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第17讲 相交线
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解对顶角，知道对顶角相等； 2．在具体情境中进一步丰富对两条直线互相垂直的认识，并会用符号表示两条直线互相垂直； 3.会用三角尺、量角器、方格纸画垂线，并在操作、思考活动中探索垂线的基本性质。 4.感知垂线段最短的性质。
对顶角
对顶角的定义：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。
如图：∠1与∠3，∠2与∠4互为对顶角。
对顶角的性质：对顶角相等。
几何语言：
∵∠1与∠3，∠2与∠4互为对顶角
∴∠1=∠3，∠2=∠4
垂直
1.如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
2.过点A作直线l的垂线。
垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
如图：两条直线互相垂直，记作a⊥b于点O或者CD⊥AB于点O；
几何语言：∵AB⊥CD ∴∠ AOC=90°
反之：∵∠AOC=90° ∴AB⊥CD。
3.垂直的网格画法：长方形法。
垂线段
直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做
点到直线的距离。
从直线外一点画这条直线的垂线，这点与垂足之间的线段，
叫做点到直线的垂线段，简称：垂线段最短。
考点一：对顶角的定义
例1．下列图中，、是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了对顶角的定义，熟记对顶角的图形及对顶角的定义有公共顶点并且其中一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线的特点是解题的关键．
根据对顶角的定义有公共顶点并且其中一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线的特点对各选项分析判断．
【详解】解：A、、没有公共顶点，不是对顶角，不符合题意；
B、、的边不是反向延长线所以不是对顶角，不符合题意；
C、、没有公共顶点，不是对顶角，不符合题意；
D、、是对顶角，符合题意；
故选：D．
【变式1-1】如图，当光线从空气射入水中，会发生折射与反射现象，其中与互为对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了对顶角，根据对顶角的定义即可求解，掌握对顶角的定义是解题的关键．
【详解】解：由图可得，与互为对顶角的是，
故选：．
【变式1-2】如图，已知直线相交于点O，射线把分成两部分．
（1）写出图中的对顶角 ，的补角是 ；
（2）已知，且，则的度数为 ．
【答案】 / / /度
【分析】本题主要考查了补角，对顶角的定义，几何图形中角度的计算：
（1）根据补角和对顶角的定义求解即可；
（2）先求出，再由平角的定义即可求出答案．
【详解】解：（1）的对顶角是；的补角是，
故答案为：；；
（2）∵，且，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式1-3】如图，直线相交于点，，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若比大，求的度数．
【答案】(1)的度数为
(2)的度数为
【分析】本题考查了角平分线的定义、一元一次方程的应用、几何图中角度的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由对顶角相等得出，由角平分线的定义得出，由垂线的定义得出，再由角的和差关系即可得出答案；
（2）设，则，由角平分线的定义得出，从而列出关于的方程，求解即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的度数为；
（2）解：设，
∵比大，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴的度数为142°．
考点二：对顶角相等
例2．如图．直线和直线相交于点，若，则的度数是（　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查对顶角的性质，根据对顶角相等即可解答．
【详解】解：根据对顶角相等可得，．
故选：C
【变式2-1】如图，已知直线、相交于点，平分，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据邻补角的定义列式计算即可得到，再根据对顶角相等可得，然后根据角平分线的定义求解．
【详解】解：，
，
，
平分，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了对顶角相等的性质，邻补角的定义，角平分线的定义等知识，熟记概念与性质是解题的关键．
【变式2-2】如图，直线、相交于点，，把分成两部分，且，则的度数为 ．
【答案】/20度
【分析】本题主要考查对顶角的性质，由对顶角相等，得出，由，得．熟练掌握对顶角的性质是解决本题的关键．
【详解】解：与互为对顶角，
．
，
，
故答案为：．
【变式2-3】如图，已知直线、、交于点，，且平分．
(1)若，求的度数；
(2)，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了垂线的定义，角平分线的定义，对顶角，利用垂线及角平分线的定义得到角的关系量是解题的关键．
（1）利用对顶角得出，根据角平分线的定义可得，再由垂直的定义得出，即可运算出结果；
（2）利用即可得到，利用角平分线的定义得出，即可运算求出．
【详解】（1）解：∵，，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴．
考点三：垂线的定义
例3. 在同一平面内，下列说法错误的有（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②两条射线不相交就平行；③有公共顶点且相等的角是对顶角；④直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到直线的距离；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据平行线的判定与性质、点到直线的距离、平行公理等知识判断求解即可．
【详解】解：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
故①不符合题意；
两条射线不相交也不一定平行，
故②符合题意；
有公共顶点且相等的角不一定是对顶角，
故③符合题意；
直线外一点到已知直线的垂线段的长度叫做这点到直线的距离，
故④符合题意；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
故⑤符合题意；
综上所述：错误的说法是②③④⑤共四个；
故选：D．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质、点到直线的距离、平行公理及推论等知识，熟练掌握平行线的判定与性质、点到直线的距离、平行公理及推论是解题的关键．
【变式3-1】下列说法中，
①过直线外一点作已知直线的垂线有且只有一条；
②连接两点的线段叫两点间的距离；
③等角的补角互余；
④两点之间，线段最短；
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】此题主要考查了平行公理，两点间的距离，线段的性质等，熟练掌握平行公理，两点间的距离，线段的性质是解决问题的关键．
根据过直线外一点作已知直线的垂线有且只有一条可对①进行判断；根据连接两点的线段长度叫两点间的距离可对②进行判断；根据等角的补角相等可对③进行判断；根据两点之间，线段最短可对④进行判断，综上所述即可得出答案．
【详解】解：过直线外一点作已知直线的垂线有且只有一条，
①正确；
连接两点的线段长度叫两点间的距离，
②不正确；
等角的补角相等，
③不正确；
两点之间，线段最短，
④正确．
综上所述：正确的说法是①④，共2个．
故选：．
【变式3-2】如图，，于D，有以下结论：①：②与互相垂直；③点C到的垂线段是线段；④点A到的距离是线段的长度；⑤线段的长度是点C到的距离：⑥线段的长度是点D到的距离，其中正确的有 （填序号）

【答案】①④⑤
【分析】本题考查了垂直的定义，点到线段的距离．根据垂直的定义可判断①；根据垂线的性质可判断②不正确；根据点到直线的距离可判断③④⑤⑥．
【详解】解：①∵，
∴；故①说法正确；
②，由垂线的性质知与不垂直；故②说法错误；
③点C到的垂线段是线段的长度；故③说法错误；
④点A到的距离是线段的长度；故④说法正确；
⑤线段的长度是点C到的距离；故⑤说法正确；
⑥线段的长度是点C到的距离；故⑥说法错误；
综上：正确的是：；
故答案为：①④⑤．
【变式3-3】如图，正方形网格的格点在的边上，点，，也是格点，请利用网格完成下面画图：
(1)过点画的垂线，交于点，经过的一个格点记为；
(2)过点画的垂线，垂足记为；
(3)试判断线段，，的大小关系并说明判断的依据．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，依据见解析
【分析】本题考查了格点作图，垂线段最短，点到直线的距离，解题的关键是数形结合．
（1）利用网格的特点作图即可；
（2）利用网格的特点作图即可；
（3）根据垂线段最短即可求解．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求；
（2）如图，即为所求；
（3），
判断的依据：直线外一点和直线上所有点的连线中，垂线段最短．
考点四：画垂线
例4．下列选项中，过点画的垂线，三角板放法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了用三角板画垂线，解题的关键是熟练掌握用三角板画垂线的方法．根据画垂线的方法进行判断即可．
【详解】解：∵三角板有一个角是直角，
∴三角板的一条直角边与直线重合，
∵过点P作直线的垂线，
∴三角板的另一条直角边过点P，
∴符合上述条件的图形只有选项C．
故选：C．
【变式4-1】过点B画线段所在直线的垂线段，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查过直线外一点作已知直线的垂线段，根据垂线段的定义依次判断每个选项．
【详解】解：A．图上为过A点画线段所在直线的垂线段，故该选项不符合题意；
B．图上为过点B画线段所在直线的垂线段，故该选项符合题意；
C．图上为过上一点D画线段所在直线的垂线段，故该选项不符合题意；
D．图上为过点B画线段的垂线段，故该选项不符合题意；
故选：B．
【变式4-2】在平面内，已知点P在直线l外，则过点P可以画 条直线与直线l相垂直．
【答案】一/1
【分析】应用垂线的性质，在平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进行判断即可得出答案．
【详解】解：在平面内，已知点P在直线l外，则过点P可以画一条直线与直线l相垂直．
故答案为：一．
【点睛】本题主要考查了垂线的性质，熟练掌握垂线的性质进行求解是解决本题的关键．
【变式4-3】作图并回答问题：已知，如图，点在的边上．
(1)过点作边的垂线；
(2)过点作边的垂线段；
(3)比较，，线段的大小：_________________，得此结论的依据是_________________．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)；直线外一点到直线上的所有连线中，垂线段最短
【分析】本题考查了垂线的基本作图，垂线段最短．
（1）按照要求作出垂线即可；
（2）按照要求作出垂线即可；
（3）根据垂线段最短比较即可解答．
【详解】（1）解：如图：
（2）解：如图：
（3）解：，
依据：直线外一点到直线上的所有连线中，垂线段最短．
故答案为：；直线外一点到直线上的所有连线中，垂线段最短．
考点五：垂线段最短
例5 ．如图，这是小军同学在体育课上跳远留下的痕迹，其中①号线的长度作为他的跳远成绩，这样测量的数学道理是（　）

A．平行线之间的距离处处相等 B．垂线段最短
C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短
【答案】B
【分析】本题考查了垂线段的性质，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段最短．利用垂线段最短求解．
【详解】解：运动员跳远成绩的依据是垂线段最短，
故选：B．
【变式5-1】如图，计划把河水引到A处，应在河岸B（于点B）处挖渠才能使水渠的长度最短，这样做的依据是（ ）
A．垂线段最短
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．两点之间，线段最短
【答案】A
【分析】本题考查的是点到直线的距离的含义，垂线段最短的应用，熟记概念是解本题的关键．
过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段；直线外一点与直线上任意一点的连线中，垂线段最短．
【详解】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
因此，沿开渠，能使所开的渠道最短．
故选：A．
【变式5-2】在中，，，，且，若点P在直线AC上运动，则BP最短时的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查垂线段最短，三角形的面积．熟练掌握垂线段最短是解题的关键．
当时，根据垂线段最短，此时最小，然后利用面积法求解即可．
【详解】解：当时，根据垂线段最短，此时最小，
∵
∴，
∵，，
∴
∴
故答案为：4．
【变式5-3】如图，点P是的边上的一个格点，用无刻度的直尺作图：
(1)过点P作，垂足为Q；
(2)过点P作，交于点C；
(3)线段________的长度是点P到的距离．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】此题考查了垂线的定义和网格作图，准确作图是解题的关键．
（1）根据网格特点作出线即可；
（2）根据网格特点作出线即可；
（3）根据点到直线的距离的定义进行解答即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求，
（2）如图即为所求，
（3）线段的长度是点P到的距离．
故答案为：
考点六：点到直线的距离
例6. 下列图形中，线段的长表示点A到直线距离的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了点到直线的距离，理解“点到直线的垂线段的长度就是点到直线的距离”是解题的关键．过点A作直线的垂线，垂足为D，线段的长就是点A到直线距离，据此求解即可．
【详解】解：A．与BC不垂直，故线段的长不能表示点A到直线距离，不合题意；
B．与BC不垂直，故线段的长不能表示点A到直线距离，不合题意；
C．与BC不垂直，故线段的长不能表示点A到直线距离，不合题意；
D．于D，则线段的长表示点A到直线的距离，符合题意．
故选：D．
【变式6-1】在直角三角形中，，，，点P是直线上的动点，线段的最小值为（ ）
A．3 B．5 C．12 D．13
【答案】C
【分析】本题考查了垂线段最短，熟记垂线段最短是解题的关键．利用连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短即可解决．
【详解】解：∵直角三角形中，，
所以点到直线的距离为，
∵点P是直线AB上的动点，
∴线段的最小值为，
故选：C．
【变式6-2】如图，在直角三角形中，，，，．点A到点B的距离是 ，点B到的距离是 ，点A到的距离是 ；
【答案】 5 4 3
【分析】本题考查点到直线的距离，两点间的距离．关键是理解两点间的距离是线段的长度，点到的距离是从点A向作垂线段的长度，即线段的长度，类比求出点B到的距离即可解题．
【详解】解：点A到点B的距离是；点B到的距离是；点A到的距离是；
故答案为：，，．
【变式6-3】如图，直线，相交于点，，垂足为，，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了垂线的定义、对顶角相等，利用邻补角求度数，由垂线的定义可得，由，结合得出，再由对顶角相等即可得出答案．
【详解】解：，
，
，，
，
．
1．如图，直线，相交于点O，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了对顶角的性质，熟知对顶角相等是解题的关键．
由对顶角相等得出，结合已知，即可求出的度数．
【详解】解：由对顶角的性质得，，
∵，
∴，
故选：C．
2．如图，小华同学的家在点处，他想尽快到达公路边去接从外地回来的外婆，他选择沿线段去公路边，他的这一选择用到的数学知识是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间直线最短
C．两点之间线段最短 D．垂线段最短
【答案】D
【分析】本题主要考查了垂线段的性质，读懂题意，根据垂线段的性质解答即可．解答此题的关键是要明确垂线段最短．
【详解】解：小华同学的家在处，他想尽快到达公路边去接从外地回来的外婆，他选择路线，他的这一选择用到的数学知识是：垂直线段最短，
故选：D．
3．如图，直线于，平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了垂线、角平分线的定义、邻补角定义等知识．解题的关键是掌握垂线的定义、角平分线的定义、邻补角定义等，难度不大，是基础题．
根据，可知，根据平分，可知，再根据邻补角的定义即可求出的度数．
【详解】解：，
，
平分，
，
，
故选：C．
4．如图，直线相交于点O，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查对顶角的性质及角的和差，根据对顶角的性质得到，由计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
故选：C．
5．如图，直线与相交于点，，，射线平分，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了角的和差，对顶角相等，首先设，，然后表示出和，再根据平角定义列出方程，解方程求出，进而可求出，解题的关键是理清图中角之间的关系，利用方程思想解决问题．
【详解】解：设，，
∵，
∴，
∵射线平分，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
故选：．
6．图1是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即（如图2）反射光线与入射光线、法线在同一平面上，法线垂直于平面镜，反射光线和入射光线位于法线的两侧，反射角等于入射角．如图3，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜，利用光的反射原理找到了乒乓球的位置，已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查垂直的定义，等角的余角相等以及对顶角相等．由垂直的定义得，根据平面镜反射规律及等角的余角相等得到，由对顶角相等得到，即可得解．解题的关键是理解并掌握平面镜反射规律．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
故选：B．
7．如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查垂线定义、一元一次方程的应用，熟练掌握垂线定义和找准角的等量关系是解答的关键．
根据垂线定义可求得，进而根据列方程求得，从而可求的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，解得
∴，
故选：A．
8．如图所示，于D，则下列结论中，正确的个数为（　）
①；②与互相垂直；③点C到的垂线段是线段；④点A到的距离是线段的长度；⑤线段的长度是点C到的距离；⑥线段的长度是点D到的距离．
A．3个 B．4个 C．7个 D．0个
【答案】A
【分析】①根据，得到；②与不垂直；③点C到的垂线段是线段；④根据点到线段的距离是点到线段的垂线段的长度，进行判断；⑤根据点到线段的距离是点到线段的垂线段的长度，进行判断；⑥根据点到线段的距离是点到线段的垂线段的长度，进行判断；
【详解】解：①∵，
∴；故①正确；
②，与不垂直；故②错误；
③点C到的垂线段是线段；故③错误；
④点A到的距离是线段的长度；故④正确；
⑤线段的长度是点C到的距离；故⑤正确；
⑥线段的长度是点C到的距离；故⑥错误；
综上：正确的是：，共3个；
故选A．
【点睛】本题考查垂线段．熟练掌握垂线段的定义，以及垂线段的长度是点到线段的距离，是解题的关键．
9．如图，直线a，b相交，，则 ．
【答案】140°/度
【分析】本题主要考查了对顶角相等的性质，先根据对顶角相等求出的度数，再根据平角等于列式求解即可．
【详解】解：，（对顶角相等），
，
．
故答案为：．
10．如图，直线、、相交于点，若，，则 ．
【答案】30
【分析】本题考查的是角的和差倍分关系，对顶角的性质，先求解，再利用对顶角的性质可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：
11．如图，已知点O在直线上，于点M，连接，则点E到的距离是线段 的长度．
【答案】/
【分析】根据点到直线距离的定义即可得出结论．本题考查了点到直线的距离，熟记点到直线的距离的定义是解题的关键．
【详解】解：由题意得：∵
∴点到的距离是线段的长度．
故答案为：．
12．如图，直线相交于点O，，垂足为点O，若，则 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂线的定义，先由平角的定义得到，再由垂直的定义得到，则．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13．如图，直线、相交于点O，平分，，与的度数之比为，则 ．
【答案】/54度
【分析】本题考查了角平分线，对顶角，垂直的定义等知识，设，则，利用角平分线定义求出，利用垂直定义得出，求出x，然后利用对顶角的性质即可求解．
【详解】解：∵与的度数之比为，
∴设，则，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴．
故答案为：．
14．如图，在中，分别是的角平分线和高线，点 P在 的延长线上，交于点 Q，交于点 N，交于点 M，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号）．
【答案】①③④
【分析】本题考查了三角形内角和、全等三角形的判定和性质、垂线的定义等知识点，解题的关键熟知相关的定理和定义．
由高线的定义及对顶角相等可判断①正确；由角平分线定义、三角形内角和、高线可判断②错误；由三角形外角的性质可判断③正确；由全等三角形的判定和性质可推导④正确．
【详解】∵是高线，，
∴，又，
∴（同角的余角相等），故①正确；
由平分知，，
由是高线知，，
∴，
即，故②错误；
，故③正确；
∵，
∴
∴，
∴
故④正确．
因此正确的选项有①③④．
故答案为：①③④．
15．观察下列图形，寻找对顶角（不含平角）．

(1)如图1，两条直线相交于一点，共有__________对对顶角；
(2)如图2，三条直线相交于一点，共有__________对对顶角；
(3)如图3，四条直线相交于一点，共有__________对对顶角；
(4)根据填空结果探究：当条直线相交于一点时，共有__________对对顶角；
(5)根据探究结果，求1000条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数．
【答案】(1)2
(2)6
(3)12
(4)
(5)999000
【分析】
本题考查对顶角的概念以及多条直线相交于一点，所形成的对顶角的个数的计算规律．
（1）两条直线相交于一点，数一数即可得出成2对对顶角；
（2）三条直线相交于一点，数一数即可得出6对对顶角，
（3）4条直线相交于一点，数一数即可得出12对对顶角；
（4）依次可找出规律，若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角．
（5）根据（4）得出得结论代入求解即可．
【详解】（1）解：对图形进行点标注．

图①中对顶角有与，与，共2对；
故答案为：2；
（2）图②中对顶角有与，与，与，与，与，与，共6对；
故答案为：6；
（3）图③中对顶角有与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，共12对；
故答案为：12；
（4）①，②，③，
则可以推理得到条直线相交于一点共有对对顶角，
故答案为：．
（5）由（4）可知条直线相交于一点共有对对顶角，
当时，共有条对顶角．
16．如图，直线相交于点O，分别在和内部，平分．
(1)若，，求的度数；
(2)若平分，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线的定义．
（1）根据角平分线的定义得出，再根据，求出结果即可；
（2）设，根据角平分线的定义得出，根据，列出关于x的方程，求出，根据角平分线的定义得出，根据，求出结果即可．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）解：设，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
17．已知，点O在直线上，，平分．
【问题初探】
（1）如图1，若，求的度数；
【类比分析】
（2）如图1，试探究与之间的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图2，若平分，平分，试探究的值是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）
【分析】本题考查了角平分线的定义、求一个角的余角和补角，解答关键是根据图形各角度之间的数量关系．
（1）根据，求得，再由角平分线定义，求得，利用余角定义求即可；
（2）先求出，由角平分线定义，求得，利用余角定义表示出即可；
（3）根据角平分线的定义，得到．由（2）得，即，由，根据即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
（2）解：．
理由：∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
（3）解：．
理由：∵平分，
∴．
由（2）得，
∴．
∵平分．
∴．
∵，
∴，
∴
．
∵，
∴，即，
．
18．如图，已知点为直线上一点，，，平分，．
(1)求的度数；
(2)试说明：平分；
(3)若改变的大小，其余条件不变，设，(2)中的结论是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请用表示．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)（2）中的结论依然成立，理由见解答过程
【分析】此题主要考查了角平分线定义，垂直定义，邻补角定义，角的计算；
（1）先根据邻补角定义求出，再根据可得的度数；
（2）先根据及角平分线定义得，进而得，则，由此即可得出结论；
（3）根据邻补角定义得，根据得，再根据角平分线定义得，进而得，则，由此即可得出结论．
【详解】（1）解：点为直线上一点，，
，
，
，
；
（2），平分，
，
由（1）可知：，
，
，
，
，
平分；
（3）（2）中的结论依然成立，理由如下：
点为直线上一点，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
平分．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第17讲 相交线
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解对顶角，知道对顶角相等； 2．在具体情境中进一步丰富对两条直线互相垂直的认识，并会用符号表示两条直线互相垂直； 3.会用三角尺、量角器、方格纸画垂线，并在操作、思考活动中探索垂线的基本性质。 4.感知垂线段最短的性质。
对顶角
对顶角的定义：一个角的两边分别是另一个角的两边的 ，这两个角叫做 。
如图：∠1与∠3，∠2与∠4互为对顶角。
对顶角的性质： 。
几何语言：
∵∠1与∠3，∠2与∠4互为对顶角
∴∠1=∠3，∠2=∠4
垂直
1.如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的 ，它们的交点叫做 。
2.过点A作直线l的垂线。
垂线的性质： 。
如图：两条直线互相垂直，记作 ⊥ 于点O或者 ⊥ 于点O；
几何语言：∵AB⊥CD ∴∠ AOC=90°
反之：∵∠AOC=90° ∴AB⊥CD。
3.垂直的网格画法： 。
垂线段
直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做
。
从直线外一点画这条直线的垂线，这点与垂足之间的线段，
叫做点到直线的垂线段，简称： 。
考点一：对顶角的定义
例1．下列图中，、是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】如图，当光线从空气射入水中，会发生折射与反射现象，其中与互为对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】如图，已知直线相交于点O，射线把分成两部分．
（1）写出图中的对顶角 ，的补角是 ；
（2）已知，且，则的度数为 ．
【变式1-3】如图，直线相交于点，，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若比大，求的度数．
考点二：对顶角相等
例2．如图．直线和直线相交于点，若，则的度数是（　）
A． B． C． D．
【变式2-1】如图，已知直线、相交于点，平分，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】如图，直线、相交于点，，把分成两部分，且，则的度数为 ．
【变式2-3】如图，已知直线、、交于点，，且平分．
(1)若，求的度数；
(2)，求的度数．
考点三：垂线的定义
例3. 在同一平面内，下列说法错误的有（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②两条射线不相交就平行；③有公共顶点且相等的角是对顶角；④直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到直线的距离；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3-1】下列说法中，
①过直线外一点作已知直线的垂线有且只有一条；
②连接两点的线段叫两点间的距离；
③等角的补角互余；
④两点之间，线段最短；
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3-2】如图，，于D，有以下结论：①：②与互相垂直；③点C到的垂线段是线段；④点A到的距离是线段的长度；⑤线段的长度是点C到的距离：⑥线段的长度是点D到的距离，其中正确的有 （填序号）

【变式3-3】如图，正方形网格的格点在的边上，点，，也是格点，请利用网格完成下面画图：
(1)过点画的垂线，交于点，经过的一个格点记为；
(2)过点画的垂线，垂足记为；
(3)试判断线段，，的大小关系并说明判断的依据．
考点四：画垂线
例4．下列选项中，过点画的垂线，三角板放法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】过点B画线段所在直线的垂线段，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】在平面内，已知点P在直线l外，则过点P可以画 条直线与直线l相垂直．
【变式4-3】作图并回答问题：已知，如图，点在的边上．
(1)过点作边的垂线；
(2)过点作边的垂线段；
(3)比较，，线段的大小：_________________，得此结论的依据是_________________．
考点五：垂线段最短
例5 ．如图，这是小军同学在体育课上跳远留下的痕迹，其中①号线的长度作为他的跳远成绩，这样测量的数学道理是（　）

A．平行线之间的距离处处相等 B．垂线段最短
C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短
【变式5-1】如图，计划把河水引到A处，应在河岸B（于点B）处挖渠才能使水渠的长度最短，这样做的依据是（ ）
A．垂线段最短
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．两点之间，线段最短
【变式5-2】在中，，，，且，若点P在直线AC上运动，则BP最短时的值为 ．
【变式5-3】如图，点P是的边上的一个格点，用无刻度的直尺作图：
(1)过点P作，垂足为Q；
(2)过点P作，交于点C；
(3)线段________的长度是点P到的距离．
考点六：点到直线的距离
例6. 下列图形中，线段的长表示点A到直线距离的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】在直角三角形中，，，，点P是直线上的动点，线段的最小值为（ ）
A．3 B．5 C．12 D．13
【变式6-2】如图，在直角三角形中，，，，．点A到点B的距离是 ，点B到的距离是 ，点A到的距离是 ；
【变式6-3】如图，直线，相交于点，，垂足为，，求的度数．
1．如图，直线，相交于点O，若，则（　　）
A． B． C． D．
2．如图，小华同学的家在点处，他想尽快到达公路边去接从外地回来的外婆，他选择沿线段去公路边，他的这一选择用到的数学知识是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间直线最短
C．两点之间线段最短 D．垂线段最短
3．如图，直线于，平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，直线相交于点O，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，直线与相交于点，，，射线平分，则（　　）
A． B． C． D．
6．图1是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即（如图2）反射光线与入射光线、法线在同一平面上，法线垂直于平面镜，反射光线和入射光线位于法线的两侧，反射角等于入射角．如图3，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜，利用光的反射原理找到了乒乓球的位置，已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，于D，则下列结论中，正确的个数为（　）
①；②与互相垂直；③点C到的垂线段是线段；④点A到的距离是线段的长度；⑤线段的长度是点C到的距离；⑥线段的长度是点D到的距离．
A．3个 B．4个 C．7个 D．0个
9．如图，直线a，b相交，，则 ．
10．如图，直线、、相交于点，若，，则 ．
11．如图，已知点O在直线上，于点M，连接，则点E到的距离是线段 的长度．
12．如图，直线相交于点O，，垂足为点O，若，则 ．
13．如图，直线、相交于点O，平分，，与的度数之比为，则 ．
14．如图，在中，分别是的角平分线和高线，点 P在 的延长线上，交于点 Q，交于点 N，交于点 M，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号）．
15．观察下列图形，寻找对顶角（不含平角）．

(1)如图1，两条直线相交于一点，共有__________对对顶角；
(2)如图2，三条直线相交于一点，共有__________对对顶角；
(3)如图3，四条直线相交于一点，共有__________对对顶角；
(4)根据填空结果探究：当条直线相交于一点时，共有__________对对顶角；
(5)根据探究结果，求1000条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数．
16．如图，直线相交于点O，分别在和内部，平分．
(1)若，，求的度数；
(2)若平分，求的度数．
17．已知，点O在直线上，，平分．
【问题初探】
（1）如图1，若，求的度数；
【类比分析】
（2）如图1，试探究与之间的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图2，若平分，平分，试探究的值是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
18．如图，已知点为直线上一点，，，平分，．
(1)求的度数；
(2)试说明：平分；
(3)若改变的大小，其余条件不变，设，(2)中的结论是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请用表示．
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