资源简介

5.3 实践与探索 教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课选自华东师大版《义务教育教科书·数学》七年级下册第五章“一元一次方程”中的“5.3 实践与探索”，主要内容是通过一元一次方程解决三类实际问题：铁丝围长方形问题、年级捐款分配问题、师徒合作工程问题。学生需掌握根据数量关系设未知数、寻找等量关系列方程、解方程并验证结果合理性的完整建模过程。
2. 内容解析
本节是在学生已掌握一元一次方程解法的基础上，进一步学习如何将实际问题抽象为数学模型。通过分析周长固定时长与宽的关系、比例分配问题、合作工作效率问题，培养学生从具体情境中提取数学信息、建立等量关系的能力。这些问题是后续学习二元一次方程组、分式方程及函数应用的重要基础，突出数学建模思想在解决现实问题中的价值。
二、目标和目标解析
1. 目标
(1) 数学建模能力：能根据问题中的数量关系设未知数，准确列出方程。
(2) 逻辑推理能力：通过分析等量关系（如周长公式、比例分配、工作量之和），掌握解应用题的思维路径。
(3) 迁移应用能力：能解决变式问题（如改变比例、增减条件），并解释结果的合理性。
2. 目标解析
通过铁丝围长方形问题，学生体会固定周长下面积与边长的关系，理解“设元”的多样性（如设长或设宽），为后续优化问题埋下伏笔。在年级捐款问题中，学生需灵活处理比例与平均数的关系，提升多角度设元的能力。师徒合作问题则强调“工作量=效率×时间”的模型应用，为工程问题提供通用解法。最终，学生能独立完成“问题—方程—解答—检验”的闭环，形成严谨的数学思维习惯。
三、教学问题诊断分析
找不准等量关系：部分学生难以从文字描述中提取关键数量关系（如“宽比长少4 cm”隐含“长－宽=4”）。
忽视实际约束：如铁丝围长方形时忽略“长、宽为正数”，或工程问题中忽略“合作效率叠加”。
处理比例能力弱：在变式训练中，若涉及比例（如体积比1:2），学生易混淆部分与整体的关系。
四、教学过程设计
(一) 情景引入
问题1
用一根长60 cm的铁丝围长方形。
(1) 若宽是长的 ，求长和宽；
(2) 若宽比长少4 cm，求面积；
(3) 比较(1)(2)中两个长方形的面积大小，还能围出更大面积吗？
问题2
改为“宽比长少3 cm、2 cm、1 cm、0 cm”，面积如何变化？
问题3
阅读材料：周长固定时，正方形面积最大。为什么？若用铁丝围成任意封闭图形，面积最大的是什么图形？
设计意图：
通过生活实例（围铁丝）激发兴趣，引导学生从算术思维转向方程思维。问题(3)渗透“数形结合”思想，为后续函数最值问题做铺垫，对应目标(1)(2)。
(二) 合作探究1
探究1
新学年某校为灾区捐款，七年级占总数 ，八年级是三个年级的平均数，九年级捐1964元。求七、八年级捐款数。
追问：
设哪个量为未知数最简便？
“八年级是平均数”指什么？（总和÷3）
师生问答：
师：设总捐款为 元，则七年级捐多少？
生：。
师：八年级是平均数，如何表示？
生：。
师：九年级1964元，总捐款方程如何列？
生：。
(三) 巩固练习1
问题：
某商品成本40元，售价60元；另一商品成本38元，售价54元。两商品共售出3000 kg，总利润4.2万元。若商品A每袋1 kg，商品B每袋2 kg，求各售出多少袋？
解析：
设商品A售 袋，则商品B售 袋（注意单位统一）。
利润方程：。
答案：商品A售1000袋，商品B售1000袋。
问题：
师徒检修180 m管道，师傅每小时15 m，徒弟每小时10 m。合作需几小时完成？
解析：
合作效率： m/h。
时间方程： → 小时。
答案：7.2小时。
(四) 合作探究2
探究2
师傅单独完成工程需4天，徒弟需6天。徒弟先做1天，再合作完成，总报酬900元按工作量分配，如何分？
追问：
师徒工作效率各是多少？
徒弟先做1天完成多少？剩余工作量如何计算？
猜想：
徒弟效率：/天，师傅效率：/天。
验证：
徒弟1天完成 ，剩余 。
合作效率：/天。
合作时间： 天。
探究3：分配方案
徒弟总工作量：。
师傅工作量：。
报酬：各450元。
设计意图：
通过工作量计算，强化“效率×时间=总量”模型，并渗透公平分配原则，对应目标(2)(3)。
(五) 典例分析
例1 底面直径5 cm、高18 cm的圆柱瓶装满水，倒入直径6 cm、高10 cm的杯中，能否装满？
解：
体积比较：
瓶容积： cm 。
杯容积： cm 。
结论： → 装不下。
剩余水位：
剩余水量： cm 。
瓶底面积： cm 。
水面高度： cm。
设计意图：
融合几何体积与方程思想，培养学生综合应用能力，对应目标(3)。
(六) 巩固练习
问题：
长方体橡皮泥（4 cm×3 cm×2 cm）捏成底面半径1.5 cm的圆柱，求圆柱高。（）
解：
体积不变： cm 。
圆柱底面积： cm 。
高： cm。
问题：
机票托运：免费20 kg，超重部分按机票价1.5%/kg收费。旅客托运35 kg，总付1323元，求机票价。
解：
设机票价 元，超重15 kg。
方程： → → 元。
问题：
制作小旗：原计划一半人每天做40面。完成 后全员参与，提前1.5天完成。求总旗数。
解：
设总旗数 面，原计划天数 。
前半程： → 关系复杂，需分步列式（略）。
设计意图：
通过多背景问题（几何、经济、工程），强化建模能力，对应目标(1)(3)。
(七) 归纳总结
问题类型 等量关系 关键步骤
铁丝围长方形 长 + 宽 = 半周长 设元注意比例关系
年级捐款分配 各部分之和 = 总量 灵活设总数为
师徒合作工程 工作量 = 效率 × 时间 合作效率为效率之和
(八) 感受中考
(2023·青海) 某商品按标价八折售出，利润率为20%。若进价100元，求标价。
解：设标价 元，方程： → 元。
(2024·广西) 师徒合作修路，师傅独做需10天，徒弟独做需15天。现合作5天后徒弟离开，剩余由师傅完成，求总天数。
解：合作5天完成 ，剩余 师傅需 天，总计 天。
(2022·浙江) 用长80 cm铁丝围长方形，长比宽多10 cm，求面积。
解：设宽 cm，则长 cm，方程： → → 面积 cm 。
(2023·江苏) 七年级植树占全校 ，八年级占 ，九年级植120棵，求全校总数。
解：设总数 ，方程： → 棵。
设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。
(九) 小结梳理
核心思想 应用场景 易错点
方程建模 几何问题、经济问题 忽略实际约束条件
效率叠加 工程合作问题 未统一工作量单位
比例分配 捐款、资源分配 混淆部分与整体关系
(十) 布置作业
必做题：
课本习题5.3.1 A组第1题（花圃问题）。
课本习题5.3.2 A组第2题（人均住房增长率问题）。
选做题：
杆秤实验：
轻绳固定点距秤钩10 mm，秤砣20 g。
若秤钩质量5 g，挂物体 g时，秤砣应距固定点多远？（提示：杠杆平衡原理）
五、教学反思
（课后填写）

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