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第05讲 有理数的加法与减法
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.会进行有理数的加法运算； 2.理解有理数加法交换律与结合律，能运用加法运算律简算。 3.会将有理数的减法运算转化成加法运算； 4.会进行有理数加减混合运算。
1.有理数加法法则：
(1)同号两数相加，取 符号，并把 相加；
(2)异号两数相加，绝对值相等时，和为 ；绝对值不等时，取 的加数的符号，并用 减去 ；
(3)一个数与0相加，仍得 ．
利用法则进行加法运算的步骤：
(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．
(2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．
(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．
小试牛刀：
（-180）+（+20） （2）（-15）+（-3）
（3）（+10）+（-1） （4）（+105）+（101）
2.加法的交换律和结合律，在有理数范围内仍适用.
加法的交换律：
加法的结合律：
小试牛刀：
【8+（-5）】+（-4） （2）【（-22）+（-27）】+（+27）
3.有理数减法法则
注意：减号变为加号；减数变为它的相反数.
小试牛刀：
（1）15-（-7） （2）（-8.5）-（-1.5）
（3）6-（4-9）-|-4| （4）（-3）-（-1.5）-（-4.5）-（+6）
4.根据有理数减法的法则，一切加法和减法的运算，都可以统一成加法运算．
有理数加减混合运算可以看成有理数的加法的运算，其中负数前面的加号省略.
小试牛刀：
-26+43-24+13-46 （2）9-5-23
（3）（+17）-（-32）-（+23） （4）5.4-2.3+1.5-4.2
考点一：有理数加法运算
例1．计算：正确的结果是（ ）
A．2 B． C．8 D．
【变式1-1】下列各数中，与相加等于0的数是（ ）
A．2 B． C． D．
【变式1-2】计算： ．
【变式1-3】计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
考点二：有理数加法运算律
例2 是应用了（ ）
A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．移项
【变式2-1】，上面的计算所运用的运算律是（ ）
A．交换律 B．结合律
C．先用结合律，再用交换律 D．先用交换律，再用结合律
【变式2-2】（1）加法交换律： ．
例： ；
（2）加法结合律： ．
例：[ + ]．
【变式2-3】我国某次军事演习中，一艘核潜艇的初始位置在海平面下，规定核潜艇上升记为“＋”，下降记为“－”，下面是这艘核潜艇在某段时间内的运动情况：．（单位：）
(1)最后这艘核潜艇停留的位置在海平面下多少米？
(2)如果这艘核潜艇每上升或下降，核动力装置所提供的能量相当于汽油燃烧所产生的能量，那么在这艘核潜艇运动的这段时间内，核潜艇动力装置提供的能量相当于多少升汽油燃烧所产生的能量？
考点三：有理数加法的应用
例3.九年级（1）班期末考试数学的平均成绩是80分，小亮得了90分，记作分，如果小明的成绩记作分，那么他得了（ ）
A．95分 B．90分 C．85分 D．75分
【变式3-1】据史料证明：中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，早在两千多年前，我国就有了正负数的概念，掌握了正负数的运算法则，并应用到生产和生活中．若某同学某一天零花钱的明细如下：元，元，其中元表示收入10元，则下列说法正确的是（ ）
A．元表示支出15元 B．元表示支出元
C．元表示收入15元 D．收支总和为25元
【变式3-2】根据《国家学生体质健康标准》的单项指标中“男生立定跳远单项评分表”的规定，九年级男生及格的标准是，九年级小贤跳出了，记为；九年级小明跳出了，记为 m．
【变式3-3】计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
考点四：有理数减法运算
例4．计算=（ ）
A．1 B． C．5 D．
【变式4-1】计算的结果为（ ）
A．2 B． C．8 D．
【变式4-2】计算： ．
【变式4-3】邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行到达A村，继续向西骑行到达B村，然后向东骑行若干千米到达C村，最后回到邮局，已知C村与B村关于邮局对称．
(1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，一个网格的长度表示1km建立数轴，请在图中的数轴上标出A、B、C三个村庄的位置，并求出C村离A村有多远？
(2)邮递员一共骑行了多少千米？
考点五：有理数减法的应用
例5 某冰箱冷藏室的温度是，冷冻室的温度是，则冷藏室比冷冻室温度高（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】某日我市的最高气温为零上，记作或），最低气温为零下，则可用于计算这天温差的算式是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】某市冬季中的一天，中午12时的气温是，经过6小时气温下降了，那么当天18时的气温是 ．
【变式5-3】计算．
(1)；
(2)．
(3)；
(4)．
考点六：有理数加减混合运算
例6. 一个点，从直线上的0处出发，先向右移动4个单位，再向左移动7个单位，这时这个点所对的数是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】规定符号表示两个数中较小的一个，规定符号表示两个数中较大的一个，例如：，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【变式6-2】小明设计了一个“幻圆”游戏，将，，，，11，13，15，17分别填入图中的圆圈内，使横行、竖列以及内外两圆圈上的4个数之和都相等，则图中的值为 ．

【变式6-3】服装城赵老板在广州发现一种应季衬衫，预料能畅销市场，就用80000元购进该店全部的2000件衬衫．由于非常畅销，这些衬衫在7天全部卖完．这7天每件衬衫利润变化以及这七天的销售量如下表所示（正数表示比前一天多的利润，负数表示比前一天少的利润）．
销售天数（单位：天） 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
利润变化（单位：元）
每天销售的件数（单位：件） 300 350 250 350 400 150 200
(1)第七天时，每件衬衫的售价为多少元？
(2)赵老板觉得这个商机非常好，于是经人介绍又在杭州花了176000元购进这种衬衫，只是单价比广州的贵4元．求在杭州购进衬衫多少件．
(3)在（2）的条件下，若按照（1）中第七天的售价销售，衬衫销售很快，为了回馈广大新老顾客，最后剩150件，按八折销售很快售完，求赵老板两次销售衬衫共盈利多少元．
考点七：有理数加减混合运算的应用
例7．小青双休日想帮妈妈做下面的事情：用洗衣机洗衣服要用15分钟；扫地要用5分钟；擦家具要用11分钟；晾衣服要用3分钟．她经过合理安排，做完这些事至少要花（ ）分钟．
A． B． C． D．
【变式7-1】周日，李军在家劳动，帮妈妈完成以下家务，最少需要（ ）分钟．
整理房间 扔垃圾 把脏衣服放入洗衣机并启动 洗衣机自动洗涤 晾晒衣物
26分钟 5分钟 1分钟 30分钟 3分钟
A．34 B．35 C．39 D．65
【变式7-2】2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”．某校今年“节”策划了五个活动，规则见下图：
小云参与了所有活动．
（1）若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为 ；
（2）若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“币”数量的所有可能取值为 ．
【变式7-3】阅读下面的解题过程，并解决问题．
计算：．
解：原式
．
(1)第①步经历了哪些转变：_____，体现了数学中的转化思想，为了计算简便，第②步应用了哪些运算律：_______．
(2)根据以上解题技巧进行计算：．
1．下列运算错误的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列变形，运用加法运算律错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．某日上午八点温州市的气温为，下午两点，气温比上午八点上升了3℃，则下午两点的气温为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点A在数轴上表示的数为1，将点A向左移动4个单位长度得到点B，则点B表示的数为（ ）
A． B． C． D．5
5．春节期间冰雪旅游大热，泰州的小明同学准备去旅游，考虑温差准备着装时，他查询了当时的气温，泰州的气温是，哈尔滨的气温是，则此刻两地的温差是（ ）
A． B． C． D．
6．将式子省略括号和加号后变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．某年，某河流发生流域性洪水，将其水位下降记为负，上涨记为正，甲地和乙地的七日水位变化情况如下表所示（单位；m）
时间 地区 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
甲地
乙地
下列说法中正确的是（　　）
A．在第四天时，乙地的水位达到七天中的最高峰
B．乙地第七天后的最终水位比初始水位高
C．这七天内，甲地的水位变化比乙地小
D．甲地第七天后的最终水位比初始水位低
8．如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，3，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对应刻度．
（1）该数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的 ；
（2）数轴上点所对应的数为，则 ．
9．在《九章算术注》中用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(白色为正，黑色为负)，如图1表示的是的计算过程，则下图2表示的算式是 ．
10．如图，在数轴上点表示的数是，点被墨水遮住了，已知，则点表示的数为 ．

11．数轴上点A表示的数是，若数轴上点P，在点A右侧，到点A的距离等于，则点P所表示的数是 ．
12．直接写出结果.
(1)______；
(2)______；
(3)______；
(4)______；
(5)________；
(6)______.
13．阅读材料，回答问题：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以，当时，如，；当时，，如，．根据以上信息完成下列问题：
(1)__________；__________；
(2)计算：．
14．某天下午，出租车司机小王的营运全是在东西走向的国庆大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午载客行车里程（单位：公里）如下：，，，，，，，，，，．
(1)最后一次营运结束时，小王距离下午出车时的出发地多远？
(2)若汽车的耗油量为0.2L/km，则这天下午小王的车共耗油多少升？
(3)该市出租车按里程计费标准为：不超过3公里，收费9元，超过3公里的部分，按每公里2元收费，则这天下午小王前三次营运收入共多少元？
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模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.会进行有理数的加法运算； 2.理解有理数加法交换律与结合律，能运用加法运算律简算。 3.会将有理数的减法运算转化成加法运算； 4.会进行有理数加减混合运算。
1.有理数加法法则：
(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
(2)异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
(3)一个数与0相加，仍得这个数 ．
利用法则进行加法运算的步骤：
(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．
(2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．
(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．
小试牛刀：
（-180）+（+20） -160 （2）（-15）+（-3） -18
（3）（+10）+（-1） 9 （4）（+105）+（101） 206
2.加法的交换律和结合律，在有理数范围内仍适用.
加法的交换律：a+b=b+a
加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
小试牛刀：
【8+（-5）】+（-4） -1 （2）【（-22）+（-27）】+（+27） -22
3.有理数减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数．a-b=a+(-b)
注意：减号变为加号；减数变为它的相反数.
小试牛刀：
（1）15-（-7） 22 （2）（-8.5）-（-1.5） -7
（3）6-（4-9）-|-4| 7 （4）（-3）-（-1.5）-（-4.5）-（+6） -3
4.根据有理数减法的法则，一切加法和减法的运算，都可以统一成加法运算．
有理数加减混合运算可以看成有理数的加法的运算，其中负数前面的加号省略.
小试牛刀：
-26+43-24+13-46 -40 （2）9-5-23 -19
（3）（+17）-（-32）-（+23） 26 （4）5.4-2.3+1.5-4.2 0.4
考点一：有理数加法运算
例1．计算：正确的结果是（ ）
A．2 B． C．8 D．
【答案】A
【分析】本题考查有理数的加法，属于基础题，解题的关键是掌握加法法则．
【详解】解：，
故选：A．
【变式1-1】下列各数中，与相加等于0的数是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了绝对值，有理数的加法，正确掌握绝对值的性质是解题关键．直接利用绝对值的性质化简，再利用有理数的加法得出答案．
【详解】解：∵，
∴与相加等于0的数是．
故选：B．
【变式1-2】计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是熟练掌握有理数加法的运算法则，
根据有理数加法的运算法则即可求解；
【详解】解：，
故答案为：
【变式1-3】计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【分析】（）根据有理数的加法运算法则计算即可；
（）根据有理数的加减运算法则计算即可；
（）利用有理数的加法交换律和结合律计算即可；
（）利用有理数的加法交换律和结合律计算即可；
（）利用有理数的加法交换律和结合律计算即可；
本题考查了有理数的运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
，
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
，
；
（5）解：原式
，
．
考点二：有理数加法运算律
例2 是应用了（ ）
A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．移项
【答案】A
【分析】根据题意结合运算律即可得到答案，此题考查了加法交换律，．
【详解】解：是应用了加法交换律，
故选：A
【变式2-1】，上面的计算所运用的运算律是（ ）
A．交换律 B．结合律
C．先用结合律，再用交换律 D．先用交换律，再用结合律
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据加法交换律和结合律进行计算，即可解答．
【详解】解：，
上面的计算所运用的运算律是先用交换律，再用结合律，
故选：D．
【变式2-2】（1）加法交换律： ．
例： ；
（2）加法结合律： ．
例：[ + ]．
【答案】
【分析】（1）由有理数的加法交换律即可以得解；
（2）由有理数的加法结合律即可得解．
【详解】（1）；
．
故答案为：．
（2）；
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了有理数的加法的交换律和结合律等知识点，解题时要熟练掌握运算律并准确计算是关键．
【变式2-3】我国某次军事演习中，一艘核潜艇的初始位置在海平面下，规定核潜艇上升记为“＋”，下降记为“－”，下面是这艘核潜艇在某段时间内的运动情况：．（单位：）
(1)最后这艘核潜艇停留的位置在海平面下多少米？
(2)如果这艘核潜艇每上升或下降，核动力装置所提供的能量相当于汽油燃烧所产生的能量，那么在这艘核潜艇运动的这段时间内，核潜艇动力装置提供的能量相当于多少升汽油燃烧所产生的能量？
【答案】(1)615
(2)5325
【分析】本题考查正负数的意义和有理数加法的实际应用．熟练掌握正负数的意义和有理数加法法则，是解题的关键．
（1）将所有数据相加，根据最终结果确定核潜艇处在什么位置；
（2）将所有数据的绝对值相加，再即可得解．
【详解】（1）解：
；
答：核潜艇处在海平面下米位置；
（2）解：
(升)；
答：在这一时段内核动力装置所提供的能量相当于升汽油燃烧所产生的能量．
考点三：有理数加法的应用
例3.九年级（1）班期末考试数学的平均成绩是80分，小亮得了90分，记作分，如果小明的成绩记作分，那么他得了（ ）
A．95分 B．90分 C．85分 D．75分
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的加法，整数和负数的定义，解题的关键是掌握正数和负数表示具有相反意义的量，以及有理数的加法法则．根据题意列出算式进行计算即可．
【详解】解：（分），
故选：D．
【变式3-1】据史料证明：中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，早在两千多年前，我国就有了正负数的概念，掌握了正负数的运算法则，并应用到生产和生活中．若某同学某一天零花钱的明细如下：元，元，其中元表示收入10元，则下列说法正确的是（ ）
A．元表示支出15元 B．元表示支出元
C．元表示收入15元 D．收支总和为25元
【答案】A
【分析】本题考查了正数和负数的意义，有理数的加法运算的实际应用，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
根据正数和负数的意义和有理数的加法运算求解即可．
【详解】∵元表示收入10元，
∴元表示支出15元，故A选项正确，B，C选项错误；
∵
∴收支总和为元，故D选项错误．
故选：A．
【变式3-2】根据《国家学生体质健康标准》的单项指标中“男生立定跳远单项评分表”的规定，九年级男生及格的标准是，九年级小贤跳出了，记为；九年级小明跳出了，记为 m．
【答案】
【分析】本题考查正数和负数及有理数的减法，用小明跳出的成绩减去男生及格的标准即可解答．
【详解】解：，
故答案为：．
【变式3-3】计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】此题考查有理数的加减法运算，掌握运算法则是解题关键．
（1）同号两数相加，符号不变，并把绝对值相加；
（2）异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
（3）减去一个数，等于加上这个数的相反数；
（4）减去一个数，等于加上这个数的相反数．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
＝
＝；
（4）解：
．
考点四：有理数减法运算
例4．计算=（ ）
A．1 B． C．5 D．
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的减法运算，根据有理数的运算法则进行计算即可求解．
【详解】解：，
故选：D．
【变式4-1】计算的结果为（ ）
A．2 B． C．8 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查有理数的加减法，根据有理数加减法法则进行计算即可
【详解】解：，
故选：C．
【变式4-2】计算： ．
【答案】9
【分析】本题考查了有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；
首先化简绝对值，然后根据有理数加减运算法则计算即可．
【详解】
．
故答案为：9．
【变式4-3】邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行到达A村，继续向西骑行到达B村，然后向东骑行若干千米到达C村，最后回到邮局，已知C村与B村关于邮局对称．
(1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，一个网格的长度表示1km建立数轴，请在图中的数轴上标出A、B、C三个村庄的位置，并求出C村离A村有多远？
(2)邮递员一共骑行了多少千米？
【答案】(1)作图见解析，C村离A村有
(2)邮递员一共骑行了20千米；
【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数的加法，数轴，解题的关键是熟练掌握数轴的实际应用；
（1）根据已知条件在数轴表示出三点，再根据两点间的距离公式即可解答；
（2）列出加法算式计算即可；
【详解】（1）解：如下图：
答：C村离A村有；
（2）解：，
答：邮递员一共骑行了20千米；
考点五：有理数减法的应用
例5 某冰箱冷藏室的温度是，冷冻室的温度是，则冷藏室比冷冻室温度高（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的减法，根据题意直接列出算式，然后按有理数的减法法则计算即可．
【详解】．
故选：D．
【变式5-1】某日我市的最高气温为零上，记作或），最低气温为零下，则可用于计算这天温差的算式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了有理数减法的应用，解题的关键是理解题意，这天温差为最高气温减最低气温．
【详解】这天温差为，
故选B．
【变式5-2】某市冬季中的一天，中午12时的气温是，经过6小时气温下降了，那么当天18时的气温是 ．
【答案】
【分析】
本题考查了有理数的减法，减去一个数，等于加上这个数的相反数．
根据有理数减法法则计算即可．
【详解】解：，
故选：．
【变式5-3】计算．
(1)；
(2)．
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算；
（1）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解；
（2）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解；
（3）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解；
（4）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
考点六：有理数加减混合运算
例6. 一个点，从直线上的0处出发，先向右移动4个单位，再向左移动7个单位，这时这个点所对的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理数的加减运算．先列式，再根据有理数的加减运算计算，即可．
【详解】解：根据题意得：这时这个点所对的数是
．
故选：C
【变式6-1】规定符号表示两个数中较小的一个，规定符号表示两个数中较大的一个，例如：，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
本题考查了新定义，有理数的加减；
根据新规定求出，然后计算即可．
【详解】解：由题意得：，
∴，
故选：A．
【变式6-2】小明设计了一个“幻圆”游戏，将，，，，11，13，15，17分别填入图中的圆圈内，使横行、竖列以及内外两圆圈上的4个数之和都相等，则图中的值为 ．

【答案】7或
【分析】本题考查了有理数的加法，设小圈上的数为c，大圈上的数为d，先求出这8个数的和，然后即可求出横行、竖列以及内外两圆圈上的4个数之和，从而求出a、c的值，即可得出的值，进而分别分析求解即可．
【详解】解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d，
，
又横行、竖列以及内外两圆圈上的4个数之和都相等，
这个数和为，
，
，
，
当时，，
当时，，
或，
故答案为：7或．
【变式6-3】服装城赵老板在广州发现一种应季衬衫，预料能畅销市场，就用80000元购进该店全部的2000件衬衫．由于非常畅销，这些衬衫在7天全部卖完．这7天每件衬衫利润变化以及这七天的销售量如下表所示（正数表示比前一天多的利润，负数表示比前一天少的利润）．
销售天数（单位：天） 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
利润变化（单位：元）
每天销售的件数（单位：件） 300 350 250 350 400 150 200
(1)第七天时，每件衬衫的售价为多少元？
(2)赵老板觉得这个商机非常好，于是经人介绍又在杭州花了176000元购进这种衬衫，只是单价比广州的贵4元．求在杭州购进衬衫多少件．
(3)在（2）的条件下，若按照（1）中第七天的售价销售，衬衫销售很快，为了回馈广大新老顾客，最后剩150件，按八折销售很快售完，求赵老板两次销售衬衫共盈利多少元．
【答案】(1)每件衬衫的售价为54元
(2)在杭州购进衬衫4000件
(3)两次销售衬衫共盈利62280元
【分析】本题考查了有理数的加减运算，以及销售中利润的问题，正确理解题意，读懂表格是解题的关键．
（1）先计算进价，利用每天的利润变化进行加减即可；
（2）利用总价单价=数量计算即可；
（3）根据表格确定第一天到第七天的每件利润为10，13，18，14，7，9，14，然后计算出第一次销售衬衫利润，第二次销售先计算出前的利润，剩余150件按照第七天的八折销售，再计算利润，最后相加即可．
【详解】（1）解：（元），
（元），
答：第7天时，每件衬衫的售价为54元；
（2）解：（件）
答：在杭州购进衬衫4000件；
（3）解：（元），（元）
答：两次销售衬衫共盈利62280元．
考点七：有理数加减混合运算的应用
例7．小青双休日想帮妈妈做下面的事情：用洗衣机洗衣服要用15分钟；扫地要用5分钟；擦家具要用11分钟；晾衣服要用3分钟．她经过合理安排，做完这些事至少要花（ ）分钟．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理数加减混合计算的实际应用，由于洗衣服和晾衣服是必须要花费时间的，因此要使时间最少，则在洗衣服期间可以扫地和搬家具，据此可得答案．
【详解】解：分钟，
∴她经过合理安排，做完这些事至少要花19分钟，
故选；C．
【变式7-1】周日，李军在家劳动，帮妈妈完成以下家务，最少需要（ ）分钟．
整理房间 扔垃圾 把脏衣服放入洗衣机并启动 洗衣机自动洗涤 晾晒衣物
26分钟 5分钟 1分钟 30分钟 3分钟
A．34 B．35 C．39 D．65
【答案】B
【分析】把脏衣服放入洗衣机并启动1分钟，洗衣机自动洗涤30分钟，晾晒衣物3分钟，
洗衣机洗衣服30分钟的同时，整理房间需要26分钟，扔垃圾需要5分钟，故一共需要解得即可．
本题考查了时间的统筹，正确统筹解答是解题的关键．
【详解】把脏衣服放入洗衣机并启动1分钟，洗衣机自动洗涤30分钟，晾晒衣物3分钟，
洗衣机洗衣服30分钟的同时，整理房间需要26分钟，扔垃圾需要5分钟，故一共需要，
故选：B．
【变式7-2】2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”．某校今年“节”策划了五个活动，规则见下图：
小云参与了所有活动．
（1）若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为 ；
（2）若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“币”数量的所有可能取值为 ．
【答案】 鲁班锁； 1，2，3
【分析】本题主要考查了逻辑推理：
（1）根据小云参与了所有活动．可得小云第一个挑战必定成功，再由只挑战成功一个，可得小云第一个挑战成功需要得到4个“币”，即可；
（2）根据题意可得小云第一个挑战必定成功，且挑战成功的活动可能为华容道或魔方或鲁班锁，第二，三、五次挑战失败，然后分三种情况讨论，即可．
【详解】解：∵小云参与了所有活动．
∴小云第一个挑战必定成功，
∵小云只挑战成功一个，
∴小云第一个挑战成功需要得到4个“币”，
∴挑战成功的活动名称为鲁班锁；
故答案为：鲁班锁；
（2）∵小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，
∴小云第一个挑战必定成功，且挑战成功的活动可能为华容道或魔方或鲁班锁，第二，三、五次挑战失败，
若第一次挑战华容道，
当第四次挑战24点或数独时，最终剩下的“币”数量的取值为；
当第四次挑战魔方时，最终剩下的“币”数量的取值为；
当第四次挑战鲁班锁时，最终剩下的“币”数量的取值为；
若第一次挑战魔方，
当第四次挑战24点或数独时，最终剩下的“币”数量的取值为；
当第四次挑战华容道时，最终剩下的“币”数量的取值为；
当第四次挑战鲁班锁时，最终剩下的“币”数量的取值为；
若第一次挑战鲁班锁，
当第四次挑战24点或数独时，最终剩下的“币”数量的取值为；
当第四次挑战华容道或魔方时，最终剩下的“币”数量的取值为；
综上所述，最终剩下的“币”数量的所有可能取值为1，2，3．
故答案为：1，2，3
【变式7-3】阅读下面的解题过程，并解决问题．
计算：．
解：原式
．
(1)第①步经历了哪些转变：_____，体现了数学中的转化思想，为了计算简便，第②步应用了哪些运算律：_______．
(2)根据以上解题技巧进行计算：．
【答案】(1)去括号，省略加号；加法交换律、结合律
(2)
【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的加减运算，运用有理数的加减运算进行计算，即可．
（1）根据有理数的加减运算步骤，进行计算，即可；
（2）根据（1）中的运算法则，进行计算，即可．
【详解】（1）由解题过程可知，第①步去括号，省略加号；第②步运用加法交换律、结合律计算，
故答案为：去括号，省略加号；加法交换律、结合律．
（2）
．
1．下列运算错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了有理数的加减法，掌握相关的运算性质是解题的关键．
根据有理数的加减法则对各选项依次计算判断即可．
【详解】A．，原式计算错误，故此选项符合题意；
B．，原式计算正确，故此选项不符合题意；
C．，原式计算正确，故此选项的计算正确；
D．，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．下列变形，运用加法运算律错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了有理数加法的运算律，熟练掌握交换律，结合律是解题的关键．
【详解】A. ，符合交换律，不符合题意；
B. ，符合交换律，不符合题意；
C. ，不符合结合律，符合题意；
D. ，符合结合律，不符合题意；
故选C．
3．某日上午八点温州市的气温为，下午两点，气温比上午八点上升了3℃，则下午两点的气温为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了有理数加减运算的知识，理解题意列出算式是解题的关键．
根据有理数的加减运算法则运算即可．
【详解】解：
故选：C．
4．如图，点A在数轴上表示的数为1，将点A向左移动4个单位长度得到点B，则点B表示的数为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】B
【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离．熟练掌握在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离是解题的关键．
由题意知，，即点表示的有数是，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，，
∴点表示的有数是，
故选：B．
5．春节期间冰雪旅游大热，泰州的小明同学准备去旅游，考虑温差准备着装时，他查询了当时的气温，泰州的气温是，哈尔滨的气温是，则此刻两地的温差是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了有理数减法的应用，用泰州的气温减去哈尔滨的气温即可求解．
【详解】解：由题意，得
．
故选A．
6．将式子省略括号和加号后变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，根据有理数的加减计算法则求解即可．
【详解】解：将式子省略括号和加号后变形正确的是，
故选：A．
7．某年，某河流发生流域性洪水，将其水位下降记为负，上涨记为正，甲地和乙地的七日水位变化情况如下表所示（单位；m）
时间 地区 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
甲地
乙地
下列说法中正确的是（　　）
A．在第四天时，乙地的水位达到七天中的最高峰
B．乙地第七天后的最终水位比初始水位高
C．这七天内，甲地的水位变化比乙地小
D．甲地第七天后的最终水位比初始水位低
【答案】D
【分析】本题考查有理数运算的实际应用．熟练掌握正负数的意义，正确的列出算式，是解题的关键．依次进行计算判断即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴在第六天时，乙地的水位达到七天中的最高峰，
故选项A不正确，
∵，
∴乙地第七天后的最终水位比初始水位低，故选项B不正确，
∵，
∴这七天内，甲地的水位变化比乙地大，故选项C不正确，
∵，
∴甲地第七天后的最终水位比初始水位低，故选项D正确，
故选：D．
8．如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，3，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对应刻度．
（1）该数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的 ；
（2）数轴上点所对应的数为，则 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的减法运算：
（1）先求出在数轴上点A和点C的距离为，再由刻度尺上点A与点C的距离除以数轴上点A和点C的距离即可得到答案；
（2）用刻度尺上点A与点B的距离除以得到数轴上点A和点B的距离即可得到答案．
【详解】解：（1）∵数轴上点A和点C表示的数分别为，3，
∴在数轴上点A和点C的距离为，
∵在刻度尺上数字0对齐数轴上的点A，点C对应刻度，
∴该数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的，
故答案为：；
（2）∵在刻度尺上点B对应刻度，
∴在数轴上点A和点B的距离为，
∴数轴上点B所对应的数b为，
则
故答案为：．
9．在《九章算术注》中用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(白色为正，黑色为负)，如图1表示的是的计算过程，则下图2表示的算式是 ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的加减运算．由白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，即可列式计算．
【详解】解：由题意得白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，
图中表示的计算过程为．
故答案为：．
10．如图，在数轴上点表示的数是，点被墨水遮住了，已知，则点表示的数为 ．

【答案】
【分析】本题考查的是数轴上两点距离，在数轴上表示有理数，有理数的减法；由数轴可知，点在点的左侧，根据题意并结合两点间的距离公式计算即可．
【详解】解：由数轴可知，点在点的左侧，
点表示的数是，，
点表示的数为：，
故答案为：．
11．数轴上点A表示的数是，若数轴上点P，在点A右侧，到点A的距离等于，则点P所表示的数是 ．
【答案】
【分析】本题考查有理数的计算，数轴上两点间的距离，熟练掌握基本知识点是解题的关键．
根据数轴上两点间的距离的意义即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
12．直接写出结果.
(1)______；
(2)______；
(3)______；
(4)______；
(5)________；
(6)______.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)38
【分析】本题考查有理数的加法，减法运算，绝对值，熟练掌握有理数的加减法运算法则是解题的关键．
（1）根据有理数加法的运算法则计算即可；
（2）根据有理数加法的运算法则计算即可；
（3）根据有理数减法的运算法则计算即可；
（4）先去绝对值，根据有理数加法的运算法则计算即可；
（5）根据有理数减法的运算法则计算即可；
（6）根据有理数减法的运算法则计算即可．
【详解】（1）解：原式
，
故答案为：；
（2）解：原式
，
故答案为：；
（3）解：原式
，
故答案为：；
（4）解：原式
，
故答案为：；
（5）解：原式
，
故答案为：；
（6）解：原式
，
故答案为：38．
13．阅读材料，回答问题：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以，当时，如，；当时，，如，．根据以上信息完成下列问题：
(1)__________；__________；
(2)计算：．
【答案】(1)2；
(2)
【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，有理数的加减混合计算：
（1）根据绝对值的意义求解即可；
（2）先根据绝对值的意义去绝对值，然后根据有理数的加减计算法则求解即可．
【详解】（1）解：，，
故答案为：2；；
（2）解：
．
14．某天下午，出租车司机小王的营运全是在东西走向的国庆大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午载客行车里程（单位：公里）如下：，，，，，，，，，，．
(1)最后一次营运结束时，小王距离下午出车时的出发地多远？
(2)若汽车的耗油量为0.2L/km，则这天下午小王的车共耗油多少升？
(3)该市出租车按里程计费标准为：不超过3公里，收费9元，超过3公里的部分，按每公里2元收费，则这天下午小王前三次营运收入共多少元？
【答案】(1)
(2)17升
(3)45元
【分析】此题考查了正数和负数，以及有理数加减法的应用，弄清题意是解本题的关键．
（1）把所有行车里程相加，再根据正负数的意义解答；
（2）用0.2乘行车里程的绝对值的和，计算即可得解；
（3）分别计算前三次的每一次收入，再相加即可．
【详解】（1）解：，
答：最后一次营运结束时，小王距离下午出车时的出发地；
（2）解：（升）
（3）解：第一次3公里，不超过3公里，收费为9元；
第二次10公里，超过3公里，收费为元；
第三次5公里，超过3公里，收费为元，
∴ 总共收入为：元，
答：这天下午小王前三次营运收入45元．
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