5.3 实践与探索 教学设计 2024—2025学年华东师大版数学七年级下册

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5.3 实践与探索 教学设计 2024—2025学年华东师大版数学七年级下册

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5.3 实践与探索 教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课选自华东师大版《义务教育教科书·数学》七年级下册第五章“一元一次方程”中的“5.3 实践与探索”,主要内容是通过一元一次方程解决三类实际问题:铁丝围长方形问题、年级捐款分配问题、师徒合作工程问题。学生需掌握根据数量关系设未知数、寻找等量关系列方程、解方程并验证结果合理性的完整建模过程。
2. 内容解析
本节是在学生已掌握一元一次方程解法的基础上,进一步学习如何将实际问题抽象为数学模型。通过分析周长固定时长与宽的关系、比例分配问题、合作工作效率问题,培养学生从具体情境中提取数学信息、建立等量关系的能力。这些问题是后续学习二元一次方程组、分式方程及函数应用的重要基础,突出数学建模思想在解决现实问题中的价值。
二、目标和目标解析
1. 目标
(1) 数学建模能力:能根据问题中的数量关系设未知数,准确列出方程。
(2) 逻辑推理能力:通过分析等量关系(如周长公式、比例分配、工作量之和),掌握解应用题的思维路径。
(3) 迁移应用能力:能解决变式问题(如改变比例、增减条件),并解释结果的合理性。
2. 目标解析
通过铁丝围长方形问题,学生体会固定周长下面积与边长的关系,理解“设元”的多样性(如设长或设宽),为后续优化问题埋下伏笔。在年级捐款问题中,学生需灵活处理比例与平均数的关系,提升多角度设元的能力。师徒合作问题则强调“工作量=效率×时间”的模型应用,为工程问题提供通用解法。最终,学生能独立完成“问题—方程—解答—检验”的闭环,形成严谨的数学思维习惯。
三、教学问题诊断分析
找不准等量关系:部分学生难以从文字描述中提取关键数量关系(如“宽比长少4 cm”隐含“长-宽=4”)。
忽视实际约束:如铁丝围长方形时忽略“长、宽为正数”,或工程问题中忽略“合作效率叠加”。
处理比例能力弱:在变式训练中,若涉及比例(如体积比1:2),学生易混淆部分与整体的关系。
四、教学过程设计
(一) 情景引入
问题1
用一根长60 cm的铁丝围长方形。
(1) 若宽是长的 ,求长和宽;
(2) 若宽比长少4 cm,求面积;
(3) 比较(1)(2)中两个长方形的面积大小,还能围出更大面积吗?
问题2
改为“宽比长少3 cm、2 cm、1 cm、0 cm”,面积如何变化?
问题3
阅读材料:周长固定时,正方形面积最大。为什么?若用铁丝围成任意封闭图形,面积最大的是什么图形?
设计意图:
通过生活实例(围铁丝)激发兴趣,引导学生从算术思维转向方程思维。问题(3)渗透“数形结合”思想,为后续函数最值问题做铺垫,对应目标(1)(2)。
(二) 合作探究1
探究1
新学年某校为灾区捐款,七年级占总数 ,八年级是三个年级的平均数,九年级捐1964元。求七、八年级捐款数。
追问:
设哪个量为未知数最简便?
“八年级是平均数”指什么?(总和÷3)
师生问答:
师:设总捐款为 元,则七年级捐多少?
生:。
师:八年级是平均数,如何表示?
生:。
师:九年级1964元,总捐款方程如何列?
生:。
(三) 巩固练习1
问题:
某商品成本40元,售价60元;另一商品成本38元,售价54元。两商品共售出3000 kg,总利润4.2万元。若商品A每袋1 kg,商品B每袋2 kg,求各售出多少袋?
解析:
设商品A售 袋,则商品B售 袋(注意单位统一)。
利润方程:。
答案:商品A售1000袋,商品B售1000袋。
问题:
师徒检修180 m管道,师傅每小时15 m,徒弟每小时10 m。合作需几小时完成?
解析:
合作效率: m/h。
时间方程: → 小时。
答案:7.2小时。
(四) 合作探究2
探究2
师傅单独完成工程需4天,徒弟需6天。徒弟先做1天,再合作完成,总报酬900元按工作量分配,如何分?
追问:
师徒工作效率各是多少?
徒弟先做1天完成多少?剩余工作量如何计算?
猜想:
徒弟效率:/天,师傅效率:/天。
验证:
徒弟1天完成 ,剩余 。
合作效率:/天。
合作时间: 天。
探究3:分配方案
徒弟总工作量:。
师傅工作量:。
报酬:各450元。
设计意图:
通过工作量计算,强化“效率×时间=总量”模型,并渗透公平分配原则,对应目标(2)(3)。
(五) 典例分析
例1 底面直径5 cm、高18 cm的圆柱瓶装满水,倒入直径6 cm、高10 cm的杯中,能否装满?
解:
体积比较:
瓶容积: cm 。
杯容积: cm 。
结论: → 装不下。
剩余水位:
剩余水量: cm 。
瓶底面积: cm 。
水面高度: cm。
设计意图:
融合几何体积与方程思想,培养学生综合应用能力,对应目标(3)。
(六) 巩固练习
问题:
长方体橡皮泥(4 cm×3 cm×2 cm)捏成底面半径1.5 cm的圆柱,求圆柱高。()
解:
体积不变: cm 。
圆柱底面积: cm 。
高: cm。
问题:
机票托运:免费20 kg,超重部分按机票价1.5%/kg收费。旅客托运35 kg,总付1323元,求机票价。
解:
设机票价 元,超重15 kg。
方程: → → 元。
问题:
制作小旗:原计划一半人每天做40面。完成 后全员参与,提前1.5天完成。求总旗数。
解:
设总旗数 面,原计划天数 。
前半程: → 关系复杂,需分步列式(略)。
设计意图:
通过多背景问题(几何、经济、工程),强化建模能力,对应目标(1)(3)。
(七) 归纳总结
问题类型 等量关系 关键步骤
铁丝围长方形 长 + 宽 = 半周长 设元注意比例关系
年级捐款分配 各部分之和 = 总量 灵活设总数为
师徒合作工程 工作量 = 效率 × 时间 合作效率为效率之和
(八) 感受中考
(2023·青海) 某商品按标价八折售出,利润率为20%。若进价100元,求标价。
解:设标价 元,方程: → 元。
(2024·广西) 师徒合作修路,师傅独做需10天,徒弟独做需15天。现合作5天后徒弟离开,剩余由师傅完成,求总天数。
解:合作5天完成 ,剩余 师傅需 天,总计 天。
(2022·浙江) 用长80 cm铁丝围长方形,长比宽多10 cm,求面积。
解:设宽 cm,则长 cm,方程: → → 面积 cm 。
(2023·江苏) 七年级植树占全校 ,八年级占 ,九年级植120棵,求全校总数。
解:设总数 ,方程: → 棵。
设计意图:在学习完知识后加入中考真题练习,不仅可以帮助学生明确考试方向,熟悉考试题型,检验学习成果,提升应考能力,还可以提升学生的学习兴趣和动力。
(九) 小结梳理
核心思想 应用场景 易错点
方程建模 几何问题、经济问题 忽略实际约束条件
效率叠加 工程合作问题 未统一工作量单位
比例分配 捐款、资源分配 混淆部分与整体关系
(十) 布置作业
必做题:
课本习题5.3.1 A组第1题(花圃问题)。
课本习题5.3.2 A组第2题(人均住房增长率问题)。
选做题:
杆秤实验:
轻绳固定点距秤钩10 mm,秤砣20 g。
若秤钩质量5 g,挂物体 g时,秤砣应距固定点多远?(提示:杠杆平衡原理)
五、教学反思
(课后填写)

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