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第06讲 有理数的乘法与除法
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．会进行有理数的乘法运算，能用乘法运算律简化运算； 2．会把有理数的除法运算转化成乘法运算； 3. 会进行有理数的乘除混合运算。
1.认识有理数的乘法法则
小试牛刀：
（1） （2）6×2=
（3）（+5）×（-2）= （4）0×（-1）=
2.有理数的乘法运算律：
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换 的位置，积相等，即：ab＝ba．
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把 相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．
（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数 同这两个数相乘，
再把积 ．即：a(b+c)＝ab+ac．
3.倒数的意义： 乘积是 的两个数互为倒数．
（1）“互为倒数”的两个数是 的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的；
（2）0和任何数相乘都不等于1，因此0 倒数；
（3）倒数的结果必须化成 ，使分母中不含小数和分数；
（4）互为倒数的两个数必定 . (同为正数或同为负数)．
4.认识有理数除法法则：
注：1.解题时要灵活运用有理数的除法法则，一般能整除则直接整除，不能整除的则转化为有理数的乘法运算；2.除法运算应注意商的符号；3若遇小数可化为分数，若遇带分数应化为假分数。
小试牛刀：
（2）
（3） （4）
考点一：有理数的乘法运算
例1．计算的结果为（ ）
A．2024 B． C． D．
【变式1-1】下列各式中积为正的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】如果，，，那么 ．
【变式1-3】计算：
(1)
(2)
考点二：有理数乘法运算律
例2 下边是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（ ）
①
②
③
A．解题运用了乘法交换律 B．从①步开始出错
C．从②步开始出错 D．从③步开始出错
【变式2-1】简化计算，应该运用（ ）
A．加法交换律 B．加法结合律
C．乘法对加法的分配律 D．乘法结合律
【变式2-2】 ．
【变式2-3】下面各题怎样简便就怎样算
(1)
(2)
(3)
(4)
考点三：有理数乘法的应用
例3. 在弹性范围内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比．若一根弹簧挂上物体时长，挂上物体时长，则挂上物体时长（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】高度每增加1千米，气温就下降，现在地面气温是，那么离地面高度为7千米的高空的气温是（ ）．
A． B． C． D．
【变式3-2】深圳市出租车的收费标准是起步价10元（行程小于或等于2千米），超过2千米每增加1千米（不足1千米按1千米计算）加收元，小鸣从深圳市体育中心打车去深圳图书馆，百度地图显示行程约为千米，则出租车费约为 元．
【变式3-3】某特技飞行队在某风景区进行特技表演．其中一架飞机起飞后高度变化如下，其中上升记为正，下降记为负：
，，，，
(1)最终这架飞机比起飞点高了多少千米？
(2)若飞机平均上升1千米需消耗4升燃油，平均下降1千米需消耗2升燃油，不计飞机的损耗，每升燃油价格是6.5元．那么这架飞机在这5个特技动作表演后，一共花费多少元？
(3)若这架飞机做完5个特技后，又做两个表演动作，这两个动作不确定是上升还是下降，只知道产生的高度变化分别是0.8km和1.7km，请你求出这两个表演动作结束后飞机离地面的高度．
考点四：倒数
例4．的倒数是（ ）
A． B．2024 C． D．
【变式4-1】的倒数的相反数是（ ）
A．2020 B． C． D．
【变式4-2】的相反数是 ，的绝对值是 ，的倒数是 ．
【变式4-3】阅读以下材料，完成相关的填空和计算．
(1)根据倒数的定义我们知道，若，则__________；
(2)计算：；
(3)根据以上信息可知＝________．
考点五：有理数的除法运算
例5 的结果是（ ）
A． B．6 C．2 D．
【变式5-1】计算的结果等于（ ）
A．3 B． C．2 D．
【变式5-2】已知、、都是有理数，其中为正数，若代数式的值为，则代数式的值为 ．
【变式5-3】计算题
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
考点六：有理数除法的应用
例6.某市区今年共购买了13辆电动清洁能源车，至少在同一个月购买车的辆数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式6-1】如图，一个拧紧瓶盖的瓶子里装有一些水，根据图中数据，可以算出瓶中水的体积占瓶子容积的（ ）．

A． B． C． D．
【变式6-2】根据工信部组织修订的《电动自行车安全技术规范》强制性国家标准，电动自行车最高设计车速不超过25公里/小时．已知张老师家距学校5千米，在不违反交通规则的情况下，张老师骑电动自行车从家到学校所需时间至少有 分钟．
【变式6-3】李老师买了一辆小轿车，他连续7天记录了他家小轿车每天行驶的路程，以50km为标准，超过或不足部分分别用正数、负数表示，得到的数据如下（单位：km）：
，，，0，，+41，+8
(1)请求出李老师家小轿车这七天平均每天行驶的路程；
(2)若已知该轿车每行驶100km耗用汽油6L，且汽油价格为每升7.7元，请你根据第（1）题估计李老师家一个月（按30天算）的汽油费用．
考点七：有理数乘除混合运算
例7．计算的结果是（ ）
A．8 B． C．2 D．
【变式7-1】给出下列等式：
①；
②；
③；
④．
其中正确的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式7-2】如图，正方形的边长为4，已知正方形覆盖了三角形面积的，而三角形覆盖了正方形面积的一半，那么三角形的面积是 ．
【变式7-3】计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
1．已知两个有理数，，如果且，那么（ ）
A．， B．，
C．，同号 D．，异号，且正数的绝对值较大
2．运用了（ ）
A．加法交换律 B．乘法结合律
C．乘法分配律 D．乘法交换律和结合律
3．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．的倒数是（ ）
A． B． C． D．2024
5．如图，数轴上点A、B、C分别表示数a、b、c，．有下列结论：①；②；③；④；则其中结论正确的序号是（　　）
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
6．甲乙丙三位同学合乘一辆滴滴车去顺路的三个地点，事先约定三人根据路程分摊车费，甲在全程的四分之一处下车，甲下车时，乙离下车点还有一半的路程，丙坐完全程．已知乙支付了18元车费，则三人一共支付多少车费？（ ）
A．36元 B．48元 C．63元 D．81元
7．对于有理数、，定义运算，则的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
8．小明与小刚规定了一种新运算“”：若，是有理数，则，小明计算出，请帮小刚计算 ．
9．在如图的长方形内，有四对正方形（标号相同的两个正方形为一对），每一对是相同的正方形，那么中间这个小正方形（阴影部分）的面积为
10．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则 0（填“”“”“”或“”）．
11．如图，在长为 20 米，宽为 15 米的池塘上修建宽为2 米的横向与纵向的观景道路，则道路的面积为 平方米．
12．对于有理数，，定义新运算“”，规则如下：，如．
(1)求的值．
(2)请你判断交换律在“”运算中是否成立？并给出证明．
13．某特技飞行队进行特技表演，飞机高度的变化：上升记为正，下降记为负，其中一架飞机A起飞后的高度变化如下：，，，
(1)求飞机A完成上述四个表演动作后，飞机A的高度是多少千米？
(2)如果飞机A每上升或下降1千米需消耗2升燃油，而航空燃油每升9元，那么飞机A在这4个动作表演过程中，一共消耗的燃油需要多少钱？
(3)若另一架飞机B在做特技表演时，起飞后前三次的高度变化为：上升千米，下降千米，再上升千米．若要使飞机B在完成第4个动作后与飞机A完成4个动作后的高度相同，问飞机B的第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？
14．阅读下列材料：，即当时，．用这个结论解决下面问题：
(1)已知，是有理数，
①当，时，则________；
②当，时，则________；
③当，时，则_______；
(2)已知，，是有理数，当时，求
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模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．会进行有理数的乘法运算，能用乘法运算律简化运算； 2．会把有理数的除法运算转化成乘法运算； 3. 会进行有理数的乘除混合运算。
1.认识有理数的乘法法则
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同0相乘，都得0．
小试牛刀：
（1） 1 （2）6×2= 12
（3）（+5）×（-2）= -10 （4）0×（-1）= 0
2.有理数的乘法运算律：
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换 乘数 的位置，积相等，即：ab＝ba．
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把 前面两个数 相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．
（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数 分别 同这两个数相乘，
再把积 相加 ．即：a(b+c)＝ab+ac．
3.倒数的意义： 乘积是 1 的两个数互为倒数．
（1）“互为倒数”的两个数是 同等 的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的；
（2）0和任何数相乘都不等于1，因此0 没有 倒数；
（3）倒数的结果必须化成 最简 ，使分母中不含小数和分数；
（4）互为倒数的两个数必定 同号 (同为正数或同为负数)．
4.认识有理数除法法则：
（1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数（2）两数相除，同号得正 ，异号得 负 ，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0.
注：1.解题时要灵活运用有理数的除法法则，一般能整除则直接整除，不能整除的则转化为有理数的乘法运算；2.除法运算应注意商的符号；3若遇小数可化为分数，若遇带分数应化为假分数。
小试牛刀：
6 （2）
（3） （4） 0
考点一：有理数的乘法运算
例1．计算的结果为（ ）
A．2024 B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则．
根据有理数的乘法运算法则求解即可．
【详解】．
故选：A．
【变式1-1】下列各式中积为正的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
本题主要考查了有理数的乘法法则的运用，任何数与零相乘，都得0．多个有理数相乘的法则∶①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正
根据有理数的乘法法则进行计算，再根据所得的结果的符号进行判断．
【详解】解：A、，故积为负，不符合题意；
B、，故积为负，不符合题意；
C、，积为0，不符合题意；
D、，故积为正，符合题意；
故选∶D．
【变式1-2】如果，，，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的乘法，推导出是关键．
根据，确定，代入计算即可．
【详解】解：∵，
，
，
故答案为：．
【变式1-3】计算：
(1)
(2)
【答案】(1)33
(2)3
【分析】本题考查有理数的运算．
（1）先算乘法，再进行加减运算即可；
（2）利用乘法分配律，进行计算即可．
掌握相关法则，正确的计算，是解题的关键．
【详解】（1）解：原式；
（2）原式．
考点二：有理数乘法运算律
例2 下边是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（ ）
①
②
③
A．解题运用了乘法交换律 B．从①步开始出错
C．从②步开始出错 D．从③步开始出错
【答案】C
【分析】本题考查利用有理数乘法分配律进行简便运算，熟练掌握乘法分配律进行研究正确的计算是解的关键．
将化成，再运算乘法分配律计算，根据计算过程逐项判定即可．
【详解】解：A、解题运用了乘法分配律不是交换律，故说法错误，不符合题意；
B、①步计算正确，故说法错误，不符合题意；
C、②步应为，所以从②步开始出错，故说法正确，符合题意；
D、从②步就开始开始出错，故说法错误，不符合题意；
故选：C．
【变式2-1】简化计算，应该运用（ ）
A．加法交换律 B．加法结合律
C．乘法对加法的分配律 D．乘法结合律
【答案】C
【分析】
本题考查了有理数的混合运算，乘法对加法的分配律是解题关键．因为24、12、4都是24的约数，所以本题利用乘法对加法的分配律进行计算．
【详解】
解：利用乘法对加法的分配律得：，
，
故选：C
【变式2-2】 ．
【答案】153
【分析】本题主要考查了运用乘法运算律进行有理数的乘法运算．
【详解】解：
，
故答案为：153．
【变式2-3】下面各题怎样简便就怎样算
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)5
(2)7623
(3)8686
(4)48
【分析】本题考查了分数的混合运算，以及有理数的乘法运算律，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用乘法分配律得出，再运算乘法，最后运算加减，即可作答．
（2）先整理为整百数，再运用乘法分配律进行简便运算，即可作答．
（3）先整理为整百数，再运用乘法分配律进行简便运算，即可作答．
（4）先整理原式，再运用乘法分配律进行简便运算，即可作答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
考点三：有理数乘法的应用
例3. 在弹性范围内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比．若一根弹簧挂上物体时长，挂上物体时长，则挂上物体时长（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，先计算出物体增重，弹簧长度增加多少，再根据题意列式计算即可．
【详解】解：由题意得：物体增重，弹簧长度增加，
挂上物体时长，
故选：B．
【变式3-1】高度每增加1千米，气温就下降，现在地面气温是，那么离地面高度为7千米的高空的气温是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据题意正确列出算式是解题的关键．
先根据题意列出算式，然后再根据有理数混合运算法则计算即可．
【详解】解：根据题意得：，
则离地面高度为7千米的高空的气温是．
故选：C．
【变式3-2】深圳市出租车的收费标准是起步价10元（行程小于或等于2千米），超过2千米每增加1千米（不足1千米按1千米计算）加收元，小鸣从深圳市体育中心打车去深圳图书馆，百度地图显示行程约为千米，则出租车费约为 元．
【答案】
【分析】本题主要考查有理数的混合运算的应用，根据题意、正确列出算式是正确解答的前提．
根据题意、正确列出算式，然后再计算即可．
【详解】解：由题意可知：当时，出租车费约为．
故答案为：．
【变式3-3】某特技飞行队在某风景区进行特技表演．其中一架飞机起飞后高度变化如下，其中上升记为正，下降记为负：
，，，，
(1)最终这架飞机比起飞点高了多少千米？
(2)若飞机平均上升1千米需消耗4升燃油，平均下降1千米需消耗2升燃油，不计飞机的损耗，每升燃油价格是6.5元．那么这架飞机在这5个特技动作表演后，一共花费多少元？
(3)若这架飞机做完5个特技后，又做两个表演动作，这两个动作不确定是上升还是下降，只知道产生的高度变化分别是0.8km和1.7km，请你求出这两个表演动作结束后飞机离地面的高度．
【答案】(1)最终这架飞机比起飞点高了千米
(2)这架飞机在这5个特技动作表演后，一共花费元
(3)这两个表演动作结束后飞机离地面的高度为或或或．
【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的运算的应用；
（1）将已知数据相加，即可求解；
（2）根据飞机平均上升和下降的油耗求得总耗油，然后乘以燃油单价，即可求解；
（3）根据题意，分4种情况讨论，根据加减法进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
答：最终这架飞机比起飞点高了千米
（2）解：
（升）
（元）
答：这架飞机在这5个特技动作表演后，一共花费元
（3）
答：这两个表演动作结束后飞机离地面的高度为或或或．
考点四：倒数
例4．的倒数是（ ）
A． B．2024 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查绝对值与倒数，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
根据倒数的定义以及绝对值的性质进行解题即可．
【详解】解：∵，
∴的倒数为．
故选：C．
【变式4-1】的倒数的相反数是（ ）
A．2020 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查相反数和倒数的定义，掌握定义是解题的关键．根据相反数和倒数的定义，即可得到答案．
【详解】解：∵2020的倒数为，
的相反数为
∴2020的倒数的相反数是．
故选C．
【变式4-2】的相反数是 ，的绝对值是 ，的倒数是 ．
【答案】 / /
【分析】
主要考查相反数，绝对值，倒数的概念及性质．只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数；一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．根据相关的定义进行解答即可．
【详解】解：的相反数是，的绝对值是，的倒数是．
故答案为：；；．
【变式4-3】阅读以下材料，完成相关的填空和计算．
(1)根据倒数的定义我们知道，若，则__________；
(2)计算：；
(3)根据以上信息可知＝________．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了倒数的定义，有理数的除法运算，利用分配率进行有理数的运算等知识．
（1）根据倒数的定义即可求解；
（2）先将除法运算化为乘法运算，再利用分配率进行计算即可求解；
（3）根据倒数的定义即可求解．
【详解】（1）解：根据倒数的定义，若若，则．
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：因为，
所以．
故答案为：
考点五：有理数的除法运算
例5 的结果是（ ）
A． B．6 C．2 D．
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的除法运算，先把除法化为乘法，再根据有理数的乘法法则进行运算，即可作答．
【详解】解：
，
故选：B．
【变式5-1】计算的结果等于（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】本题考查了有理数的除法．根据有理数的除法法则计算即可求解．
【详解】解：，
故选：A．
【变式5-2】已知、、都是有理数，其中为正数，若代数式的值为，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是绝对值的性质以及有理数的加法运算，根据为正数，得出：中有一个负数，进而即可求解．
【详解】解∵为正数，
∴中有一个负数，一个正数，
设，，
∴，
故答案为：．
【变式5-3】计算题
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【答案】(1)66
(2)74.1
(3)
(4)
(5)
(6)885
【分析】本题考查有理数的混合计算，注意运算律的使用．
（1）根据乘法结合率计算即可；
（2）根据乘法交换率计算即可；
（3）先去小括号，再利用加法交换律计算中括号内的算式，最后计算除法即可；
（4）带分数化假分数，再计算除法即可；
（5）原式可改为，再去括号计算即可；
（6）原式可改为，再计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：
；
（6）解：
．
考点六：有理数除法的应用
例6.某市区今年共购买了13辆电动清洁能源车，至少在同一个月购买车的辆数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查抽屉原理问题，1年有12个月，把这13辆电动清洁能源车平均分在12个月里面，每个月分到1辆，还余1辆，余下的1辆无论是分到哪个月，这个月都至少有2辆，由此求解．
【详解】解：，
（辆），
故至少有2辆电动清洁能源车是在同一个月购买的．
故选B．
【变式6-1】如图，一个拧紧瓶盖的瓶子里装有一些水，根据图中数据，可以算出瓶中水的体积占瓶子容积的（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是有理数的除法的应用，由题意可得第一个瓶子的水的体积等于第二个瓶子上面空余部分的体积，从而可得答案．
【详解】解：由题意可得：第一个瓶子的水的体积等于第二个瓶子上面空余部分的体积，
∴水的体积占瓶子容积的，
答：瓶中水的体积占瓶子容积的．
故选：B．
【变式6-2】根据工信部组织修订的《电动自行车安全技术规范》强制性国家标准，电动自行车最高设计车速不超过25公里/小时．已知张老师家距学校5千米，在不违反交通规则的情况下，张老师骑电动自行车从家到学校所需时间至少有 分钟．
【答案】12
【分析】题目主要考查有理数的除法的应用，根据时间等于路程除以速度计算即可，注意单位的变换．
【详解】解：根据题意得：小时，
小时分钟，
故答案为：12．
【变式6-3】李老师买了一辆小轿车，他连续7天记录了他家小轿车每天行驶的路程，以50km为标准，超过或不足部分分别用正数、负数表示，得到的数据如下（单位：km）：
，，，0，，+41，+8
(1)请求出李老师家小轿车这七天平均每天行驶的路程；
(2)若已知该轿车每行驶100km耗用汽油6L，且汽油价格为每升7.7元，请你根据第（1）题估计李老师家一个月（按30天算）的汽油费用．
【答案】(1)小轿车这七天平均每天行驶；
(2)李老师家一个月的油费是693元．
【分析】本题主要考查了有理数乘除混合计算的实际应用，有理数加法的实际应用：
（1）把所给的行程记录相加，然后除以7，再加上50即可得到答案；
（2）先求出一个月的总路程，再根据每行驶100km耗用汽油6L，且汽油价格为每升7.7元列式计算即可．
【详解】（1）解：
，
答：小轿车这七天平均每天行驶；
（2）解：
（元），
答：李老师家一个月的油费是693元．
考点七：有理数乘除混合运算
例7．计算的结果是（ ）
A．8 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】题目主要考查有理数的乘除法混合运算，按照从左到右的顺序计算即可，熟练掌握运算法则是解题关键
【详解】解：，
故选：D
【变式7-1】给出下列等式：
①；
②；
③；
④．
其中正确的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】此题考查了有理数乘除的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
运用有理数乘除混合运算的方法对各算式进行逐一计算、辨别．
【详解】解：∵，原式计算错误；
，原式计算错误；
，原式计算正确；
，原式计算错误．
∴算其中正确的个数是1．
故选：D．
【变式7-2】如图，正方形的边长为4，已知正方形覆盖了三角形面积的，而三角形覆盖了正方形面积的一半，那么三角形的面积是 ．
【答案】10
【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合计算，先求出正方形面积的一半，再根据正方形面积的一半是三角形面积的进行求解即可．
【详解】解：，
∴三角形的面积是10，
故答案为：10．
【变式7-3】计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)36
【分析】本题考查有理数的运算，掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．
（1）利用加减法则，进行计算即可；
（2）先去绝对值，再利用加减法则，进行计算即可；
（3）除法变乘法，约分即可；
（4）利用乘法分配律进行计算即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
1．已知两个有理数，，如果且，那么（ ）
A．， B．，
C．，同号 D．，异号，且正数的绝对值较大
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的乘法、加法，熟练掌握和灵活应用有理数的加法法则和乘法法则是解题的关键．由有理数的乘法法则，判断出，异号，再用有理数加法法则即可得出结论．
【详解】解：，
，异号，
，
正数的绝对值较大，
故选：D．
2．运用了（ ）
A．加法交换律 B．乘法结合律
C．乘法分配律 D．乘法交换律和结合律
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的乘法，解决本题的关键是熟记有理数的乘法分配律，根据有理数的乘法分配律进行作答即可．
【详解】解：∵
∴上式子运用了乘法分配律，
故选：C
3．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了数轴、有理数的加减法、有理数的乘法，熟练掌握数轴的定义和有理数乘法运算法则是解题关键．
先根据数轴的定义可得，且，进一步判断、、、，再根据有理数乘法法则计算，逐项判断即可．
【详解】由数轴的定义得：，且，
、、、，
A、因为，，所以，故此选项不符合题意；
B、因为，，所以，故此选项不符合题意；
C、因为，，所以，故此选项不符合题意；
D、，，所以，故此选项符合题意；
故选：D．
4．的倒数是（ ）
A． B． C． D．2024
【答案】D
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数计算即可．本题考查了倒数及绝对值的计算，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】的倒数是2024，
故选D．
5．如图，数轴上点A、B、C分别表示数a、b、c，．有下列结论：①；②；③；④；则其中结论正确的序号是（　　）
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
【答案】C
【分析】本题主要考查了数轴，有理数的混合运算；根据数轴可得，且，再根据有理数的加减乘除运算法则，可以逐项判断得出正确答案．
【详解】解：①∵，，
∴，
故①错误；
②∵，
∴，
故②正确；
③∵，
∴，
故③正确；
④∵，，
∴，
故④正确．
综上所述，正确的有②③④．
故选：C．
6．甲乙丙三位同学合乘一辆滴滴车去顺路的三个地点，事先约定三人根据路程分摊车费，甲在全程的四分之一处下车，甲下车时，乙离下车点还有一半的路程，丙坐完全程．已知乙支付了18元车费，则三人一共支付多少车费？（ ）
A．36元 B．48元 C．63元 D．81元
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的除法的实际应用，根据题意得到甲乙丙的路程比，即可求得总车费．
【详解】解：由题意得甲乙丙三人的路程比为，
三人一共支付车费（元），
故选：C．
7．对于有理数、，定义运算，则的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
【详解】解：∵，
∴，
故选：A．
8．小明与小刚规定了一种新运算“”：若，是有理数，则，小明计算出，请帮小刚计算 ．
【答案】16
【分析】此题考查了有理数混合运算的应用，属于新定义题型，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据题中的新定义，将，代入计算，即可求出的值．
【详解】解：根据题中的新定义得：
．
故答案为：．
9．在如图的长方形内，有四对正方形（标号相同的两个正方形为一对），每一对是相同的正方形，那么中间这个小正方形（阴影部分）的面积为
【答案】36
【分析】本题考查了几何图形面积的计算，掌握几何图形的特点是解题的关键．
根据长方形的长与宽，图形结合，可得三号正方形的边长为：，根据长方形的宽为两个三号正方形与阴影部分正方形边长之和，由此可得阴影部分正方形的边长，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，三号正方形的边长为：，
∴中间正方形的边长为：，
∴中间小正方形（阴影部分）的面积为：，
故答案为： ．
10．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则 0（填“”“”“”或“”）．
【答案】
【分析】本题考查了数轴，实数的比较大小，有理数的加法，减法，除法．
根据数轴上右边的点表示的数总比左边的大，有理数的加法，除法法则判断即可；
【详解】观察数轴可知，，，
，，
∴．
故答案为：．
11．如图，在长为 20 米，宽为 15 米的池塘上修建宽为2 米的横向与纵向的观景道路，则道路的面积为 平方米．
【答案】92
【分析】本题考查有理数运算的实际应用，根据图形，列出算式进行计算即可．
【详解】解：；
故答案为：92．
12．对于有理数，，定义新运算“”，规则如下：，如．
(1)求的值．
(2)请你判断交换律在“”运算中是否成立？并给出证明．
【答案】(1)
(2)成立，见解析
【分析】本题考查了有理数的混合运算；
（1）根据新定义进行计算即可求解；
（2）根据交换律结合新定义进行计算即可求解．
【详解】（1）
（2）交换律在“”运算中成立
证明如下：
即交换律在“”运算中成立．
13．某特技飞行队进行特技表演，飞机高度的变化：上升记为正，下降记为负，其中一架飞机A起飞后的高度变化如下：，，，
(1)求飞机A完成上述四个表演动作后，飞机A的高度是多少千米？
(2)如果飞机A每上升或下降1千米需消耗2升燃油，而航空燃油每升9元，那么飞机A在这4个动作表演过程中，一共消耗的燃油需要多少钱？
(3)若另一架飞机B在做特技表演时，起飞后前三次的高度变化为：上升千米，下降千米，再上升千米．若要使飞机B在完成第4个动作后与飞机A完成4个动作后的高度相同，问飞机B的第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？
【答案】(1)
(2)元
(3)飞机的第4个动作是下降千米．
【分析】本题主要考查了有理数加法的实际应用，有理数乘法的实际应用；
（1）求出四次高度变化的四个数值的代数和即可得出结论；
（2）分别计算表格中四个数值的绝对值的和，再乘以2升求出燃油量，再乘以油的单价即可得出结论；
（3）计算飞机的前三次的高度的代数和与飞机的高度作比较即可得出结论．
【详解】（1）解：
，
答：飞机A完成上述四个表演动作后，飞机A的高度是；
（2）解：
，
元，
答：飞机在这4个动作表演过程中，共消耗的燃油需要元．
（3）解；飞机完成3个动作后的高度为：
，
飞机的高度是1千米，
要使飞机在完成第4个动作后与飞机完成4个动作后的高度相同，飞机的第4个动作是下降，
（千米），
飞机的第4个动作是下降千米．
14．阅读下列材料：，即当时，．用这个结论解决下面问题：
(1)已知，是有理数，
①当，时，则________；
②当，时，则________；
③当，时，则_______；
(2)已知，，是有理数，当时，求
【答案】(1)①；②；③
(2)或
【分析】本题考查了有理数的除法， 绝对值的意义；
（1）①根据由，时，则，代入即可求解；
②根据由，时，则，代入即可求解；
③根据由，时，则，代入即可求解；
（2）当时，分两种情况讨论：①，，，②，，，进行求解即可．
【详解】（1）解：①由，时，则，
∴；
故答案为：．
②由，时，则，
∴；
故答案为：0．
③由，时，则，
∴；
故答案为：．
（2）当时，
都小于，或中一个小于，另外两个都大于，分两种情况讨论：
①当，，时，
；
②当，，时，
；
综上所述：或．
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