资源简介

6.4 实践与探索 教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课选自华东师大版七年级下册第六章“一次方程组”的“6.4 实践与探索”，主要内容是通过两个实际问题（包装盒配套问题与拼图问题）引导学生建立三元一次方程组模型，探索解决方案，并应用消元法求解。学生需掌握配套比例关系的分析、几何图形与代数方程的转化，以及方程组整数解的讨论方法。
2. 内容解析
本节以生活情境为载体，深化三元一次方程组的应用能力。包装盒问题涉及资源分配与比例约束，拼图问题通过面积关系建立方程，体现数形结合思想。通过解决实际问题，学生将理解方程组建模的通用性，提升从具体问题抽象数学关系的能力，为后续学习函数、不等式等奠定基础。
二、目标和目标解析
1. 目标
(1) 能分析实际问题中的数量关系，列出三元一次方程组；
(2) 掌握消元法解方程组，并根据实际意义检验解的合理性；
(3) 探索几何问题中的等量关系，建立方程模型，发展空间想象能力。
2. 目标解析
学生通过设计包装盒用纸方案，理解配套比例（侧面数:底面数=1:2）对解的约束作用；通过拼图问题，体验图形面积与代数方程的关联。目标在于培养学生将复杂问题分解为数学模型的思维习惯，强化运算严谨性，并为后续学习线性规划、几何证明提供方法支撑。
三、教学问题诊断分析
配套比例理解偏差：学生易混淆“1个侧面配2个底面”的比例关系，错误列出方程；
整数解忽视实际约束：包装盒问题中解需为整数且符合纸张分配，学生可能忽略可行性验证；
几何问题代数化困难：拼图问题需从图形中提取隐含条件（如边长关系），部分学生难以建立方程；
多元方程组消元策略选择：面对复杂方程组时，学生可能无法灵活选择代入法或加减法。
四、教学过程设计
(一) 情景引入
问题1
某工厂用20张白卡纸制作包装盒，每张纸可做2个侧面或3个底面。1个盒子需1个侧面和2个底面。如何分配纸张，使侧面和底面恰好配套？
问题2
若允许一张纸裁出1个侧面和1个底面，如何分配才能充分利用纸张且配套？
问题3
小明用8个相同长方形拼成大长方形（图6.4.1），小红拼成正方形（图6.4.2）时中间多出边长为2 mm的小洞。如何求长方形的长和宽？
设计意图：
以生活与趣味问题激发兴趣，引导学生从资源分配（问题1-2）和几何变换（问题3）中抽象数学关系。对应目标(1)(3)，培养建模意识。
(二) 合作探究1
探究1：包装盒配套问题
问题：设 张纸做侧面， 张纸做底面， 张纸裁出1个侧面和1个底面。
总纸数：；
侧面总数：；
底面总数：；
配套比例：侧面数:底面数 = 1:2，即 。
追问：若不裁剪（），方程组如何列？解是否合理？
设计意图：
通过参数设置明确约束条件，强化比例关系分析能力。对应目标(1)(2)。
(三) 巩固练习1
某车间生产桌子，1张桌面配4条桌腿。1 m 木料可做桌面50个或桌腿300条。现有5 m 木料，如何分配使桌面与桌腿配套？
解：设桌面用 m ，桌腿用 m 。
用100元买甜果（9个/11元）和苦果（7个/4元），共买1000个，求各买几个？
解：设甜果 个，苦果 个。
知识点：配套比例、整数解验证。
(四) 合作探究2
探究2：拼图问题
问题：设长方形长 mm、宽 mm。
图6.4.1：大长方形由8个小长方形拼成；
图6.4.2：大正方形边长 ，中间空缺面积 mm 。
面积关系：大正方形面积 = 8个小长方形面积 + 小洞面积
猜想：展开后化简为 。
验证：解得 或 （舍负），故 。
探究3：补充条件
图6.4.1中，大长方形长宽关系为 （横向3个长=纵向5个宽）。联立方程：
设计意图：
通过代数变换将几何问题方程化，渗透数形结合思想。对应目标(3)。
(五) 典例分析
例1：包装盒问题（含裁剪）
设 张纸全做侧面， 张纸全做底面， 张纸裁出1侧1底。
侧面总数底面总数侧面总数底面总数
化简得：
相加消 ： 。
取整数解 （其他解非整数或超限）。
设计意图：
综合消元法与整数解讨论，强化实际约束意识。对应目标(1)(2)。
(六) 巩固练习
配套问题：制作礼盒，1个盒身配2个盒盖。1张纸可做3个盒身或4个盒盖。现有30张纸，如何分配？
解：设盒身用 张，盒盖用 张。
几何问题：6个相同矩形拼成大矩形，若重新拼成正方形时中间空缺边长为3 mm，且原大矩形长宽比为2:1，求小矩形尺寸。
解：设小矩形长 ，宽 。
大矩形长纵向宽，横向长
中考真题（2023·浙江）：餐厅用桌椅，1张桌配4椅。每名工人每天做2桌或8椅。现有10名工人，如何分配使桌椅配套？
解：设做桌 人，做椅 人。
设计意图：
分层练习巩固核心技能，真题对接中考要求。对应目标(1)(2)(3)。
(七) 归纳总结
问题类型 关键等量关系 解题要点
资源配套问题 产品比例（如1:2）、资源总量约束 设未知数→列比例方程→验整数解
几何拼图问题 图形面积差、边长关系 数形转化→完全平方公式
实际应用 成本、时间、效率等综合约束 多目标整合→消元法
(八) 感受中考
（2024·江苏） 用板材做桌椅，1张板可做3桌或5椅，1桌配4椅。现有板材120张，求最多可做多少套？
解：设做桌 张板，做椅 张板。
可做套
（2023·山东） 8个相同矩形拼成正方形时，中间小洞面积为16 mm 。若矩形长比宽多4 mm，求尺寸。
解：设宽 ，长 。
长
（2024·广东） 生产A、B零件，1个A配2个B。工人每天做10个A或15个B。现有工人20名，如何分配？
解：设做A 人，做B 人。
（2023·河南） 用卡纸做盒子，每张可做4个盖或6个底。1个盒子需1盖2底。现有纸100张，求最多可做几个盒子？
解：设盖用 张，底用 张。
可做个
设计意图：
在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。
(九) 小结梳理
知识模块 方法提炼 实际意义
方程组建模 从问题中提取等量关系 资源优化配置
消元法解多元方程 加减消元/代入消元 降维简化问题
解的合理性验证 整数解、非负性、比例匹配 保障方案可行性
(十) 布置作业
必做题
习题6.4 A组第1题（水费计价问题）。
习题6.4 A组第2题（野果加工方案决策）。
选做题
鸡兔同笼问题：笼中有头35个，脚94只，求鸡兔各几只？
提示：设鸡 只，兔 只。
二果问价：用999文钱买甜苦果共1000个，甜果9个11文，苦果7个4文，求各几个？
解：设甜果 个，苦果 个。
五、教学反思
（课后填写）

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