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第10讲 整式的加减
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解代数式、单项式、单项式的系数和次数、多项式、多项式的项、多项式的次数、整式的概念； 2．理解同类项的概念，掌握合并同类项的法则，会合并同类项； 3.了解去括号法则的依据，会用去括号进行简单的运算； 4.会进行整式的加减运算。
整式
1.代数式-a、4a、4、2n、500，都是数与字母的积，像这样的代数式叫做单项式；
单独一个数或一个字母也是单项式；
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，如4a的系数为4，次数为1；2Πr 的系数为2Π，次数为2.
代数式4a+4、2n+500，这些几个单项式的和叫做多项式；多项式中，每个单项式叫做多项式的项；多项式里含有几项，就把这个多项式叫做几项式，其中次数最高的项的次数叫做这多项式的次数，不含字母的项叫做常数项；
比如：
是一个三项式，它的次数为2，-7是常数项，所以也称二次三项式。
3.升幂排列与降幂排列
把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．
4.整式
单项式和多项式统称为整式.
（1）单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立．
（2）分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式．
合并同类项
1.如图所示，一张边长为20的正方形的纸片，剪去两个一样的小直角三角形和一个长方形得到一个“囧”字图案（阴影部分）．设剪去的小长方形长和宽分别为x、y，剪去的两个小直角三角形的两直角边长也分别为x、y．
用含有x、y的代数式表示右图中“囧”的面积；
设“囧”的面积为，则；
上题中的之间的计算还可用乘法结合律。
像这样的所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项，如1，2.
同类项的要求：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可．
同类项无关：①同类项与系数无关；②与字母的排列顺序无关．
2.合并同类项
运用运算律计算下面代数式
（1）7a-3a= 4a （2）4x +2x = 6x
（3）-9x y +5x y = -4x y （4）5ab +4 ab -13ab = -4ab
合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。
合并同类项的根据是乘法的分配律逆用，运用时应注意：
(1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄；
(2)系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)．
去括号
1.填表
a b c a＋(－b＋c) a－b＋c a－(－b＋c) a＋b－c
－5 2 －1 -8 -8 -2 -2
－6 －4 3 1 1 -13 -13
－9.5 －5 －7 -11.5 -11.5 -7.5 -7.5
从这张表中你发现了什么？再换几个数试试．能说明你发现的结论正确吗？
结论：
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
去括号法则：
括号前面时“+”，把括号和它前面的“+”去掉，括号里各项的符号都不改变；
括号前面时“-”，把括号和它前面的“-”去掉，括号里各项的符号都要改变；
小试牛刀：
（1）5a+（3b-4a） a+3b （2）2a-（a-b） a+b
（3）2x +3（2x-x ） -x +6x （4）（3x+1）-2（4-x） 5x-7
整式的加减运算
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项 ．
注：（1）整式加减的一般步骤是：①先去括号 ；②再合并同类项 ．
（2）整式加减的最后结果的要求：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂排列；③不能出现带分数或小数，最终要化成假分数．
考点一：单项式的判断
例1．在代数式中，单项式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题主要考查了单项式，表示数或字母的积的式子叫做单项式，单个的数字和字母也是单项式，据此即可求解．
【详解】解：代数式中，单项式有, ，，共4个，
故选：D．
【变式1-1】下列结论正确的是（ ）
A．是单项式 B．多项式是二次三项式
C．单项式的系数是 D．的次数是6
【答案】B
【分析】本题考查了单项式,单项式的系数是数字因数,单项式的次数是字母指数和,注意是常数不是字母．
【详解】A. 是多项式，原说法错误；
B. 多项式是二次三项式，说法正确；
C. 单项式的系数是，原说法错误；
D. 的次数是4，原说法错误；
故选B．
【变式1-2】在，，，，，，单项式有 ．多项式有 ，整式有 ．
【答案】 ， ， ，，，
【分析】本题主要考查了单项式，多项式，整式的定义，熟知相关定义是解题的关键：表示数或字母的积的式子叫做单项式，几个单项式的和的形式叫做多项式，整式是单项式和多项式的统称．根据单项式，多项式，整式的定义逐一判断即可．
【详解】解：，是单项式；
，是多项式；
，，，是整式；
故答案为：，；，；，，，．
【变式1-3】观察下列单项式的特点：．
(1)按此规律写出第6个单项式；
(2)按此规律写出第2023个单项式；
(3)试猜想第个单项式是什么？它的系数和次数分别是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)，它的系数,次数是
【分析】本题考查了整式的规律探索题、单项式的系数及次数：
（1）根据规律即可求解；
（2）根据规律即可求解；
（3）根据规律得第个单项式是，根据单项式的系数及次数即可求解；
准确找出规律是解题的关键．
【详解】（1）解：按此规律得第6个单项式为：．
（2）按此规律得第2023个单项式为：．
（3）按此规律得第个单项式是，
它的系数,次数是．
考点二：单项式的系数、次数
例2 ．关于单项式的叙述正确的是（ ）
A．系数是 B．系数是 C．次数是2次 D．次数是4次
【答案】B
【分析】本题考查了单项式的次数与系数，注意单项式的系数包括前面的符号，它是除字母因数外的部分，次数则只与字母的指数有关．数与字母的积称为单项式，其中的数称为单项式的系数，所有字母指数的和叫做这个单项式的次数，根据单项式的系数与次数的含义判断即可．
【详解】解：单项式的系数是，次数是3次，故选项B正确；
故选：B．
【变式2-1】的系数与次数分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】本题考查了单项式的系数与次数的概念，掌握定义是解题的关键．单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．利用单项式系数和次数的概念求解即可．
【详解】解：的系数与次数分别为，，
故选：B．
【变式2-2】若单项式的系数是m，次数是n，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了单项式有关概念，正确把握定义是解题关键．根据单项式的次数与系数的定义分别得出m，n的值，进而得出答案．
【详解】解：∵单项式的系数是m，次数是n，
∴，，
∴，
故答案为：
【变式2-3】有一列式子：．
其中是单项式的有______；是多项式的有______．
【答案】，，8；，；
【分析】本题考查了单项式和多项式的有关定义，单项式的定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式；再根据定义逐一判断即可，掌握定义是解本题的关键．
【详解】解：题目中是单项式的有：，，8；
是多项式的有：；，；
考点三：多项式的判断
例3.下列说法错误的是 （ ）
A． 是二次三项式 B． 不是单项式
C． 的系数是 D． 的次数是 6
【答案】D
【分析】此题主要考查了单项式、多项式，数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．正确掌握相关定义是解题关键．直接利用多项式、单项式的相关定义判断得出答案．
【详解】解：A．是二次三项式，正确，故此选项不合题意；
B．是多项式，不是单项式，正确，故此选项不符合题意；
C．的系数是，正确，故此选项不合题意；
D．，次数是4，不是6，错误，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式3-1】在下列整式，，，中多项式有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】本题考查多项式定义，根据多项式是几个单项式的和差理解，逐项验证即可得到答案，熟记多项式定义是解决问题的关键．
【详解】解：整式，，，中多项式有，，共2个，
故选：B．
【变式3-2】中，其中是多项式的有 个．
【答案】2
【分析】根据多项式的定义：几个单项式和的形式，进行判断即可．
【详解】解：在式子，中，，是多项式，共2个；
故答案为：2．
【点睛】本题考查多项式的识别．熟练掌握多项式的定义，是解题的关键．
【变式3-3】已知多项式按要求解答下列问题：
(1)填空：该多项式的次数是______，二次项是______，常数项是______；
(2)请将该多项式按y的降幂重新排列．
【答案】(1)6；；
(2)
【分析】本题主要考查了多项式项和次数的定义，降幂排列多项式：
（1）每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数，据此可得答案；
（2）根据题意将原多项式按照降幂排列即可得到答案．
【详解】（1）解：多项式的次数是6，二次项是，常数项是，
故答案为：6；；．
（2）解：该多项式按y的降幂重新排列为．
考点四：多项式的项、项数、次数
例4．下列说法正确的是（ ）．
A．x的次数是0 B．单项式的系数是
C．是二次三项式 D．是三次单项式
【答案】D
【分析】本题考查了单项式及多项式的定义，解题的关键是牢记单项式的系数、次数及多项式的次数、项数．
根据多项式及单项式的有关定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】对于A选项，x的系数是1，此选项说法错误；
对于B选项，单项式的系数是，此选项说法错误；
对于C选项，是三次三项式，此选项说法错误；
对于D选项，是三次单项式，此选项说法正确；
故选：D．
【变式4-1】下列说法中正确的是（ ）
A．是二次三项式 B．是三次三项式
C．的系数是，次数是4 D．的系数为0，次数为3
【答案】C
【分析】本题主要考查了多项式及单项式的定义，解题的关键是熟记定义．运用多项式及单项式的定义求解．
【详解】解：A、是分式，故A选项错误；
B、是二次三项式，故B选项错误；
C、的系数是，次数是4，故C选项正确；
D、的系数为1，次数为3，故D选项错误．
故选：C．
【变式4-2】多项式的二次项系数是 ，三次项系数是 ，常数项是 ，次数最高项的系数是 ．
【答案】 7 4
【分析】本题考查多项式的项，解答本题需要我们掌握多项式中次数、项数的定义．
【详解】解：多项式的二次项系数是，三次项系数是7，常数项是，次数最高项的系数是4．
故答案为：，7，，4．
【变式4-3】已知关于x、y的多项式是五次四项式（m，n为有理数），且单项式的次数与该多项式的次数相同．
(1)求m，n的值；
(2)将这个多项式按x的降幂排列．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查整式的项与次数．
（1）根据多项式的项数和次数的定义，可得，再由单项式的次数与该多项式的次数相同，可得，求解即可；
（2）按x的指数从大到小排列即可．
【详解】（1）解：∵多项式是五次四项式，单项式的次数与该多项式的次数相同，
∴，，
解得：，．
（2）由（1）可知，这个多项式为，
将这个多项式按x的降幂排列为．
考点五：将多项式升幂与降幂
例5．将多项式按的升幂排列的结果是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据升幂的定义结合题意对多项式进行排序，即可求解，本题考查了多项式的升幂排列，解题的关键是：明确是关于哪个字母，按升幂还是降幂排列．
【详解】解：由题意得将多项式按的升幂排列的结果是：，
故选：D．
【变式5-1】多项式按字母的降幂排列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．此题还要注意分清按照哪个字母的降幂或升幂排列．
【详解】解：．
故选A．
【变式5-2】37．把多项式按字母的升幂排列是 ．
【答案】
【分析】本题考查了将多项式按每个字母升幂（降幂）排列．
根据升幂排列的定义，我们把多项式的各项按照x的指数从小到大的顺序排列起来即可．
【详解】把多项式按字母的升幂排列是
故答案为：．
【变式5-3】指出下列各组中的两项是不是同类项，若不是，请说明理由．
（1）与；（2）与0；（3）与；（4）与；（5）与．
【答案】见解析
【分析】根据同类项的定义含有相同的字母，并且相同字母的次数也相同的项是同类项，另单独的数字也是同类项，逐一判断即可解题．
【详解】解：（1）（2）（5）都符合同类项的定义，都是同类项；
（3）与虽然所含的字母相同，但相同字母的指数都不相同，所以它们不是同类项；
（4）与所含的字母不相同，故它们不是同类项．
【点睛】本题考查同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键．
考点六：同类项的判断
例6. 下列单项式中，的同类项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查的是同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键．依据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的次数相同，据此判断即可．
【详解】解：A．是同类项，此选项符合题意；
B．字母a的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意；
C．相同字母的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意；
D．相同字母的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意．
故选：A．
【变式6-1】下列两项是同类项的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】C
【分析】本题考查同类项的定义，解题的关键是掌握同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，即可．
【详解】A、与不是同类项；
B、与不是同类项，不符合题意；
C、与是同类项，符合题意；
D、与不是同类项，不符合题意．
故选：C．
【变式6-2】请你写出一个的同类项为 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键．根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的两个单项式是同类项，即可求解．
【详解】解：的同类项为或等，
故答案为：（答案不唯一）
【变式6-3】已知与是同类项，求多项式的值．
【答案】，
【分析】本题考查了同类项的定义，整式化简求值；合并同类型，代值计算即可求解；理解定义“所含字母相同，相同字母的指数相同的单项式叫做同类项．”是解题的关键.
【详解】解：与是同类项，
，，
原式
，
当，时，
原式
．
考点七：同类项求值
例7．若与是同类项，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了同类项，代数式求值，利用同类项的定义求出的值，再把的值代入代数式计算即可求解，掌握同类项的定义是解题的关键．
【详解】解：∵与是同类项，
∴，，
解得，，
∴，
故选：．
【变式7-1】若，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】此题考查了合并同类项，牢记同类项的概念是解题的关键．
首先根据题意得到和是同类项，然后得到，，求出m和n的值，然后代入求解即可．
【详解】∵
∴和是同类项
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【变式7-2】若单项式与的和仍是单项式，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了同类项的定义，掌握所含字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项是解题的关键．
【详解】解：根据题意可知与是同类项，
∴，
解得：，
故答案为：．
【变式7-3】计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)8
(2)
【分析】本题主要考查了理数的加减混合运算和整式加减混合运算．
（1）按照从左右进行有理数的加减混合运算．
（2）按照整式加减合并同类项即可．
【详解】（1）解：原式
（2）原式
考点八：合并同类项
例8．下列各式中，运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了整式的运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键．
根据运算法则逐一进行运算判断即可．
【详解】解：A：，故A错误；
B：，故B错误；
C：，故C错误；
D，故D正确；
故选：D．
【变式8-1】下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查合并同类项的法则，根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，依次判断各项即可．
【详解】解：A、4和不是同类项，不能合并，故该选项错误；
B、和不是同类项，不能合并，故该选项错误；
C、，故该选项错误；
D、，故该选项正确；
故选：D．
【变式8-2】合并同类项： ．
【答案】
【分析】本题考查了合并同类项，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则．合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．根据合并同类项法则求解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【变式8-3】化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了整式的加减，掌握去括号法则以及合并同类项法则是解答本题的关键．
（1）根据合并同类项法则化简即可；
（2）先去括号，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
考点九：去括号
例9. 与相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了去括号．熟练掌握去括号是解题的关键．
根据括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号，作答即可．
【详解】解：由题意知，，
故选：D．
【变式9-1】下列式子中，去括号后得的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查去括号，掌握去括号的法则，利用去括号的法则，逐一进行计算后，判断即可．
【详解】解：A、，符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故选A．
【变式9-2】多项式去括号的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查去括号，去括号法则：1．括号前是“”，把括号和它前面的“”去掉后，原括号里各项的符号都不改变．2．括号前是“”，把括号和它前面的“”去掉后，原括号里各项的符号都要改变．改成与原来相反的符号．
【详解】解：．
故答案为：．
【变式9-3】分别按下列要求把多项式添上括号：
(1)把前两项括到前面带有“”号的括号里，后两项括到前面带有“”号的括号里；
(2)把后三项括到前面带有“”号的括号里；
(3)把含有字母的项括到前面带有“”号的括号里，把含有字母的项括到前面带有“”号的括号里．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查添括号法则，注意括号前为负号，括号内各项需变号．
（1）根据添括号法则：“括号前为正号，括号内各项不用变号，括号前为负号，括号内各项变号”，即可求解；
（2）根据添括号法则：“括号前为正号，括号内各项不用变号，括号前为负号，括号内各项变号”，即可求解；
（3）利用交换律将同字母的移在一起，再根据添括号法则即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）；
（3）
．
考点十：添括号
例10. ，在括号里填上适当的项应该是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接利用添括号法则将原式变形得出答案．此题主要考查了添括号法则，正确掌握运算法则是解题关键．
【详解】解：A、，故该选项是错误的；
B、，故该选项是错误的；
C、，故该选项是正确的；
D、，故该选项是错误的；
故选：C．
【变式10-1】下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了去括号和添括号，则相关运算法则是解答本题的关键．
选项A、C根据去括号法则判断即可，选项B、D根据添括号法则判断即可．
【详解】解：A. ，故本选项不符合题意；
B. ，故本选项不符合题意；
C. ，故本选项不符合题意；
D. ，故本选项符合题意；
故选：D.
【变式10-2】若，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了代数式求值，添括号，先求出，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式10-3】先合并同类项，再求值．
(1)，其中；
(2)，其中．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题考查了整式的运算，熟悉掌握合并同类项法则是解题的关键．
（1）合并同类项后代入运算即可；
（2）合并同类项后代入，，运算即可．
【详解】（1）解：，
当时，原式；
（2）
，
当，时，原式
考点十一：整式的加减运算
例11.有理数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【分析】本题考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，化简绝对值，根据题意得到是解题的关键．先根据数轴上点的位置推出，，，然后化简绝对值即可得到答案．
【详解】解：根据在数轴上的位置可得，
，，，
．
故选：D．
【变式11-1】若，，则P，Q的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了整式的混合运算以及作差法比较大小，根据，得出，即可作答．
【详解】解：∵
∴
∵
∴
即
故选：A
【变式11-2】若一个多项式加上，结果得，则这个多项式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了整式的加减，准确理解题意，列出运算式是解题的关键．设这个多项式为A，由题意得：，再求解即可．
【详解】解：设这个多项式为A，由题意得：，
∴，
故答案为：．
【变式11-3】【教材呈现】如图是苏科版七年级上册数学教材82页的部分内容．
议一议
求代数式的值，其中、．
把，代入后求值．
把看成一个字母，这个代数式可以简化为．
“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
(1)【问题解决】对议一议中的式子进行化简求值，并写出过程；
(2)【简单应用】已知，则的值为_____．
【答案】(1)，
(2)2
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则．
（1）先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可；
（2）先根据去括号法则和合并同类项法则把所求代数式进行化简，然后把的值整体代入化简后的式子进行计算即可．
【详解】（1）原式
，
当时，
原式
；
（2），
，
故答案为：．
考点十二：整式的加减中的化简求值
例12.已知，，则整式的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了整式加减的化简求值，去括号，添括号，利用整体代入的思想求解是解题的关键．
先化简再把、整体代入到所求代数式中进行求解即可．
【详解】解：原式．
故选：B．
【变式12-1】已知，，则代数式的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了整式的加减和用代数式求值，关键将整式变形为含有所给数值的代数式．用提取公因式的方法将代数式进行变形，再将数值代入求值．
【详解】解：
，
把，代入，
则：
，
故选：D．
【变式12-2】已知，那么代数式的值是 ．
【答案】6
【分析】本题考查了整式的加减－化简求值，先去括号合并同类项，再把代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴
．
故答案为：6．
【变式12-3】已知多项式是关于x，y的六次四项式，求的值．
【答案】5
【分析】本题考查了多项式的次数和项数．单项式的个数是多项式的项数，单项式的最高次项的次数是多项式的次数，据此列式计算，即可作答．
【详解】解：∵多项式是关于x，y的六次四项式，
∴，，
即，，
∴．
1．在代数式，，，，，中，单项式的个数是（ ）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题主要考查了单项式的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
【详解】解：在代数式，，，，，中，单项式有，，，，共4个，
故选：C．
2．多项式是（ ）
A．四次三项式 B．五次三项式 C．三次四项式 D．三次五项式
【答案】B
【分析】本题主要考查了多项式次数和项的定义，几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数，据此求解即可．
【详解】解：多项式是五次三项式，
故选：B．
3．下列计算中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了合并同类项，合并同类项时只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数部分保持不变，据此求解即可．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
4．若与是同类项，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题主要考查了同类项的定义，以及已知字母的值，求代数式的值，根据同类项的定义得出m，n的值是解题的关键．
【详解】解：∵若与是同类项，
∴，，
∴．
故选：C．
5．一个多项式与的和是，则这个多项式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了整式的加减，根据和减去一个加数等于另一个加数列出关系式，去括号合并即可得到结果，熟练掌握合并同类项和去括号法则是解题的关键．
【详解】解：由题意可得：
，
，
故选：．
6．已知有理数与互为相反数，，若，则的取值为（ ）
A．2 B．2或10 C．6或10 D．6
【答案】A
【分析】先求出，再根据得到，解方程后把x的值代入验证即可．此题考查了去括号法则、相反数、绝对值方程等知识，得到方程是解题的关键．
【详解】解：∵有理数与互为相反数，
∴，
∵，，
∴，
解得或．
当时，，不符合题意，
当时，，符合题意，
∴．
故选：A
7．将四张正方形纸片①，②，③，④按如图方式放入长方形内（相邻纸片之间互不重叠也无缝隙），未被四张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，要求出图中两块阴影部分的周长之差，只需知道其中一个正方形的边长即可，则要知道的那个正方形编号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】本题考查了整式的加减混合运算，根据图形列出阴影部分的周长是解答本题的关键．
设正方形纸片①②③④的边长为、、、；列出两个阴影部分边长之差即可得到结果．
【详解】解：设正方形纸片①②③④的边长为、、、，如图：
左上角阴影部分的周长为：，
右下角阴影部分的周长为：，
∴两部分阴影周长值差为：
，
∴要求出图中两块阴影部分的周长之差，只需知道其①正方形的边长即可，
故选：A．
8．如图所示：把两个正方形放置在周长为m的长方形ABCD内，两个正方形的重叠部分的周长为n（图中阴影部分所示），则这两个正方形的周长和可用代数式表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】正方形AKIE的周长表示为AK+KJ+JI+IH+HE+EM+MA，正方形FCLG的周长表示为GJ+JF+FC+CL+LH+HG，再利用线段的和差，求解即可．
【详解】解：∵长方形ABCD的周长为m，阴影部分的周长为n，
∴AB+BC，JI+HI=，
延长FG交AD于M，
正方形AKIE的周长为：AK+KJ+JI+IH+HE+EM+MA，
正方形FCLG的周长为：GJ+JF+FC+CL+LH+HG，
∵AK+JF=AB，KJ+FC=BC，
∴AK+JF+KJ+FC= AB+BC=，
∵AM+GL=AD=BC，
∴AM+GL+LC=BC+AB-DL=-DL，
∴GJ+JI+EI+ME=GJ+JI+HI+EH+GH= GJ+JI+HI+GH+EH=2(GJ+JI)+EH=n+EH，
∵EH=DL，
∴正方形AKIE的周长+正方形FCLG的周长=+-DL+ n+EH=m+n．
故选：A．
．
【点睛】本题考查了列代数式、正方形的周长、长方形的周长，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
9．某种水果售价是每千克5元，小红按八折购买了a千克，需付 元．
【答案】
【分析】本题考查了列代数式．根据题意，可以用含a的代数式表示出结果．
【详解】解：由题意可得，需付，
故答案为：．
10．多项式最高次项的系数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了多项式．根据多项式的意义，即可解答．
【详解】解：多项式的最高次项的系数是，
故答案为：．
11．如果单项式：与的和仍为单项式，则 ．
【答案】1
【分析】此题考查同类项定义，根据两个单项式的和仍为单项式可得与是同类项，由此求出m，n的值，代入计算可得答案．
【详解】解：∵与的和仍为单项式，
∴与是同类项，
，
∴，
故答案为：1．
12．已知，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了代数式求值，添括号，根据，利用整体代入法求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
13．若关于x的多项式不含二次项，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了多项式的应用，正确寻找出二次项是解题的关键．
根据多项式不含二次项，令二次项系数相加为即可．
【详解】解：∵，且不含二次项，
∴，
∴，
故答案为：．
14．已知，．
（1）当，时，的值为 ；
（2）若无论取何值时，总成立，则的值为 ．
【答案】 3
【分析】本题考查了整式的加减与有理数的混合运算；
（1）代入求值，然后按照有理数混合运算的运算顺序和计算法则进行计算；
（2）根据题意，合并同类项，再的系数为0，即可求解．
【详解】解：（1）当，时，
，
故答案为：；
（2）
，
∵总成立，
∴，解得，
故答案为：3．
15．在代数式，，，，，中
(1)单项式有：__________________．
(2)多项式有：__________________．
(3)将代数式按照b字母的降幂排列为：____________．
【答案】(1)，
(2)，，
(3)
【分析】本题考查了整式的定义，掌握单项式和多项式统称整式；
（1）根据单项式的的定义进行选择；
（2）根据多项式的的定义进行选择；
（3）根据多项式按某个字母降幂排列的知识解决即可．
【详解】（1）解：单项式有：，；
故答案为：，；
（2）解：，，；
故答案为：，，；
（3）解：将代数式按照b字母的降幂排列为：，
故答案为：．
16．阅读材料：我们知道，，我们把看成一个整体，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
(1)尝试应用：把看成个整体，合并的结果是　　；
(2)已知，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了合并同类项、代数式求值等知识点，掌握整体思想是解题的关键．
（1）将当作一个整体合并同类项即可；
（2）将原式变形成，然后将整体代入计算即可．
【详解】（1）解：
，
．
故答案为：．
（2）解：．
17．化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先去括号，再合并同类项；
（2）先去括号，再合并同类项．
本题主要考查了整式的加减，熟练掌握去括号法则，合并同类项法则，是解决本题的关键．
【详解】（1）
；
（2）
．
18．求的值，直接求较困难，因为是一个非常大的数．因此，我们用解方程的方法来求解．
解：设①
即②
②①得：
原式
请你在理解的基础上，模仿上述方法求下列各式的值：
(1)________．
(2)计算：．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了规律型中的数字的变化类，有理数的乘方运算，解题的关键是仿照例子计算．本题属于基础题，难度不大．
（1）由题意可知，，把原式变形后代入求解即可；
（2）设，则有，依照例题求解即可．
【详解】（1）由题意可知，，
∴
（2）解：设①
即②
②①得：
∴
原式
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第10讲 整式的加减
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解代数式、单项式、单项式的系数和次数、多项式、多项式的项、多项式的次数、整式的概念； 2．理解同类项的概念，掌握合并同类项的法则，会合并同类项； 3.了解去括号法则的依据，会用去括号进行简单的运算； 4.会进行整式的加减运算。
整式
1.代数式-a、4a、4、2n、500，都是数与字母的积，像这样的代数式叫做 ；
单独一个 或一个 也是
单项式中的数字因数叫做单项式的 ，单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的 ，如4a的系数为 ，次数为 ；2Πr 的系数为 ，次数为 .
代数式4a+4、2n+500，这些几个单项式的和叫做 ；多项式中，每个单项式叫做 ；多项式里含有几项，就把这个多项式叫做 ，其中次数 次数叫做这多项式的次数，不含字母的项叫做 ；
比如：
是一个 式，它的次数为 ， 是常数项，所以也称 。
3.升幂排列与降幂排列
把一个多项式按某一个字母的指数 的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母
排列；若按某一个字母的指数 的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母
排列．
4.整式
和 统称为 .
（1）单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立．
（2）分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式．
合并同类项
1.如图所示，一张边长为20的正方形的纸片，剪去两个一样的小直角三角形和一个长方形得到一个“囧”字图案（阴影部分）．设剪去的小长方形长和宽分别为x、y，剪去的两个小直角三角形的两直角边长也分别为x、y．
用含有x、y的代数式表示右图中“囧”的面积；
设“囧”的面积为，则；
上题中的之间的计算还可用乘法结合律。
像这样的所含 相同，并且相同 也相同的项叫做 ，几个常数项也是同类项，如1，2.
同类项的要求：① ；② ，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可．
同类项无关：①同类项与 无关；②与 无关．
2.合并同类项
运用运算律计算下面代数式
（1）7a-3a= 4a （2）4x +2x = 6x
（3）-9x y +5x y = -4x y （4）5ab +4 ab -13ab = -4ab
合并同类项法则：同类项的 相加，所得的结果作为 ，字母和字母的指数 。
合并同类项的根据是乘法的分配律逆用，运用时应注意：
(1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄；
(2)系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)．
去括号
1.填表
a b c a＋(－b＋c) a－b＋c a－(－b＋c) a＋b－c
－5 2 －1 -8 -8 -2 -2
－6 －4 3 1 1 -13 -13
－9.5 －5 －7 -11.5 -11.5 -7.5 -7.5
从这张表中你发现了什么？再换几个数试试．能说明你发现的结论正确吗？
结论：
去括号法则：
括号前面时“+”，把 去掉，括号里各项的符号都 ；
括号前面时“-”，把 去掉，括号里各项的符号都 ；
小试牛刀：
（1）5a+（3b-4a） a+3b （2）2a-（a-b） a+b
（3）2x +3（2x-x ） -x +6x （4）（3x+1）-2（4-x） 5x-7
整式的加减运算
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项 ．
注：（1）整式加减的一般步骤是：①先 ；②再 ．
（2）整式加减的最后结果的要求：①不能含有 ，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的 排列；③不能出现 ，最终要化成 ．
考点一：单项式的判断
例1．在代数式中，单项式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-1】下列结论正确的是（ ）
A．是单项式 B．多项式是二次三项式
C．单项式的系数是 D．的次数是6
【变式1-2】在，，，，，，单项式有 ．多项式有 ，整式有 ．
【变式1-3】观察下列单项式的特点：．
(1)按此规律写出第6个单项式；
(2)按此规律写出第2023个单项式；
(3)试猜想第个单项式是什么？它的系数和次数分别是多少？
考点二：单项式的系数、次数
例2 ．关于单项式的叙述正确的是（ ）
A．系数是 B．系数是 C．次数是2次 D．次数是4次
【变式2-1】的系数与次数分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【变式2-2】若单项式的系数是m，次数是n，则的值为 ．
【变式2-3】有一列式子：．
其中是单项式的有______；是多项式的有______．
考点三：多项式的判断
例3.下列说法错误的是 （ ）
A． 是二次三项式 B． 不是单项式
C． 的系数是 D． 的次数是 6
【变式3-1】在下列整式，，，中多项式有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式3-2】中，其中是多项式的有 个．
【变式3-3】已知多项式按要求解答下列问题：
(1)填空：该多项式的次数是______，二次项是______，常数项是______；
(2)请将该多项式按y的降幂重新排列．
考点四：多项式的项、项数、次数
例4．下列说法正确的是（ ）．
A．x的次数是0 B．单项式的系数是
C．是二次三项式 D．是三次单项式
【变式4-1】下列说法中正确的是（ ）
A．是二次三项式 B．是三次三项式
C．的系数是，次数是4 D．的系数为0，次数为3
【变式4-2】多项式的二次项系数是 ，三次项系数是 ，常数项是 ，次数最高项的系数是 ．
【变式4-3】已知关于x、y的多项式是五次四项式（m，n为有理数），且单项式的次数与该多项式的次数相同．
(1)求m，n的值；
(2)将这个多项式按x的降幂排列．
考点五：将多项式升幂与降幂
例5．将多项式按的升幂排列的结果是（　　）
A． B．
C． D．
【变式5-1】多项式按字母的降幂排列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】37．把多项式按字母的升幂排列是 ．
【变式5-3】指出下列各组中的两项是不是同类项，若不是，请说明理由．
（1）与；（2）与0；（3）与；（4）与；（5）与．
考点六：同类项的判断
例6. 下列单项式中，的同类项是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】下列两项是同类项的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【变式6-2】请你写出一个的同类项为 ．
【变式6-3】已知与是同类项，求多项式的值．
考点七：同类项求值
例7．若与是同类项，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】若，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式7-2】若单项式与的和仍是单项式，则 ．
【变式7-3】计算：
(1)；
(2)．
考点八：合并同类项
例8．下列各式中，运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-2】合并同类项： ．
【变式8-3】化简：
(1)；
(2)．
考点九：去括号
例9. 与相等的是（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】下列式子中，去括号后得的是（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】多项式去括号的结果是 ．
【变式9-3】分别按下列要求把多项式添上括号：
(1)把前两项括到前面带有“”号的括号里，后两项括到前面带有“”号的括号里；
(2)把后三项括到前面带有“”号的括号里；
(3)把含有字母的项括到前面带有“”号的括号里，把含有字母的项括到前面带有“”号的括号里．
考点十：添括号
例10. ，在括号里填上适当的项应该是（　　）
A． B．
C． D．
【变式10-1】下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式10-2】若，则 ．
【变式10-3】先合并同类项，再求值．
(1)，其中；
(2)，其中．
考点十一：整式的加减运算
例11.有理数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A． B． C．0 D．
【变式11-1】若，，则P，Q的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式11-2】若一个多项式加上，结果得，则这个多项式为 ．
【变式11-3】【教材呈现】如图是苏科版七年级上册数学教材82页的部分内容．
议一议
求代数式的值，其中、．
把，代入后求值．
把看成一个字母，这个代数式可以简化为．
“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
(1)【问题解决】对议一议中的式子进行化简求值，并写出过程；
(2)【简单应用】已知，则的值为_____．
考点十二：整式的加减中的化简求值
例12.已知，，则整式的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式12-1】已知，，则代数式的值是（　　）
A． B． C． D．
【变式12-2】已知，那么代数式的值是 ．
【变式12-3】已知多项式是关于x，y的六次四项式，求的值．
1．在代数式，，，，，中，单项式的个数是（ ）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．多项式是（ ）
A．四次三项式 B．五次三项式 C．三次四项式 D．三次五项式
3．下列计算中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．若与是同类项，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．一个多项式与的和是，则这个多项式为（ ）
A． B． C． D．
6．已知有理数与互为相反数，，若，则的取值为（ ）
A．2 B．2或10 C．6或10 D．6
7．将四张正方形纸片①，②，③，④按如图方式放入长方形内（相邻纸片之间互不重叠也无缝隙），未被四张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，要求出图中两块阴影部分的周长之差，只需知道其中一个正方形的边长即可，则要知道的那个正方形编号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
8．如图所示：把两个正方形放置在周长为m的长方形ABCD内，两个正方形的重叠部分的周长为n（图中阴影部分所示），则这两个正方形的周长和可用代数式表示为（ ）
A． B． C． D．
9．某种水果售价是每千克5元，小红按八折购买了a千克，需付 元．
10．多项式最高次项的系数为 ．
11．如果单项式：与的和仍为单项式，则 ．
12．已知，则的值是 ．
13．若关于x的多项式不含二次项，则 ．
14．已知，．
（1）当，时，的值为 ；
（2）若无论取何值时，总成立，则的值为 ．
15．在代数式，，，，，中
(1)单项式有：__________________．
(2)多项式有：__________________．
(3)将代数式按照b字母的降幂排列为：____________．
16．阅读材料：我们知道，，我们把看成一个整体，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
(1)尝试应用：把看成个整体，合并的结果是　　；
(2)已知，求的值．
17．化简：
(1)；
(2)．
18．求的值，直接求较困难，因为是一个非常大的数．因此，我们用解方程的方法来求解．
解：设①
即②
②①得：
原式
请你在理解的基础上，模仿上述方法求下列各式的值：
(1)________．
(2)计算：．
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