资源简介

5.2.1 等式的性质与方程的简单变形 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是华东师大版《义务教育教科书·数学》七年级下册第五章“一元一次方程”5.2节“解一元一次方程”的起始内容。核心内容包括：回顾等式的基本性质（性质1：等式两边加（减）同一个数或整式，结果仍是等式；性质2：等式两边乘（除）同一个不为零的数，结果仍是等式）；理解方程的变形规则（基于等式性质，规则1：方程两边加（减）同一个数或整式，方程的解不变；规则2：方程两边乘（除）同一个不为零的数，方程的解不变）；掌握利用方程的简单变形（移项、系数化为1）解简单的一元一次方程。
2.内容解析
本节课是在学生小学阶段接触过简易方程的基础上，系统学习解一元一次方程的理论基础和基本方法。等式的基本性质是解方程的根本依据，为后续学习方程（组）及不等式提供核心的理论支撑。方程的变形规则是将等式性质应用于解方程的具体操作指南。移项（实质是应用规则1合并同类项前的步骤）和系数化为1（应用规则2）是解一元一次方程最基础、最关键的两步变形，是后续解更复杂方程的基础工具。理解变形规则与等式性质的内在联系，掌握规范的变形步骤，是本节课的核心任务，也是培养学生代数思维和运算能力的重要起点。
二、目标和目标解析
1.目标
(1) 借助天平平衡的直观模型或具体数字等式，准确复述并理解等式的基本性质，能举例说明性质的应用。
(2) 能根据等式的基本性质推导出方程的变形规则，并运用规则（移项、系数化为1）正确、规范地解形如 ， ()， () 的简单一元一次方程，发展运算能力。
(3) 在解方程的过程中，体会“转化”的数学思想（将复杂方程转化为 的形式），初步感知程序化操作的合理性，培养有条理的思维习惯和代数推理意识。
2.目标解析
通过本节课的学习，学生应能将抽象的等式性质与具体的方程求解过程建立牢固联系，明确每一步变形的理论依据（规则对应性质），避免机械操作。熟练掌握移项（注意符号变化）和系数化为1（注意除数不为零）的操作规范是达成运算能力目标的关键。在经历“观察性质→推导规则→应用变形→求解验证”的过程中，学生应初步形成运用代数规则进行逻辑推理的意识，为后续系统学习一元一次方程的解法、列方程解应用题以及更深入的代数学习奠定坚实的思维基础和能力基础。
三、教学问题诊断分析
学生在学习本课时可能面临以下问题：
对等式性质理解表面化：可能仅能记忆条文，难以在具体变形（特别是涉及符号变化、分数系数时）中主动、准确地应用性质判断变形是否正确。
移项操作易错：对“移项要变号”的理解可能停留在口诀记忆，不清楚其本质是等式性质1（两边同减/加被移项），导致符号错误（如 移项得 ）。
系数化为1的困惑：当未知数系数为分数或负数时，如何运用等式性质2（两边同乘/除）进行变形容易出错（如解 时，两边除以 -5 写成 ；解 时，对两边除以 等同于乘 的操作不熟练）。
步骤规范性问题：解题过程书写随意，缺少必要的文字说明（如“移项，得”、“合并同类项，得”、“系数化为1，得”），或省略关键步骤（如合并同类项），导致逻辑不清或计算错误。
四、教学过程设计
（一）情景引入
问题1 同学们，还记得小学学过的“等式”吗？比如 。如果我们在这个等式两边都加上2，会得到什么？ (，即 ) 结果还是等式吗？如果两边都减去1呢？ (，即 ) 这说明了等式的什么特点？
问题2 想象一个平衡的天平。左边放一个质量为 的物体，右边放一个质量为 的物体，天平平衡，说明 (如图5.2.1)。如果在天平左右两边都加上质量相同的砝码 (如图5.2.2)，天平还会平衡吗？这对应等式可以做什么变形？如果左右两边都拿走质量相同的砝码 (相当于都减去 ) 呢？
问题3 还是这个平衡的天平 ()。如果把左右两边物体的质量都扩大到原来的3倍 (如图5.2.3)，天平还平衡吗？这对应等式可以做什么变形？如果两边都缩小到原来的 (相当于都除以2) 呢？这里对“缩小”操作有什么限制？(不能除以0)
设计意图： 从数字实例和直观的天平模型入手，激活学生关于等式性质的已有经验。通过问题链引导学生观察、思考等式保持不变的两种基本操作（加/减同量、乘/除同非零量），为抽象出等式基本性质奠定基础。此环节旨在落实目标(1)，培养学生的直观感知和抽象概括能力，体会数学源于生活实际。
（二）合作探究1
探究1 根据刚才的讨论，你能总结出等式的基本性质吗？请用自己的话描述。
答：性质1：等式两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。即 如果 ，那么 ， 。
性质2：等式两边都乘以（或都除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式。即 如果 ，那么 ， ()。
追问： 方程（如 ）也是等式（含有未知数的等式）。我们解方程的目标是什么？(求出未知数 的值，即找到使等式成立的 ) 那么，利用等式的基本性质对方程进行变形，保证变形后的新方程的解和原方程相同，是不是就能帮助我们最终得到解 的形式？
（引导学生意识到等式性质是解方程的依据）
（三）巩固练习1
判断下列说法是否正确，并说明理由（依据等式性质）：
(1) 由 可以得到 。 (正确。性质1，两边同减2)
(2) 由 可以得到 。 (正确。性质2，两边同乘 或同除以 -3)
(3) 由 可以得到 。 (正确。性质2，两边同除以2)
(4) 由 可以得到 。 (正确。性质2，两边同乘6： => )
填空使结果仍是等式，并说明依据的等式性质：
(1) 如果 ，那么 。 (性质1，两边同加2)
(2) 如果 ，那么 。 (性质1，两边同加 )
(3) 如果 ，那么 。 (性质2，两边同除以2)
(4) 如果 ，那么 。 (性质2，两边同乘2)
（四）合作探究2
探究2 等式性质是我们解方程的工具。我们把它们应用到方程上，就得到了方程的变形规则：
规则1：方程两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，方程的解不变。
规则2：方程两边都乘以（或都除以）同一个不等于0的数，方程的解不变。
现在，我们用这些规则来解简单方程。
例：解方程 。
解：根据规则1，为了使左边只剩下 ，可以在方程两边都加上 5：
合并同类项（或直接计算）：
检验：把 代入原方程，左边 ，右边 ，左边=右边，所以 是原方程的解。
追问： 解方程 。观察，左边有 ，右边有 ，怎样能让含有 的项都在一边？两边都减去 试试看？
解：两边都减去 (规则1)：
合并同类项：
检验：左边 ，右边 ，左边=右边，所以 是解。
猜想： 观察上面两个方程的解法，第一步变形（ 实质是抵消-5； 实质是把右边的 移到左边并变号）有什么共同特点？是否相当于把方程中的项从一边移到另一边，同时改变它的符号？
验证： 再看规则1：两边同加(减)一个数或整式。例如解 时，两边同减 ，相当于把右边的 项“搬到”左边，并且符号由“+”变成了“-”（因为减 等价于加 ）。这种变形叫做移项(transposition)。移项的作用是：把含有未知数的项移到方程的一边（通常是左边），常数项移到方程的另一边（通常是右边）。移项一定要变号！
探究3： 再看方程 和 。经过移项（如果必要）后，目标是把 前面的系数变成1。怎么利用规则2？
解：
根据规则2，两边都除以 ：
即
解：
根据规则2，两边都除以 (或等价地，两边都乘 )：
(或 ) 这种将未知数系数化为1的变形是解方程的最后关键一步。
设计意图： 将抽象的等式性质具体化为解方程的规则，并通过典型例题（ ， ， ）示范应用规则1（移项）和规则2（系数化1）的规范步骤。通过追问引导学生观察、猜想移项操作的特征及依据，明确“移项要变号”是规则1应用的必然结果，避免死记硬背。探究3强调系数化为1的操作规范，特别是处理分数和负数系数。此环节旨在落实目标(2)，培养学生的代数运算技能和运用规则进行推理的能力，体会程序化操作的逻辑性。
（五）典例分析
例1 解方程： 。
分析： 方程两边都含有未知数 的项，需要移项将它们合并到一边。常数项 在右边暂时不动。
解：
移项，得 (将右边的 移到左边，变号)
合并同类项，得
系数化为1，得 (两边同除以6)
检验： 左边 ，右边 ，左边=右边。所以 是方程的解。
例2 解方程： 。
分析： 方程写成了“常数 = 含x项 + 常数”的形式。通常习惯把含x项放在左边。可以把 看作一个整体，或者直接移项。
解：
方法一：看作整体。根据规则1，两边先减去8：
系数化为1，两边同除以2：
或
方法二：移项。将 移到左边变号，将 移到右边变号？不，目标是x在左边。更好的移项是：将右边的 看作要移到左边？或者将左边的常数6移到右边，将右边的常数8移到左边？更清晰的是：把所有的常数项移到右边，所有的含x项移到左边。原方程即 。
移项（把 移到左边变号，把 移到右边变号？）：
系数化为1，两边同除以 ：
检验： 右边 ，左边 ，左边=右边。所以 是方程的解。
(强调：移项的目的是合并同类项，最终目标是将方程化为 () 的形式。例2展示了处理非标准形式方程的灵活性，但最终步骤仍是移项、合并、系数化1。方法一更直接体现了规则1的应用)
例3 解方程： 。
分析： 方程含有分数系数和常数项，需要移项将含y项和常数项分别合并，再进行系数化1。移项时注意分数项符号的变化。
解：
移项，得 (将右边的 移到左边变号，将左边的 移到右边变号)
合并同类项：
左边：
右边：
所以：
系数化为1，两边同除以 (或同乘 )：
检验： (略，鼓励学生课后完成) 所以 是方程的解。
(强调：处理分数系数时，移项和合并同类项要仔细计算；系数化为1时，除以分数等于乘以其倒数)
设计意图： 通过三个典型例题，示范利用移项和系数化1解一元一次方程的完整步骤和规范书写。例1展示标准形式；例2展示非标准形式（常数=表达式）的处理方法，强调灵活性；例3引入分数系数，提高计算要求，巩固运算技能。解题过程明确标注步骤依据（移项、合并、系数化1）并强调检验习惯。此环节旨在深化目标(2)，提升学生解方程的熟练度和规范性，同时通过例3落实运算能力的培养。
（六）巩固练习
判断变形正误并改正：
(1) 由 ，得 。 (错误。移项未变号，应为 )
(2) 由 ，得 。 (错误。系数化1错误，应为 )
(3) 由 ，得 。 (错误。系数化1错误，应为 )
(4) 由 ，得 。 (错误。移项错误，应为 或 )
解下列方程：
(1)
解： 移项，得 ， 合并，得 。
(2)
解： 移项，得 ， 合并，得 。
(3)
解： 系数化为1，两边同除以 -5，得 。
(4)
解： 系数化为1，两边同乘4（或除以 )，得 。
解下列方程：
(1)
解： 移项，得 ， 系数化1，得 。
(2)
解： 移项，得 ， 合并，得 ， 系数化1，得 。
(3)
解： 移项，得 ， 合并，得 ， 系数化1，两边同除以 -2，得 。
设计意图： 练习1针对常见错误进行辨析，强化对等式性质、移项法则、系数化1操作的理解和应用准确性。练习2、3提供不同层次的习题进行训练，从最基础的 ， 到稍复杂的 ，巩固移项、合并同类项、系数化为1的基本功，特别是符号处理和分数运算。通过及时练习反馈，检测学生对核心技能的掌握程度，发现问题并进行针对性强化，有效落实目标(2)的运算能力要求。
（七）归纳总结
核心概念 内容要点 解方程中的应用
等式基本性质 性质1： 等式两边加(减)同一个数或整式，结果仍是等式。 性质2： 等式两边乘(除)同一个非零数，结果仍是等式。 解方程变形的理论基础。
方程变形规则 规则1： 方程两边加(减)同一个数或整式，解不变。 规则2： 方程两边乘(除)同一个非零数，解不变。 解方程的操作依据。
移项 把方程中的项从一边移到另一边，必须改变该项的符号。 目的：合并同类项（使含未知数的项在方程一边，常数项在另一边）。 本质：应用规则1。
系数化为1 将未知数的系数通过乘或除变为1。 目的：得到最终解 。 本质：应用规则2。
解方程基本步骤 1. 移项 (将含未知数的项移到方程左边，常数项移到右边，移项必变号)。 2. 合并同类项 (化简为 形式)。 3. 系数化为1 (两边同除以未知数系数 , )。 规范步骤保证求解正确性和逻辑清晰性。
检验 将求得的解代入原方程，看左右两边是否相等。 验证解的正确性。
(表格下方回车)
（八）感受中考
(2024·江苏某地模拟改编) 解方程： 。
解： 移项，得 ， 合并，得 。
知识点： 移项、合并同类项解一元一次方程。
(2023·湖南株洲) 解方程： 。
解： 系数化为1，两边同乘 ，得 。
知识点： 利用等式性质2（系数化为1）解形如 的方程，涉及分数系数运算。
(2024·浙江杭州模拟改编) 解方程： 。
解： 移项，得 ， 合并，得 ， 系数化为1，两边同除以 -1.5 (或乘 )，得 。
知识点： 移项、合并含小数系数的项、系数化为1解一元一次方程。
(2022·四川成都) 已知关于 的方程 的解是 ，则 的值是 ( )。
A. B. C. D.
解： 把 代入方程： ， 即 。 移项，得 ， 。 系数化为1，得 。 故选 A。
知识点： 理解方程解的概念，利用解构造新方程并求解（移项、系数化1）。
设计意图： 在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。
（九）小结梳理
知识模块 相互关系
等式性质 核心基础 ↓ (指导)
方程变形规则 直接依据 (规则1 ← 性质1) (规则2 ← 性质2) ↓ (体现为)
解方程操作 移项 (规则1应用 → 目的：合并同类项) → 系数化为1 (规则2应用) → 解 ↑ (保证)
检验 验证保障
核心思想 转化思想： 利用等式性质，通过一系列等价变形（移项、合并、系数化1），将复杂方程逐步转化为最简形式 。
能力要求 运算能力： 移项变号、合并同类项（系数运算）、分数小数运算、系数化1。 推理能力： 明确每一步变形的依据（规则对应性质）。
(表格下方回车)
（十）布置作业
1. 必做题：
(1) 课本习题5.2.1 A组 第1题：
解下列方程：
① (提示：可移项化为 或先移项使含x项在左： )
②
③ (提示：先合并左边同类项)
④
⑤
⑥ (提示：先合并右边同类项)
(2) 课本习题5.2.1 A组 第2题：
解下列方程：
①
② (提示：先合并左边含x项)
③
④
2. 选做题：
(1) 课本习题5.2.1 B组 第3题：
已知 , 。
① 当 取何值时, (列方程 求解)
② 当 取何值时, 比 大4 (列方程 即 求解)
(2) 思考题：方程 与我们今天解的方程在形式上有何不同？如何利用等式性质去掉分母？(提示：两边同乘一个数，使分母消失。这个数是多少？3.5和4的最小公倍数？)
五、教学反思
（课后根据课堂教学实际情况填写）

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