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第09讲 字母表示数和代数式
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解用字母表示数的意义； 2．会用字母表示一些简单问题中的数量关系； 3.能解释代数式的实际意义。
1.在小学里，我们就已经接触到了用字母表示数，下面给大家例举
（1）我们在小学有学过加法运算律和乘法运算律
（2）学过了表示三角形、长方形、正方形的平面图形面积，还有像正方体、长方体、圆柱圆锥立体图形的面积，请写出三个公式。
用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，
第1个图案需要棋子　5 枚．
第2个图案需要棋子 8 枚．
第3个图案需要棋子　11 枚．
...............................................
第n个图案需要棋子 3n+2 枚．
用字母表示数的优点：
简介、通用、可以表示任何数，表示变化过程的规律。
3.认识代数式
用字母表示下面的数。
（1）出发地距离目的地s千米，汽车的平均速度为每小时v千米，到达目的地需要______小时。
（2）门票价格：成人票a元/张，儿童票b元/张，一张成人票比一张儿童票贵_a-b___元。
（3）景点处有一圆形喷泉，半径为r,则面积为________。
像、a-b、这样的狮子都是代数式。单独一个数或字母也是代数式，如2、a都是代数式。
代数式的特点：
（1）代数式可以简明的描述许多实际问题中的数量关系；
（2）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写；
（3）除法运算一般以分数的形式表示；
（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；
（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写；
4.用代数式表示下面的数
（1）如果a表示一个有理数，那么它的相反数是 -a ；
（2）一个正方形的边长是a cm，把这个正方形的边长增加1cm后所得到的正方形的周长是 （4a+4)cm ；
（3）某城市5年前人均收入为n元，预计今年收入是五年前的2倍多500元，那么今年人均收入将达_(2n+500)_元．
考点一：用字母表示数
例1．下列说法正确的是（ ）
A．－a一定是负数 B．a的倒数是 C．一定是分数 D．a2一定是非负数
【答案】D
【分析】本题考查的是负数、倒数、分数、非负数的定义，根据负数、倒数、分数、非负数的定义依次判断各项即可.
【详解】A、当a是负数时，－a是正数，故本选项错误；
B、当a是0时，a没有倒数，故本选项错误；
C、当a=4时， =2，是整数，故本选项错误；
D、 一定是非负数，本选项正确，
故选D.
【点睛】本题考查了用字母表示数，解题的关键是掌握好负数、倒数、分数、非负数的定义.
【变式1-1】如果甲数是x，甲数比乙数多2倍，则乙数是（ ）
A．x B．x C．2x D．3x
【答案】B
【分析】根据题意直接列方程解答出答案.
【详解】设乙数为y，则3x=y， .
【点睛】本题考查了两数之间的倍数关系，掌握列方程法解决此题是关键.
【变式1-2】甲工厂在一月份的生产总值m万元，在2月和3月这两个月中，甲工厂的生产总值平均每月减少的百分率为，甲工厂3月份的生产总值是 万元（用含m的代数式表示）
【答案】
【分析】根据公式，减少后的量=基础量×，x为减少的百分率，n为年数.
【详解】由减少后的量=基础量×可知
减少后的量=
故答案为
【点睛】本题解题关键在于，理解公式，减少后的量=基础量×，x为减少的百分率，n为年数.另外增长后的量=基础量×.
【变式1-3】工程队计划每天修路a米，20天可以修完，实际只用了15天，实际每天修路多少米？
（1）用式子表示实际每天修路是多少米？
（2）根据多个式子，求时，实际每天修路多少米？
【答案】（1）20a÷15（2）320米
【分析】（1）根据据路的总长度=计划每天修路的长度×计划的天数求出路的总长度，再依据实际每天修路的长度=总长度÷实际所用的天数列出代数式即可；（2）把a=20代入（1）中的代数式求值即可．
【详解】（1）∵路的总长度为20a米，
∴实际每天修路的长度为20a÷15米.
答：实际每天修路的长度为20a÷15米.
（2）把a=240代入20a÷15得，
20a÷15=20×240÷15=320（米）.
答：实际每天修路320米.
【点睛】本题考查了列代数式及求代数式的值，明确各数量间的等量关系，并能根据它们列出代数式是解决本题的关键．
考点二：用代数式表示式
例2．若苹果每千克x元，小明买了2千克苹果需要支付的费用用代数式表示为（　　）
A．2×x B．2x C． D．2+x
【答案】B
【分析】本题考查的是列代数式．根据总费用单价数量，列出代数式即可．
【详解】解：苹果每千克元，小明买了2千克苹果
需要支付的费用用代数式表示为：元，
故选：B．
【变式2-1】如果把一个长、宽、高分别为a厘米、b厘米和h厘米的长方体的高增加3厘米，那么这个长方体的表面积比原来增加（ ）平方厘米．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了长方体的表面积的实际应用，理解增加的表面积就是长为a厘米，宽为b厘米，高为3厘米的长方体的侧面积是解答本题关键．
由题意知：增加的表面积实际上就是长为a厘米，宽为b厘米，高为3厘米的长方体的侧面积，利用侧面积底面周长高，代入数据计算即可．
【详解】解：
平方厘米
答：长方体的表面积比原来增加平方厘米．
故答案为：C．
【变式2-2】已知一套数学文化丛书的价格为80元．某校计划购买套数学文化丛书，则需要花费 元．
【答案】
【分析】本题考查了列代数式，熟悉掌握关系量是解题的关键．
根据总价单价数量列式即可；
【详解】根据总价单价数量可得：；
故答案为：．
【变式2-3】某音像店对外出租光盘的收费方法是：每张光盘出租后的头两天每天收0.8元，以后每天收0.5元．
(1)小明租一张光盘6天，应收他多少钱；
(2)当小明租了天（且为正整数），则应收多少钱？
【答案】(1)3.6；
(2)．
【分析】
本题考查了有理数的混合运算，列代数式，理解计费方式是解题的关键．
（1）根据应收钱数=头两天收费+两天后的收费求解即可；
（2）根据应收钱数=头两天收费+两天后的收费求解即可．
【详解】（1）（元）．
答：租6天应收3.6元．
（2）元）．
答：租天应收他元．
考点三：用代数式表示数、图形的规律
例3.如图，用同样大小的铜币摆放以下四个图案，根据摆放图案的规律，则第8个图案需要铜币的个数为（　　）
A．29 B．32 C．37 D．46
【答案】C
【分析】本题考查用代数式表示图形的规律，观察图中铜币的数量增加规律可以发现：第n个图形总是比前一个图形增加n个铜币，根据此规律即可求出第n个图形的铜币数量代数式，再将代入即可求解．
【详解】解：当时，铜币的个数，
当时，铜币的个数，
当时，铜币的个数，
当时，铜币的个数，
……
第n个图案需要铜币的个数为，
第8个图案需要铜币的个数为，
故选C．
【变式3-1】苯是一种有机化合物，是组成结构最简单的芳香烃，可以合成一系列衍生物．如图是某小组用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第1个图形需要9根小木棒，第2个图形需要16根小木棒，第3个图形需要23根小木棒……按此规律，第n个图形需要（ ）根小木棒．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是总结出图形变化规律．通过观察可知：每增加一个苯环，相应的木棒增加根据此可求解．
【详解】：∵第个图形中木棒的根数为：，
第个图形中木棒的根数为：，
第个图形中木棒的根数为：，
…，
∴第n图形中木棒的根数为：，
故选：D．
【变式3-2】按照下面的方式堆放小球，第5堆有 个小球，第n堆有 个小球．
【答案】 15
【分析】本题考查了图形规律探索，第一堆1层1个；第二堆2层3个；第三堆3层6个；第四堆4层10个；根据每一堆的层数和个数，发现可以用梯形的面积公式来计算出个数，上底是1，下底与它的堆数相同，高与底相同，据此求出第5堆和第n堆小球的个数即可．
【详解】解：由图可知：第一堆1层1个；第二堆2层3个；第三堆3层6个；第四堆4层10个，
则第n堆小球共有：，
第五堆小球共有：（个），
故答案为：15；．
【变式3-3】如图，用一些完全相同的正五边形纸片依次“粘连”成一条纸带，探究纸片张数与纸带周长l的关系．设每个正五边形的边长为1.

纸片张数 1 2 3 4 5 …
纸带周长 5 8 11 14 ？ …
根据以上图表规律，解答下列问题：
(1)表格中“？”处应填写______；当时，______；
(2)纸带周长可能等于2025吗？请说明理由．
【答案】(1)17；32
(2)纸带周长不可能等于2025，见解析
【分析】本题考查了数字规律，根据题意，找到数字规律是解题的关键．
（1）根据正五边形纸片的“粘连”成一条纸带的规律，可得当时，纸带周长为，当时，；
（2）根据题意，可得用张纸片“粘连”成的纸带周长，令得，求解是否整数，即可求解．
【详解】（1）解：根据图表规律可得，
当时，纸带周长，
当时，纸带周长；
（2）解：纸带周长不可能等于2025．
理由：根据图表规律得，用张纸片“粘连”成的纸带周长，
，解得．
为正整数，
纸带周长不可能等于2025．
考点四：代数式的书写
例4．下列代数式书写规范的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
本题考查了代数式的书写规范，一般数字因数要放在字母因数的前面，除法要写成分数的形式，带分数要写成假分数的形式．
根据代数式的书写规范进行解答即可．
【详解】解：对于选项A，正确的书写为，除法要写成分数形式，不符合题意；
对于选项B，正确的书写为，数字放在字母前面，省略乘号，不符合题意；
对于选项C，书写正确，符合题意；
对于选项D，正确的书写为，带分数要化成假分数，不符合题意；
故选：C．
【变式4-1】下列各式中，符合代数式书写规范的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了代数式的书写规则，注意在数字与字母相乘时省略乘号，数字要写在字母的前面，除法应该写成分数的形式是解题的关键．
【详解】解；根据代数式的书写规则可知，只有书写规范，符合题意，
故选：B．
【变式4-2】下列式子：①；②；③；④中．格式书写正确的有 ．（填序号）
【答案】③
【分析】此题考查了代数式，弄清代数式的书写要求是解本题的关键，利用代数式的书写要求判断即可．
【详解】解：①应该写成，故原写法格式不正确；
②应该写成，故原写法格式不正确；
③，书写正确；
④应该写成，故原写法格式不正确，
综上所述，格式书写正确的有③，
故答案为：③．
【变式4-3】下列式子是一些书写规范吗？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处；
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
【答案】(1)
(2)
(3)/
(4)
【分析】本题考查代数式的书写规范，（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式，1通常省略不写．根据代数式的书写规范将各题进行改正即可．
【详解】（1）解：应写为；
故答案为：．
（2）解：应写为；
故答案为：．
（3）解：应写为；
故答案为：．
（4）解：应写为；
故答案为：．
考点五：代数式表示的实际意义
例5．对“”解释错误的是（ ）
A．x与的积 B．x与的和 C．x与8的差 D．x减去8
【答案】A
【分析】本题主要考查了代数式的表示方法，代数式“”可以表述为x减去8；x与8的差；x与的和．
【详解】解：A、x与的积表述错误；
B、x与的和，表述正确；
C、x与8的差，表述正确；
D、x减去8，表述正确；
故选：D．
【变式5-1】代数式的意义是（ ）
A．m除以n减1 B．n减1除m
C．n与1的差除以m D．m除以n与1的差所得的商
【答案】D
【分析】本题考查了代数式的意义，弄清它们所表示的数量之间的运算关系即可得出答案．
【详解】解：代数式的意义是m除以n与1的差所得的商，
故选D．
【变式5-2】代数式可表示的实际意义是 ．
【答案】一支笔3元，支笔的钱数（答案不唯一）
【分析】本题考查了代数式表示的实际意义，结合实际生活即可求解．
【详解】解：可表示一支笔3元，支笔的钱数,
故答案为：一支笔3元，支笔的钱数（答案不唯一）
【变式5-3】请你结合生活经验，设计具体情境说明下列代数式的实际意义：
(1)；
(2)；
(3)
【答案】(1)一个边长为米的正方体钢块的体积是立方米；
(2)某款价格为元的钢笔在“双十一”加价后的售价是元；
(3)巧克力糖每千克m元，奶油糖每千克n元，用3千克巧克力糖和2千可奶油糖混合成5千克混合糖，则这样得到的混合糖每千克的平均价格为元．
【分析】本题考查代数式的实际意义．
（1）根据立方可以和正方体的体积联系即可；
（2）根据代数式表示比x增加赋予实际意义即可；
（3）根据代数式的特点赋予实际意义即可．
【详解】（1）解：一个边长为米的正方体钢块的体积是立方米；
（2）解：某款价格为元的钢笔在“双十一”加价后的售价是元；
（3）解：巧克力糖每千克m元，奶油糖每千克n元，用3千克巧克力糖和2千可奶油糖混合成5千克混合糖，则这样得到的混合糖每千克的平均价格为元．
考点六：已知字母的值求代数式的值
例6. 当时， 代数式的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了代数式求值，正确计算是解题的关键．
【详解】解：把代入中得，
故选：A．
【变式6-1】若x的相反数是，则代数式的值是（ ）
A． B． C．5 D．7
【答案】C
【分析】本题考查了相反数的定义以及已知字母的值求代数式的值，掌握会求实数的相反数以及会把具体数代入代数式进行计算是解题的关键．
【详解】解：∵x的相反数是，
∴．
∴．
故选C．
【变式6-2】当时，代数式的值为10，那么当时，这个代数式的值是 ．
【答案】
【分析】由题意可得，即，将代入中计算并变形后代入数值计算即可．本题考查代数式求值，结合已知条件列得正确的算式并变形是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，
即，
当时，
，
故答案为：．
【变式6-3】如图，用“8字砖”铺设地面，1块地砖有2个正方形，2块地砖拼得5个正方形，3块地砖拼得8个正方形，…，照此规律拼下去．
(1)请用含n的代数式表示n块地砖拼得的正方形的个数为_______________个；
(2)求当时，拼得的正方形的个数；
(3)若m块地砖拼得的正方形的个数是170，求m的值．
【答案】(1)
(2)
(3)57
【分析】此题考查了图形规律，解题的关键是根据图形特点，进行规律归纳．
（）先从前面几个具体的图形数量发现并得出具有相同规律的代数式，再总结归纳即可；
（2）把代入中求解即可
（）根据题意可得，解之即可；
【详解】（1）解：解：由块地砖有个正方形，
块地砖拼得个正方形，
块地砖拼得个正方形，
块地砖拼得个正方形，
，
照此规律拼下去块地砖拼得的正方形的个数为个正方形，
故答案为：；
（2）解：当时，，即此时正方形的个数为个；
（3）解：由题意可知：，
解得：，
∴m的值为57．
考点七：已知式子的值求代数式的值
例7．已知，则代数式的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题考查已知式子的值求代数式的值，将原式变形为，再将整体代入即可求解．
【详解】解：，
故选D．
【变式7-1】已知，则代数式的值为（ ）
A．2022 B．2021 C．2020 D．2019
【答案】C
【分析】本题考查的是代数式求值，熟练掌握代数式求值的方法是解题的关键．根据，可得，再将其整体代入原式计算即可．
【详解】解：，
，
，
故选：C
【变式7-2】如果，，那么 ．
【答案】34
【分析】本题考查了代数式求值，先算出，再进行计算即可．
【详解】解：，
，
，
故答案为：34．
【变式7-3】【教材呈现】下题是华师版七年级上册数学教材第117页的部分内容．
17．代数式的值为9，则代数式的值为______．
【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：
由题意得，则有，
．所以代数式的值为9．
【方法运用】
（1）若，则______．
（2）若代数式的值为15，求代数式的值．
【拓展应用】若，则代数式的值为______．
【答案】[方法运用]（1）；（2）；[拓展应用]
【分析】本题考查了代数式求值，整体代入是解题的关键；
[方法运用]（1）先由可得，然后整体代入计算即可；
（2）先由可得，由可得，然后整体代入计算即可；
[拓展应用]先由可得、，然后把可得化成，然后整体代入计算即可．
【详解】解：[方法运用]
（1）由可得，
则．
故答案为：．
（2）由可得，
则．
[拓展应用]由、可得、，
则．
故答案为：．
1．下列说法中正确的是（ ）
A．表示的数一定是负数 B．表示的数一定是正数
C．表示的数一定是正数或负数 D．可以表示任何有理数
【答案】D
【分析】利用举反例的方法，例举时，逐一分析各选项，从而可得答案．
【详解】解：表示的数一定是负数，当时，不是负数，故A错误；
表示的数一定是正数，当时，不是正数，故B错误；
表示的数一定是正数或负数，当时，既不是正数也不是负数，故C错误；
可以表示任何有理数，故D正确；
故选D．
【点睛】本题考查的是有理数的含义，以及用字母表示数，掌握举反例的方法及有理数的分类是解题的关键．
2．x表示一个两位数，把6写到x的右边组成一个三位数，则表示这个三位数的式子是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
根据题意，可知新组成的数字，6在个位上，x扩大10倍，从而可以得到表示这个三位数的式子为，本题得以解决．
【详解】解：∵6写到x的右边组成一个三位数，
∴这个三位数是，
故选：B．
3．如果代数式，那么代数式（ ）
A．8 B．4 C．2 D．
【答案】A
【分析】本题考查代入求值，先由题意得到，然后把化为整体代入即可解题．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选A．
4．青岛市2018年6月份某一天的温差为12℃，最高气温为t℃，则最低气温可表示为（ ）
A．℃ B．℃ C．℃ D．℃
【答案】C
【分析】由已知可知，最高气温-最低气温=温差，从而求出最低气温．
【详解】设最低气温为x℃，则：t-x=12
x=.
故选C.
【点睛】此题考查列代数式，解题关键在于掌握题意列出代数式.
5．1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（ ）
A．676 B．674 C．1348 D．1350
【答案】D
【分析】将这一列数继续写下去，发现这列数的变化规律即可解答．
本题主要考查的是数字规律类问题，发现这列数的变化规律是解题的关键．
【详解】这一列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…
可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数．
由于，
即前2024个数共有674组，且余2个数，
∴奇数有个．
故选：D
6．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x为最大的负整数，则的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】D
【分析】本题考查了相反数，倒数，最大的负整数，代数式的值，熟记相反数的两个数的和为0，互为倒数的两个数的积为1，最大的负整数是，代入计算即可．
【详解】a、b互为相反数，c、d互为倒数，x为最大的负整数，
∴
∴
故选D．
7．甲跑的速度是一个常数，乙跑的速度是甲速度的倍（），甲在乙前的米处，两人沿同一方向同时起跑，则乙追及甲所需跑（ ）米
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设甲的速度为M，乙的速度为Mx，根据题意可知它们所用时间都是一致的设为t，由路程公式，根据“甲路程+y=乙路程”，列出方程，即可得出答案．
【详解】解：设甲的速度为M，则乙的速度为Mx，乙追上甲用t，根据题意列方程：
Mt+y=Mxt，
t=，
乙追上甲要跑的路程为：
S=Vt=Mx×=．
故答案为C．
【点睛】本题考查了列代数式，把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，因为本题的量都用字母表示，这样就加大了此题的难度．
8．数据，□，，，，…是按照一定规律有序排列的，则“□”里应填的数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了数字类规律探究，观察数据，原数据的分子部分都是质数，故所求的分子为，分母都是合数，分别为，，，，，则所求分母为，据此即可求解．
【详解】原数据为：，□，，，，…
∵原数据的分子部分都是质数，故所求的分子为，分母都是合数，分别为，，，，，则所求分母为，
∴□为
故选：A．
9．若， 则 ．
【答案】7
【分析】本题考查了代数式求值．整体代入是解题的关键．
由题意知，，代值求解即可．
【详解】解：由题意知，，
故答案为：7．
10．根据排列规律，在横线上填上合适的代数式；x，，， ，….
【答案】
【分析】根据已知的代数式可知第四个代数式的x的次数为4，系数为奇数，故可求解.
【详解】∵x，，，
∴第四个代数式的x的次数为4，系数为7，
故填：.
【点睛】此题主要考查代数式的规律探索，解题的关键是根据已知的代数式找到规律.
11．如图，每个三角形中的三个数之间有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中与之间的关系式为 ．

【答案】
【分析】此题主要考查了数字规律性问题．注意根据题意找到规律是解题的关键．
【详解】解：解：∵观察可知：各三角形中左边第一个数的数字规律为：，，，n，
右边第二个数的数字规律为：，，，，
下边第三个数的数字规律为：，，…，，
∴最后一个三角形中y与n之间的关系式是．
故答案为：．
12．若，则 ．
【答案】7
【分析】本题考查了求代数式的值．对已知等式变形得到，再整体代入计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：7．
13．已知，依次类推，则 =
【答案】
【分析】通过观察，可得到规律，故可求解.
【详解】∵
即∴
∴===
故填：(1). (2). .
【点睛】此题主要考查等式规律探索，解题的关键是根据已知条件找到规律进行求解.
14．观察下列一组数：，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第个数是 ，第个数是 ．
【答案】
【分析】本题考查数字的变化规律，根据题目中的数字，可以发现数字的分子和分母的变化特点，从而可以写出第个数，解题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的数字．
【详解】解：，，，，…，
这组数为：，，，…，
这一组数的第个数是，第个数是，
故答案为：，．
15．人行道常用同样大小的灰、白两种小正方形地砖铺设而成，如图的每一个小正方形表示一块地砖，如果按图1、图2、图3……的次序铺设地砖，把第个图形用图表示，回答下列问题：
(1)完成表格中的填空；
图形序号 图1 图2 图3 图4 …
白色小正方形地砖块数 12 19 ______ ______ …
(2)若设第个图形中白色小正方形地砖的块数为，直接写出与之间的数量关系．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题主要考查图形规律，有理数的混合运算，根据图示分别找出每个图形中白色方砖的数量关系，根据数量关系找出规律即可求解，掌握有理数的混合运算，理解图形中数量关系的计算方法是解题的关键．
（1）根据图示中白色小正方形地砖块数增加的数量列式求解即可；
（2）根据（1）中的计算方法即可求解．
【详解】（1）解：图1中，白色小正方形地砖块数为，
图2中，白色小正方形地砖块数为，
图3中，白色小正方形地砖块数为，
图中4，白色小正方形地砖块数为，
故答案为：26，33；
（2）解：根据上述数量关系可得，．
16．某工厂生产了一种T型零件，该零件由两个长方形组成，其尺寸如图所示．
(1)用含的式子表示T型零件的周长；
(2)用含的式子表示T型零件的面积；
(3)当时，求T型零件的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了列代数式，求代数的值，确定各边长度是解题的关键．
（1）先确定各边长度，然后求和即可；
（2）分别求两个长方形的面积，两个长方形面积相加即可；
（3）将代入（2）中的代数式即可求解．
【详解】（1）解：由图可知：
示T型零件的周长为：；
（2）两个长方形面积分别为：，，
两个长方形面积之和：；
故T型零件的面积为：；
（3）将代入可得：
．
17．观察下列等式：
第1个等式：a1＝，
第2个等式：a2＝，
第3个等式：a3＝，
…
请解答下列问题：
(1)按以上规律列出第5个等式：a5＝　 　＝　 　；
(2)用含有n的代数式表示第n个等式：an＝　 　＝ (n为正整数)；
(3)求a1+a2+a3+…+a2019的值．
【答案】(1)；(2)；(3).
【分析】（1）根据规律，得出第5个等式：a5＝；
（2）根据规律，得出第5个等式：an＝
（3）将提出后，括号里进行加减，即可求出结果．
【详解】(1)第1个等式：a1＝，
第2个等式：a2＝，
第3个等式：a3＝，
∴第4个等式：a4＝，
第5个等式：a5＝，
故答案为 (2)第n个等式：
an＝
故答案为；
(3)a1+a2+a3+…+a2019＝+…+
＝
【点睛】此题考查了数字的有规律变化，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．
18．【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）等比数列的公比为 　　，第项是 　　．
【公式推导】如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：．所以，，，
（2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：　　．
【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法：
设①，则②，
得，．
【解决问题】（3）请仿照小明的方法求的值．
【答案】（1）3；243；（2）；（3）
【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，理解题意是解题的关键．
（1）根据题目中给出的等比数列的定义即可求解；
（2）根据公式推导过程即可求解；
（3）根据例题的方法求得，然后错位相减法，即可求解．
【详解】解：（1）等比数列的公比为，
第四项为，第五项为，
故答案为：3，243；
（2），，，
，
故答案为：；
（3）设①，
则②，
得，
．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第09讲 字母表示数和代数式
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解用字母表示数的意义； 2．会用字母表示一些简单问题中的数量关系； 3.能解释代数式的实际意义。
1.在小学里，我们就已经接触到了用字母表示数，下面给大家例举
（1）我们在小学有学过加法运算律和乘法运算律
（2）学过了表示三角形、长方形、正方形的平面图形面积，还有像正方体、长方体、圆柱圆锥立体图形的面积，请写出三个公式。
用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，
第1个图案需要棋子　 枚．
第2个图案需要棋子 枚．
第3个图案需要棋子　 枚．
...............................................
第n个图案需要棋子 枚．
用字母表示数的优点：
简介、通用、可以表示任何数，表示变化过程的规律。
3.认识代数式
用字母表示下面的数。
（1）出发地距离目的地s千米，汽车的平均速度为每小时v千米，到达目的地需要______小时。
（2）门票价格：成人票a元/张，儿童票b元/张，一张成人票比一张儿童票贵_ _元。
（3）景点处有一圆形喷泉，半径为r,则面积为________。
像、 、这样的狮子都是 。单独一个数或字母也是 ，如2、a都是 。
代数式的特点：
（1）代数式可以简明的描述许多实际问题中的数量关系；
（2）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“ ”或 ；
（3）除法运算一般以 的形式表示；
（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成 的形式；
（5）如果字母前面的数字是1，通常 ；
4.用代数式表示下面的数
（1）如果a表示一个有理数，那么它的相反数是 ；
（2）一个正方形的边长是a cm，把这个正方形的边长增加1cm后所得到的正方形的周长是 ；
（3）某城市5年前人均收入为n元，预计今年收入是五年前的2倍多500元，那么今年人均收入将达_ _元．
考点一：用字母表示数
例1．下列说法正确的是（ ）
A．－a一定是负数 B．a的倒数是 C．一定是分数 D．a2一定是非负数
【变式1-1】如果甲数是x，甲数比乙数多2倍，则乙数是（ ）
A．x B．x C．2x D．3x
【变式1-2】甲工厂在一月份的生产总值m万元，在2月和3月这两个月中，甲工厂的生产总值平均每月减少的百分率为，甲工厂3月份的生产总值是 万元（用含m的代数式表示）
【变式1-3】工程队计划每天修路a米，20天可以修完，实际只用了15天，实际每天修路多少米？
（1）用式子表示实际每天修路是多少米？
（2）根据多个式子，求时，实际每天修路多少米？
考点二：用代数式表示式
例2．若苹果每千克x元，小明买了2千克苹果需要支付的费用用代数式表示为（　　）
A．2×x B．2x C． D．2+x
【变式2-1】如果把一个长、宽、高分别为a厘米、b厘米和h厘米的长方体的高增加3厘米，那么这个长方体的表面积比原来增加（ ）平方厘米．
A． B． C． D．
【变式2-2】已知一套数学文化丛书的价格为80元．某校计划购买套数学文化丛书，则需要花费 元．
【变式2-3】某音像店对外出租光盘的收费方法是：每张光盘出租后的头两天每天收0.8元，以后每天收0.5元．
(1)小明租一张光盘6天，应收他多少钱；
(2)当小明租了天（且为正整数），则应收多少钱？
考点三：用代数式表示数、图形的规律
例3.如图，用同样大小的铜币摆放以下四个图案，根据摆放图案的规律，则第8个图案需要铜币的个数为（　　）
A．29 B．32 C．37 D．46
【变式3-1】苯是一种有机化合物，是组成结构最简单的芳香烃，可以合成一系列衍生物．如图是某小组用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第1个图形需要9根小木棒，第2个图形需要16根小木棒，第3个图形需要23根小木棒……按此规律，第n个图形需要（ ）根小木棒．
A． B． C． D．
【变式3-2】按照下面的方式堆放小球，第5堆有 个小球，第n堆有 个小球．
【变式3-3】如图，用一些完全相同的正五边形纸片依次“粘连”成一条纸带，探究纸片张数与纸带周长l的关系．设每个正五边形的边长为1.

纸片张数 1 2 3 4 5 …
纸带周长 5 8 11 14 ？ …
根据以上图表规律，解答下列问题：
(1)表格中“？”处应填写______；当时，______；
(2)纸带周长可能等于2025吗？请说明理由．
考点四：代数式的书写
例4．下列代数式书写规范的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】下列各式中，符合代数式书写规范的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】下列式子：①；②；③；④中．格式书写正确的有 ．（填序号）
【变式4-3】下列式子是一些书写规范吗？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处；
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
考点五：代数式表示的实际意义
例5．对“”解释错误的是（ ）
A．x与的积 B．x与的和 C．x与8的差 D．x减去8
【变式5-1】代数式的意义是（ ）
A．m除以n减1 B．n减1除m
C．n与1的差除以m D．m除以n与1的差所得的商
【变式5-2】代数式可表示的实际意义是 ．
【变式5-3】请你结合生活经验，设计具体情境说明下列代数式的实际意义：
(1)；
(2)；
(3)
考点六：已知字母的值求代数式的值
例6. 当时， 代数式的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【变式6-1】若x的相反数是，则代数式的值是（ ）
A． B． C．5 D．7
【变式6-2】当时，代数式的值为10，那么当时，这个代数式的值是 ．
【变式6-3】如图，用“8字砖”铺设地面，1块地砖有2个正方形，2块地砖拼得5个正方形，3块地砖拼得8个正方形，…，照此规律拼下去．
(1)请用含n的代数式表示n块地砖拼得的正方形的个数为_______________个；
(2)求当时，拼得的正方形的个数；
(3)若m块地砖拼得的正方形的个数是170，求m的值．
考点七：已知式子的值求代数式的值
例7．已知，则代数式的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式7-1】已知，则代数式的值为（ ）
A．2022 B．2021 C．2020 D．2019
【变式7-2】如果，，那么 ．
【变式7-3】【教材呈现】下题是华师版七年级上册数学教材第117页的部分内容．
17．代数式的值为9，则代数式的值为______．
【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：
由题意得，则有，
．所以代数式的值为9．
【方法运用】
（1）若，则______．
（2）若代数式的值为15，求代数式的值．
【拓展应用】若，则代数式的值为______．
1．下列说法中正确的是（ ）
A．表示的数一定是负数 B．表示的数一定是正数
C．表示的数一定是正数或负数 D．可以表示任何有理数
2．x表示一个两位数，把6写到x的右边组成一个三位数，则表示这个三位数的式子是（ ）
A． B． C． D．
3．如果代数式，那么代数式（ ）
A．8 B．4 C．2 D．
4．青岛市2018年6月份某一天的温差为12℃，最高气温为t℃，则最低气温可表示为（ ）
A．℃ B．℃ C．℃ D．℃
5．1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（ ）
A．676 B．674 C．1348 D．1350
6．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x为最大的负整数，则的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．
7．甲跑的速度是一个常数，乙跑的速度是甲速度的倍（），甲在乙前的米处，两人沿同一方向同时起跑，则乙追及甲所需跑（ ）米
A． B． C． D．
8．数据，□，，，，…是按照一定规律有序排列的，则“□”里应填的数是（　　）
A． B． C． D．
9．若， 则 ．
10．根据排列规律，在横线上填上合适的代数式；x，，， ，….
11．如图，每个三角形中的三个数之间有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中与之间的关系式为 ．

12．若，则 ．
13．已知，依次类推，则 =
14．观察下列一组数：，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第个数是 ，第个数是 ．
15．人行道常用同样大小的灰、白两种小正方形地砖铺设而成，如图的每一个小正方形表示一块地砖，如果按图1、图2、图3……的次序铺设地砖，把第个图形用图表示，回答下列问题：
(1)完成表格中的填空；
图形序号 图1 图2 图3 图4 …
白色小正方形地砖块数 12 19 ______ ______ …
(2)若设第个图形中白色小正方形地砖的块数为，直接写出与之间的数量关系．
16．某工厂生产了一种T型零件，该零件由两个长方形组成，其尺寸如图所示．
(1)用含的式子表示T型零件的周长；
(2)用含的式子表示T型零件的面积；
(3)当时，求T型零件的面积．
17．观察下列等式：
第1个等式：a1＝，
第2个等式：a2＝，
第3个等式：a3＝，
…
请解答下列问题：
(1)按以上规律列出第5个等式：a5＝　 　＝　 　；
(2)用含有n的代数式表示第n个等式：an＝　 　＝ (n为正整数)；
(3)求a1+a2+a3+…+a2019的值．
18．【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）等比数列的公比为 　　，第项是 　　．
【公式推导】如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：．所以，，，
（2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：　　．
【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法：
设①，则②，
得，．
【解决问题】（3）请仿照小明的方法求的值．
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