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第08讲 有理数的混合运算
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．知道有理数混合运算的运算顺序，能正确进行有理数的混合运算； 2．会用计算器进行较繁复的有理数混合运算
1.有理数的混合运算顺序
(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
小试牛刀：
-216 （2）
-10 （4）
2.用运算律简化有理数的混合运算
小试牛刀：
（2） 23
（3）-17（4）-131
考点一：有理数四则混合运算
例1．，括号里应该填（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】A
【分析】本题考查的是有理数的混合运算的理解，理解和，积，商的含义是解本题的关键，先计算，，从而可得答案．
【详解】解：∵，，
而，
∴括号内填的是；
故选A
【变式1-1】下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，故A不正确，不符合题意；
B、，故B不正确，不符合题意；
C、，故C正确，符合题意；
D、，故D不正确，不符合题意．
故选：C．
【变式1-2】计算： ．
【答案】0
【分析】本题考查了有理数的混合运算．掌握有理数的相关运算法则是解答本题的关键．
先计算乘方，再计算乘法，最后进行加法计算即可．
【详解】解：，
故答案为：0．
【变式1-3】计算题
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是：
（1）先去括号，然后计算加减法即可；
（2）根据有理数的乘法法则计算即可即可；
（3）先算乘方，再算乘除法即可；
（4）先算乘除法，再算加法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解∶
．
考点二：有理数四则混合运算的应用
例2 甲商场商品一律打八折销售，乙商场商品一律每满100元送20元的购物券．李阿姨打算买一台550元的早餐机，在（ ）商场购买更加划算．
A．甲 B．乙 C．都一样 D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了百分数的应用，有理数混合运算的应用，分别求出两个商场需要花费的钱数，即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，在甲商场买需花费（元），
在乙商场买需花费（元），
因为，
所以，在甲商场购买更加划算，
故选：A．
【变式2-1】已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元．若在该快递公司寄一件9千克的物品，则需要付费（ ）
A．17元 B．19元 C．21元 D．23元
【答案】C
【分析】本题考查有理数的混合运算，根据题意和题目中的数据，可以列出算式，然后计算即可．
【详解】解：由题意可得，
（元），
故选：C．
【变式2-2】车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表：
车床代号 A B C D E
修复时间（分钟） 15 8 29 7 10
若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产．
（1）若只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序：
①；②；③中，经济损失最少的是 （填序号）；
（2）若由两名修理工同时修理车床，且每台车床只由一名修理工修理，则最少经济损失为 元．
【答案】 ① 1010
【分析】本题考查了有理数的混合运算，找出方案是解题的关键．
（1）因为要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的即可；
（2）一名修理工修按D，E，C的顺序修，另一名修理工修按B，A的顺序修，修复时间最短，据此计算即可．
【详解】解：（1）①总停产时间：分钟，
②总停产时间：分钟，
③总停产时间：分钟，
故答案为：①；
（2）一名修理工修按D，E，C的顺序修，另一名修理工修按B，A的顺序修，
分钟，
（元）
故答案为：1010．
【变式2-3】随着尔滨今年冬天的爆火，冰雪大世界的游园人数也迎来了历史的新高，如果每天游园人数以1万人作为标准，实际游园人数超过标准的人数记为正，少于标准的人数记为负．为了更好的服务来游玩的客人，冰雪大世界准备了具有东北特色的礼盒套装，如果每天购买礼盒的数量超过当天实际游园人数的记为正，少于当天实际游园人数的记为负．下表体现了一周连续7天的游园人数以及购买礼盒数量的变化，
星期 一 二 三 四 五 六 日
相对于标准人数 （单位：万人）
相对于实际游园人数 （单位：万盒） 0
(1)求本周内来到冰雪大世界游园的人数最多的一天的人数；
(2)如果门票为每人150元，那么门票收入最高的一天比最低的一天多多少钱？
(3)如果礼盒套装每盒350元，那么计算这一周冰雪大世界在门票和礼盒套装上的总收入是多少钱？
【答案】(1)万人
(2)165万元
(3)6605万元
【分析】本题考查的是正负数的实际应用，有理数的混合运算的实际应用，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键．
（1）由超过标准人数最多的1天可得答案；
（2）由星期二收入减去星期三的门票收入即可得到答案；
（3）由门票收入加上礼盒收入可得总收入．
【详解】（1）解：∵星期二超过标准人数最多，
∴星期二的游客人数最多为：（万人）．
（2）星期二的收入最多为：（万元），
星期三的收入最小为：（万元），
∴门票收入最高的一天比最低的一天多（万元）．
（3）∵游客总人数为：（万人），
∴门票总收入为：（万元）；
∵购买礼盒总数量为：
（万盒），
∴收入为：（万元），
∴总收入为：（万元）．
考点三：程序流程图
例3. 如图，输入数值1921，按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），输出的结果为（ ）
A．1840 B．1921 C．2023 D．2021
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的混合运算，弄清程序中的运算过程是解本题的关键．把1921代入程序中计算，判断即可得到结果．
【详解】解：把1921代入得：，
把代入得：，
则输出结果为．
故选D．
【变式3-1】根据如图所示的运算程序计算y的值，若输入，，则输出y的值是（ ）
A．8 B．6 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的计算，根据即可求解；
【详解】解：∵，
∴
故选：C
【变式3-2】根据如图所示的程序计算，若输入的值为，则输出的值为 ．

【答案】
【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，将代入计算，将结果和比较大小，如果小于就输出，即可求解．
【详解】解：由题意得：第一次输入，列出算式为：，
应该直接输出，的值为：，
故答案为：．
【变式3-3】如图是一个“有理数转换器”（箭头是表示输入的数进入转换器路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）．
(1)当小明输入2时，输出的结果是______；当小明输入6时，输出的结果是______；当小明输入时．输出的结果是______；
(2)你认为这个“有理数转换器”不可能输出______数；
(3)你认为当输入______时，其输出结果是0．
【答案】(1)2；1；
(2)负
(3)0或（n为自然数）
【分析】本题考查了倒数、绝对值及相反数的概念，解答本题的关键是弄懂图表中的程序的意义．
（1）先判断出2、6、与2的大小，再根据所给程序图找出合适的程序进行计算即可；
（2）根据绝对值的性质和倒数的定义可找出规律；
（3）由此程序可知，当输出0时，因为0的相反数及绝对值均为0，所以应输入0．
【详解】（1）解：根据题意得：
当小明输入2时，输出的结果是；
当小明输入6时，输出的结果是；
当小明输入时．输出的结果是；
故答案为：2；1；；
（2）解：由图表知，不管输入正数、0或者负数，输出的结果都是非负数．所以输出的数应为非负数，不可能输出负数．
故答案为：负
（3）解：∵0的相反数及绝对值均为0，且，
∴输入0时，输出结果为0；
∵当输入的数大于4时要加上再重新输入，一直需要循环到小于4时，
∴只要输入的数是7的正整数倍数即可输出0，
∴应输入0或（n为自然数）．
故答案为：0或（n为自然数）
考点四：算24点
例4．“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（ ）
A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8
【答案】A
【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答．
【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意；
B项，，能算出结果为24，故不符合题意；
C项，，能算出结果为24，故不符合题意；
D项，，能算出结果为24，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键．
【变式4-1】“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】D
【分析】根据有理数的四则混合计算法则求解即可．
【详解】解：①这四个数分别为6、-3、6、2，
∵，
∴①符合题意；
②这四个数分别为-4、-6、6、2，
∵，
∴②符合题意；
③这四个数分别为-4、-3、12、2，
∵，
∴③符合题意；
④这四个数分别为-4、-3、6、1，
∵，
∴④符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【变式4-2】19．有一次小明在做24点游戏时抽到的四张牌分别是5、8、1、2，每张牌只能用一次，可以用加、减、乘、除等运算，请写出一个成功的算式： ．
【答案】
【分析】
本题考查了有理数的混合运算， 根据计算和为24选择合适的运算符号和括号计算得出算式即可．
【详解】解：根据计算和为24可列算式：．
故答案为：．
【变式4-3】红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：
(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________
(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________
(3)从中取出除0以外的其他4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为24（注：每个数字只能用一次，请写出两种符合要求的运算式子：
________________________________ ________________________________
【答案】(1)6
(2)
(3)；
【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
()根据题意列出算式，找出积最大值即可；
()根据题意列出算式，找出商最小值即可；
()利用“点”游戏规则列出算式即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，
故最大值为；
（2）解：，
故最小值为；
（3）解：根据题意得：；，
即符合题意的式子为：；．
考点五：含乘方的有理数运算
例5 计算：的结果是（ ）
A． B． C．1 D．7
【答案】B
【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，掌握运算法则是解答本题的关键．按顺序先计算乘方，再计算加法即可．
【详解】解：．
故选B．
【变式5-1】计算：（ ）
A． B．8 C． D．4
【答案】B
【分析】本题考查了含乘方的有理数运算，先计算乘方，再按照有理数运算顺序计算即可．
【详解】解：原式
故选：B．
【变式5-2】 ．
【答案】
【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算法则．先算乘方，再算加减即可．
【详解】解：原式
故答案为：．
【变式5-3】计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)64
(3)
(4)
【分析】本题考查了有理数的加减、有理数的乘除、有理数的混合运算，掌握运算法则、正确计算是解题的关键．
（1）先去括号，再加减计算即可；
（2）从左到右依次计算即可；
（3）先将括号内通分计算，再计算乘法即可；
（4）先计算乘方，整理括号里的，再计算乘除，最后计算相加即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
1．现定义新运算“”，对任意有理数，规定，例，则计算（ ）
A． B． C．7 D．13
【答案】B
【分析】
本题考查的是新定义情境下的有理数的加减乘除运算，弄懂新定义的含义是解题的关键．根据新定义的运算法则进行计算即可得到答案．
【详解】解：根据题意，得，
故选：B．
2．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中提到：一年有二十四个节气，每个节气的晷（guǐ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气如图所示，从冬至到夏至晷长逐渐变小，从夏至到冬至晷长逐渐变大，相邻两个节气晷长减少或增加的量均相同，周而复始．若冬至的晷长为13.5尺，夏至的晷长为1.5尺，则立夏的晷长为（ ）尺．
A．1.5 B．3 C．3.5 D．4.5
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是读懂题意，求出相邻两个节气晷长减少或增加的量．根据相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，观察从冬至到夏至晷长变化次数即可求出相邻两个节气晷长减少或增加的量，从而可得立夏的晷长．
【详解】解：∵相邻两个节气晷长减少或增加的量均相同，从冬至到夏至晷长变化12次，
∴相邻两个节气晷长减少或增加的量为（尺），
立夏的晷长为（尺），
故选：D．
3．下图是一个计算机的运算程序，若一开始输入的x值为，则输出的结果y是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】本题主要考查有理数混合运算与程序图，掌握有理数的混合运算法则即可求解．
根据程序图，把输入的x得到的结果和2做比较后再进行操作，算即可求解．
【详解】解：根据题意得，，
∴，
∴输出的的值为：，
故选：B．
4．小新玩“24 点”游戏，游戏规则是对数进行加、减、乘、除混合运算（每张卡片只能用一次，可以加括号）使得运算结果是 24 或－24．小新已经抽到前3 张卡片上的数字分别是，若再从下列 4 张中抽出 1 张，则其中不能与前 3 张算出“24 点”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用运算符号将四个数字连接，使其结果为24或-24，即可得出答案.
【详解】A：(5-2)×8×(-1)=-24，故A错误；
B：(8-3)×5+(-1)=24，故B错误；
C：(8-4)×[5-(-1)]=24，故C错误；
D：无法组成24点，故D正确；
故答案选择：D.
【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，需要熟练掌握有理数的运算法则.
5．为了求的值，可令则，因此，所以，仿照以上计算出的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据题目中的例子，可令，则，可得，然后作差求解即可．
【详解】解：令，则，
，
，
故选：D
6．数学小组定义一个新运算“”如下：时，；时，．则当时，代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的运算，有理数大小比较，理解题中给出的定义做出正确的计算是解题关键．
原式利用题中的新定义计算即可求出值．
【详解】根据题意得，当时，
∵
∴
．
故答案为：．
7．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图1，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果数量，由图1可知，她一共采集到的野果数量为个．请你参照图1中的方法计算图2中她采集到的野果总数量为 ．
【答案】269
【分析】本题是以古代“结绳计数”为背景，按满五进一计数，运用了类比的方法．根据图中的数学列式计算即可求解．
【详解】解：她采集到的野果总数量为，
故答案为：269．
8．对于非零有理数a、b，定义运算，例如，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算和含乘方的有理数混合运算，按照新定义的运算法则，进行解答即可．
【详解】解：
故答案为：．
9．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)5
(4)
【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）利用有理数的加减法则计算即可；
（2）先算乘方，再算乘除，最后算减法即可；
（3）利用乘法分配律计算即可；
（4）先算乘方，再算乘法，最后算加减即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
10．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)1
(2)
(3)
(4)2
【分析】本题主要考查了有理数的加减运算、有理数的乘除混合运算、有理数混合运算的简便运算、含乘方的有理数的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键.
（1）直接运用有理数的加减混合运算法则计算即可；
（2）按照有理数的乘除混合运算计算即可；
（3）按照乘法分配律进行简便运算即可；
（4）按照含乘方的有理数混合运算进行计算即可。
【详解】（1）解：
.
（2）解：
.
（3）解：
.
（4）解：
.
11．阅读材料：求的值．
解：设，将等式两边同时乘2得：
将下式减去上式得即
即
请你仿照此法计算：
(1)
(2)（其中为正整数）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是探索运算规律题，根据已知材料中的方法，探索出运算规律是解决此题的关键．
（1）设，两边乘以2后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值；
（2）设，两边乘以3后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值．
【详解】（1）解：设，
将等式两边同时乘2得：，
将下式减去上式得：，即，
则；
（2）解：设①，
两边同时乘3得：②，
②-①得：，即，则
则．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第08讲 有理数的混合运算
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．知道有理数混合运算的运算顺序，能正确进行有理数的混合运算； 2．会用计算器进行较繁复的有理数混合运算
1.有理数的混合运算顺序
小试牛刀：
（2）
（4）
2.用运算律简化有理数的混合运算
小试牛刀：
（2）
（3） （4）
考点一：有理数四则混合运算
例1．，括号里应该填（ ）
A． B．0 C．1 D．
【变式1-1】下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】计算： ．
【变式1-3】计算题
(1)
(2)
(3)
(4)
考点二：有理数四则混合运算的应用
例2 甲商场商品一律打八折销售，乙商场商品一律每满100元送20元的购物券．李阿姨打算买一台550元的早餐机，在（ ）商场购买更加划算．
A．甲 B．乙 C．都一样 D．无法确定
【变式2-1】已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元．若在该快递公司寄一件9千克的物品，则需要付费（ ）
A．17元 B．19元 C．21元 D．23元
【变式2-2】车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表：
车床代号 A B C D E
修复时间（分钟） 15 8 29 7 10
若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产．
（1）若只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序：
①；②；③中，经济损失最少的是 （填序号）；
（2）若由两名修理工同时修理车床，且每台车床只由一名修理工修理，则最少经济损失为 元．
【变式2-3】随着尔滨今年冬天的爆火，冰雪大世界的游园人数也迎来了历史的新高，如果每天游园人数以1万人作为标准，实际游园人数超过标准的人数记为正，少于标准的人数记为负．为了更好的服务来游玩的客人，冰雪大世界准备了具有东北特色的礼盒套装，如果每天购买礼盒的数量超过当天实际游园人数的记为正，少于当天实际游园人数的记为负．下表体现了一周连续7天的游园人数以及购买礼盒数量的变化，
星期 一 二 三 四 五 六 日
相对于标准人数 （单位：万人）
相对于实际游园人数 （单位：万盒） 0
(1)求本周内来到冰雪大世界游园的人数最多的一天的人数；
(2)如果门票为每人150元，那么门票收入最高的一天比最低的一天多多少钱？
(3)如果礼盒套装每盒350元，那么计算这一周冰雪大世界在门票和礼盒套装上的总收入是多少钱？
考点三：程序流程图
例3. 如图，输入数值1921，按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），输出的结果为（ ）
A．1840 B．1921 C．2023 D．2021
【变式3-1】根据如图所示的运算程序计算y的值，若输入，，则输出y的值是（ ）
A．8 B．6 C． D．
【变式3-2】根据如图所示的程序计算，若输入的值为，则输出的值为 ．

【变式3-3】如图是一个“有理数转换器”（箭头是表示输入的数进入转换器路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）．
(1)当小明输入2时，输出的结果是______；当小明输入6时，输出的结果是______；当小明输入时．输出的结果是______；
(2)你认为这个“有理数转换器”不可能输出______数；
(3)你认为当输入______时，其输出结果是0．
考点四：算24点
例4．“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（ ）
A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8
【变式4-1】“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【变式4-2】19．有一次小明在做24点游戏时抽到的四张牌分别是5、8、1、2，每张牌只能用一次，可以用加、减、乘、除等运算，请写出一个成功的算式： ．
【变式4-3】红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：
(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________
(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________
(3)从中取出除0以外的其他4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为24（注：每个数字只能用一次，请写出两种符合要求的运算式子：
________________________________ ________________________________
考点五：含乘方的有理数运算
例5 计算：的结果是（ ）
A． B． C．1 D．7
【变式5-1】计算：（ ）
A． B．8 C． D．4
【变式5-2】 ．
【变式5-3】计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
1．现定义新运算“”，对任意有理数，规定，例，则计算（ ）
A． B． C．7 D．13
2．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中提到：一年有二十四个节气，每个节气的晷（guǐ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气如图所示，从冬至到夏至晷长逐渐变小，从夏至到冬至晷长逐渐变大，相邻两个节气晷长减少或增加的量均相同，周而复始．若冬至的晷长为13.5尺，夏至的晷长为1.5尺，则立夏的晷长为（ ）尺．
A．1.5 B．3 C．3.5 D．4.5
3．下图是一个计算机的运算程序，若一开始输入的x值为，则输出的结果y是（ ）
A． B． C． D．1
4．小新玩“24 点”游戏，游戏规则是对数进行加、减、乘、除混合运算（每张卡片只能用一次，可以加括号）使得运算结果是 24 或－24．小新已经抽到前3 张卡片上的数字分别是，若再从下列 4 张中抽出 1 张，则其中不能与前 3 张算出“24 点”的是（ ）
A． B． C． D．
5．为了求的值，可令则，因此，所以，仿照以上计算出的值是（ ）
A． B． C． D．
6．数学小组定义一个新运算“”如下：时，；时，．则当时，代数式的值为 ．
7．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图1，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果数量，由图1可知，她一共采集到的野果数量为个．请你参照图1中的方法计算图2中她采集到的野果总数量为 ．
8．对于非零有理数a、b，定义运算，例如，则 ．
9．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
10．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
11．阅读材料：求的值．
解：设，将等式两边同时乘2得：
将下式减去上式得即
即
请你仿照此法计算：
(1)
(2)（其中为正整数）．
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