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2025年人教版数学五升六年级暑假衔接培优精讲练过关讲义
（知识梳理+易错点拨+真题培优拔尖卷）
第4讲 长方体和正方体的表面积和体积
知识点01：长方体表面积的计算方法
方法一：长方体表面积 = 长×宽×2 + 长×高×2 + 宽×高×2
方法二：长方体表面积 = (长×宽 + 长×高 + 宽×高)×2
如果以S表示长方体的表面积，a、b、h分别表示长方体的长、宽和高，则表面积公式可以表示为：S = 2ab + 2ah + 2bh 或 S = 2(ab + ah + bh)。
知识点02：正方体表面积的计算方法
正方体的表面积 = 棱长×棱长×6
如果以S表示正方体的表面积，a表示正方体的棱长，则表面积公式为：S = 6a 。
知识点03：表面积公式的实际应用题型
基础计算题：
给出长方体的长、宽、高，要求计算其表面积。
给出正方体的棱长，要求计算其表面积。
生活应用题：
例如，计算一个长方体包装盒需要多少包装纸，或者一个正方体水箱需要涂多少防锈漆等。
拼组题型：
将几个长方体或正方体拼组成一个新的长方体，要求计算新长方体的表面积。
这类题目常涉及到表面积的变化，需要理解拼组后哪些面被隐藏，哪些面成为新长方体的外表面。
切割题型：
将一个长方体或正方体切割成几个部分，要求计算切割后各部分的表面积之和。
这类题目需要注意切割后新增的表面积部分。
优化问题：
例如，给定一定数量的长方体或正方体，如何拼组或摆放才能使得整体表面积最小或最大。
错误识别与改正：
题目中可能会给出错误的表面积计算过程或结果，要求学生识别错误并改正。
知识点04：长方体体积的计算方法
长方体体积的计算公式为：体积 = 长 × 宽 × 高。
如果以V表示长方体的体积，a、b、h分别表示长方体的长、宽和高，
则体积公式可以表示为：V = a × b × h。
知识点05：正方体体积的计算方法
正方体是长方体的特殊情况，其六个面都是正方形，边长相等。
正方体体积的计算公式为：体积 = 边长 × 边长 × 边长，或简写为体积 = 边长 。
如果以V表示正方体的体积，a表示正方体的边长，则体积公式为：V = a 。
知识点06：体积公式的实际应用题型
基础计算题：
给出长方体的长、宽、高，要求计算其体积。
给出正方体的边长，要求计算其体积。
生活应用题：
例如，计算一个长方体水箱能装多少水，或者一个正方体容器能容纳多少物体等。
比较和判断题：
比较不同长方体或正方体体积的大小。
判断给定的长、宽、高或边长是否能构成特定体积的长方体或正方体。
优化问题：
例如，在给定材料的情况下，如何设计长方体或正方体的尺寸以使其体积最大或达到特定要求。
综合应用题：
结合表面积和体积的计算，解决实际生活中的复杂问题，如设计包装箱以最小化材料使用同时保证足够的容量。
错误识别与改正：
题目中可能会给出错误的体积计算过程或结果，要求学生识别错误并改正。
单位换算问题：
在计算体积时，可能会涉及到不同单位之间的换算，如立方厘米与立方米之间的转换。
易错点01：单位换算
易错描述：在计算长方体和正方体的表面积或体积时，学生容易忽略单位换算，导致计算错误。
易错题目：一个长方体鱼缸的长是5dm，宽是3dm，高是40cm。求这个鱼缸的表面积。
错误答案：直接代入公式计算，未进行单位换算，导致结果错误。
正确答案：
首先进行单位换算，高=40cm=4dm，然后代入公式计算表面积：
表面积 = 2 × (5dm × 3dm + 5dm × 4dm + 3dm × 4dm) = 94dm
易错点02：表面积与体积的混淆
易错描述：学生容易将表面积和体积的概念混淆，导致在求解问题时使用了错误的公式。
易错题目：一个正方体木块的棱长是6cm，求这个木块的表面积和体积。
错误答案：将表面积和体积的计算公式混淆，导致两个结果都错误。
正确答案：
表面积 = 6 × 6cm × 6cm = 216cm
体积 = 6cm × 6cm × 6cm = 216cm
易错点03：公式应用错误
易错描述：学生在应用表面积或体积公式时，容易忽略公式中的某个部分或错误地使用了公式。
易错题目：一个长方体纸盒的长是10cm，宽是8cm，高是5cm。求这个纸盒的表面积。
错误答案：只计算了纸盒的四个侧面的面积，忽略了上下两个面的面积。
正确答案：表面积 = 2 × (10cm × 8cm + 10cm × 5cm + 8cm × 5cm) = 460cm
易错点四：忽略实际情况
易错描述：在计算长方体和正方体的表面积时，学生容易忽略实际情况，如长方体或正方体是否有盖子、是否为空心等。
易错题目：一个无盖的长方体鱼缸，长是80cm，宽是40cm，高是50cm。求制作这个鱼缸需要多少玻璃。
错误答案：直接计算了长方体的表面积，未考虑鱼缸无盖的情况。
正确答案：
由于鱼缸无盖，只需计算五个面的面积：
表面积= 80cm × 40cm + 2 × (80cm × 50cm + 40cm × 50cm) = 13600cm
检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.46（较难）
一．反复比较，慎重选择（将正确答案的序号填在括号里）（共5小题，满分10分，每小题2分）
1．（本题2分）（23-24五年级下·河南洛阳·期末）在一个透明的长方体盒子内放置棱长为1cm的小正方体（如图）。这个长方体盒子的表面积是（ ）cm2。
A．66 B．60 C．33 D．30
【答案】A
【思路点拨】根据图可知，这个长方体盒子的长等于4个小正方体的棱长和，宽等于3个小正方体的棱长和，高等于3个小正方体的棱长和，根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。
【规范解答】长：1×4＝4（cm），宽：1×3＝3（cm）；高：1×3＝3（cm）。
表面积：
（4×3＋4×3＋3×3）×2
＝（12＋12＋9）×2
＝（24＋9）×2
＝33×2
＝66（cm2）
在一个透明的长方体盒子内放置棱长为1cm的小正方体（如图）。这个长方体盒子的表面积是66cm2。
故答案为：A
2．（本题2分）（23-24五年级下·重庆九龙坡·期末）李冬设计了一个测量玻璃球体积的实验：先将200毫升的水倒进容积为500毫升的量杯中，再将1颗大玻璃球和1颗小玻璃球浸没水中，水面刚好在300毫升处，最后放入5颗小玻璃球，全都浸没水中，此时水面与量杯口齐平，刚好无水溢出。那么一颗大玻璃球的体积是（ ）立方厘米。
A．40 B．60 C．80 D．100
【答案】B
【思路点拨】用500－300，求出5颗小玻璃球的体积，再除以5，求出1个小玻璃球的体积；再用300－200，求出放入1颗大玻璃球和1颗小玻璃球的体积，再减去1个小玻璃球的体积，即可解答，注意单位名数的换算。
【规范解答】500－300＝200（毫升）
200毫升＝200立方厘米
200÷5＝40（立方厘米）
300－200＝100（毫升）
100毫升＝100立方厘米
100－40＝60（立方厘米）
一颗大玻璃球的体积是60立方厘米。
故答案为：B
3．（本题2分）（23-24五年级下·重庆忠县·期末）如图是测量一颗铁球体积的过程：①将300毫升的水倒进一个容积为500毫升的杯子中；②将四颗相同的铁球放入水中，结果水没有满；③再将一颗同样的铁球放入水中，结果水满溢出。根据以上过程，推测这样一颗铁球的体积大约是（ ）cm3。
A．30~40 B．40~50 C．50~60 D．60~70
【答案】B
【思路点拨】先根据进率1mL＝1cm，将300mL换算成300 cm3，500mL换算成500 cm3；
根据题意，将四颗相同的铁球放入水中，结果水没有满，可知四颗铁球的体积要小于500－300＝200（cm3），那么一颗铁球的体积就小于（200÷4）cm3；再将一颗同样的铁球放入水中，结果水满溢出，可知五颗铁球的体积要大于500－300＝200（cm3），那么一颗铁球的体积就大于（200÷5）cm3。据此推测出一颗铁球体积的范围。
【规范解答】300mL＝300 cm3
500mL＝500 cm3
500－300＝200（cm3）
200÷4＝50（cm3）
200÷5＝40（cm3）
40 cm3＜一颗铁球的体积＜50 cm3
所以，一颗铁球的体积大约在40 cm3~50 cm3。
故答案为：B
4．（本题2分）（22-23五年级下·湖北荆州·期末）一个长方体，从它上面挖去一个小正方体，这个长方体的表面积（ ）。
A．不变 B．减少了 C．增加了 D．无法确定
【答案】C
【思路点拨】物体表面面积的总和，叫做物体的表面积，图中挖去一个小正方体，看上去表面积减少了2个小正方形，里面又出现了同样的4个小正方形，因此表面积增加了，据此分析。
【规范解答】4－2＝2（个）
一个长方体，从它上面挖去一个小正方体，这个长方体的表面积增加了2个正方形的面，表面积增加了。
故答案为：C
5．（本题2分）（23-24五年级下·四川凉山·期末）把一个棱长是5dm的正方体木块截成两个大小、形状完全相等的长方体，这两个长方体的表面积一共是（ ）dm2。
A．125 B．150 C．200 D．300
【答案】C
【思路点拨】已知正方体木块的棱长是5dm，根据正方体的表面积公式S＝6a2，求出这个正方体木块的表面积；
把这个正方体木块截成两个完全一样的长方体，表面积会增加两个截面的面积；由正方体的特征可知，每个截面是边长为5dm的正方形，根据正方形的面积公式S＝a2，求出一个面的面积，再乘2，即是增加的表面积；
然后用原来正方体木块的表面积加上增加的表面积，即是截成的两个长方体的表面积之和。
【规范解答】5×5×6＋5×5×2
＝25×6＋25×2
＝150＋50
＝200（dm2）
这两个长方体的表面积一共是200dm2。
故答案为：C
二、用心思考，认真填写（共8小题，满分15分）
6．（本题1分）（23-24五年级下·四川南充·期末）如图，在长方体纸盒内放棱长为1cm的小正方体，沿着长、宽、高摆放的情况如图，这个盒子内一共可以放( )个小正方体。
【答案】30
【思路点拨】盒子内沿着长、宽、高分别放了5个、2个、3个小正方体。依据长方体的体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可求出小正方体的数量，据此解答。
【规范解答】5×2×3
＝10×3
＝30（个）
在长方体纸盒内放棱长为1cm的小正方体，沿着长、宽、高摆放的情况如图，这个盒子内一共可以放30个小正方体。
7．（本题2分）（23-24五年级下·四川南充·期末）用3个棱长是2厘米的小正方体，拼成一个大的长方体，这个长方体的体积是( )立方厘米，表面积比3个小正方体的表面积之和少( )平方厘米。
【答案】 24 16
【思路点拨】用3个小正方体拼成一个大的长方体，三个小正方体的体积之和就是大长方体的体积，根据公式：正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算，即可求出这个长方体的体积；每两个正方体拼在一起，就会两个面重合，也就是减少2个面的面积，现在用3个小正方体拼成一个大的长方体，一共减少4个面积的面积，根据公式：正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算，即可求出表面积比3个小正方体的表面积之和少多少平方厘米，据此解答。
【规范解答】2×2×2×3＝24（立方厘米）
2×2×4＝16（平方厘米）
即这个长方体的体积是24立方厘米，表面积比3个小正方体的表面积之和少16平方厘米。
8．（本题2分）（23-24五年级下·四川南充·期末）下图是一个正方体的展开图。
(1)这个正方体中，6的对面是( )。
(2)抛起这个正方体，落下后，质数朝上比合数朝上的可能性( )。（填“大”或“小”）
【答案】(1)4
(2)大
【思路点拨】（1）根据正方体展开图的11种特征可知，这个展开图属于正方体展开图的“2—3—1”型，折成正方体后，1和5相对，3和2相对，4和6相对；
（2）一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数；先根据质数、合数的意义，从1～6中找出质数和合数；再根据可能性大小的判断方法，比较质数、合数的个数多少，个数多的，朝上的可能性就大；据此解答。
【规范解答】（1）这个正方体中，6的对面是4。
（2）1～6中，质数有：2、3、5，共3个；合数有：4、6，共2个；3＞2，质数比合数多；所以抛起这个正方体，落下后，质数朝上比合数朝上的可能性大。
9．（本题1分）（23-24五年级下·四川凉山·期末）小丽有一个封闭的长方体容器（如下图），长4分米，宽1分米，高2分米，里面水深16厘米。现在她把这个容器的左侧面平放于桌面上。这时水深( )分米。
【答案】3.2
【思路点拨】长方体容器中水的形状是长4分米，宽1分米，深16厘米（即1.6分米）的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，可以求出容器中水的体积。把这个容器的左侧面平放于桌面上，水的体积不变，这时长是2分米，宽是1分米，用求得的水的体积连续除以2和1，即可求出水深的高度。
【规范解答】16厘米＝1.6分米
4×1×1.6÷2÷1
＝6.4÷2÷1
＝3.2（分米）
则这时水深3.2分米。
10．（本题1分）（23-24五年级下·四川凉山·期末）在一个底面积为34平方分米，高7分米的长方体容器中，倒入4分米深的水。现将一个铁块完全浸没在水中，水面上升2分米。这个铁块的体积是( )立方分米。
【答案】68
【思路点拨】根据题意可知，物体的体积等于上升部分水的体积，上升部分水的体积等于容器的底面积乘上升部分水的高度，已知长方体容器底面积是34平方分米，上升了2分米，代入数据解答即可求出铁块的体积。
【规范解答】34×2＝68（立方分米）
这个铁块的体积是68立方分米。
11．（本题3分）（23-24五年级下·四川广元·期末）如果把一根48cm长的铁丝围成一个长方体，它的长是5cm，宽是4cm，它的高是( )cm，它的表面积是( )；如果围成一个正方体，它的体积是( )。
【答案】 3 94 64
【思路点拨】从题意可知：这根48cm长的铁丝既是长方体的棱长总和，又是正方体的棱长总和。长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽，正方体的棱长＝棱长总和÷12，代入数据计算，分别求出长方体的高和正方体的棱长。再根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算，即可分别求出长方体的表面积和正方体的体积。
【规范解答】48÷4－5－4
＝12－5－4
＝3（cm）
（5×4＋5×3＋4×3）×2
＝（20＋15＋12）×2
＝47×2
＝94（cm2）
48÷12＝4（cm）
4×4×4＝64（cm3）
如果把一根48cm长的铁丝围成一个长方体，它的长是5cm，宽是4cm，它的高是3cm，它的表面积是94；如果围成一个正方体，它的体积是64。
12．（本题2分）（23-24五年级下·四川凉山·期末）单位换算。
124升＝( )立方米 8立方分米6立方厘米＝( )立方厘米
【答案】 0.124 8006
【思路点拨】根据1立方分米＝1升，1立方米＝1000立方分米，所以1立方米＝1000升，1立方分米＝1000立方厘米，高级单位转化为低级单位乘进率，低级单位转化为高级单位除以进率。复名数换单名数，单位相同的不用换，单位不同的先统一单位，再加上之前没换单位部分的数，据此解答。
【规范解答】（立方米）
（立方厘米）
124升＝0.124立方米 8立方分米6立方厘米＝8006立方厘米
13．（本题3分）（24-25五年级下·海南海口·期末）下图是一个长方体一个顶点处的3条棱（单位：cm）。用铁丝焊接这样一个框架，至少需要铁丝( )cm；给框架焊上铁皮，至少需要铁皮( )；用做成的铁皮箱子装水，最多能装( )L。
【答案】 40 66 0.036
【思路点拨】分析题目，一个顶点处的三条棱就是长方体的一组长宽高，据此根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可，注意体积单位要根据1L＝1000mL＝1000cm3换算成L。
【规范解答】（4＋3＋3）×4
＝10×4
＝40（cm）
（4×3＋4×3＋3×3）×2
＝（12＋12＋9）×2
＝33×2
＝66（cm2）
4×3×3
＝12×3
＝36（cm3）
36cm3＝36mL＝0.036L
用铁丝焊接这样一个框架，至少需要铁丝40cm；给框架焊上铁皮，至少需要铁皮66cm2；用做成的铁皮箱子装水，最多能装0.036L。
三、认真审题，准确判断（共5小题，满分10分，每小题2分）
14．（本题2分）（23-24五年级下·广东云浮·期末）一个容器的体积是5立方分米，它的容积就是5升。( )
【答案】×
【思路点拨】求物体的体积是从物体的外面测量它的长、宽、高进行计算，而求物体的容积则必须从里面来测量它的长、宽、高，然后计算。因此，对于同一个物体，一般地说，它的容积要比体积小。
【规范解答】5立方分米＝5升
一个容器的体积是5立方分米，那么它的容积小于5升，所以原题说法错误。
故答案为：×
15．（本题2分）（23-24五年级下·重庆北碚·期末）一个棱长是1m的正方体，可以平均分割成1000个体积为1dm3的小正方体。( )
【答案】√
【思路点拨】将棱长1m转化为10dm，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，计算正方体体积，再去除以1dm3，即可得解。
【规范解答】1m＝10dm
10×10×10＝10000（dm3）
1000÷1＝1000（个）
一个棱长是1m的正方体，可以平均分割成1000个体积为1dm3的小正方体。说法正确。
故答案为：√
16．（本题2分）（22-23五年级下·湖北黄石·期末）体积是1m3的物体房子地面，它的占地面积一定是1m2。( )
【答案】×
【思路点拨】根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高；一个物体房子的体积是1m3，它的占地面积不一定是1m2，据此举例解答。
【规范解答】设这个物体房子的底面长是0.5m，宽是0.5m，高是4m，
物体房子的底面积是0.5×0.5＝0.25（m2）
体积：0.5×0.5×4
＝0.25×4
＝1（m3）
所以体积是1m3的物体房子地面，它的占地面积不一定是1m2。
原题干说法错误。
故答案为：×
17．（本题2分）（22-23五年级下·河北保定·期末）一瓶可乐大约是750升。( )
【答案】×
【思路点拨】棱长1分米的正方体，体积是1立方分米，大约是2个拳头的大小，1立方分米＝1升；棱长1厘米的正方体，体积是1立方厘米，大约是1个手指头的大小，1立方厘米＝1毫升，据此根据容积单位的认识，以及生活经验进行分析。
【规范解答】一瓶可乐大约是750毫升，原题说法错误。
故答案为：×
18．（本题2分）（22-23五年级下·河北石家庄·期末）把两个棱长为4厘米的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积为192平方厘米，体积为128立方厘米。( )
【答案】×
【思路点拨】根据题意，作图如下：
从图中可知：拼成的长方体的表面积比两个的正方体的表面积之和减少了2个正方形的面积，那么这个长方体的表面积＝棱长×棱长×（6×2－2）；这个长方体的体积是两个正方体的体积之和，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出一个正方体的体积，再乘2即可得长方体的体积。分别代入数据计算后，即可判断。
【规范解答】表面积：
4×4×（6×2－2）
＝16×（12－2）
＝16×10
＝160（平方厘米）
4×4×4×2＝128（立方厘米）
把两个棱长为4厘米的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积为160平方厘米，体积为128立方厘米。原题说法错误。
故答案为：×
四、动手动脑，巧思妙算（共4小题，满分17分）
19．（本题4分）（23-24五年级下·贵州安顺·期末）求下面图形的表面积和体积。（单位：厘米）
【答案】340平方厘米；392立方厘米
【思路点拨】长方体的顶点处挖掉1个小正方体，看上去表面积减少了3个小正方形，又出现了同样的3个小正方形，因此这个图形的表面积＝原来长方体的表面积，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；
这个图形的体积＝长方体体积－正方体体积，长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此列式计算。
【规范解答】（10×5＋10×8＋5×8）×2
＝（50＋80＋40）×2
＝170×2
＝340（平方厘米）
10×5×8－2×2×2
＝400－8
＝392（立方厘米）
这个图形的表面积是340平方厘米，体积是392立方厘米。
20．（本题4分）（23-24五年级下·广东河源·期末）计算如图长方体的体积和表面积。（单位：厘米）
体积：（ ）。表面积：（ ）。
【答案】72立方厘米；108平方厘米
【思路点拨】根据长方体的体积公式：V＝abh，长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据代入公式解答。
【规范解答】4×3×6
＝12×6
＝72（立方厘米）
（4×3＋4×6＋3×6）×2
＝（12＋24＋18）×2
＝54×2
＝108（平方厘米）
所以这个长方体的体积是72立方厘米，表面积是108平方厘米。
21．（本题5分）（21-22五年级上·湖南长沙·期末）求下面图形的表面积和体积。
【答案】表面积是912dm2，体积是1472dm3
【思路点拨】通过观察可知，这个立体图形的表面积相当于一个长为20dm、宽为8dm、高为6dm的长方体表面积加上一个棱长为8dm的正方体4个面的面积；这个立体图形的体积相当于一个长为20dm、宽为8dm、高为6dm的长方体体积加上一个棱长为8dm的正方体体积；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2、正方体的表面积＝棱长×棱长×6、正方体的体积＝棱长×棱长×棱长、长方体的体积＝长×宽×高 代入数据即可解答。
【规范解答】表面积：（20×8＋20×6＋8×6）×2＋8×8×4
＝（160＋120＋48）×2＋8×8×4
＝328×2＋8×8×4
＝656＋256
＝912（dm2）
体积：20×8×6＋8×8×8
＝960＋512
＝1472（dm3）
这个立体图形的表面积是912dm2，体积是1472dm3。
22．（本题4分）（23-24五年级下·四川凉山·期末）计算下面立体图形的表面积和体积。（单位：厘米）
【答案】表面积330平方厘米；体积370立方厘米
【思路点拨】观察可知，立体图形的表面积等于大正方体的表面积加上小正方体的侧面积（即4个小正方形的面积），根据，计算即可；立体图形的体积等于大正方体的体积加小正方体的体积，根据，计算即可。
【规范解答】表面积：
（平方厘米）
体积：
（立方厘米）
立体图形的表面积是330平方厘米；体积是370立方厘米。
五、灵活应用，解决问题（共8小题，满分48分）
23．（本题6分）（22-23五年级下·湖北黄石·期末）如图，一块长35厘米、宽30厘米的铁皮。从四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形，然后做成一个无盖的铁盒。这个铁盒的容积是多少？这个铁盒的表面积是多少？
【答案】容积：2500立方厘米；表面积：950平方厘米
【思路点拨】根据题意可知，做成无盖的铁盒，铁盒的长是（35－5×2）厘米，铁盒的宽是（30－5×2）厘米，高是5厘米；根据长方体容积公式：容积＝长×宽×高，代入数据，求出这个铁盒的容积；再根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。
【规范解答】长方体铁盒的长：
35－5×2
＝35－10
＝25（厘米）
长方体铁盒的宽：
30－5×2
＝30－10
＝20（厘米）
长方体铁盒的高是5厘米。
容积：25×20×5
＝500×5
＝2500（立方厘米）
长方体铁盒表面积：
25×20＋（25×5＋20×5）×2
＝500＋（125＋100）×2
＝500＋225×2
＝500＋450
＝950（平方厘米）
答：这个铁盒的容积是2500立方厘米，这个铁盒的表面积是950平方厘米。
24．（本题6分）（22-23五年级下·河北保定·期末）文体中心新建了一个游泳池，长25米、宽20米、深2米。
（1）在游泳池的底面和侧面贴瓷砖，如果每平方米需要30元，共需要多少钱？
（2）如果每立方米水重1吨，那么在游泳池中注入多少吨水，才能使水深达到1.5米？
【答案】（1）20400元；（2）750吨
【思路点拨】（1）游泳池是一个长方体，要在底面和侧面贴瓷砖，面积为：（长×高＋宽×高）×2＋长×宽，计算出贴瓷砖的面积，再乘30元可得出答案。
（2）长方体泳池的长25米，宽20米，使水深1.5米，则运用长方体容积＝长×宽×高，得出水的体积再乘1可得出答案。
【规范解答】（1）贴瓷砖共需要：
[（25×2＋20×2）×2＋25×20]×30
＝[（50＋40）×2＋25×20]×30
＝[90×2＋25×20]×30
＝[180＋500]×30
＝680×30
＝20400（元）
答：贴瓷砖共需要20400元。
（2）25×20×1.5×1＝750（吨）
答：在游泳池中注入750吨水，才能使水深达到1.5米。
25．（本题6分）（23-24五年级下·河南洛阳·期末）乘坐飞机时免费托运行李的尺寸限制为长60厘米、宽40厘米、高100厘米。张阿姨的行李箱如下图所示。
（1）张阿姨的行李是否可以免费托运？（可以 不可以）（在方框内打“√”）
（2）张阿姨打算给这个行李箱加个布套（底面不做），这个布套至少需要多少布料？（接缝处忽略不计）
【答案】（1）可以
（2）8800平方厘米
【思路点拨】（1）把张阿姨行李箱的长、宽、高与免费托运行李限制的长、宽、高进行比较，如果小于或等于免费托运行李限制的尺寸，就可以免费托运；反之，不可以免费托运。
（2）根据题意，给这个行李箱加个布套（底面不做），即做布套的面是长方体的上面、前后面、左右面共5个面；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，即是这个布套至少需要布料的面积。
【规范解答】（1）40＜60，25＜40，60＜100
张阿姨的行李可以免费托运。
可以 不可以
（2）40×25＋40×60×2＋25×60×2
＝1000＋4800＋3000
＝8800（平方厘米）
答：这个布套至少需要8800平方厘米布料。
26．（本题6分）（22-23五年级下·湖北荆州·期末）一个无盖的长方体鱼缸，长50厘米，宽10厘米，高30厘米。
（1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方厘米？
（2）在鱼缸里注入8升水，水深大约多少厘米？（玻璃厚度忽略不计）
【答案】（1）4100平方厘米
（2）16厘米
【思路点拨】（1）求需要的玻璃面积相当于求长方体表面积，无盖的长方体鱼缸没有上面，需要的玻璃面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2；
（2）根据1升＝1000立方厘米，统一单位，水深相当于长方体的高，水深＝水的体积÷鱼缸底面积。
【规范解答】（1）50×10＋50×30×2＋10×30×2
＝500＋3000＋600
＝4100（平方厘米）
答：做这个鱼缸至少需要玻璃4100平方厘米。
（2）8升＝8000立方厘米
8000÷（50×10）
＝8000÷500
＝16（厘米）
答：水深大约16厘米。
27．（本题6分）（23-24五年级下·河南安阳·期末）明明买了一个亚当牛尊的工艺品，想知道它的体积是多少。明明把它放入一个长65厘米，宽40厘米，水深12厘米的容器中，结果水面升高到15厘米（水没有溢出）。你知道亚当牛尊工艺品的体积是多少立方厘米吗？
【答案】7800立方厘米
【思路点拨】这个亚当牛尊工艺品的体积等于上升的这部分水的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，用长方体容器的底面积乘水上升的高度，计算出上升这部分水的体积，也就是这个亚当牛尊工艺品的体积。
【规范解答】65×40×（15－12）
＝2600×3
＝7800（立方厘米）
答：亚当牛尊工艺品的体积是7800立方厘米。
28．（本题6分）（23-24五年级下·江西吉安·期末）下面是贝贝比较土豆和红薯的体积时做的实验。（单位：厘米）
分别计算土豆和红薯的体积。
【答案】土豆的体积是144立方厘米，红薯的体积是240立方厘米。
【思路点拨】放入物体后，上升的水的体积就是物体的体积，根据，放入土豆后，水面上升了厘米，上升的水的体积就是土豆的体积；放入红薯水面上升了厘米，上升的水的体积就是红薯的体积。代入数据计算即可得解。
【规范解答】土豆的体积：
（立方厘米）
红薯的体积：
（立方厘米）
答：土豆的体积是144立方厘米，红薯的体积是240立方厘米。
29．（本题6分）（23-24五年级下·河南安阳·期末）博物馆里有许多保护文物的透明展示罩（无底），下图所示：这是其中一个，长是2米，宽0.6米，高0.8米，制作一个这样透明展示罩需要多少平方米的材料？
【答案】5.36平方米
【思路点拨】求展示罩的面积相当于求长方体表面积，因为无底，展示罩的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，据此列式解答。
【规范解答】
（平方米）
答：制作一个这样透明展示罩需要5.36平方米的材料。
30．（本题6分）（23-24五年级下·四川广元·期末）一个长方体玻璃鱼缸（无盖），量得它的长是8分米，宽是5分米，高是6分米，水深5.4分米。（玻璃厚度忽略不计）
（1）做这个长方体玻璃鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？
（2）如果在这个鱼缸里投入一个棱长是3分米的正方体铁块，鱼缸里的水会不会溢出？请你通过计算说明。
（3）如果会溢出，鱼缸里会溢出多少升水？如果不会溢出，现在水深是多少分米？
【答案】（1）196平方分米
（2）会溢出；见详解
（3）3升
【思路点拨】（1）从图中可知：这个长方体的长是8分米，宽是5分米，高是6分米。这个无盖的长方体有下面和前后左右面共5个面，因此需要玻璃的面积＝ 长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据计算即可。
（2）此时水深5.4分米，还剩下空间的高度6－5.4＝0.6分米，根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算，分别求出剩下空间的容积、正方体的体积，再比较即可。
（3）若溢出，用正方体的体积减去剩下空间的容积，即可求出溢出的水量（换算成以升为单位）；若不会溢出，用正方体的体积÷长方体的底面积，求出正方体放入水中后，水面升高的高度，再加上原来的水面高度，即可求出现在的水面高度。
【规范解答】（1）8×5＋8×6×2＋5×6×2
＝40＋96＋60
＝196（平方分米）
答：做这个长方体玻璃鱼缸至少需要玻璃196平方分米。
（2）3×3×3＝27（立方分米）
8×5×（6－5.4）
＝8×5×0.6
＝24（立方分米）
27＞24
答：鱼缸里的水会溢出。
（3）27－24＝3（立方分米）
3立方分米＝3升
答：鱼缸里会溢出3升水。2025年人教版数学五升六年级暑假衔接培优精讲练过关讲义
（知识梳理+易错点拨+真题培优拔尖卷）
第4讲 长方体和正方体的表面积和体积
知识点01：长方体表面积的计算方法
方法一：长方体表面积 = 长×宽×2 + 长×高×2 + 宽×高×2
方法二：长方体表面积 = (长×宽 + 长×高 + 宽×高)×2
如果以S表示长方体的表面积，a、b、h分别表示长方体的长、宽和高，则表面积公式可以表示为：S = 2ab + 2ah + 2bh 或 S = 2(ab + ah + bh)。
知识点02：正方体表面积的计算方法
正方体的表面积 = 棱长×棱长×6
如果以S表示正方体的表面积，a表示正方体的棱长，则表面积公式为：S = 6a 。
知识点03：表面积公式的实际应用题型
基础计算题：
给出长方体的长、宽、高，要求计算其表面积。
给出正方体的棱长，要求计算其表面积。
生活应用题：
例如，计算一个长方体包装盒需要多少包装纸，或者一个正方体水箱需要涂多少防锈漆等。
拼组题型：
将几个长方体或正方体拼组成一个新的长方体，要求计算新长方体的表面积。
这类题目常涉及到表面积的变化，需要理解拼组后哪些面被隐藏，哪些面成为新长方体的外表面。
切割题型：
将一个长方体或正方体切割成几个部分，要求计算切割后各部分的表面积之和。
这类题目需要注意切割后新增的表面积部分。
优化问题：
例如，给定一定数量的长方体或正方体，如何拼组或摆放才能使得整体表面积最小或最大。
错误识别与改正：
题目中可能会给出错误的表面积计算过程或结果，要求学生识别错误并改正。
知识点04：长方体体积的计算方法
长方体体积的计算公式为：体积 = 长 × 宽 × 高。
如果以V表示长方体的体积，a、b、h分别表示长方体的长、宽和高，
则体积公式可以表示为：V = a × b × h。
知识点05：正方体体积的计算方法
正方体是长方体的特殊情况，其六个面都是正方形，边长相等。
正方体体积的计算公式为：体积 = 边长 × 边长 × 边长，或简写为体积 = 边长 。
如果以V表示正方体的体积，a表示正方体的边长，则体积公式为：V = a 。
知识点06：体积公式的实际应用题型
基础计算题：
给出长方体的长、宽、高，要求计算其体积。
给出正方体的边长，要求计算其体积。
生活应用题：
例如，计算一个长方体水箱能装多少水，或者一个正方体容器能容纳多少物体等。
比较和判断题：
比较不同长方体或正方体体积的大小。
判断给定的长、宽、高或边长是否能构成特定体积的长方体或正方体。
优化问题：
例如，在给定材料的情况下，如何设计长方体或正方体的尺寸以使其体积最大或达到特定要求。
综合应用题：
结合表面积和体积的计算，解决实际生活中的复杂问题，如设计包装箱以最小化材料使用同时保证足够的容量。
错误识别与改正：
题目中可能会给出错误的体积计算过程或结果，要求学生识别错误并改正。
单位换算问题：
在计算体积时，可能会涉及到不同单位之间的换算，如立方厘米与立方米之间的转换。
易错点01：单位换算
易错描述：在计算长方体和正方体的表面积或体积时，学生容易忽略单位换算，导致计算错误。
易错题目：一个长方体鱼缸的长是5dm，宽是3dm，高是40cm。求这个鱼缸的表面积。
错误答案：直接代入公式计算，未进行单位换算，导致结果错误。
正确答案：
首先进行单位换算，高=40cm=4dm，然后代入公式计算表面积：
表面积 = 2 × (5dm × 3dm + 5dm × 4dm + 3dm × 4dm) = 94dm
易错点02：表面积与体积的混淆
易错描述：学生容易将表面积和体积的概念混淆，导致在求解问题时使用了错误的公式。
易错题目：一个正方体木块的棱长是6cm，求这个木块的表面积和体积。
错误答案：将表面积和体积的计算公式混淆，导致两个结果都错误。
正确答案：
表面积 = 6 × 6cm × 6cm = 216cm
体积 = 6cm × 6cm × 6cm = 216cm
易错点03：公式应用错误
易错描述：学生在应用表面积或体积公式时，容易忽略公式中的某个部分或错误地使用了公式。
易错题目：一个长方体纸盒的长是10cm，宽是8cm，高是5cm。求这个纸盒的表面积。
错误答案：只计算了纸盒的四个侧面的面积，忽略了上下两个面的面积。
正确答案：表面积 = 2 × (10cm × 8cm + 10cm × 5cm + 8cm × 5cm) = 460cm
易错点四：忽略实际情况
易错描述：在计算长方体和正方体的表面积时，学生容易忽略实际情况，如长方体或正方体是否有盖子、是否为空心等。
易错题目：一个无盖的长方体鱼缸，长是80cm，宽是40cm，高是50cm。求制作这个鱼缸需要多少玻璃。
错误答案：直接计算了长方体的表面积，未考虑鱼缸无盖的情况。
正确答案：
由于鱼缸无盖，只需计算五个面的面积：
表面积= 80cm × 40cm + 2 × (80cm × 50cm + 40cm × 50cm) = 13600cm
检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.46（较难）
一．反复比较，慎重选择（将正确答案的序号填在括号里）（共5小题，满分10分，每小题2分）
1．（本题2分）（23-24五年级下·河南洛阳·期末）在一个透明的长方体盒子内放置棱长为1cm的小正方体（如图）。这个长方体盒子的表面积是（ ）cm2。
A．66 B．60 C．33 D．30
2．（本题2分）（23-24五年级下·重庆九龙坡·期末）李冬设计了一个测量玻璃球体积的实验：先将200毫升的水倒进容积为500毫升的量杯中，再将1颗大玻璃球和1颗小玻璃球浸没水中，水面刚好在300毫升处，最后放入5颗小玻璃球，全都浸没水中，此时水面与量杯口齐平，刚好无水溢出。那么一颗大玻璃球的体积是（ ）立方厘米。
A．40 B．60 C．80 D．100
3．（本题2分）（23-24五年级下·重庆忠县·期末）如图是测量一颗铁球体积的过程：①将300毫升的水倒进一个容积为500毫升的杯子中；②将四颗相同的铁球放入水中，结果水没有满；③再将一颗同样的铁球放入水中，结果水满溢出。根据以上过程，推测这样一颗铁球的体积大约是（ ）cm3。
A．30~40 B．40~50 C．50~60 D．60~70
4．（本题2分）（22-23五年级下·湖北荆州·期末）一个长方体，从它上面挖去一个小正方体，这个长方体的表面积（ ）。
A．不变 B．减少了 C．增加了 D．无法确定
5．（本题2分）（23-24五年级下·四川凉山·期末）把一个棱长是5dm的正方体木块截成两个大小、形状完全相等的长方体，这两个长方体的表面积一共是（ ）dm2。
A．125 B．150 C．200 D．300
二、用心思考，认真填写（共8小题，满分15分）
6．（本题1分）（23-24五年级下·四川南充·期末）如图，在长方体纸盒内放棱长为1cm的小正方体，沿着长、宽、高摆放的情况如图，这个盒子内一共可以放( )个小正方体。
7．（本题2分）（23-24五年级下·四川南充·期末）用3个棱长是2厘米的小正方体，拼成一个大的长方体，这个长方体的体积是( )立方厘米，表面积比3个小正方体的表面积之和少( )平方厘米。
8．（本题2分）（23-24五年级下·四川南充·期末）下图是一个正方体的展开图。
(1)这个正方体中，6的对面是( )。
(2)抛起这个正方体，落下后，质数朝上比合数朝上的可能性( )。（填“大”或“小”）
9．（本题1分）（23-24五年级下·四川凉山·期末）小丽有一个封闭的长方体容器（如下图），长4分米，宽1分米，高2分米，里面水深16厘米。现在她把这个容器的左侧面平放于桌面上。这时水深( )分米。
10．（本题1分）（23-24五年级下·四川凉山·期末）在一个底面积为34平方分米，高7分米的长方体容器中，倒入4分米深的水。现将一个铁块完全浸没在水中，水面上升2分米。这个铁块的体积是( )立方分米。
11．（本题3分）（23-24五年级下·四川广元·期末）如果把一根48cm长的铁丝围成一个长方体，它的长是5cm，宽是4cm，它的高是( )cm，它的表面积是( )；如果围成一个正方体，它的体积是( )。
12．（本题2分）（23-24五年级下·四川凉山·期末）单位换算。
124升＝( )立方米 8立方分米6立方厘米＝( )立方厘米
13．（本题3分）（24-25五年级下·海南海口·期末）下图是一个长方体一个顶点处的3条棱（单位：cm）。用铁丝焊接这样一个框架，至少需要铁丝( )cm；给框架焊上铁皮，至少需要铁皮( )；用做成的铁皮箱子装水，最多能装( )L。
三、认真审题，准确判断（共5小题，满分10分，每小题2分）
14．（本题2分）（23-24五年级下·广东云浮·期末）一个容器的体积是5立方分米，它的容积就是5升。( )
15．（本题2分）（23-24五年级下·重庆北碚·期末）一个棱长是1m的正方体，可以平均分割成1000个体积为1dm3的小正方体。( )
16．（本题2分）（22-23五年级下·湖北黄石·期末）体积是1m3的物体房子地面，它的占地面积一定是1m2。( )
17．（本题2分）（22-23五年级下·河北保定·期末）一瓶可乐大约是750升。( )
18．（本题2分）（22-23五年级下·河北石家庄·期末）把两个棱长为4厘米的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积为192平方厘米，体积为128立方厘米。( )
四、动手动脑，巧思妙算（共4小题，满分17分）
19．（本题4分）（23-24五年级下·贵州安顺·期末）求下面图形的表面积和体积。（单位：厘米）
20．（本题4分）（23-24五年级下·广东河源·期末）计算如图长方体的体积和表面积。（单位：厘米）
体积：（ ）。表面积：（ ）。
21．（本题5分）（21-22五年级上·湖南长沙·期末）求下面图形的表面积和体积。
22．（本题4分）（23-24五年级下·四川凉山·期末）计算下面立体图形的表面积和体积。（单位：厘米）
五、灵活应用，解决问题（共8小题，满分48分）
23．（本题6分）（22-23五年级下·湖北黄石·期末）如图，一块长35厘米、宽30厘米的铁皮。从四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形，然后做成一个无盖的铁盒。这个铁盒的容积是多少？这个铁盒的表面积是多少？
24．（本题6分）（22-23五年级下·河北保定·期末）文体中心新建了一个游泳池，长25米、宽20米、深2米。
（1）在游泳池的底面和侧面贴瓷砖，如果每平方米需要30元，共需要多少钱？
（2）如果每立方米水重1吨，那么在游泳池中注入多少吨水，才能使水深达到1.5米？
25．（本题6分）（23-24五年级下·河南洛阳·期末）乘坐飞机时免费托运行李的尺寸限制为长60厘米、宽40厘米、高100厘米。张阿姨的行李箱如下图所示。
（1）张阿姨的行李是否可以免费托运？（可以 不可以）（在方框内打“√”）
（2）张阿姨打算给这个行李箱加个布套（底面不做），这个布套至少需要多少布料？（接缝处忽略不计）
26．（本题6分）（22-23五年级下·湖北荆州·期末）一个无盖的长方体鱼缸，长50厘米，宽10厘米，高30厘米。
（1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方厘米？
（2）在鱼缸里注入8升水，水深大约多少厘米？（玻璃厚度忽略不计）
27．（本题6分）（23-24五年级下·河南安阳·期末）明明买了一个亚当牛尊的工艺品，想知道它的体积是多少。明明把它放入一个长65厘米，宽40厘米，水深12厘米的容器中，结果水面升高到15厘米（水没有溢出）。你知道亚当牛尊工艺品的体积是多少立方厘米吗？
28．（本题6分）（23-24五年级下·江西吉安·期末）下面是贝贝比较土豆和红薯的体积时做的实验。（单位：厘米）
分别计算土豆和红薯的体积。
29．（本题6分）（23-24五年级下·河南安阳·期末）博物馆里有许多保护文物的透明展示罩（无底），下图所示：这是其中一个，长是2米，宽0.6米，高0.8米，制作一个这样透明展示罩需要多少平方米的材料？
30．（本题6分）（23-24五年级下·四川广元·期末）一个长方体玻璃鱼缸（无盖），量得它的长是8分米，宽是5分米，高是6分米，水深5.4分米。（玻璃厚度忽略不计）
（1）做这个长方体玻璃鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？
（2）如果在这个鱼缸里投入一个棱长是3分米的正方体铁块，鱼缸里的水会不会溢出？请你通过计算说明。
（3）如果会溢出，鱼缸里会溢出多少升水？如果不会溢出，现在水深是多少分米？

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