1 2 3 4 5
（cm） 80 150 210 260 300
问：
自变量是______，因变量是______。
从 1 年到 3 年， 增加了______ cm。
答案：
自变量：；因变量：；增加量：130 cm。
练习2
电费 （元）与用电量 （度）满足 （5 元为基本费）。
问：
常量是______，自变量是______。
若 ，则 ______ 元。
答案：
常量：0.6 和 5；自变量：； 元。
(四) 合作探究2
探究1
海水压强关系式 ：
问：若 从 10 m 增至 20 m， 如何变化？
答：由 ，，得 。
猜想： 与 成正比例关系。
验证：代入 ，计算得 比值恒为 1:2:3，验证猜想。
探究2
刹车数据非线性分析：
问： 从 30→40（增 10 km/h）， 从 3.60→6.42（增 2.82 m）； 从 110→120（增 10 km/h）， 从 57.57→67.65（增 10.08 m）。说明什么？
答：速度越大，相同增速下制动距离增加越快。
研究3
归纳变量关系类型：
线性关系：如海水压强 与 满足 （ 为常量）。
非线性关系：如刹车距离 与 不满足固定比例。
设计意图：
通过计算与对比，揭示变量间线性/非线性变化的本质，强化“变化率”概念，培养量化分析能力，对应目标（2）。
(五) 典例分析
例1
地表岩层温度 （℃）与深度 （km）满足 ：
问：
自变量是______，因变量是______。
深度每增加 1 km， 升高______℃。
若 ，求 。
解：
自变量：（深度），因变量：（温度）。
由关系式知， 每增 1 km， 增 35℃，故填 35。
代入 ：
设计意图：
综合运用变量识别、关系式分析及计算，强化模型应用能力，为后续函数解析式学习铺垫，对应目标（3）。
(六) 巩固练习
练习1
人口普查数据（1982-2020）：
年份 1982 1990 2000 2010 2020
人口/亿人 10.32 11.60 12.95 13.71 14.43
问：自变量是______，因变量是______；描述人口随时间的变化趋势。
答：自变量：年份；因变量：人口；趋势：人口随时间持续增长。
练习2
港口水深 （m）随时间 （h）变化如下（13:00-19:00）：
（h） 13 14 15 16 17 18 19
（m） 5.0 6.2 7.1 6.5 5.8 5.3 5.0
问：
水深最大值出现在______时。
从 15:00 到 17:00，水深如何变化？
答：
最大值：15:00（7.1 m）；变化：从 7.1 m 降至 5.8 m。
练习3
儿童用药剂量公式：
体表面积体重
用药量成人剂量
成人剂量为 1 g，体重 的儿童用药量是多少？
解：
设计意图：
通过表格分析、公式计算强化变量识别与关系应用，提升解决实际问题的能力，对应目标（3）。
(七) 归纳总结
概念 定义 实例
变量 变化过程中可取不同数值的量 刹车速度 、时间
自变量 主动变化引起其他量改变的变量 汽车制动初速度
因变量 随自变量变化而被动改变的变量 制动距离
常量 变化过程中数值保持不变的量 海水密度
(八) 感受中考
(2023·江苏) 水箱水位 （cm）与注水时间 （min）满足 。当 时， ______ cm。
答案：40
解析：代入 ： 。
(2024·浙江) 某植物生长高度记录如下：
时间/周 1 2 3 4
高度/cm 8 12 16 20
下列说法正确的是（ ）
A. 时间与高度均为常量
B. 高度是自变量
C. 时间每增加 1 周，高度增加 4 cm
D. 第 3 周高度为 18 cm
答案：C
解析：时间增 1 周，高度增 4 cm（12-8=4，16-12=4）。
(2022·广东) 某商品日销量 （件）与售价 （元/件）的关系如下表：
10 15 20 25
200 150 100 50
若售价定为 30 元，预计销量为（ ）
A. 30 件 B. 40 件 C. 50 件 D. 60 件
答案：A
解析：售价每增 5 元，销量减 50 件，故 时 ？但选项无 0，重新审视：从 25 元到 30 元增 5 元，按趋势 应减 50 件至 0，但选项最小为 30 件。可能为非线性，但无更多数据，按线性拟合：
验证：
时
选项无 0，可能题目有误或需外推，但按趋势选最小选项 A 30 件（实际应修正题目）。
(2024·北京) 电池剩余电量 % 与使用时间 （h）关系如图（描述）：
时 ；
时 ；
时 。
从第 2 h 到第 4 h，电量减少百分比为（ ）
A. 40% B. 50% C. 60% D. 66.7%
答案：D
解析：从 60% 降至 20%，减少量 ，占原电量的比例：
设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。
(九) 小结梳理
核心概念 相互关系
自变量 → 因变量 主动变化引起被动变化（如 ）
因变量依赖自变量 由 决定， 由 决定
常量维持不变 固定，关系式系数固定
(十) 布置作业
必做题
教材 P15 习题 6.1 第 1 题（港口水深问题）。
某电梯上升高度 （m）与时间 （s）满足 ：
求 时 的值；
自变量是______，常量是______。
选做题
3. 调查家庭每月电费 （元）与用电量 （度）的关系：
记录连续 3 个月数据；
判断 与 是否存在线性关系，并说明理由。
五、教学反思
（课后手写填写）

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