资源简介

5.3 实践与探索 教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课是华东师大版《义务教育教科书·数学》七年级下册第五章“一元一次方程”中的5.3节“实践与探索”，主要内容包括：通过铁丝围长方形、年级捐款分配、师徒合作工程等实际问题，引导学生分析数量关系，建立一元一次方程模型，并运用方程解决生活中的数学问题。重点涉及间接设元、等量关系提取、解方程及结果验证等知识点。
2. 内容解析
本节课是在学生已掌握一元一次方程解法的基础上，进一步学习如何将实际问题抽象为数学模型。通过铁丝围长方形问题，探究周长固定时面积与边长关系；通过捐款问题，训练多变量关系的转化能力；通过工程合作问题，理解工作效率与时间的关系。这些内容不仅强化方程的应用意识，还为后续学习二元一次方程组、分式方程及函数建模奠定基础。
二、目标和目标解析
1. 目标
(1) 能根据实际问题中的数量关系，合理设元并建立一元一次方程模型。
(2) 经历分析、抽象、验证的完整过程，提升数学建模能力和逻辑推理能力。
(3) 在合作探究中体会方程思想的普适性，增强应用意识与创新意识。
2. 目标解析
通过本节课的学习，学生需从具体问题中抽象出等量关系，选择恰当的未知量设元，体会直接设元与间接设元的区别，形成“问题→模型→求解→检验”的思维链条。在解决工程效率、比例分配等复杂问题时，发展分析能力和迁移能力，为后续学习积累经验。
三、教学问题诊断分析
间接设元困难：学生习惯直接设所求量为未知数，但如“长方形面积” “工程报酬”等问题需间接设元，易产生混淆。
等量关系提取不全：涉及多变量的问题（如捐款问题中三个年级的关系），学生易遗漏隐含条件。
单位与实际意义忽略：解方程后忽略验证结果是否符合实际情境（如边长非负、时间合理性等）。
四、教学过程设计
（一）情景引入
问题1
用一根长60 cm的铁丝围成一个长方形。
(1) 若宽是长的 ，长和宽各是多少？
(2) 若宽比长少4 cm，面积是多少？
问题2
新学年某校为灾区捐款，七年级占总数 ，八年级是三个年级的平均数，九年级捐1964元。七、八年级各捐款多少？
问题3
制作广告牌，师傅独做需4天，徒弟独做需6天。若徒弟先做1天，再合作完成，共得报酬900元，如何按工作量分配？
设计意图：
通过生活实例（几何、捐款、工程）激发兴趣，引导学生感知方程建模的广泛性，对应目标（1）和（3）。问题层层递进，为后续探究做铺垫。
（二）合作探究1
探究1 铁丝围长方形问题
教师：问题1(2)中能否直接设面积为 ？
学生：不能，面积与长、宽相关，需先设长或宽。
追问：若设长为 cm，宽如何表示？等量关系是什么？
学生：宽为 cm，等量关系：长宽 → 。
（三）巩固练习1
习题5.3.1-A组1
学校用24 m围栏靠墙建花圃，长比宽多3 m，墙长10 m。求花圃面积。
解析：设宽 m，则长 m。分两种情况：
长靠墙： → ，长=9 m（<10 m，合理），面积=54 m 。
宽靠墙： → ，长=10 m（等于墙长），面积=70 m 。
知识点：分类讨论、周长约束。
习题5.3.2-B组4(1)
检修180 m管道，师傅每小时15 m，徒弟每小时10 m，合作需几小时？
解析：设合作时间 小时，等量关系： → 小时。
知识点：工作效率求和、总量=效率×时间。
（四）合作探究2
探究2 工程报酬问题
教师：问题3中，师傅与徒弟的工作效率如何表示？
学生：师傅效率 /天，徒弟效率 /天。
追问：徒弟先做1天完成多少？剩余工作量如何分配？
猜想：剩余工作量由两人合作完成，按完成比例分配报酬。
验证：
徒弟1天完成 ，剩余 。
合作效率：/天 → 合作时间： 天。
徒弟总工作量：；师傅工作量：。
报酬各得450元。
探究3 一般化证明
若甲效率 ，乙效率 ，乙先做 天后合作，总报酬 元。
乙完成 ，剩余 。
合作时间 ，
报酬分配按工作量比例计算。
设计意图：
通过效率计算和合作时间推导，强化对分式运算和比例关系的理解，提升逻辑推理能力（目标（2））。动态验证增强直观性，突破工程问题难点。
（五）典例分析
例1 年级捐款问题（问题2）
分析：设三个年级总捐款 元。
七年级：；八年级：（平均数即总和的三分之一）；九年级：1964元。
等量关系：。
解：
。
七年级： 元；八年级： 元。
设计意图：
训练多变量关系的转化能力，掌握设总数为未知数的技巧，对应目标（1）。强调验证：，确保结果正确。
（六）巩固练习
习题5.3.2-A组3
一年期储蓄年利率2.25%，本利和20450元，求本金。
解：设本金 元， → 。
知识点：本利和=本金×(1+利率)。
习题5.3.3-A组2
旅客托运35kg行李，行李费按超重部分1.5%票价收，总付1323元，求机票价。
解：设机票价 元， → 。
知识点：分段计费、百分比应用。
习题5.3.3-B组5(1)
小亮与叔叔反向跑，32秒相遇。小亮2圈时叔叔跑3圈，求速度。
解：设小亮速度 m/s，则叔叔速度 m/s。
反向相遇路程和=400 m： → ，叔叔速度7.5 m/s。
知识点：相遇问题、速度比与路程比。
设计意图：
通过利率、行程、计费等综合题型，强化建模能力（目标（1）（2）），提升解决实际问题的灵活性。
（七）归纳总结
问题类型 等量关系 关键步骤
几何问题（长方形） 周长公式、面积公式 分类讨论靠墙情形
比例分配问题 各部分之和=总量 设总量为未知数
工程合作问题 工作量=效率×时间 求效率、分段计算工作量
经济问题 本利和=本金+利息，利润=售价-成本 注意百分比与单位统一
（八）感受中考
(2023·江苏) 某商品进价100元，标价150元，按标价八折出售，利润率是（　　）
A. 20%　　B. 25%　　C. 30%　　D. 50%
答案：A
解析：售价 元，利润 元，利润率 。
(2024·浙江) 甲、乙修路，甲独做10天完成，乙独做15天完成。现合作3天后甲离开，剩余由乙完成，需几天？
答案：7.5天
解析：合作3天完成 ，剩余 由乙完成需 天。
(2022·北京) 圆柱形水池底直径10 m，深4 m。用底直径5 m的圆柱桶运水，需运几次装满？（π取3）
答案：12次
解析：水池容积 ，桶容积 ，次数 。
(2023·福建) 学校购课桌椅60套，每套成本 元。售价每套200元，多购优惠：购72套时每套降价6元，利润与购60套相同。求 。
答案：170元
解析：购60套利润 ；购72套利润 。
等量关系： → 。
设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。
（九）小结梳理
核心思想 方法要点 应用场景
数学建模 从实际中提取等量关系 几何、经济、工程问题
间接设元 设辅助未知数简化方程 多变量比例问题
结果验证 检验解是否符合实际意义 边长非负、时间合理等
（十）布置作业
必做题：
习题5.3.1-A组1（花圃问题）。
习题5.3.2-A组3（储蓄本金问题）。
习题5.3.3-A组2（行李费问题）。
选做题：
习题5.3.3-B组5(2)（同向追及问题）：小亮与叔叔同向跑，预测相遇时间。
提示：速度差为 m/s，路程差400 m，时间 秒。
五、教学反思
（课后填写）

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