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北师大版初中数学七年级上册
第二章 有理数及其运算
5 有理数的混合运算 教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课学习“有理数的混合运算”，主要内容包括：回顾小学四则混合运算顺序，扩展至含乘方的有理数混合运算规则（先乘方、再乘除、后加减；有括号先算括号内），并通过实际计算（如 ）和“24点”游戏应用规则，结合计算器处理复杂运算及近似值问题。
2. 内容解析
学生已在小学掌握整数、分数的四则混合运算顺序，本章扩充到有理数范围后，需新增乘方运算的优先级。混合运算是解决实际问题（如温差计算、游戏策略）的基础工具，也是后续学习代数式、方程的核心技能。教学重点在于运算顺序的规范性和符号处理的准确性，需通过阶梯式训练强化逻辑链条的严密性。
二、目标和目标解析
1. 目标
(1) 通过对比小学运算规则，归纳有理数混合运算顺序，发展抽象能力和模型思想；
(2) 经历猜想、验证、推理的过程（如证明 ），形成运算能力和推理意识；
(3) 运用规则解决生活问题（如篮球直径计算）和中考题，提升应用意识。
2. 目标解析
达成目标(1)后，学生能准确描述运算顺序的层次关系，并将规则迁移至复杂算式中；目标(2)强调通过符号运算的严谨推导，理解数学逻辑的普适性，为代数证明奠基；目标(3)侧重在实际问题中筛选有效信息并选择运算策略，增强数学建模信心。
三、教学问题诊断分析
顺序混淆：学生易忽视乘方优先性，错误计算如 （实际应为 ）；
符号处理不当：负数参与乘除时符号遗漏，如 误算为 ；
括号作用模糊：对多层括号（如 ）的脱括号顺序不清；
计算器依赖：过度依赖计算器导致近似值与精确值概念混淆（如 ）。
四、教学过程设计
(一) 情景引入
问题1 登山队测量山脚气温为 ，海拔每升高 气温下降 。若攀登至 处，气温是多少？
列式：，引出运算顺序需求。
问题2 “24点”游戏：用数字 凑成24（如 ）。如何制定运算策略？
问题3 计算 ，对比小学算式 ，有何异同？
设计意图：
通过生活问题（气温计算）和游戏激发兴趣，引导学生发现有理数运算的新要素（乘方、负数），明确规则扩展的必要性，对应目标(1)(3)。
(二) 合作探究1
探究1 计算 ，写出步骤并思考：
问：应先算哪部分？
答：先算除法 ，再算乘法 ，最后 。
追问：若改为 ，结果相同吗？为什么？
答：相同，因中括号仅强调优先级，未改变原顺序。
(三) 巩固练习1
计算 ：
解：先乘方 ，再乘法 ，最后 。
计算 ：
解：先除法 ，再乘法 。
答案：(1) ；(2) 。
(四) 合作探究2
探究2 计算 的两种方法：
解法1：先括号内 ，再乘方 ；
解法2：分配律 。
探究3 证明：（）。
证明：
∵ （负负得正），
∴ 结论成立。
设计意图：
通过一题多解和代数证明，深化对运算律普适性的理解，培养推理能力与符号意识，对应目标(2)。
(五) 典例分析
例1 计算：。
解：
乘方：，，；
乘除：，；
加减：。
设计意图：
综合乘方、乘除、加减，训练多步骤运算的条理性，强化顺序记忆，对应目标(1)。
(六) 巩固练习
：
解： → ； → 。
：
解： → ； → ； 。
：
解：， → ； 。
设计意图：
分层练习覆盖乘方、括号、符号处理等易错点，通过即时反馈纠正认知偏差，巩固目标(1)(2)。
(七) 归纳总结
运算类型 优先级 示例 关键点
乘方 最高 底数带括号时符号保留
乘除 次之（从左到右） 同级运算勿跳步
加减 最低 结合律简化计算
括号 最优先 由内向外逐层脱括号
(八) 感受中考
(2023·江苏连云港) 计算：。
解：。
(2022·四川成都) 若 ，则 [ -3 ]。
解：， → （注：原题有误，按常规解法应为 ，但答案为 ，需核对原题）。
(2024·浙江温州) 算式 的值为 [ 16 ]。
解： → → → 。
(2023·北京) 已知 ，求 的值。
解：， → 。
设计意图：
在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。
(九) 小结梳理
知识模块 核心思想 关联应用
运算顺序规则 层级化处理（乘方→乘除→加减） 复杂算式的分步拆解
符号确定策略 “奇负偶正”原则（乘方） 的符号判定
计算器辅助计算 精确值 vs 近似值取舍 实际问题中的合理估算
数学推理验证 代数证明（如 ) 运算律的普遍适用性
(十) 布置作业
必做题
教材P68 习题2.5 第1题：计算
(3) ；
(5) 。
教材P65 随堂练习1(2)：
。
选做题
“24点”挑战：用数字 凑成24（如 ）。
探索：连续对折一根长 的绳子，需对折几次使每段 ？（提示：解 ，得 ）。
五、教学反思
（课后填写）

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