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16.2 二次根式的乘除 教学设计
课时：1课时（45分钟）
一、内容和内容解析
内容
本节课主要学习二次根式的乘法法则 （）和除法法则 （），掌握利用法则进行运算、化简的方法，理解最简二次根式的概念（被开方数不含分母且不含能开尽方的因数或因式），并能在实际问题中应用。
内容解析
二次根式的乘除是实数运算的重要组成部分，其法则源于算术平方根的性质（）。学生需通过具体计算归纳一般规律，理解法则的合理性，并运用逆向变形（）进行化简。这不仅是后续学习二次根式加减、勾股定理、函数的基础，更培养了从特殊到一般的抽象能力和数学推理能力。
二、目标和目标解析
目标
抽象能力：通过计算具体算式（如 ），归纳二次根式乘除法则，体会从特殊到一般的数学思想。
推理能力：利用算术平方根的性质证明乘除法则，理解法则的逻辑依据。
运算能力：运用法则进行根式运算、化简，会判断最简二次根式并解决实际问题（如长方形面积问题）。
目标解析
通过探究活动，学生能独立推导法则并用数学语言表述，提升符号意识和逻辑推理素养。在典例训练中，学生将熟练进行分母有理化、因式分解等运算，为二次根式的混合运算奠定基础。实际应用环节（如电视塔信号覆盖问题）强化数学建模思想，体现数学的现实价值。
三、教学问题诊断分析
隐含条件忽视：忽略 的前提，导致错误计算（如 )。
化简不彻底：未将结果化为最简二次根式（如 误写为 )。
分母有理化错误：对 进行分母有理化时，未同时乘 （正确步骤：)。
四、教学过程设计
(一) 情景引入
问题1
电视塔越高，信号覆盖半径越大。已知信号半径公式为 （ 为地球半径）。若两座塔高分别为 km 和 km，它们的信号半径比 是多少？能否简化？
设计意图：以生活实例激发兴趣，引出二次根式的除法需求，渗透数学建模思想（对应目标3）。
(二) 合作探究1
探究1
计算下列各组算式，观察左右两边关系，猜想规律：
算式 结果 规律总结
追问：若 ，是否要求 为完全平方数？
结论：只要 ，法则恒成立。
(三) 巩固练习1
计算：
答案：（知识点：乘法法则）
化简：
答案：（知识点：）
(四) 合作探究2
探究2
计算并观察规律：
算式 结果 规律总结
猜想：（）。
验证：设 ，则 ，故 （算术平方根非负）。
探究3：证明乘法法则 。
证明：
设 ，则 。
，
（）。
设计意图：通过代数证明深化对法则的理解，培养逻辑推理能力（对应目标2）。
(五) 典例分析
例1 计算：
(1)
解：
（乘法法则逆用）
(2)
解：
（除法法则）
设计意图：示范法则的综合应用，强调先观察后计算的习惯（对应目标3）。
(六) 巩固练习
计算：
答案：（除法法则）
化简：
答案：（先化简被开方数：)
实际应用：长方形面积 ，宽 ，求长 。
解：
（分母有理化）
设计意图：分层训练运算能力，强化实际应用（对应目标1、3）。
(七) 归纳总结
二次根式乘除法则及化简要点
运算 法则 条件 逆向应用
乘法
除法
最简二次根式标准
被开方数不含分母（如 是， 不是）。
被开方数不含能开尽方的因数（如 是， 不是）。
(八) 感受中考
(2023江苏) 计算：
答案：
解析：直接应用乘法法则。
(2024浙江) 化简：
答案：
解析：除法法则化简。
(2023山东) 已知长方形长 ，宽 ，则面积 。
答案：
解析：。
(2024河南) 设 ，则 。
答案：
解析：。
设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。
(九) 小结梳理
知识点逻辑关系表
核心概念 依据 应用场景
算术平方根性质 / /
乘法法则 性质推广 根式化简、面积计算
最简二次根式 运算结果标准化 简化答案、分母有理化
(十) 布置作业
必做题（教材P10 练习）
计算：
化简：
求长方形面积：
选做题
电视塔问题：证明信号半径比 （提示：分母有理化）。
五、教学反思
（课后手写补充）

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