资源简介

10.1 二元一次方程组的概念 教学设计
一、内容和内容解析
内容
本节课选自人教版《义务教育教科书·数学》七年级下册第十章"二元一次方程组"第10.1节，主要内容包括：理解二元一次方程的定义（含两个未知数、未知数项次数为1、整式方程），掌握二元一次方程解的概念（使方程两边值相等的未知数值），认识二元一次方程组及其解（两个方程的公共解），并通过实际问题建立方程组模型。
内容解析
学生在小学已接触过简易方程，七年级上册系统学习了一元一次方程。本节课从"采棉机租用问题"出发，引导学生发现单一方程无法解决含两个未知量的实际问题，从而自然过渡到二元一次方程组的学习。通过分析方程特征（如 与 的结构），抽象出二元一次方程的定义；通过填表寻找公共解的过程，理解方程组解的本质。这既是解决实际问题的工具，也为后续学习解方程组、函数及应用问题奠定基础。
二、目标和目标解析
目标
(1) 能识别二元一次方程（组）的特征，会判断给定方程（组）的类型。
(2) 经历从实际问题抽象方程组模型的过程，发展数学建模能力。
(3) 通过填表、计算等活动，理解二元一次方程解的不唯一性和方程组解的唯一性。
目标解析
学生需从"采棉机租用""黄桃加工"等实际问题中提取关键数量关系（如"大型机数+小型机数=6"），并用二元一次方程表示，体会数学建模思想。在寻找公共解的过程中，通过具体数值计算（如验证 同时满足两个方程），理解方程组解是使所有方程同时成立的未知数值，为后续消元法解方程组提供认知基础。
三、教学问题诊断分析
概念混淆：易将"次数为1"误解为"未知数指数为1"（如误认为 是二元一次方程）。
解的理解偏差：可能认为二元一次方程有唯一解（混淆一元与二元区别），或忽略实际问题的解需符合现实意义。
建模困难：从多条件问题中提取两个独立等量关系存在困难，例如"鸡兔同笼"问题中忽略"头数"和"脚数"的关联性。
四、教学过程设计
（一）情景引入
问题1 某农场租用采棉机，已知租用总数是6台。若设大型机为 台，小型机为 台，如何表示总台数？
答：。
问题2 大型机每小时采摘2公顷，小型机每小时采摘1公顷，若1小时共采摘8公顷，如何表示总采摘量？
答：。
问题3 两个方程能否单独确定 和 的值？为什么？
答：不能。例如 的解有 、 等，需同时满足两个方程才有唯一解。
设计意图：通过农业实际问题引出二元一次方程的必要性，培养学生从多条件中抽象数学关系的能力，对应目标（2）。
（二）合作探究1
探究1 观察方程 和 ：
它们含有几个未知数？
答：两个未知数（ 和 ）。
未知数的次数是多少？
答：均为1次（如 是1次项）。
是否是整式？
答：是（无根号、分式等）。
追问： 是二元一次方程吗？为什么？
答：不是， 是2次项。
（三）巩固练习1
判断是否为二元一次方程：
(1) 答：是
(2) 答：否（ 是2次）
(3) 答：否（非整式）
已知方程 ，填表找解：
0 1 2 3
7 5 3 1
（四）合作探究2
探究2 将 的解 、、 代入 ，哪个同时满足？
答：（因 ）。
猜想：二元一次方程组的解是两个方程的公共解。
验证：再验证 满足 但不满足 （）。
探究3 给出定义：
二元一次方程组：由两个整式方程组成，含两个未知数，未知数项次数为1。
方程组的解：使所有方程同时成立的未知数值，记为 。
设计意图：通过具体解验证公共解的存在性，理解方程组解的本质，强化数形结合思想，对应目标（1）（3）。
（五）典例分析
例1 黄桃加工问题：
等量关系1：改进前天数 + 改进后天数 = 总天数8
等量关系2：改进前加工量 + 改进后加工量 = 总量28
得方程组：
解：由 得 ，代入 ，解得 ，。
解集表示：
答：改进前2天，改进后6天。
设计意图：通过完整建模过程，训练从实际问题抽象方程组的能力，巩固消元思想，对应目标（2）。
（六）巩固练习
篮球比赛问题
设胜 场，负 场：
解：
知识点：方程组解的实际意义验证（胜6场得12分，负4场得4分，总分16）。
《孙子算经》鸡兔同笼
设鸡 只，兔 只：
解：
知识点：根据动物腿数特征列方程（鸡2腿，兔4腿）。
钢管截料问题
设2米管 根，1米管 根：
分析：非方程组（只含一个方程），解可能多组：
需筛选符合实际的解（ 为正整数）。
（七）归纳总结
概念 关键特征 示例
二元一次方程 两未知数、次数1、整式
二元一次方程组 两个方程、共含两未知数、各未知数项次数1
方程组的解 同时满足所有方程的公共解
（八）感受中考
(2023·江苏) 若 是方程组 的解，则 ______
解：代入 得 。
(2024·河南) 下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A.
B.
C.
答：C（A含二次项，B含乘积项）。
(2022·安徽) 为振兴乡村，某村种植黄桃80吨，计划加工后销售。若精加工每天4吨，粗加工每天6吨，共用15天完成，求精加工天数 和粗加工天数 。
解：列方程组
解得
(2023·四川) 方程组 的解是（ ）
A.
B.
C.
解：B（，）。
设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。
（九）小结梳理
知识模块 核心要点 关联性
方程定义 两未知数、整式、次数1 区别于分式方程、高次方程
解的特性 单个方程解不唯一；方程组解唯一 公共解需验证所有方程
实际应用 提取两个独立等量关系 建模能力是关键
（十）布置作业
必做题：
教材习题10.1第1题（填表验证解）。
教材习题10.1第4题（鸡兔同笼问题）。
选做题：
探索 元一次方程组的解：
三元一次方程组 的解：
猜测： 元方程组需要 个独立方程才有唯一解。
五、教学反思
（课后填写）

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