资源简介

人教版初中数学七年级上册第五章一元一次方程
5.3实际问题与一元一次方程教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课选自人教版《义务教育教科书·数学》七年级上册第五章“一元一次方程”第5.3节“实际问题与一元一次方程”，主要内容是通过一元一次方程解决三类典型实际问题：配套问题（如螺栓螺母生产、桌面桌腿制作）、工程问题（如整理图书、铺设管线）和销售问题（如盈亏计算、折扣分析）。学生需掌握从实际问题抽象出等量关系、列方程求解并检验结果合理性的完整过程。
2. 内容解析
学生在已学习一元一次方程解法的基础上，本节重点训练其应用能力。通过分析实际情境中的数量关系（如配套比例、工作量总和、售价与进价关系），引导学生建立方程模型，体会数学建模思想。这一过程既巩固解方程技能，又为后续学习二元一次方程组、不等式及函数奠定应用基础，同时培养抽象能力、推理能力和应用意识。
二、目标和目标解析
1. 目标
(1) 抽象能力：从配套问题、工程问题、销售问题中抽象出等量关系，列出方程。
(2) 推理能力：通过分析数量关系，合理设未知数，验证解的合理性。
(3) 应用意识：用方程解决生活场景中的问题（如生产规划、成本计算），解释解的实践意义。
2. 目标解析
通过本节课，学生将经历“实际问题→数学建模→求解验证→问题解决”的完整过程，提升数学建模素养。在解决配套问题时，理解“数量比例匹配”的等量关系；在工程问题中，掌握“工作量=效率×时间”的模型；在销售问题中，辨析“利润=售价 进价”的核心关系。这些训练为后续学习复杂应用问题提供思维框架，同时增强数学应用信心。
三、教学问题诊断分析
学生可能面临以下困难：
找不准等量关系：例如忽略配套问题中“产品数量比例固定”（如1螺栓配2螺母），误将总数量直接设为等量关系。
设未知数不合理：如在工程问题中未将“人均效率”作为中间桥梁，导致方程复杂。
忽略解的实际意义：解出负数或分数后未检验合理性（如人数不能为分数）。
四、教学过程设计
(一) 情景引入
问题1 某车间22名工人生产螺栓和螺母，1个螺栓需配2个螺母。若每人每天生产1200个螺栓或2000个螺母，如何分配工人使产品刚好配套？
问题2 整理一批图书，1人需40小时完成。现计划部分人先整理4小时，再增加2人整理8小时完成。若每人效率相同，最初应安排几人？
问题3 商店以60元卖出两件衣服，一件盈利25%，另一件亏损25%，总的是盈利还是亏损？
设计意图：
通过生活实例激发兴趣，引导学生感知配套比例、工作量分配、成本核算中的数学关系，对应目标(1)(3)，培养从实际抽象数学模型的能力。
(二) 合作探究1
探究1（配套问题）
问题：制作桌子需1个桌面和4条桌腿。1 m 木材可做20个桌面或400条桌腿。现有12 m 木材，如何分配木材使桌子制作数量最多？
分析：
等量关系：桌腿数量 = 4 × 桌面数量
设做桌面的木材为 m ，则桌腿木材为 m
桌面数量：；桌腿数量：
列方程：
追问：方程两边为何不直接写“桌腿数=4×桌面数”，而要通过木材量转化？
答：桌面和桌腿的生产效率不同，需通过木材用量统一量化。
(三) 巩固练习1
练习1 生产仪器需1个A部件和3个B部件。1 m 钢材可做40个A或240个B。现有6 m 钢材，如何分配使仪器产量最大？
解：设做A部件的钢材为 m ，则B部件为 m 。
等量关系：部件数量部件数量
列方程：
解得 ，。
知识点：配套比例转化为部件数量关系。
练习2 甲组4名工人完成工作量是月定额的4倍多20件，乙组5名工人完成工作量是月定额的6倍少20件。若两组人均工作量相同，求月定额。
解：设月定额为 件。
甲组人均工作量：，乙组：
列方程：
解得 。
知识点：用代数式表示人均工作量，建立等式。
(四) 合作探究2
探究2（工程问题）
问题：铺设地下管线，甲队单独需12天，乙队单独需24天。两队合作需几天？
猜想：合作时间小于12天，因效率叠加。
验证：
设合作需 天，甲效率 ，乙效率
等量关系：工作量之和 = 1
方程：
解得 。
探究3（销售问题）
问题：商品按成本价提高20%标价，再打九折售出得144元。是否盈利？
证明：
设成本为 元，标价 ，售价
由 得
售价144元 > 成本133.33元，故盈利。
设计意图：
通过多类型问题对比，强化寻找核心等量关系（工作量总和、成本利润关系）的能力，对应目标(2)(3)，提升分类建模和推理能力。
(五) 典例分析
例1（配套综合）某车间每天产500个甲零件或250个乙零件。甲乙零件各1个配成一套产品。现用30天制作最多成套产品，甲乙零件各生产几天？
解：
设生产甲零件 天，则乙零件 天
甲数量：，乙数量：
等量关系：甲数量 = 乙数量（因1:1配套）
列方程：
解得 ，。
设计意图：
整合配套与时间分配，训练多变量问题中的等量提取能力，强化目标(1)(2)。
(六) 巩固练习
练习1 复印店A：≤20页每页0.12元，>20页超出部分0.09元；复印店B：一律每页0.1元。复印多少页时费用相同？
解：设页数 （）。
A店费用：，B店：
列方程：
解得 。
练习2 快马每天240里，慢马每天150里。慢马先走12天，快马几天追上？
解：设快马追 天。
慢马总路程：，快马路程：
等量关系：路程相等
方程：
解得 。
练习3 某商品降价20%促销，要使销售总额不变，销量需增加百分之几？
解：设原销量 ，原价 ，现销量需增为 。
等量关系：原总额 现总额
方程：
解得 ，即增加 25%。
设计意图：
通过阶梯计价、追及问题、营销策略等生活场景，深化方程应用，对应目标(3)，培养应用意识。
(七) 归纳总结
问题类型 核心等量关系 关键步骤
配套问题 主件数量 × 比例 = 附件数量 以生产效率统一量化部件
工程问题 各工作量之和 = 总工作量（常设1） 明确效率与时间关系
销售问题 利润 = 售价 进价 区分标价、折扣、成本
(八) 感受中考
（2023·江苏） 工厂生产桌椅，每张桌子配4把椅子。1名工人每天做5张桌子或20把椅子。现有30名工人，如何分配使桌椅配套？
解：设做桌子 人，椅子 人。
桌子数：，椅子数：
方程：
解得 。
（2024·浙江） 书店促销，满100减50，或直接打六折。某书原价 元，何时两种方式支付相同？
解：临界点方程：
解得 （当 时）。
（2023·湖北） 甲、乙合作整理档案需8小时，甲单独需12小时，乙单独需几小时？
解：设乙效率 ，方程：
解得 。
（2024·河南） 服装店售出两件衣服，均卖100元。一件盈利25%，另一件亏损20%，总的是盈利还是亏损？
解：
盈利衣服成本：元
亏损衣服成本：元
总成本 ，故亏损。
设计意图：
在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。
(九) 小结梳理
知识模块 建模思想 典型应用场景
配套问题 比例匹配 → 数量等式 生产规划、物资分配
工程问题 效率叠加 → 工作量守恒 工期计算、合作优化
销售问题 成本利润 → 收支平衡 促销策略、盈亏分析
(十) 布置作业
必做题：
习题5.3第2题（桌腿桌面问题）。
习题5.3第5题（图书整理问题）。
习题5.3第10题（商品降价促销问题）。
选做题：
丢番图墓碑问题（列方程求寿命、当父亲年龄）。
空调能效比较（综合费用=售价+电费×年限）。
五、教学反思
（课后手写补充）

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