资源简介

10.3　实际问题与二元一次方程组（第1课时）
　　1．能找出实际问题中的已知量和未知量，分析它们之间的数量关系，列方程组求解．
　　2．会用二元一次方程组解决实际问题，掌握列方程组解决实际问题的一般步骤．
　　3．经历探索用二元一次方程组解决实际问题的过程，进一步提高分析问题、解决问题的能力，体会数学建模思想．
　　探究用二元一次方程组解决实际问题的过程．
　　能寻找相等关系并列出方程组，能用方程组的解解释实际问题．
知识回顾
　　1．解二元一次方程组的基本思想是 消元 ．
　　2．解二元一次方程组的基本方法有 代入消元法 和 加减消元法 ．
　　3．列一元一次方程解决实际问题的一般步骤：
　　（1）审：弄清题意，分清已知量和未知量，并找出相等关系．
　　（2）设：设未知数，并用含有未知数的式子表示出其他相关量．
　　（3）列：根据相等关系列出方程．
　　（4）解：通过解方程，求出未知数的值．
　　（5）验：检验所得的未知数的值是不是所列方程的解，是否符合题意．
　　（6）答：根据题意写出答案．
　　【师生活动】教师出示题目，学生独立作答．
　　【设计意图】复习学过的解二元一次方程组和列一元一次方程解决实际问题的相关知识，巩固基础，引出本节课的学习内容“用二元一次方程组解决实际问题”．
新知探究
一、探究学习
　　【问题】养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940 kg．饲养员李大叔估计每头大牛1天需饲料18～20 kg，每头小牛1天需饲料7～8 kg．你能通过计算检验他的估计吗？
　　【思考】如何理解“通过计算检验他的估计”这句话？
　　【师生活动】学生自由发言，教师提示学生：对于估算的结果要通过精确求值来检验．学生根据提示补充回答：要想检验估计是否准确，需要分别计算出1头大牛和1头小牛1天约用的饲料量．
　　【思考】题目中有哪些未知量？
　　【师生活动】师生一起分析题目，找出题目中的未知量：1头大牛1天约用的饲料量和1头小牛1天约用的饲料量．
　　【思考】题目中有哪些相等关系？
　　【师生活动】教师引导学生找出题目中的关键信息，学生独立思考，得到答案：
　　30头大牛1天约用的饲料量＋15头小牛1天约用的饲料量＝675 kg；
　　(30＋12)头大牛1天约用的饲料量＋(15＋5)头小牛1天约用的饲料量＝940 kg．
　　【思考】如何用二元一次方程组表示上面的两个相等关系？
　　【师生活动】教师给出分析，学生小组讨论，完成填空．
　　【分析】设每头大牛1天约用饲料x kg，每头小牛1天约用饲料y kg，那么30头大牛和15头小牛1天约用饲料 (30x＋15y) kg，(30＋12)头大牛和(15＋5)头小牛1天约用饲料 (42x＋20y) kg．
　　用二元一次方程组表示：
　　【设计意图】通过问题串的形式，引导学生学会分析问题，找出两个相等关系，并能根据两个相等关系列出二元一次方程组，让学生体会方程组在解决实际问题中的工具作用，渗透数学模型的思想．
　　【思考】饲养员李大叔的估计正确吗？
　　【师生活动】学生独立解出方程组，教师引导学生对比计算结果和李大叔的估计，得到结论．
　　【答案】解：设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料x kg和y kg．
　　由题意，得方程组
　　化简，得解得
　　这就是说，每头大牛1天约需饲料20 kg，每头小牛1天约需饲料5 kg．
　　因此，饲养员李大叔对大牛的食量估计较准确，对小牛的食量估计偏高．
　　【设计意图】引导学生用方程组的解分析、解释实际问题．
　　【追问】列一元一次方程能解决这个问题吗？
　　【师生活动】学生独立思考，完成作答．
　　【答案】解：设每头大牛1天约用饲料x kg，则每头小牛1天约用饲料 kg．
　　由题意，得方程(30＋12)x＋(15＋5)×＝940．解得x＝20．
　　所以＝＝5．
　　这就是说，每头大牛1天约需饲料20 kg，每头小牛1天约需饲料5 kg．
　　因此，饲养员李大叔对大牛的食量估计较准确，对小牛的食量估计偏高．
　　【设计意图】引导学生对比，发现列二元一次方程组比列一元一次方程简单，让学生体会有两个未知量时，列二元一次方程组更简单．
　　【问题】随着养牛场规模逐渐扩大，李大叔需聘请饲养员协助管理现有的42头大牛和20头小牛．现有A，B两种岗位，已知A岗位的饲养员每人负责8头大牛和4头小牛，B岗位的饲养员每人负责5头大牛和2头小牛，请问李大叔应聘请A，B两种岗位的饲养员各多少人？
　　【师生活动】学生小组讨论，完成作答．
　　【答案】解：设李大叔应聘请A岗位的饲养员x人，B岗位的饲养员y人．
　　由题意，得方程组解得
　　答：李大叔应聘请A岗位的饲养员4人，B岗位的饲养员2人．
　　【思考】列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是什么？
　　【师生活动】教师引导学生回顾如何分析数量关系，发现相等关系，选择适当的未知数，并列出方程组，学生总结列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤，教师用框图补充说明．
　　【新知】列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
　　（1）审：弄清题中的已知量、未知量，找出题中的相等关系．
　　（2）设：恰当地设未知数．
　　（3）列：根据（1）中的相等关系列方程组．
　　（4）解：正确地解方程组．
　　（5）验：检验解是不是原方程组的解且符合题意．
　　（6）答：答案要完整且单位统一．
　　【设计意图】让学生经历列方程组解决实际问题的完整过程，总结运用方程组建立数学模型、解决实际问题的一般步骤．
二、典例分析
　　【例1】《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，则木长多少尺？
　　【师生活动】学生独立思考，并小组讨论，尝试进行解答，教师给予帮助．
　　【答案】解：设木长x尺，绳子长y尺．
　　由题意，得解得
　　答：木长6.5尺．
　　【归纳】对于二元一次方程组问题，应设两个未知数，找出两个相等关系，列两个方程，组成二元一次方程组计算．
　　【设计意图】通过例题，让学生学会用二元一次方程组解决古代数学问题．
　　【例2】已知A，B两件服装的成本共500元，某服装店老板分别以30％和20％的利润率定价后进行销售，该服装店共获利130元，问A，B两件服装的成本各是多少元？
　　【师生活动】学生独立思考，完成作答，教师讲评．
　　【答案】解：设A服装的成本为x元，B服装的成本为y元．
　　由题意，得解得
　　答：A服装的成本为300元，B服装的成本为200元．
　　【归纳】销售问题中的利润和折扣问题的题目背景与现实生活紧密相连，分析题目时应注意：商品的售价＝商品的进价＋利润＝(1＋利润率)×进价．因此，解决此类问题时要弄清进价、售价、利润率、折扣等专业名词的含义，并按数量关系列出方程组．
　　【设计意图】通过例题，让学生学会用二元一次方程组解决销售问题．
课堂小结
课后任务
　　完成教材第101页练习第1题．10.3　实际问题与二元一次方程组（第2课时）
　　1．巩固列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤，会用方程组解决几何问题．
　　2．通过解决开放性问题学会多角度思考问题．
　　3．探究较难的实际问题，提升分析数量关系、解方程组的能力，体会数学建模思想．
　　会用二元一次方程组解决几何问题，并能用方程组的解解释实际问题．
　　能寻找相等关系并列出方程组．
新课导入
　　1．列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是什么？
　　【师生活动】教师出示题目，学生独立作答：
　　列方程组解决实际问题的一般步骤：
　　（1）审：弄清题中的已知量、未知量，找出题中的相等关系．
　　（2）设：恰当地设未知数．
　　（3）列：根据（1）中的相等关系列方程组．
　　（4）解：正确地解方程组．
　　（5）验：检验解是不是原方程组的解且符合题意．
　　（6）答：答案要完整且单位统一．
　　【设计意图】复习学过的列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤，巩固基础．
　　2．如图．（1）将长方形纸片折成面积之比为11的两个小长方形，有多少种折法？
　　（2）将长方形纸片折成面积之比为12的两个小长方形，有多少种折法？
　　【师生活动】教师出示题目，学生动手操作，完成作答．
　　【答案】解：（1）如图，将长方形纸片折成面积之比为11的两个小长方形，有2种折法．
　　（2）如图，将长方形纸片折成面积之比为12的两个小长方形，有4种折法．
　　【设计意图】让学生通过动手操作，知道按面积分割长方形的问题可转化为分割边长的问题，激发学生的学习兴趣，为学习建立二元一次方程组模型解决几何问题作准备．
新知探究
一、探究学习
　　【问题】据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是12．现要把一块长200 m、宽100 m的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是34？
　　【思考】如何求甲、乙两种作物的总产量？
　　【师生活动】学生独立思考作答：总产量＝单位面积产量×面积．
　　【思考】甲、乙两种作物的总产量的比与种植面积的比有什么关系？
　　【师生活动】教师带领学生分析题目的关键信息：
　　＝，＝，
　　所以＝，
　　即甲、乙两种作物的总产量的比等于甲作物的种植面积与乙作物的种植面积的2倍的比．
　　【思考】根据上面的分析可知，本题研究的是长方形面积的分割问题，你能画出示意图帮助自己理解吗？
　　【师生活动】学生动手画出示意图，与教师展示的图片对比，教师给出分析．
　　【分析】如图，一种种植方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE．此时设AE＝x m，BE＝y m，根据问题中涉及长度、产量的数量关系，即可列出方程组．
　　【设计意图】通过问题串的形式，引导学生学会分析几何问题，找出数量关系．
　　【思考】你能列出方程组，并求出x，y的值吗？
　　【师生活动】学生独立列出方程组，并解方程组．
　　【答案】解：如图，一种种植方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE．此时设AE＝x m，BE＝y m．
　　由题意，得方程组
　　化简，得
　　解得
　　【思考】如何表述你的种植方案？
　　【师生活动】学生自由发言，互相启发，不断补充完善种植方案，师生一起总结：
　　过长方形土地的长边上距一端80 m处，作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地．较大一块土地种甲种作物，较小一块土地种乙种作物．
　　【设计意图】让学生学会如何利用方程组的解解释几何问题．
　　【追问】还有其他设计方案吗？
　　【师生活动】学生小组讨论，完成作答．
　　【答案】解：如图，另一种种植方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形ABFE和EFCD．此时设AE＝x m，DE＝y m．
　　由题意，得方程组
　　化简，得
　　解得
　　过长方形土地的短边上距一端40 m处，作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地．较大一块土地种甲种作物，较小一块土地种乙种作物．
　　【设计意图】一题多解，引导学生体会思维的多样性．
　　【追问】列一元一次方程能解决这个问题吗？
　　【师生活动】学生独立思考，完成作答．
　　【答案】解：①如图，一种种植方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE．此时设AE＝x m，则BE＝(200－x)m．
　　由题意，得方程100x[2×100×(200－x)]＝34，
　　解得x＝120．
　　所以200－x＝200－120＝80．
　　过长方形土地的长边上距一端80 m处，作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地．较大一块土地种甲种作物，较小一块土地种乙种作物．
　　②如图，一种种植方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形ABFE和EFCD．此时设AE＝x m，则DE＝(100－x)m．
　　由题意，得方程200x[2×200×(100－x)]＝34，
　　解得x＝60．
　　所以100－x＝100－60＝40．
　　过长方形土地的短边上距一端40 m处，作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地．较大一块土地种甲种作物，较小一块土地种乙种作物．
　　【问题】你认为列二元一次方程组解决实际问题和列一元一次方程解决实际问题有哪些相同点和不同点？
　　【师生活动】教师引导学生对比总结．
　　【归纳】（1）能列二元一次方程组解决的实际问题，一般都可以列一元一次方程解决．但是，随着实际问题中未知量的增多和数量关系的复杂化，列方程组更加简单直接，一般问题中有几个相等关系就可以列出几个方程．
　　（2）两者的相同点是都需要先分析题意，把实际问题转化为数学问题（设未知数，列方程或方程组），再检验解的合理性，进而得到实际问题的解．这一过程就是建模的过程．
　　【设计意图】让学生发现列方程组比列一元一次方程简单，进一步体会建模思想，理解建模的一般步骤．
二、典例分析
　　【例1】某服装厂用某种布料生产一批某种款式的秋装，已知2 m布料可做衣身3个或衣袖5只，现计划用132 m这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应怎样分配布料才能使衣身和衣袖恰好配套？
　　【师生活动】学生独立思考，并小组讨论，尝试进行解答．
　　【答案】解：设用x m布料做衣身，用y m布料做衣袖．
　　由题意，得解得
　　答：用60 m布料做衣身，用72 m布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套．
　　【归纳】用二元一次方程组解决配套问题
　　生产中的配套问题有很多，例如，螺栓和螺母的配套，桌面与桌腿的配套，衣身与衣袖的配套等；各种配套都有一定的数量比例，在本例中，准确找出相等关系“衣身数量×2＝衣袖数量”是解题的关键．
　　【设计意图】通过例题，让学生学会用二元一次方程组解决配套问题．
　　【例2】如图，用10块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，则每块地砖的长和宽分别是多少？
　　【师生活动】学生独立思考，完成作答，教师讲评．
　　【答案】解：设每块地砖的长为x cm，宽为y cm．
　　由题意，得解得
　　答：每块地砖的长为48 cm，宽为12 cm．
　　【归纳】列二元一次方程组解决有关图形的问题时，常借助数形结合思想，发现各种量之间的关系，找出相等关系，从而列方程组解决问题．
　　【设计意图】通过例题，让学生巩固用二元一次方程组解决几何问题．
课堂小结
课后任务
完成教材第103页练习第1~3题．10.3　实际问题与二元一次方程组（第3课时）
　　1．巩固列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤，会用列表的方式分析问题中蕴含的数量关系，能列二元一次方程组解决方案设计类问题．
　　2．在解决问题的过程中，体会列表在正确理解题意、分析较复杂的数量关系、顺利列出方程组中的作用，知道有些问题设间接未知数便于分析问题、列方程组，渗透应用意识，体会方程组是解决实际问题的有效工具．
　　会用表格辅助分析问题；能设间接未知数解决实际问题．
　　能分析复杂问题中的数量关系．
知识回顾
如图，丝路纺织厂与A，B两地由公路、铁路相连．这家纺织厂从A地购进一批长绒棉运回工厂，每吨运费29元，再把制成的纺织面料从工厂运到B地销售，每吨的运费为32元，试求铁路、公路运价分别为多少元/(t·km)？
　　【师生活动】教师提示：“多少元／(t·km)”指的是“每吨每千米多少元”，学生根据提示独立思考作答．
　　【答案】解：设铁路、公路运价分别为x元/(t·km)和y元/(t·km)．
　　由题意，得方程组
　　解得
　　答：铁路、公路运价分别为0.2元/(t·km)和0.5元/(t·km)．
　　【设计意图】复习前面学过的列二元一次方程组解决简单的实际问题，巩固基础，激发学生的学习兴趣，引出本节课学习的“列二元一次方程组解决复杂的实际问题”．
新知探究
一、探究学习
　　【问题】如图，丝路纺织厂与A，B两地由公路、铁路相连．这家纺织厂从A地购进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运往B地．已知长绒棉的进价为3.08万元/t，纺织面料的出厂价为4.25万元/t，公路运价为0.5元/(t·km)，铁路运价为0.2元/(t·km)，且这两次运输共支出公路运费5 200元，铁路运费16 640元．那么这批纺织面料的销售额比原料费（原料费只计长绒棉的价格）与运输费的和多多少元？
　　【思考】要求“这批纺织面料的销售额比原料费与运输费的和多多少元？”我们必须知道什么？
　　【师生活动】教师带领学生分析题目的关键信息：销售额与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关．因此，我们必须知道产品数量和原料数量．
　　教师提问：怎样设未知数？
　　学生独立思考，设出未知数：设制成x t产品，购买y t原料．
　　教师追问：本题涉及的量较多，这种情况下常用列表的方式分析问题．本题涉及哪两类量呢？
　　学生小组讨论作答：一类是公路运费、铁路运费、价值；另一类是产品数量、原料数量．
　　【设计意图】使学生明确在直接设要求的量为未知数不容易列方程组时，应设间接未知数；让学生认识到，解较复杂的实际问题时，可以用列表的方式分析问题中蕴含的数量关系．
　　【思考】你能根据题中数量关系完成下表吗？
x t长绒棉 y t纺织面料 合计
公路运费/元
铁路运费/元
价值/元
　　【师生活动】学生先独立思考，教师给出题中涉及的数量关系：总价＝单价×数量，运输费＝数量×运价×距离．
　　学生根据数量关系，小组讨论，完成表格：
x t长绒棉 y t纺织面料 合计
公路运费/元 0.5×10x 0.5×20y 0.5(10x＋20y)
铁路运费/元 0.2×120x 0.2×110y 0.2(120x＋110y)
价值/元 3.08x 4.25y
　　【思考】你发现相等关系了吗？如何列方程组并求解？
　　【师生活动】学生独立思考，列出方程组：
　　【答案】解：设制成x t产品，购买y t原料．
　　由题意，得方程组
化简，得
解得
　　所以丝路纺织厂从A地购买了4000 t长绒棉，制成320 t纺织面料运往B地．
　　【思考】这批纺织面料的销售额比原料费与运输费的和多多少元？
　　【答案】销售额：4.25y＝4.25×320＝1 360（万元）；
　　原料费：3.08x＝3.08×400＝1 232（万元）；
　　运输费：5 200＋16 640＝21 840（元）；
　　13 600 000－(12 320 000＋21 840)＝1 258 160（元）．
　　这批纺织面料的销售额比原料费与运输费的和多1 258 160元．
　　【归纳】从以上探究可以看出，方程组是解决含有多个未知数问题的重要工具．用方程组解决问题时，要根据问题中的数量关系列出方程组，求出方程组的解后，应进一步考虑它是否符合问题的实际意义．
　　若在直接设要求的量为未知数不容易列方程（组）时，应设间接未知数，求得未知数的值后再计算要求的量．
　　【设计意图】通过问题，引导学生学会利用表格分析复杂问题，找出两个相等关系，并能根据两个相等关系列出二元一次方程组，让学生体会列表在正确理解题意、分析较复杂的数量关系、顺利列出方程组中的作用，加深对数学建模思想的理解．
　　【问题】一个农机服务队有技术员工和辅助员工共15人，技术员工人数是辅助员工人数的2倍．服务队计划对员工发放奖金共计20 000元．按每名技术员工A元和每名辅助员工B元两种标准发放，其中A，B均不小于800，且A不小于B，并且A，B都是100的整数倍．（注：农机服务队是一种农业机械化服务组织，为农民提供耕种、收割等有偿服务．）
　　（1）求该农机服务队中技术员工和辅助员工的人数；
　　（2）求本次奖金发放的具体方案．
　　【师生活动】教师给出分析，学生独立思考，完成填空．
　　【分析】（1）①由“服务队有技术员工和辅助员工共15人”得相等关系：　技术员工人数＋辅助员工人数＝15　．由“技术员工人数是辅助员工人数的2倍”得相等关系：　技术员工人数＝辅助员工人数×2　．
　　②设该农机服务队有技术员工x人，辅助员工y人，根据①中的相等关系可列方程组 解得 即该农机服务队有技术员工　10　人，辅助员工　5　人．
　　（2）①由“服务队计划对员工发放奖金共计20 000元”得相等关系：　技术员工总奖金＋辅助员工总奖金＝20 000元　．据此可列出关于A，B的二元一次方程：　10A＋5B＝20 000　．
　　②因为A≥B≥800，且A，B都是100的整数倍，
　　所以当B＝800时，A＝　1 600　；
　　当B＝900时，A＝　1 550　（A不是100的整数倍，舍去）；
　　当B＝1 000时，A＝　1 500　；
　　当B＝1 100时，A＝　1 450　（A不是100的整数倍，舍去）；
　　当B＝1 200时，A＝　1 400　；
　　当B＝1 300时，A＝　1 350　（A不是100的整数倍，舍去）；
　　当B＝1 400时，A＝　1 300　（A＜B，舍去）；
　　由此再取下去都不符合题意．
　　所以本次奖金发放的具体方案有3种：
　　方案1：技术员工每人　1 600　元，辅助员工每人800元；
　　方案2：技术员工每人　1 500　元，辅助员工每人1 000元；
　　方案3：技术员工每人　1 400　元，辅助员工每人1 200元．
　　【归纳】要求两个量，且已知两个相等关系，一般列二元一次方程组即可求解；若要求两个量，且只知一个相等关系，则一般列二元一次方程，然后根据问题的实际情况讨论得出符合题意的结果．
　　【设计意图】让学生体会列二元一次方程组解决方案设计类问题的一般步骤．
二、典例分析
　　【例题】某工厂去年的总产值比总支出多500万元．由于今年总产值比去年增加15％，总支出比去年节约10％，因此，今年总产值比总支出多950万元．今年的总产值和总支出各是多少万元？
　　【师生活动】学生独立思考，并小组讨论，尝试进行解答，教师给予指导．
　　【分析】解决此类问题要先明确几个基本关系：（1）增长量＝原有量×增长率；
（2）原有量＝现有量－增长量；（3）现有量＝原有量×(1＋增长率)．再根据相等关系列方程组．
　　【答案】解：设去年总产值是x万元，总支出是y万元，列表如下：
总产值/万元 总支出/万元 差/万元
去年 x y 500
今年 (1＋15％)x (1－10％)y 950
　　由题意，得
　　解得
　　所以(1＋15％)x＝2 300，(1－10％)y＝1 350．
　　答：今年的总产值是2 300万元，总支出是1 350万元．
　　【归纳】画表格巧解增长率问题
　　在此类数量关系比较复杂的增长率题目中，仅靠想象寻找相等关系或列方程组，难免会出现顾此失彼的情况，如果能借助表格分析，将会更容易理清解题思路，从而列出方程组．
　　【设计意图】通过例题，让学生掌握用列表的方式分析问题中蕴含的数量关系，巩固列二元一次方程组解决复杂的问题的一般步骤．
课堂小结
课后任务
　　完成教材第104页练习第1~3题．

展开更多......

收起↑