资源简介 5.3 实践与探索 教学设计一、内容和内容解析1. 内容本节课选自华东师大版《义务教育教科书·数学》七年级下册第五章“一元一次方程”中的“5.3 实践与探索”,主要内容是通过一元一次方程解决三类实际问题:铁丝围长方形问题、年级捐款分配问题、师徒合作工程问题。学生需掌握根据数量关系设未知数、寻找等量关系列方程、解方程并验证结果合理性的完整建模过程。2. 内容解析本节是在学生已掌握一元一次方程解法的基础上,进一步学习如何将实际问题抽象为数学模型。通过分析周长固定时长与宽的关系、比例分配问题、合作工作效率问题,培养学生从具体情境中提取数学信息、建立等量关系的能力。这些问题是后续学习二元一次方程组、分式方程及函数应用的重要基础,突出数学建模思想在解决现实问题中的价值。二、目标和目标解析1. 目标(1) 数学建模能力:能根据问题中的数量关系设未知数,准确列出方程。(2) 逻辑推理能力:通过分析等量关系(如周长公式、比例分配、工作量之和),掌握解应用题的思维路径。(3) 迁移应用能力:能解决变式问题(如改变比例、增减条件),并解释结果的合理性。2. 目标解析通过铁丝围长方形问题,学生体会固定周长下面积与边长的关系,理解“设元”的多样性(如设长或设宽),为后续优化问题埋下伏笔。在年级捐款问题中,学生需灵活处理比例与平均数的关系,提升多角度设元的能力。师徒合作问题则强调“工作量=效率×时间”的模型应用,为工程问题提供通用解法。最终,学生能独立完成“问题—方程—解答—检验”的闭环,形成严谨的数学思维习惯。三、教学问题诊断分析找不准等量关系:部分学生难以从文字描述中提取关键数量关系(如“宽比长少4 cm”隐含“长-宽=4”)。忽视实际约束:如铁丝围长方形时忽略“长、宽为正数”,或工程问题中忽略“合作效率叠加”。处理比例能力弱:在变式训练中,若涉及比例(如体积比1:2),学生易混淆部分与整体的关系。四、教学过程设计(一) 情景引入问题1用一根长60 cm的铁丝围长方形。(1) 若宽是长的 ,求长和宽;(2) 若宽比长少4 cm,求面积;(3) 比较(1)(2)中两个长方形的面积大小,还能围出更大面积吗?问题2改为“宽比长少3 cm、2 cm、1 cm、0 cm”,面积如何变化?问题3阅读材料:周长固定时,正方形面积最大。为什么?若用铁丝围成任意封闭图形,面积最大的是什么图形?设计意图:通过生活实例(围铁丝)激发兴趣,引导学生从算术思维转向方程思维。问题(3)渗透“数形结合”思想,为后续函数最值问题做铺垫,对应目标(1)(2)。(二) 合作探究1探究1新学年某校为灾区捐款,七年级占总数 ,八年级是三个年级的平均数,九年级捐1964元。求七、八年级捐款数。追问:设哪个量为未知数最简便?“八年级是平均数”指什么?(总和÷3)师生问答:师:设总捐款为 元,则七年级捐多少?生:。师:八年级是平均数,如何表示?生:。师:九年级1964元,总捐款方程如何列?生:。(三) 巩固练习1问题:某商品成本40元,售价60元;另一商品成本38元,售价54元。两商品共售出3000 kg,总利润4.2万元。若商品A每袋1 kg,商品B每袋2 kg,求各售出多少袋?解析:设商品A售 袋,则商品B售 袋(注意单位统一)。利润方程:。答案:商品A售1000袋,商品B售1000袋。问题:师徒检修180 m管道,师傅每小时15 m,徒弟每小时10 m。合作需几小时完成?解析:合作效率: m/h。时间方程: → 小时。答案:7.2小时。(四) 合作探究2探究2师傅单独完成工程需4天,徒弟需6天。徒弟先做1天,再合作完成,总报酬900元按工作量分配,如何分?追问:师徒工作效率各是多少?徒弟先做1天完成多少?剩余工作量如何计算?猜想:徒弟效率:/天,师傅效率:/天。验证:徒弟1天完成 ,剩余 。合作效率:/天。合作时间: 天。探究3:分配方案徒弟总工作量:。师傅工作量:。报酬:各450元。设计意图:通过工作量计算,强化“效率×时间=总量”模型,并渗透公平分配原则,对应目标(2)(3)。(五) 典例分析例1 底面直径5 cm、高18 cm的圆柱瓶装满水,倒入直径6 cm、高10 cm的杯中,能否装满?解:体积比较:瓶容积: cm 。杯容积: cm 。结论: → 装不下。剩余水位:剩余水量: cm 。瓶底面积: cm 。水面高度: cm。设计意图:融合几何体积与方程思想,培养学生综合应用能力,对应目标(3)。(六) 巩固练习问题:长方体橡皮泥(4 cm×3 cm×2 cm)捏成底面半径1.5 cm的圆柱,求圆柱高。()解:体积不变: cm 。圆柱底面积: cm 。高: cm。问题:机票托运:免费20 kg,超重部分按机票价1.5%/kg收费。旅客托运35 kg,总付1323元,求机票价。解:设机票价 元,超重15 kg。方程: → → 元。问题:制作小旗:原计划一半人每天做40面。完成 后全员参与,提前1.5天完成。求总旗数。解:设总旗数 面,原计划天数 。前半程: → 关系复杂,需分步列式(略)。设计意图:通过多背景问题(几何、经济、工程),强化建模能力,对应目标(1)(3)。(七) 归纳总结问题类型 等量关系 关键步骤铁丝围长方形 长 + 宽 = 半周长 设元注意比例关系年级捐款分配 各部分之和 = 总量 灵活设总数为师徒合作工程 工作量 = 效率 × 时间 合作效率为效率之和(八) 感受中考(2023·青海) 某商品按标价八折售出,利润率为20%。若进价100元,求标价。解:设标价 元,方程: → 元。(2024·广西) 师徒合作修路,师傅独做需10天,徒弟独做需15天。现合作5天后徒弟离开,剩余由师傅完成,求总天数。解:合作5天完成 ,剩余 师傅需 天,总计 天。(2022·浙江) 用长80 cm铁丝围长方形,长比宽多10 cm,求面积。解:设宽 cm,则长 cm,方程: → → 面积 cm 。(2023·江苏) 七年级植树占全校 ,八年级占 ,九年级植120棵,求全校总数。解:设总数 ,方程: → 棵。设计意图:在学习完知识后加入中考真题练习,不仅可以帮助学生明确考试方向,熟悉考试题型,检验学习成果,提升应考能力,还可以提升学生的学习兴趣和动力。(九) 小结梳理核心思想 应用场景 易错点方程建模 几何问题、经济问题 忽略实际约束条件效率叠加 工程合作问题 未统一工作量单位比例分配 捐款、资源分配 混淆部分与整体关系(十) 布置作业必做题:课本习题5.3.1 A组第1题(花圃问题)。课本习题5.3.2 A组第2题(人均住房增长率问题)。选做题:杆秤实验:轻绳固定点距秤钩10 mm,秤砣20 g。若秤钩质量5 g,挂物体 g时,秤砣应距固定点多远?(提示:杠杆平衡原理)五、教学反思(课后填写) 展开更多...... 收起↑ 资源预览