资源简介

人教版初中数学七年级下册
第十章 二元一次方程组 10.3 实际问题与二元一次方程组 教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课主要内容为运用二元一次方程组解决实际问题，包括从生活情境中抽象数学问题、寻找等量关系、建立方程组模型、求解并验证解的合理性。重点涵盖三类典型问题：资源分配问题（如养牛场饲料估算）、几何规划问题（如土地划分种植作物）、经济成本问题（如运输费用核算）。
2. 内容解析
通过实际问题引导学生经历“问题抽象→建模→求解→检验”的完整过程，深化对二元一次方程组工具性的理解。本节内容衔接前期方程组解法，为后续学习函数、不等式应用奠定基础，同时培养数学建模、逻辑推理和数据分析核心素养。
二、目标和目标解析
1. 目标
(1) 能从实际问题中抽象出等量关系，建立二元一次方程组模型。
(2) 通过求解、检验和解释解的实际意义，发展应用意识和批判性思维。
(3) 在合作探究中提升信息提取能力、运算能力和问题解决策略的灵活性。
2. 目标解析
学生需掌握从复杂情境提取关键信息（如数量、单位、关系词），将生活语言转化为数学语言（如“总产量比3:4”转化为方程）。通过典型问题训练，强化对解的合理性检验意识（如人数需为整数、长度需为正数），为后续学习统计与概率、函数建模积累经验。
三、教学问题诊断分析
抽象建模困难：学生难以从文字描述中识别隐藏的等量关系（如“总运费5200元”需拆分为原料与产品的运费之和）。
变量设置混淆：面对多维度问题（如产量与面积关联），易错设变量或遗漏约束条件。
解的意义忽视：求解后未验证解是否符合实际（如人数取整、价格非负）。
四、教学过程设计
(一) 情景引入
问题1
小华用43元买了3瓶饮料和2袋零食，已知饮料单价比零食高3元，求饮料和零食的单价。
问题2
养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天用饲料675kg；一周后新增12头大牛和5头小牛，1天用饲料940kg。饲养员估计大牛每天吃1820kg，小牛吃78kg。他的估计准确吗？
问题3
A、B工程队合作清理180m河道。A队每天清12m，B队每天清8m，两队共工作20天。求两队各清理多长河道？
设计意图：
通过阶梯式问题链，引导学生从简单消费问题过渡到复杂工程问题，体会方程组建模的普适性，对应目标(1)中的抽象建模能力。
(二) 合作探究1
探究1（养牛场问题）
教师：如何用方程组验证饲养员的估计？
学生：设大牛每天吃 kg，小牛吃 kg。
原有牛群：；
新增后： → 。
追问：方程组化简后如何？
原式新增式
(三) 巩固练习1
资源分配问题
车间买3盏甲型灯和5盏乙型灯花50元；买12盏甲型灯和4盏乙型灯花88元。求每盏灯售价。
解：
知识点：消元法解价格问题。
几何规划问题
将200m×100m土地划分为两块，使甲、乙作物产量比3:4。已知单位面积产量比1:2。
解：设两区域长分别为 m、 m（），产量比满足：
解得：
知识点：面积与产量的复合关系。
(四) 合作探究2
探究2（运输成本问题）
丝路纺织厂从A地购棉运回厂，再运面料到B地。数据如下：
原料价：3.08万元/吨，产品价：4.25万元/吨
公路运费：0.5元/(吨·km)，铁路运费：0.2元/(吨·km)
总公路运费5200元，铁路运费16640元
追问：销售额比原料费+运输费多多少？
猜想：需先求原料量 吨和产品量 吨。
验证：根据运费表列方程组：
项目 原料 吨 产品 吨 合计
公路运费（元） 5200
铁路运费（元） 16640
探究3：证明方程组可解
化简得：
设计意图：
通过表格梳理复杂运费关系，提升信息处理能力；结合代数运算验证解的可行性，强化目标(2)中的批判性思维。
(五) 典例分析
例1（养牛场问题完整解析）
步骤：
设未知数：大牛每天吃 kg，小牛吃 kg。
列方程组：
化简求解：
①式 ÷15：
②式 ÷2：
消元得：
检验：
， → 估计准确
新增饲料量：（符合）
设计意图：
展示“建模→求解→检验”全流程，强调解的合理性验证，对应目标(2)。
(六) 巩固练习
图书购买问题
第一次买2套《西游记》+3套《水浒传》花151元；第二次买4套《西游记》+2套《水浒传》花178元。求单价。
解：
数字方格问题
在3×3格子中填数，使各行、各列及对角线之和相等。已知部分数值：
第一行：
第二行：
求 。
解：由行和=列和得：
化简得：
结合其他约束求解
垃圾处理问题
某公司垃圾处理费总和由7020元升至8520元，因餐厨垃圾处理费由240元/吨调至300元/吨，建筑垃圾清运费由150元/吨调至180元/吨。求去年两类垃圾量。
解：设餐厨垃圾 吨，建筑垃圾 吨：
设计意图：
多题型训练强化建模能力，数字方格问题培养多维等量关系识别，对应目标(3)。
(七) 归纳总结
问题类型 关键等量关系 解题要点
资源分配 总量 = 各部分数量之和 注意单位一致性
几何规划 长度/面积比 → 方程 画示意图辅助分析
经济成本 总费用 = Σ(单价 × 数量) 分段运费需分开计算
解的检验 符合实际意义（正数、整数等） 必做步骤
(八) 感受中考
（2024·广西）
养牛场有大牛30头与小牛若干，1天用饲料900kg；若增加10头大牛，饲料用量1050kg。设每头大牛吃 kg，小牛吃 kg，则方程为（ ）
A.
B. ,
C. , （ 为小牛数）
答案：C
（2023·青海）
甲、乙作物单位面积产量比1:2。将200m×100m土地分为两块，使总产量比3:4。若按长边划分，两地块长度比为（ ）
A. 1:2 B. 2:3 C. 3:4 答案：C（解析：由产量比推导面积比）
（2024·日照）
运输公司用3辆大货车与4辆小货车运货22吨；5辆大货车与6辆小货车运货35吨。求每辆小货车运量。
解：
（2023·益阳）
学校买2个篮球和3个排球花440元；买4个篮球和5个排球花780元。求篮球单价。
解：
设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。
(九) 小结梳理
核心能力 关联问题类型 提升要点
信息提取 经济成本、资源分配 抓关键词（“共” “比”）
变量设置 几何规划、复合关系 明确单位意义
模型验证 所有类型 解需回代实际情境检验
(十) 布置作业
必做题：
习题10.3第1题：解方程组
习题10.3第2题：徒步问题（时间与路程关系）
选做题：
习题10.3第8题：超市账目记录是否可能有误？
（提示：通过方程组无解判断）
自主编题：用方程组
设计一个实际问题（如购物、运动速度问题）。
五、教学反思
（课后填写）

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