资源简介

6.1 二元一次方程组和它的解 教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课选自华东师大版《义务教育教科书·数学》七年级下册第六章“一次方程组”第6.1节“二元一次方程组和它的解”。主要内容包括：理解二元一次方程和二元一次方程组的定义，探索实际问题中的等量关系并建立方程组模型，掌握二元一次方程组解的概念及验证方法。
2. 内容解析
学生已在七年级上册学习了一元一次方程，本节进一步研究含有两个未知数的实际问题。通过足球赛积分、校舍改造等生活情境，抽象出二元一次方程（组）的模型，理解“解”需同时满足两个方程的意义。这为后续学习二元一次方程组的解法（代入法、加减法）及解决复杂应用问题奠定基础，是培养学生数学建模和逻辑推理能力的关键起点。
二、目标和目标解析
1. 目标
(1) 通过分析实际问题中的数量关系，抽象出二元一次方程（组）的概念，发展数学抽象能力。
(2) 经历“尝试检验—列式表达—建立模型”的过程，理解二元一次方程组解的含义，掌握验证解的方法。
(3) 运用二元一次方程组模型解决生活问题，提升应用意识和运算能力。
2. 目标解析
达成目标（1）后，学生能从“胜场数” “平场数” “拆除面积”等实际问题中识别两个未知量及其约束关系，准确列出方程。目标（2）强调通过具体数值代入验证，理解“解”需同时满足所有方程，体会方程组的整体性。目标（3）要求学生迁移知识解决新情境问题（如速度、价格问题），为后续学习提供思维工具。
三、教学问题诊断分析
抽象建模困难：学生难以从文字描述中提取两个独立的等量关系（如“总场数=胜+平+负” “总分=3×胜+1×平”）。
解的概念混淆：易将一元一次方程的解直接迁移，忽略二元一次方程组的解需满足所有方程。
验证过程疏漏：部分学生验证解时仅代入一个方程，忽略双重验证的必要性。
四、教学过程设计
（一）情景引入
问题1 暑假足球邀请赛中，比赛规则：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。勇士队参赛9场，负2场，总积17分。该队胜、平各几场？
问题2 上述问题中有哪些已知量？未知量是什么？等量关系如何表述？
问题3 若设胜场数为 ，平场数为 ，如何用数学式子表示等量关系？
设计意图：以学生熟悉的体育赛事为背景，激发兴趣。通过问题链引导学生逐步抽象出数学模型，对应目标（1），培养从实际情境中提取数学信息的能力。
（二）合作探究1
探究1 根据问题3，列出方程并填写表格：
胜场 平场 合计
场数
得分
追问：方程 和 有何共同特征？能否合并为一个整体？
（三）巩固练习1
判断下列方程是否为二元一次方程：
(1)
(2)
(3)
答：(1) 是；(2) 否（次数为2）；(3) 否（次数为2）。
货车和摩托车的速度和为 100 km/h，货车速度是摩托车的 。设摩托车速为 km/h，货车速为 km/h，列出方程组。
答：
（四）合作探究2
探究2 尝试给 赋值，检验哪组值同时满足方程组：
猜想： 可能是解。
验证：
代入方程①： → 成立；
代入方程②： → 成立。
探究3 二元一次方程组的解如何定义？能否举例说明？
结论：使方程组中每个方程左右两边值相等的未知数的值，称为方程组的解。
设计意图：通过具体数值操作理解解的本质，强化“双重验证”的思维，对应目标（2）。
（五）典例分析
例1 校舍改造问题：某校计划拆除旧校舍，新建校舍使总面积增加 30%。新建面积是拆除面积的 4 倍。设拆除面积为 m ，新建面积为 m ，列出方程组并验证解。
解：
等量关系：
① 新建面积比拆除面积多 ： ；
② 新建面积是拆除面积的 4 倍： 。
验证 ：
→ 成立；
→ 成立。
设计意图：综合训练建模能力，强调解的实际意义，对应目标（3）。
（六）巩固练习
甲、乙两数和为 14，甲数的 比乙数的 2 倍少 7，求两数。
解：设甲数为 ，乙数为 。
知识点：从倍数关系中提取等量条件。
若时装单价是皮装单价的 1.4 倍，5 件皮装比 3 件时装贵 700 元，求单价。
解：设皮装单价 元，时装单价 元。
知识点：价格比较中的差值关系。
已知三组数值：
组别
哪组是方程组 的解？
答：仅 同时满足两方程。
设计意图：分层练习强化建模、求解与验证能力，覆盖全部教学目标。
（七）归纳总结
知识点 核心要点
二元一次方程 含两个未知数，未知数项次数为 1
二元一次方程组 两个二元一次方程的组合
方程组的解 需同时满足所有方程的一对未知数值
验证解的方法 代入每一个方程检验
（八）感受中考
（2023·山东）若 ，则 ____。
答：6（两式相加得 ，，）。
（2024·江苏）某养殖场鸡兔同笼，头共 30，脚共 88。设鸡 只，兔 只，列出方程组为 ____。
答：。
（2023·浙江）已知方程组 的解是 ，则 ____。
答：-1（解得 ）。
（2024·福建）实验室用浓度为 5% 和 40% 的盐水配制 20% 的盐水 200g。需两种盐水各多少克？设需 5% 盐水 g，40% 盐水 g，方程组正确的是（ ）。
A.
B.
答：A（总质量与溶质质量守恒）。
设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。
（九）小结梳理
知识模块 关联点
一元一次方程 二元一次方程的拓展基础
方程组的解 多个约束条件的公共解
实际问题建模 数学与生活的桥梁
（十）布置作业
必做题：
习题 6.1 A 组第 1 题（列出方程组即可）。
习题 6.1 A 组第 2 题（验证解）。
选做题：
习题 6.1 B 组第 3 题（邮资问题）：
设本市学生 人，外地学生 人，列方程组：
五、教学反思
（课后填写）

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