资源简介

第19讲 多边形
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．进一步认识“三角形的内角和是180°”，并能用以进行计算及推理； 2．理解多边形的内角、外角和对角线； 3.学会推导内角和、外角和、正多边形公式。
多边形
在平面内，由不在同一条直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形；
这些线段叫作多边形的边，线段的公共端点叫作多边形的顶点；
多边形相邻两边组成的角叫作多边形的内角；
多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫作多边形的外角；
多边形的外角与相邻的内角互为补角。
连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线。
小学里，我们已经认识了正方形，它的四条边相等，四个内角也相等，和正方形类似，各边相等、各内角也相等的多边形叫作正多边形。
考点一：多边形的概念与分类
例1．在如图所示的图形中，属于多边形的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题考查多边形定义，根据多边形定义，逐个验证即可得到答案．
【详解】解：所示的图形中，第一个是三角形、第二个是四边形、第三个是圆、第四个是正六边形、第五个是正方体，
是多边形的有第一个、第二个、第四个，共有3个，
故选：C．
【变式1-1】下列图形是正多边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了正多边形，根据正多边形的定义；各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案．
【详解】解：A.是等腰三角形，不是正多边形，故选项A不符合题意；
B.是圆角矩形，不是正多边形，故选项B不符合题意；
C.是正五边形，符合题意；
D.是一般六边形，不是正多边形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【变式1-2】如图，五边形中，是它的一条对角线．小颎观察图形得出结论“”，她依据的基本事实是 ．
【答案】两点之间线段最短
【分析】本题考查线段的性质，根据两点之间，线段最短，进行作答即可．
【详解】解：依据的基本事实是：两点之间线段最短；
故答案为：两点之间线段最短．
【变式1-3】如图，有3张卡片，用它们拼成各种形状不同的多边形（相同长度的边拼靠在一起，卡片不重叠）．
(1)这些拼成的多边形的周长有哪几种不同的结果？
(2)这些结果中，最长的周长和最短的周长分别是多少？请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)周长最大，最短，理由见解析
【分析】（1）画出图形可得结论；
（2）根据（1）中结论结合，再判断即可．
【详解】（1）解：如图，
图形有四种情形，周长为：或或.
（2）周长的最大值为，最小值为.
理由：由题意可得：，
因为，所以，
因为，所以，
∴，
周长的最大值为，最小值为.
【点睛】本题考查图形的拼剪，不等式的性质，长方形的性质，多边形的周长等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
考点二：多边形的周长
例2 ．一个正十边形的某一边长为8cm，其中一个内角的度数为144 ，则这个正十边形的周长和内角和分别为（ ）
A．64cm，1440 B．80cm，1620 C．80cm，1440 D．88cm，1620
【答案】C
【详解】因为正十边形的各个边都相等，则它的周长为8×10=80(cm)
因为正十边形的各内角都相等，则它的内角之和为144°×10=1440°.
故选C.
【变式2-1】如图，在正八边形中，连接，设，四边形的周长分别为，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．无法比较的大小
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形两边之和大于第三边的应用，先证明，得到，计算，结合两边之和大于第三边，计算判断即可．
【详解】∵该图是正八边形，
∴，
，
∵，
∴，
同理可证，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【变式2-2】已知正八边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ．
【答案】4；
【分析】本题考查正多边形的定义，根据每条边都相等，每个内角都相等的多边形叫正多边形求解即可得到答案；
【详解】解：∵正八边形的周长是，
∴这个多边形的边长为：，
故答案为：4．
【变式2-3】如图，在由小正方形组成的网格中，利用平移的知识完成下列作图．
(1)过D作，且；
(2)的面积为 ；
(3)四边形的面积为 ．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）本题考查了利用平移的知识作平行线，将向上平移一个单位，再向右平移5个单位，得到线段对应线段所在直线，即可得到；类似的方法作出，即可解题；
（2）利用割补法，将围成一个矩形，其面积等于矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可解题；
（3）解题方法与（2）类似（注意点有两个不同的位置）；
【详解】（1）解：所作直线、线段，如下图所示：
（2）解：的面积为：；
故答案为：．
（3）解：①当在点下方时，如图所示：
四边形的面积为：；
②当在点上方时，如图所示：
四边形的面积为：；
四边形的面积为，
故答案为：．
考点三：网格中多边形面积比较
例3. 如图，在边长为的小正方形网格中，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形图中①，②，③，④四个格点多边形的面积分别记为下列说法正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意判断格点多边形的面积，依次将计算出来，再找到等量关系．
【详解】观察图形可得
∴，
故选：．
【点睛】本题考查了新概念的理解，通过表格获取需要的信息，找到关于面积的等量关系．
【变式3-1】如图小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是（　 　）
A．25 B．12.5 C．9 D．8.5
【答案】B
【详解】试题分析：根据求差法，让大正方形面积减去周围四个直角三角形的面积即可解答．
试题解析：如图：
小方格都是边长为1的正方形，
∴四边形EFGH是正方形，S□EFGH=EF FG=5×5=25
S△AED=DE AE=×1×2=1，
S△DCH= CH DH=×2×4=4，
S△BCG=BG GC=×2×3=3，
S△AFB=FB AF=×3×3=4．5．
S四边形ABCD=S□EFGH-S△AED-S△DCH-S△BCG-S△AFB=25-1-4-3-4．5=12．5．
故选B．
考点：三角形的面积．
【变式3-2】如图为边长为1的网格，线段为两个格点的连线，找一个格点C，使得的面积为2，则该图中点C有 个
【答案】6
【分析】A，B两点的垂直距离为2，那么，只要保证水平距离为2即可使△ABC的面积为2个平方单位；A，B两点的水平距离为1，那么，只要保证垂直距离为4即可使△ABC的面积为2个平方单位．
【详解】解：符合条件的点C如图，
可知共有6个，
故答案为：6．
【点睛】本题考查三角形面积的求法，注意分水平距离和垂直距离两种情况．
【变式3-3】某数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律．
(1)在图5中画出从点出发的所有对角线；
(2)根据探究，整理得到下面表格：
多边形的边数 4 5 6 7 8 ……
从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 ……
多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 ……
①表格中______，______；（用含n的代数式表示）
②拓展应用：
若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次，请计算总共要比赛多少场．
【答案】(1)见解析
(2)①，；②场
【分析】本题考查了多边形的对角线，根据表格信息寻求规律是解题的关键．
（1）连接作图即可；
（2）①根据所给数据规律解答即可；
②根据每班都需要和对手比赛一次，且一次比赛能满足2个班级的比赛需求列式运算即可．
【详解】（1）如图所示，即为所求；
（2）解：①，；
②（场），
答：共需要比赛场．
考点四：多边形对角线条数
例4．我们学习多边形后，发现凸多边形的对角线有一定的规律，①中的四边形共有2条对角线，②中的五边形共有5条对角线，③中的六边形共有9条对角线，…，请你计算凸十边形对角线的总条数（ ）
A．35 B．44 C．54 D．64
【答案】A
【分析】本题主要考查了对角线条数问题，解题的关键是熟练掌握一个n边形的对角线条数为．根据一个n边形的对角线条数为进行求解即可．
【详解】解：一个四边形共有2条对角线，一个五边形共有5条对角线，一个六边形共有9条对角线……
一个十边形共有条对角线，故A正确．
故选：A．
【变式4-1】从某多边形一个顶点出发连接其余各顶点得7条对角线，则这个多边形的边数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【分析】本题考查了一个顶点出发的对角线条数，牢记公式是解题的关键．根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式求出边数即可得解．
【详解】解：设这个多边形的边数为，
多边形从一个顶点出发可引出7条对角线，
，
解得．
故选：D．
【变式4-2】数学中规定：连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线．
正多边形 ……
边数 4 5 6 …
一个顶点可画对角线数量 1 2 3 …
对角线总数量 2 5 9 …
聪聪是个喜欢思考的学生，他发现正多边形的对角线数量和正多边形的边数存在某种规律（如图），照这样的规律，正七边形共有 条对角线，正n边形共有 条对角线．
【答案】 14
【分析】此题主要考查了多边形的对角线，关键是掌握计算公式；观察题意可知，根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，从n个顶点出发每个引出条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为（，且n为整数）
【详解】解：根据分析可知，n边形从一个顶点出发可引出条对角线，
∴正n边形共有条对角线。
当时，
所以从正七边形的有条对角线，
故答案为：，
【变式4-3】探究归纳题：
(1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个三角形；
(2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形；
(3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作 条对角线，它把边形分成 个三角形；（用含的式子表示）
(4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为 ．
【答案】(1)1；2
(2)2；3
(3)；
(4)103
【分析】本题考查多边形的对角线、边及三角形分割等规律探究．
（1）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论；
（2）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论；
（3）根据（1）（2）中的结论，可找到规律即可得到结论；
（4）将100代入（3）的结论中即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，经过1个顶点可以作1条对角线，它把四边形分为2个三角形，
故答案为：1，2；
（2）解：如图所示，经过五边形一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形；
故答案为：2，3．
（3）解：∵经过四边形的一个顶点可以作条对角线，它把四边形分成个三角形；
经过五边形的一个顶点可以作条对角线，它把五边形分成个三角形；
经过六边形的一个顶点可以作条对角线，它把六边形分成个三角形；
经过七边形的一个顶点可以作条对角线，它把七边形分成个三角形；
……
∴经过n边形的一个顶点可以作条对角线，它把n边形分成个三角形；
故答案为：，．
（4）∵过多边形的一个顶点可以作100条对角线，
∴根据（3）中结论可得，，
∴，
故答案为：103．
考点五：对角线分成的三角形个数
例5 ．过多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分成3个三角形，这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【答案】A
【分析】本题考查了多边形的对角线数量问题，根据边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，依此可求出的值，得到答案．
【详解】解：设这个多边形是边形，
由题意得：，
解得：，
即这个多边形是五边形，
故选：A．
【变式5-1】“转化”是数学中的一种重要思想方法，同学们在研究多边形（边数大于3）的内角和度数时，通常是将多边形的内角和转化为三角形的内角和来解决，从而化陌生的问题为熟悉的情境来解决问题．现从某边形一边上的一点（不包含端点）出发，依次连接多边形的各个顶点，分割得到的所有三角形的内角和是，则该边形是（ ）边形．
A．五 B．六 C．七 D．八
【答案】D
【分析】本题主要考查了多边形的性质，解题的关键是熟悉从边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为的规律；
根据从一个n边形的某个顶点出发，把n边形分为个三角形，再根据三角形的内角和公式列方程即可得出答案．
【详解】解：由题意得：，解得：
故选：D．
【变式5-2】填空
（1）从四边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将四边形分成 个三角形；
（2）从五边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将五边形分成 个三角形；
（3）从六边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将六边形分成 个三角形．
【答案】 1 2 2 3 3 4
【分析】本题主要考查多边形的对角线，掌握从一点引对角线的数量，一共顶点，它本身不能作出对角线，与它相邻的顶点作不出对角线成为解题的关键．
先分别画出四边形、五边形、六边形的一个顶点可引出的对角线，然后根据统计即可解答．
【详解】解：（1）如图：
从四边形的一个顶点出发，可以引1条对角线，将四边形分成2个三角形，
故答案为：1，2．
（2）如图：
从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，将四边形分成3个三角形，
故答案为：2，3．
（3）解：如图：
从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，将四边形分成4个三角形．
故答案为：3，4．
【变式5-3】如图，，，，，求的度数．
【答案】的度数为
【分析】本题主要考查多边形内角和定理，平行线的性质，掌握平行线的性质，多边形内角和定理是解题的关键．
根据题意，延长和反向延长，得线段，可求出的度数，根据多边形的内角和定理可得多边形的内角和，由此即可求解．
【详解】解：如图所述，延长至点，延长至，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵五边形的内角和为，即，
∴
，
∴的度数为．
考点六：多边形内角和
例6. 一个多边形的内角和为，则这个多边形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】B
【分析】此题考查了多边形内角和公式，设这个多边形是n边形，根据多边形的内角和为列出方程，解方程即可得到答案.
【详解】解：设这个多边形是n边形，
则
解得
即这个多边形是四边形，
故选：B
【变式6-1】在六边形中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了多边形的内角和，根据多边形的内角和为即可解题．
【详解】解∶∵六边形的内角和为，
∴．
故选：A．
【变式6-2】一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数是 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了多边形内角和定理的应用，准确计算是解题的关键．根据多边形内角和定理：，列方程解答出即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
根据多边形内角和定理得，
，
解得．
故答案为：6．
【变式6-3】求下列图中x的值．
【答案】图1中x的值为95，图2中x的值为60
【分析】根据五边形内角和与四边形外角和列方程求解即可．
【详解】在图1中，由五边形内角和可知，
解得：，
在图2中，由四边形外角和可知：，
解得：，
答：图1中x的值为95，图2中x的值为60．
【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，熟记公式是解题的关键．
考点七：多边形外角和
例7．十二边形的外角和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查多边形的外角和，根据多边形的外角和为360度，判断即可．
【详解】解：十二边形的外角和为；
故选B．
【变式7-1】小聪利用所学的数学知识，给同桌出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走9米后向左转，接着沿直线前进9米后，再向左转，…，如此下去，当他第一次回到点A时，发现自己一共走了72米，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了多边形的内角与外角，解决本题的关键是明确第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形．第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形，用，求得边数，再根据多边形的外角和为，即可求解．
【详解】解：∵第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形，
∴正多边形的边数为：，
根据多边形的外角和为，
∴则他每次转动θ的角度为：，
故选：D．
【变式7-2】如图，五边形中，，则的度数是 ．

【答案】/300度
【分析】本题主要考查了多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和等于是解题关键．如图（见解析），延长至点，先根据邻补角可得，再根据多边形的外角和等于即可得．
【详解】解：如图，延长至点，
，
，
又，
，
故答案为：．
【变式7-3】如图，正六边形和正方形的一边重合，求的度数．

【答案】
【分析】本题考查多边形的有关知识，关键是掌握正边形每个内角度数为：．求出正六边形的每个内角的度数即可．
【详解】解：正六边形的每个内角度数是，
，
，
．
考点八：正多边形的内角
例8 ．直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了多边形的内角和，正多边形的每个内角，邻补角，熟练掌握知识点是解决本题的关键．
先求出正六边形的每个内角为，再根据六边形的内角和为即可求解的度数，最后根据邻补角的意义即可求解．
【详解】解：正六边形每个内角为：，
而六边形的内角和也为，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【变式8-1】如图，若干全等正五边形排成形状，图中所示的是前3个正五边形，则要完成这一圆环还需这样的正五边形（ ）
A．10个 B．9个 C．7个 D．6个
【答案】C
【分析】本题考查了正多边形内角和定理等知识，先求出正五边形的内角的多少，求出每个正五边形被圆截的弧对的圆心角，即可得出答案．
【详解】解：如图，
∵多边形是正五边形，
∴内角是，
，
，即10个正五边形能围城这一个圆环，
所以要完成这一圆环还需7个正五边形
故选：C
【变式8-2】如图①是某创意图书馆设计的一款壁灯图案的设计图，象征着欣欣向荣，代表一种生机盎然的自然和谐美．图②是从图①图案中提取的图形，已知正八边形被分割成两个正方形和四个菱形，则 °．

【答案】
【分析】本题主要考查了多边形内角和公式，由正八边形被分割成两个正方形和四个菱形，得，即可得．
【详解】解：如图，

由正八边形被分割成两个正方形和四个菱形，得：
，
得．
故答案为：．
【变式8-3】已知一个多边形的边数为n．
(1)若这个多边形的内角和的比一个四边形的外角和多，求n的值．
(2)若这个多边形是正n边形，且一个内角与一个外角的比是，求n的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由这个多边形的内角和的比一个四边形的外角和多，再建立方程求解即可；
（2）由正多边形的每一个内角都相等，每一个外角都相等，再建立方程求解即可.
【详解】（1）解：由题意，得，
解得 ；
（2）由题意，得，
解得，经检验符合题意；
【点睛】本题考查的是多边形的内角和与外角和定理的应用，熟记多边形的内角和公式与外角和定理是解本题的关键.
考点九：正多边形的外角
例9. 如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】A
【分析】本题考查的是正多边形的性质，正多边形的外角和，先求解正多边形的1个内角度数，得到正多边形的1个外角度数，再结合外角和可得答案.
【详解】解：∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∴正边形的一个外角为，
∴的值为；
故选A
【变式9-1】如果一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形是正（ ）边形
A．六 B．八 C．十 D．十二
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形的外角性质，根据正多边形的外角都相等以及外角和为，列式进行计算，即可作答．
【详解】解：∵一个正多边形的一个外角是，
∴，
∴这个正多边形是正八边形，
故选：B．
【变式9-2】中国古典园林里面的窗型，形制丰富，如图1是颐和园小长廊五角加膛窗，其轮廓是一个正五边形，如图2是它的示意图，它的一个外角的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正多边形的外角问题，由正五边形的外角和为，结合正五边形的每一个外角都相等，再列式计算即可，解题的关键是熟练掌握正多边形的外角和为．
【详解】∵正五边形的外角和为，正五边形的每一个外角都相等，
∴它的一个外角的度数为，
故答案为：．
【变式9-3】阅读明明和芳芳的对话，解答下列问题．
(1)明明通过计算，发现少加了一个锐角，则这个“少加的锐角”的度数是__________．
(2)明明求的是几边形的内角和？
(3)这个多边形对角线的总条数是__________．
【答案】(1)20
(2)明明求的是八边形的内角和
(3)20
【分析】本题考查了多边形的内角和，多边形对角线的计算方法，熟练掌握多边形的内角和对角线的计算方法是解题的关键．
（1）根据多边形的内角和为，是的整数倍，计算求解即可；
（2）由题意知，计算求解即可；
（3）根据计算求解即可．
【详解】（1）解：∵多边形的内角和为，是的整数倍，
∴这个“少加的锐角”是，
故答案为：20．
（2）设这个多边形为n边形，
即
解得
∴明明求的是八边形的内角和．
（3）（条）
故答案为：20．
1．从五边形的一个顶点出发，可以作（ ）条对角线．
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【分析】本题主要考查了多边形的对角线的定义，根据多边形的对角线的方法，不相邻的两个定点之间的连线就是对角线，在n边形中与一个定点不相邻的顶点有个．
【详解】解：五边形（）从一个顶点出发可以作条对角线．
故选：B．
2．一个七边形的内角和等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查多边形的内角和，根据边形的内角和为求解，即可解题．
【详解】解：一个七边形的内角和等于，
故选：B．
3．已知一个正多边形的一个内角是一个外角的两倍，则这个正多边形是（ ）
A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形
【答案】A
【分析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和的问题，设这个多边形的边数是，根据一个内角是一个外角的两倍，可得该正多边形内角和是其外角和的倍，列出方程求解即可，熟练掌握多边形内角和公式、熟记多边形外角和为是解题的关键．
【详解】解：设这个正多边形的边数是，
∵一个内角是一个外角的两倍，
∴该正多边形内角和是其外角和的倍，
∴，
解得：，
∴这个正多边形是正六边形．
故选：A．
4．过边形的一个顶点可以画出7条对角线，将它分成个小三角形，则的值是（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】D
【分析】本题考查多边形的对角线．根据边形过一个顶点能画出对角线的条数为：进行计算即可，对角线将多边形分成个三角形，进行计算出．
【详解】解：由题意可得：，，
，
．
故选：D．
5．边形所有对角线的条数有（ ）
A．条 B．条
C．条 D．条
【答案】C
【分析】本题考查了多边形对角线条数的计算公式，根据即可求解过边形的一个顶点可以作条对角线，得到过个顶点可以作条对角线，但每条对角线重复一次，
由此可得为的一半，即可求解，掌握多边形的对角线计算方法是解题的关键．
【详解】解：∵过边形的一个顶点可以作条对角线，
∴过个顶点可以作条对角线，
但每条对角线重复一次，
∴边形所有对角线的条数有条，
故选：．
6．如图所示，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理，多边形的内角和定理，对顶角相等的性质，连接，根据四边形的内角和等于，可得，根据“8字形”的关系可得：，然后即可得解．
【详解】解：如图，连接，

则，
根据“8字形”数量关系，，
所以．
故选：C．
7．用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及等腰三角形的性质．根据多边形的内角和公式，求出五边形内角的度数，再根据等腰三角形的性质求出和的度数，最后根据三角形外角的性质解答即可．
【详解】解：因为正五边形的每个内角都相等，边长相等，
所以，
∵正五边形的每条边相等，
∴和是等腰三角形，
∴，
∴．
∴．
故选：B．
8．从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成5个三角形，则这个多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】设这个多边形的边数是边形，根据从一个边形的某个顶点出发，可以引条对角线，把边形分为个三角形，由此可得，进行计算即可得到答案
【详解】解：设这个多边形的边数是边形，
根据题意可得：，
解得：，
这个多边形的边数是7，
故选：C．
【点睛】本题考查了多边形，解题的关键是掌握从一个边形的某个顶点出发，可以引条对角线，把边形分为个三角形．
9．从十一边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个十一边形分成三角形的个数是 ．
【答案】9
【分析】本题考查多边形的对角线，从边形的一个顶点出发，有条对角线，把多边形分成个三角形，这是解题的关键．根据多边形的对角线规律求解即可．
【详解】从十一边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个十一边形分成三角形的个数是：．
故答案为：9．
10．小宇阅读了一篇《东方窗棂之美》的文章，文章中有一张如图所示的图片，图中有许多不规则的多边形组成，代表一种自然和谐美．如图是从图图案中提取的由六条线段组成的图形，若，则的度数是 ．

【答案】/300度
【分析】本题考查了多边形的外角，根据外角和为即可求解．
【详解】多边形的外角和等于
故答案为：．
11．如果一个正多边形每一个内角都等于，那么这个正多边形的内角和是 ．
【答案】/1440度
【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理和内角和公式，正多边形的每一个内角都等于，则每个外角是，外角和是，则可以求得这个多边形的边数，再根据边数即可求得内角和．
【详解】解：这个多边形的边数是，
则内角和是，
故答案为：．
12．从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2023个三角形，则这个多边形的边数为 ．
【答案】2024
【分析】本题考查了多边形的对角线，多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到的三角形个数=多边形的边数．可根据多边形的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到的三角形个数与多边形的边数的关系求解．
【详解】解：从多边形一条边上的一点（不是顶点）处出发，连接各个顶点得到2023个三角形，
则这个多边形的边数为．
故答案为：2024．
13．如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为
【答案】9
【分析】
本题考查了正六边形的性质，解题的关键是理解．
【详解】
解：如下图，作，
六边形是正六边形，
，，
的面积为3，
，
四边形的面积为，
故答案为：9．
14．如图，七边形中，，的延长线交于点，若，，，的外角和等于，则的度数为 ．

【答案】/40度
【分析】本题考查了多边形内角和问题，熟练掌握多边形的内角和等于是解题的关键．根据题意计算，，，的度数之和，再计算五边形的内角和，即可求解．
【详解】解：，，，的外角和等于，
，
五边形的内角和为，
．
故答案为：．
15．比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相同点和不同点．例如：
它们的一个相同点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等．
它们的一个不同点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形．
请你再写出它们的两个相同点和不同点：
相同点：
① ；
② ．
不同点：
① ；
② ．
【答案】解：相同点：①正五边形的和正六边形都是轴对称图形．
②正五边形的和正六边形内角都相等．
不同点：①正五边形的对角线都相等；正六边形对角线不全等．
②正五边形的对角线不交于同一点；正六边形对角线过中心的三条交于同一点．
【详解】相同点：①正五边形的和正六边形都是轴对称图形．
②正五边形的和正六边形内角都相等．
不同点：①正五边形的对角线都相等；正六边形对角线不全等．
②正五边形的对角线不交于同一点；正六边形对角线过中心的三条交于同一点．
16．真正的学习是自主学习，主动探究，小兰同学在自主探究多边形的边数n与多边形的对角线的条数y的关系的过程中，记录了数据如下：
多边形的边数n 3 4 5 6 …
对角线的条数y 0 2 5 9 …
(1)直接写出过n边形的每一个顶点有几条对角线 （用含n的式子表示）；
(2)多边形的对角线的条数y随着多边形的边数n（，n为正整数）的变化而变化，请你用含n的式子表示y．
(3)求一个十边形的对角线的条数．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了对角线的条数与多边形的边数的关系，理解题意、得出对角线的条数与多边形的边数的关系是解题的关键．
（1）根据“一个顶点可向除自己和相邻两顶点外的其它顶点连线，得到对角线”，得出答案即可；
（2）根据“n边形有n个顶点，所以所有对角线有条．但每条对角线重复一次”，得出答案即可；
（3）把代入，计算得出答案即可．
【详解】（1）解：∵一个顶点可向除自己和相邻两顶点外的其它顶点连线，得到对角线，
∴过n边形的每一个顶点的对角线条数为，
故答案为：；
（2）解：∵n边形有n个顶点，所以所有对角线有条．但每条对角线重复一次，
∴n边形所有对角线的条数为；
（3）解：把代入，得，
∴一个十边形的对角线的条数为．
17．某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格，请在表格中的横线上填上相应的结果：
多边形的边数
从多边形的一个顶点出发 ______ ______
多边形对角线的总条数 ______ ______ ______
应用得到的结果解决以下问题：
①求十二边形有多少条对角线？
②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由．
【答案】填表： ；①54；②可以为，这个多边形的边数1014
【分析】根据题意求出相应数据，填表即可；
①由表格探求的边形对角线总条数公式：得出最终结果；
②从边形的一个顶点出发可引条对角线，这些对角线分多边形所得的三角形个数为，据此求解．
【详解】解：填表如下：
多边形的边数
从多边形的一个顶点出发 3
多边形对角线的总条数 5 9
故答案为：3，，， ；
把代入得，．
十二边形有条对角线．
能．
由题意得，23，
解得=1014．
多边形的边数n是正整数，
过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可以为，这个多边形的边数1014．
【点睛】本题考查边形对角线公式，过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数，掌握对角线数量形成的规律，熟练应用规律是解题关键．
18．如图，在四边形中，，．
(1)如图1，若，则________度；
(2)如图2，若的平分线交于点，且，试求出的度数；
(3)①如图3．若和的平分线交于点，试求出的度数；
②如图4，为五边形内一点：，分别平分，，请直接写出与的数量关系．
【答案】(1)65
(2)
(3)①，②，理由见解析
【分析】本题考查了多边形的内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据四边形内角和为，结合已知条件求解即可；
（2）根据平行线的性质得到的度数，再根据角平分线的定义得到的度数，进一步根据四边形内角和定理计算即可得出答案；
（3）①先根据四边形的内角和定理得出，由角平分线的定义得出，再根据三角形内角和定理计算即可得出答案；②由五边形的内角和定理得出，由角平分线的定义得出，即可得出答案．
【详解】（1）解：，，，
，
故答案为：；
（2）解：，
，
∴，
∵的平分线交于点，
∴，
∴；
（3）解：四边形中，
∴，
∵和的平分线交于点，
∴，，
∴，
∴；
②∵五边形的内角和为，
∴，
∵和的平分线交于点，
∴，，
∴，
∴．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第19讲 多边形
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．进一步认识“三角形的内角和是180°”，并能用以进行计算及推理； 2．理解多边形的内角、外角和对角线； 3.学会推导内角和、外角和、正多边形公式。
多边形
在平面内，由不在同一条直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次相接，组成的图形叫作 ；
这些线段叫作多边形的 ，线段的公共端点叫作多边形的 ；
多边形相邻两边组成的角叫作多边形的 ；
多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫作多边形的 ；
多边形的外角与相邻的内角互为 。
连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的 。
小学里，我们已经认识了正方形，它的四条边相等，四个内角也相等，和正方形类似，各边相等、各内角也相等的多边形叫作 。
考点一：多边形的概念与分类
例1．在如图所示的图形中，属于多边形的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1-1】下列图形是正多边形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】如图，五边形中，是它的一条对角线．小颎观察图形得出结论“”，她依据的基本事实是 ．
【变式1-3】如图，有3张卡片，用它们拼成各种形状不同的多边形（相同长度的边拼靠在一起，卡片不重叠）．
(1)这些拼成的多边形的周长有哪几种不同的结果？
(2)这些结果中，最长的周长和最短的周长分别是多少？请说明理由．
考点二：多边形的周长
例2 ．一个正十边形的某一边长为8cm，其中一个内角的度数为144 ，则这个正十边形的周长和内角和分别为（ ）
A．64cm，1440 B．80cm，1620 C．80cm，1440 D．88cm，1620
【变式2-1】如图，在正八边形中，连接，设，四边形的周长分别为，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．无法比较的大小
【变式2-2】已知正八边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ．
【变式2-3】如图，在由小正方形组成的网格中，利用平移的知识完成下列作图．
(1)过D作，且；
(2)的面积为 ；
(3)四边形的面积为 ．
考点三：网格中多边形面积比较
例3. 如图，在边长为的小正方形网格中，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形图中①，②，③，④四个格点多边形的面积分别记为下列说法正确的是（ ）

A． B． C． D．
【变式3-1】如图小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是（　 　）
A．25 B．12.5 C．9 D．8.5
【变式3-2】如图为边长为1的网格，线段为两个格点的连线，找一个格点C，使得的面积为2，则该图中点C有 个
【变式3-3】某数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律．
(1)在图5中画出从点出发的所有对角线；
(2)根据探究，整理得到下面表格：
多边形的边数 4 5 6 7 8 ……
从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 ……
多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 ……
①表格中______，______；（用含n的代数式表示）
②拓展应用：
若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次，请计算总共要比赛多少场．
考点四：多边形对角线条数
例4．我们学习多边形后，发现凸多边形的对角线有一定的规律，①中的四边形共有2条对角线，②中的五边形共有5条对角线，③中的六边形共有9条对角线，…，请你计算凸十边形对角线的总条数（ ）
A．35 B．44 C．54 D．64
【变式4-1】从某多边形一个顶点出发连接其余各顶点得7条对角线，则这个多边形的边数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式4-2】数学中规定：连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线．
正多边形 ……
边数 4 5 6 …
一个顶点可画对角线数量 1 2 3 …
对角线总数量 2 5 9 …
聪聪是个喜欢思考的学生，他发现正多边形的对角线数量和正多边形的边数存在某种规律（如图），照这样的规律，正七边形共有 条对角线，正n边形共有 条对角线．
【变式4-3】探究归纳题：
(1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个三角形；
(2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形；
(3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作 条对角线，它把边形分成 个三角形；（用含的式子表示）
(4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为 ．
考点五：对角线分成的三角形个数
例5 ．过多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分成3个三角形，这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【变式5-1】“转化”是数学中的一种重要思想方法，同学们在研究多边形（边数大于3）的内角和度数时，通常是将多边形的内角和转化为三角形的内角和来解决，从而化陌生的问题为熟悉的情境来解决问题．现从某边形一边上的一点（不包含端点）出发，依次连接多边形的各个顶点，分割得到的所有三角形的内角和是，则该边形是（ ）边形．
A．五 B．六 C．七 D．八
【变式5-2】填空
（1）从四边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将四边形分成 个三角形；
（2）从五边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将五边形分成 个三角形；
（3）从六边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将六边形分成 个三角形．
【变式5-3】如图，，，，，求的度数．
考点六：多边形内角和
例6. 一个多边形的内角和为，则这个多边形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【变式6-1】在六边形中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数是 ．
【变式6-3】求下列图中x的值．
考点七：多边形外角和
例7．十二边形的外角和为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】小聪利用所学的数学知识，给同桌出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走9米后向左转，接着沿直线前进9米后，再向左转，…，如此下去，当他第一次回到点A时，发现自己一共走了72米，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】如图，五边形中，，则的度数是 ．

【变式7-3】如图，正六边形和正方形的一边重合，求的度数．

考点八：正多边形的内角
例8 ．直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】如图，若干全等正五边形排成形状，图中所示的是前3个正五边形，则要完成这一圆环还需这样的正五边形（ ）
A．10个 B．9个 C．7个 D．6个
【变式8-2】如图①是某创意图书馆设计的一款壁灯图案的设计图，象征着欣欣向荣，代表一种生机盎然的自然和谐美．图②是从图①图案中提取的图形，已知正八边形被分割成两个正方形和四个菱形，则 °．

【变式8-3】已知一个多边形的边数为n．
(1)若这个多边形的内角和的比一个四边形的外角和多，求n的值．
(2)若这个多边形是正n边形，且一个内角与一个外角的比是，求n的值．
考点九：正多边形的外角
例9. 如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【变式9-1】如果一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形是正（ ）边形
A．六 B．八 C．十 D．十二
【变式9-2】中国古典园林里面的窗型，形制丰富，如图1是颐和园小长廊五角加膛窗，其轮廓是一个正五边形，如图2是它的示意图，它的一个外角的度数为 ．
【变式9-3】阅读明明和芳芳的对话，解答下列问题．
(1)明明通过计算，发现少加了一个锐角，则这个“少加的锐角”的度数是__________．
(2)明明求的是几边形的内角和？
(3)这个多边形对角线的总条数是__________．
1．从五边形的一个顶点出发，可以作（ ）条对角线．
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
2．一个七边形的内角和等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知一个正多边形的一个内角是一个外角的两倍，则这个正多边形是（ ）
A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形
4．过边形的一个顶点可以画出7条对角线，将它分成个小三角形，则的值是（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
5．边形所有对角线的条数有（ ）
A．条 B．条
C．条 D．条
6．如图所示，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
7．用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
8．从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成5个三角形，则这个多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．从十一边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个十一边形分成三角形的个数是 ．
10．小宇阅读了一篇《东方窗棂之美》的文章，文章中有一张如图所示的图片，图中有许多不规则的多边形组成，代表一种自然和谐美．如图是从图图案中提取的由六条线段组成的图形，若，则的度数是 ．

11．如果一个正多边形每一个内角都等于，那么这个正多边形的内角和是 ．
12．从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2023个三角形，则这个多边形的边数为 ．
13．如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为
14．如图，七边形中，，的延长线交于点，若，，，的外角和等于，则的度数为 ．

15．比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相同点和不同点．例如：
它们的一个相同点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等．
它们的一个不同点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形．
请你再写出它们的两个相同点和不同点：
相同点：
① ；
② ．
不同点：
① ；
② ．
16．真正的学习是自主学习，主动探究，小兰同学在自主探究多边形的边数n与多边形的对角线的条数y的关系的过程中，记录了数据如下：
多边形的边数n 3 4 5 6 …
对角线的条数y 0 2 5 9 …
(1)直接写出过n边形的每一个顶点有几条对角线 （用含n的式子表示）；
(2)多边形的对角线的条数y随着多边形的边数n（，n为正整数）的变化而变化，请你用含n的式子表示y．
(3)求一个十边形的对角线的条数．
17．某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格，请在表格中的横线上填上相应的结果：
多边形的边数
从多边形的一个顶点出发 ______ ______
多边形对角线的总条数 ______ ______ ______
应用得到的结果解决以下问题：
①求十二边形有多少条对角线？
②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由．
18．如图，在四边形中，，．
(1)如图1，若，则________度；
(2)如图2，若的平分线交于点，且，试求出的度数；
(3)①如图3．若和的平分线交于点，试求出的度数；
②如图4，为五边形内一点：，分别平分，，请直接写出与的数量关系．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑