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第01讲 数学与我们同行
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．通过对生活中常见的图形、数字的观察和思考，感受生活中处处有数学； 2．乐于接触社会环境中的数字、图形信息，了解数学是我们表达和交流的工具。
1.1生活 观察
（1）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中，把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方.请你探究如图洛书三阶幻方中，奇数和偶数的位置、数和数之间的数量关系所呈现的规律，根据这一规律，求出，，则（　　）
A．16 B．8 C． D．
（2）身份证号码告诉我们很多信息，身份证号码是320584198101208022的人的生日是（ ）　　
A．8月10日 B．10月12日 C．1月20日 D．12月8日
1.2活动 思考
（1）如图，大小完全相同的两个直角三角形纸片，若将它们的某条边重合，能拼成几种不同形状的平面图形 试一试，画出拼成的图形．
（2）生活与数学
（1）吉姆同学在某月的日历上圈出2×2个数，正方形的方框内的四个数的和是32，那么第一个数是　 　
（2）玛丽也在上面的日历上圈出2×2个数，斜框内的四个数的和是42，则它们分别是　 　
（3）莉莉也在日历上圈出5个数，呈十字框形，它们的和是50，则中间的数是　 　
（4）某月有5个星期日的和是75，则这个月中最后一个星期日是　 　 号；
（5）若干个偶数按每行8个数排成下图：
①图中方框内的9个数的和与中间的数有什么关系　 　
②汤姆所画的斜框内9个数的和为360，则斜框的中间一个数是　 　 ；
③托马斯也画了一个斜框，斜框内9个数的和为270，则斜框的中间一个数是　 　
1.3交流 表达
（1）用3根火柴棒搭成1个三角形，接着用火柴棒按如图所示的方式搭成2个三角形，再用火柴棒搭成3个三角形、4个三角形…搭2020个三角形共需要 根火柴棒
…
（2）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
(1)在④后面的横线上写出相应的等式：
①1＝12；②1＋3＝22；③1＋3＋5＝32；④ ；⑤1＋3＋5＋7＋9＝52；…
(2)请写出第n个等式；
(3)利用（2）中的等式，计算：41＋43＋45＋…＋199．
考点一：认识身份证信息
例1．某居民的身份证如图所示，则该居民的出生年份是 ．
【变式1-1】某人身份证号码是321281198101208021，则他出生于　 　月.
【变式1-2】身份证号码告诉我们很多信息，某人的身份证号码是130503196704010012，其中13、05、03是此人所属的省(市、自治区)、市、县(市、区)的编码，1967、04、01是此人出生的年、月、日，071是顺序码，2为校验码：那么身份证号码是321084198101208022的人的生日是（　　）
A．8月10日 B．10月12日 C．1月20日 D．12月8日
【变式1-3】某学校为学生编排9位数字的考试号，从左边起第1位数字表示年级，7、8、9分别表示七、八、九三个年级，第2、3位数字表示所在的班级（班级不是两位数字的，前面补0．如3班则编号为03），第4、5位数字表示这个学生在班级序号，第6、7位数字表示该生考试时所到的班级，第8、9位数字表示座位号．如果一个八年级10班序号为45的学生正确坐到6班11号的位置，则他的考试号为 ．
考点二：幻方与幻和
例2．九宫格是一款数学游戏，起源于河图洛书，河图与洛书是我国古代流传下来的两幅神秘图案，历来被认为是河洛文化的滥觞，中华文明的源头，被誉为“宇宙魔方”．在如图所示的九宫格中，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，则对于这个九宫格中a＝　 　，b＝　 　．
【变式2-1】阅读与探究
请阅读下列材料，井解答相应的问题：幻方：将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行，一列及对角线上的数字之和都相等，则具有这种性质的数字方阵为“幻方”，中国古代称“幻方”为“河图”、“洛书”等.
例如，下面是三个三阶幻方，是将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到 的方格中得到的，其每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等.
现要用9个数3，4，5，6，7，8，9，10，11构造一个三阶幻方.
（1） 幻方最中间的数字应等于　 　.
（2） 请将构造的幻方填写在下面 的方格中.
【变式2-2】幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方--九宫图．请同学们在数字1，2，3，4，5，6，7，8，9中选择合适的数字填入如图所示的幻方中，要求每一横行、同一竖行、两条斜对角线上的数字之和都是15，则n的值为（　　）
7 2
n 5 　
A．1 B．2 C．8 D．9
【变式2-3】把夏禹时代的“洛书”用数学符号翻译出来就是一个三阶幻方，它的每行.每列.每条对角线上三个数之和均相等，那么幻方中的值是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
考点三：日历
例3. 如图，表中给出的是某月的日历，任意选取“Z”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现此月这7个数的和可能的是（ ）
A．49 B．60 C．84 D．105
【变式3-1】如图是2024年1月日历，用“”型方框任意覆盖其中四个方格，最小数字记为，四个数字之和记为．当时，所表示的日期是星期（ ）．
A．一 B．二 C．三 D．四
【变式3-2】如图1是年月的日历，用如图2的“Z”字型覆盖住日历中的五个数，这五个数从小到大依次为．
(1)这五个数的和能被5整除吗？为什么？
(2)若三处的数字之和为，请试着求出处的数字．
【变式3-3】如图是某年3月的日历，用一长方形框在表中任意框住4个数．
(1)若记左上角的数为x，则另三个数用含x的代数式表示出来，从小到大依次是_____，_____，_____．
(2)将日历中用长方形框框出的四个数之和的最小值记为，最大值记为，求的值．
(3)能否用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于？若能，则求出x的值，若不能，说明理由．
考点四：找规律
例4．下列按照一定规律排列一组图形，其中图形①中共有2个小三角形，图形②中共有6个小三角形，图形③中共有11个小三角形，图形④中共有17个小三角形，……．按此规律，图形⑩中共有个小三角形，这里的（ ）
A．87 B．74 C．62 D．53
【变式4-1】如图，是由相同的小圆圈按照一定规律摆放而成的，第（1）个图形中小圆圈的个数是 7个，第（2）个图形中小圆圈的个数是11个，第（3）个图形中小圆圈的个数是15个，则第（10）个图形中小圆圈的个数是（　）
A．43 B．47 C．51 D．55
【变式4-2】如图所示的图案是由正方形和三角形组成的，有着一定的规律，请完成下列问题：
(1)第4个图案中，三角形有______个，正方形有______个；
(2)若用字母分别代替三角形和正方形，则第1、第2个图案可表示为多项式则第5个图案可表示为多项式______；
(3)在（2）的条件下，若第5个图案所表示的多项式值为90，且求的值．
【变式4-3】观察下列图形与等式的关系：
第1个图
第2个图
第3个图
第4个图
……
根据图形及等式的关系，解决下列问题：
(1)第5个图中空白部分小正方形的个数是______，第6个图中空白部分小正方形的个数满足的算式：______；
(2)用含的等式表示第个图中空白部分小正方形的个数反映的规律：______；
(3)运用上述规律计算：．
1．中国人很早就开始使用负数．在著作《九章算术注》中用如图所示的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．《九章算术注》的作者是魏晋时期的数学家（　　）
A．刘徽 B．祖冲之 C．华罗庚 D．丢番图
2．中国人对方程的研究有悠久的历史．中国古代数学著作《九章算术》中有专门以“方程”命名的一章．中国古代数学家表示方程时，只用算筹表示各未知数的系数，而没有使用专门的记法来表示未知数.1859年中国清代一位数学家在翻译外国数学著作时，开始将equation（指含未知数的等式）一词译为“方程”，至今一直这样沿用，这位清代数学家是（　　）
A．花拉子米 B．李治 C．李善兰 D．刘徽
3．小光的身份证号码是320483200511102651，则小光的生日是（　　）
A．5月11日 B．10月2日 C．11月2日 D．11月10日
4．把夏禹时代的“洛书”用现代数学符号翻译出来就是一个三阶幻方，其实际数学意义就是它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等，则幻方中a的值是（　　）
A．6 B．12 C．18 D．24
5．身份证号码告诉我们很多信息，某人的身份证号码是130503196704010012，其中13、05、03是此人所属的省（市、自治区）、市、县（市、区）的编码，1967、04、01是此人出生的年、月、日，001是顺序码，2为校验码．那么身份证号码是321084198101208022的人的生日是（　　）
A．8月10日 B．10月12日 C．1月20日 D．12月8日
6．把正整数1，2…排列成如下一个数表：
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
第1行 1 2 3 4 5
第2行 6 7 8 9 10
第3行 11 12 13 14 15
第4行 16 17 18 19 20
… … … … … …
（1）32在第　 　行第　 　列；
（2）第n行第2列的数是　 　；
（3）团团和圆圆玩游戏，团团说：“从数表中挑一个数x，我就可以按下面程序计算出x是第a行第b列.”你认为团团说的有道理吗？请说明理由.
7．【观察思考】
【规律发现】
请用含n的式子填空：
（1）第1个图案“※”的个数为，
第2个图案“※”的个数为，
第3个图案“※”的个数为，
第4个图案“※”的个数为，
…
第n个图案“※”的个数可表示为______；
（2）第1个图案“○”的个数为，
第2个图案“○”的个数为，
第3个图案“○”的个数为，
第4个图案“○”的个数为，
…
第n个图案“○”的个数可表示为______；
【规律应用】
（3）上述图案可以对应变换为如下图案：
结合上述两个图案中“※”和“○”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得变换后的第n个图案中“※”和“○”的个数之和是第n个图案中最后一行“○”的个数的100倍．
8．下列8个图形，都是由相同的小正方形拼成的对称图形，分别将这8个图形放在某日历图片上，使每个图形的每个小正方形各圈住一个日期，如果某图形圈住的日期数字之和是这个图形的小正方形个数的整数倍数，那么这个图形叫做倍数图形．
(1)将图形①放在图1中，使其圈住5个日期数字，设其圈住的中心数为n，判断图形①是不是倍数图形？如果，请证明一下，如果不是，请说明理由．
(2)除图形①外，其余的7个图形中，是倍数图形的有_______（填写序号）
(3)将图形④放在日历上，能否圈住三个数，使这三个数之和为33，如果能，请求出它的中心数，如果不能，请说明理由．
9． 某学校给学生编制的“身份识别条形码”共有12位数字（均为0～9之间的自然数），它是由11位数字代码和最后1位的校验码构成，具体结构如下图：
其中校验码是按照特定的算法计算得来的，用于校验身份识别条形码中前11位数字代码的正确性．具体算法说明如下：
步骤1：计算前11位数字中奇数位数字的和，记为；
步骤2：计算前11位数字中偶数位数字的和，记为；
步骤3：计算，记为；
步骤4：取不小于且为10的整数倍的最小数；
步骤5：计算，结果即为校验码．
阅读上述材料，回答下列问题：
（1）某同学的“身份识别条形码”为的，则计算过程中的值为　 　．校验码的值是　 　．
（2）如图，某同学的“身份识别条形码”中的一位数字不小心污损了，设这个数字为，你能否通过其他信息还原出这位数字，进而确定这位同学的班级？如果能，写出你的推理过程，如果不能，说明理由．
（3）如图，一名2024届的同学在知道了校验码的计算方法后，尝试利用自己的身份信息计算校验码，然后惊喜的发现自己的“班级”、“学号”和“校验码”的数字（图中被遮住的数字）是完全一样的，请直接写出这个数字是　 　．
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模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．通过对生活中常见的图形、数字的观察和思考，感受生活中处处有数学； 2．乐于接触社会环境中的数字、图形信息，了解数学是我们表达和交流的工具。
1.1生活 观察
（1）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中，把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方.请你探究如图洛书三阶幻方中，奇数和偶数的位置、数和数之间的数量关系所呈现的规律，根据这一规律，求出，，则（　　）
A．16 B．8 C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：观察图1和图2，根据数字关系可得出幻方满足的条件是：每行每列和每条对角线上的数字之和都相等，
∴图2中满足： ，解得： ；
，解得： ；
即 ，
故答案为：A.
【分析】观察图1和图2，根据数字关系可得出幻方满足的条件是：每行每列和每条对角线上的数字之和都相等，据此列出方程，求解可得a、b的值，进而根据有理数的乘方运算可得答案.
（2）身份证号码告诉我们很多信息，身份证号码是320584198101208022的人的生日是（ ）　　
A．8月10日 B．10月12日 C．1月20日 D．12月8日
【答案】C
【分析】根据身份证的特点即可求解．
【详解】∵身份证号码是320584198101208022
∴生日是1月20日
故选C．
【点睛】此题主要考查有理数的性质应用，解题的关键是熟知身份证号码的特点．
1.2活动 思考
（1）如图，大小完全相同的两个直角三角形纸片，若将它们的某条边重合，能拼成几种不同形状的平面图形 试一试，画出拼成的图形．
【答案】见解析
【分析】分别将两个直角三角形纸片的斜边、两条直角边重合，即可求解．
【详解】解：可以拼成如图的6种不同形状的图形．
【点睛】本题考查平面图形的相关知识点．将两个直角三角形的斜边、两条直角边分别重合是解题关键．
（2）生活与数学
（1）吉姆同学在某月的日历上圈出2×2个数，正方形的方框内的四个数的和是32，那么第一个数是　 　
（2）玛丽也在上面的日历上圈出2×2个数，斜框内的四个数的和是42，则它们分别是　 　
（3）莉莉也在日历上圈出5个数，呈十字框形，它们的和是50，则中间的数是　 　
（4）某月有5个星期日的和是75，则这个月中最后一个星期日是　 　 号；
（5）若干个偶数按每行8个数排成下图：
①图中方框内的9个数的和与中间的数有什么关系　 　
②汤姆所画的斜框内9个数的和为360，则斜框的中间一个数是　 　 ；
③托马斯也画了一个斜框，斜框内9个数的和为270，则斜框的中间一个数是　 　
【答案】4；7、8、13、14；10；29；和是中间的数的9倍；40；30
【解析】【解答】解：（1）设第一个数是x，其他的数为x+1，x+7，x+8，
则x+x+1+x+7+x+8=32，
解得x=4；
（2）设第一个数是x，其他的数为x+1，x+6，x+7，
则x+x+1+x+6+x+7=42，
解得x=7．
x+1=8，x+6=13，x+7=14；
（3）设中间的数是x，
则5x=50，
解得x=10；
（4）设最后一个星期日是x，x﹣7，x﹣14，x﹣21，x﹣28，
则x+x﹣7+x﹣14+x﹣21+x﹣28=75，
解得x=29；
（5）①和是中间的数的9倍．
②根据规律可知，和是中间的数的9倍，
设中间的数是x，
则9x=360，
解得x=40．
③设中间的数是x，
则9x=270，
解得x=30．
【分析】先根据日历上的数据规律把所要求的数用代数式表示，用一元一次方程求解即可．
1.3交流 表达
（1）用3根火柴棒搭成1个三角形，接着用火柴棒按如图所示的方式搭成2个三角形，再用火柴棒搭成3个三角形、4个三角形…搭2020个三角形共需要 根火柴棒
…
【答案】4041
【分析】根据图形找出火柴棒数与三角形个数之间的规律，然后根据规律计算即可．
【详解】解：1个三角形需要3根火柴棒，
2个三角形需要5根火柴棒，
3个三角形需要7根火柴棒，
4个三角形需要9根火柴棒，
……
照此规律下去搭n个这样的三角形需要个三角形，
当时，
，
故答案为：4041．
【点睛】本题考查了图形的变化类规律问题，关键是要观察图形找出火柴棒数与三角形个数之间的规律．
（2）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
(1)在④后面的横线上写出相应的等式：
①1＝12；②1＋3＝22；③1＋3＋5＝32；④ ；⑤1＋3＋5＋7＋9＝52；…
(2)请写出第n个等式；
(3)利用（2）中的等式，计算：41＋43＋45＋…＋199．
【答案】(1)1+3+5+7=42
(2)1+3+…+（2n﹣1）＝n2
(3)9600
【分析】（1）由规律可得从1开始连续奇数的和等于加数个数的平方，由此可得到答案；
（2）由小问1可知第n个等式为从1开始连续n个奇数的和，由此可知答案；
（3）首先将原式改写成（1+3+5+…+199）-（1+3+5+…+39），然后利用（2）中的结论即可得到答案．
【详解】（1）由题意知，第四项为1+3+5+7=16=，故答案为；
（2）由图形知：
1=2×1-1=；
1+3=1+（2×2-1）=
……
第n个等式为1+3+5+…+（2n-1）==
故答案为1+3+5+…+（2n-1）=
（3）41＋43＋45＋…＋199
=（1+3+5+…+199）-（1+3+5+…+39）
=[1+3+5+…+（2×100-1）]-[1+3+5+…+（2×20-1）]
=
=9600
【点睛】本题考查了数字之间的规律，仔细观察图形、发现其中规律是本题的解题关键．
考点一：认识身份证信息
例1．某居民的身份证如图所示，则该居民的出生年份是 ．
【答案】1978
【分析】由身份证号码第7—10位数字表示的是年份，即可得出结论．
【详解】解：由身份证号码第位数字表示的是出生年份，
得该居民出生年份是1978．
故答案为：1978．
【点睛】本题考查了数学常识，了牢记身份证号码18位数字的意义是解题的关键．
【变式1-1】某人身份证号码是321281198101208021，则他出生于　 　月.
【答案】1
【解析】【解答】解：根据题意分析可得：身份证的第7到14位这8个数字为该人的出生年份、月份及日期的信息，身份证号码是321281198101208021，其7至14位为19810120，此人出生于1月.
故答案为：1.
【分析】根据身份证上的数字特点，可知身份证的第7到14位这8个数字为该人的出生年份、月份及日期的信息，由此可得答案.
【变式1-2】身份证号码告诉我们很多信息，某人的身份证号码是130503196704010012，其中13、05、03是此人所属的省(市、自治区)、市、县(市、区)的编码，1967、04、01是此人出生的年、月、日，071是顺序码，2为校验码：那么身份证号码是321084198101208022的人的生日是（　　）
A．8月10日 B．10月12日 C．1月20日 D．12月8日
【答案】C
【解析】【解答】解：∵身份证号码是321084198101208022，
∴32、10、84是此人所属的省(市、自治区)、市、县(市、区)的编码，
1981、01、20是此人出生的年、月、日，802是顺序码，2为校验码.
∴生日为1月20日.
故答案为：C
【分析】利用此人的身份证号码可知32、10、84是此人所属的省(市、自治区)、市、县(市、区)的编码，1981、01、20是此人出生的年、月、日，由此可得到此人的生日.
【变式1-3】某学校为学生编排9位数字的考试号，从左边起第1位数字表示年级，7、8、9分别表示七、八、九三个年级，第2、3位数字表示所在的班级（班级不是两位数字的，前面补0．如3班则编号为03），第4、5位数字表示这个学生在班级序号，第6、7位数字表示该生考试时所到的班级，第8、9位数字表示座位号．如果一个八年级10班序号为45的学生正确坐到6班11号的位置，则他的考试号为 ．
【答案】
【分析】根据题意逐个写出数字即可求解．
【详解】如果一个八年级10班序号为45的学生正确坐到6班11号的位置，则他的考试号为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了数学常识，根据题意列出数字是解题的关键．
考点二：幻方与幻和
例2．九宫格是一款数学游戏，起源于河图洛书，河图与洛书是我国古代流传下来的两幅神秘图案，历来被认为是河洛文化的滥觞，中华文明的源头，被誉为“宇宙魔方”．在如图所示的九宫格中，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，则对于这个九宫格中a＝　 　，b＝　 　．
【答案】-2；-10
【解析】【解答】解：如图．
由题意可得，m+a+0＝-5+m+3，
解得a＝-2，
又3+b+n＝-5+a+n，
解得b＝-10．
故答案为：-2，-10．
【分析】利用已知条件：每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，可得到m+a+0＝-5+m+3，3+b+n＝-5+a+n，解方程求出a，b的值.
【变式2-1】阅读与探究
请阅读下列材料，井解答相应的问题：幻方：将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行，一列及对角线上的数字之和都相等，则具有这种性质的数字方阵为“幻方”，中国古代称“幻方”为“河图”、“洛书”等.
例如，下面是三个三阶幻方，是将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到 的方格中得到的，其每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等.
现要用9个数3，4，5，6，7，8，9，10，11构造一个三阶幻方.
（1） 幻方最中间的数字应等于　 　.
（2） 请将构造的幻方填写在下面 的方格中.
【答案】（1）7
（2）解：构造的幻方如下表：
6 5 6
11 7 3
4 9 8
【解析】【解答】解：（1）设幻方中9个数的和为 ，
则 与中间的数字 之间的数量关系为： .
∴ ，
解得x=7，
故幻方最中间的数字应等于7.
故答案为：7；
【分析】（1）设幻方中9个数的和为S，则S=9x，据此列出方程，求解可得最中间的数字；
（2）根据（1）中的结论首先填写最中间的数字，然后根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等进行填写.
【变式2-2】幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方--九宫图．请同学们在数字1，2，3，4，5，6，7，8，9中选择合适的数字填入如图所示的幻方中，要求每一横行、同一竖行、两条斜对角线上的数字之和都是15，则n的值为（　　）
7 2
n 5 　
A．1 B．2 C．8 D．9
【答案】A
【解析】【解答】由题意可知，∵要求每一横行、同一竖行、两条斜对角线上的数字之和都是15，∴第一行第一个数是6，第三行第二个数是3，第三行第三个数是4，
∴第三行第一个数是8，
∴，
∴
故答案为：A．
【分析】根据“ 幻方中，要求每一横行、同一竖行、两条斜对角线上的数字之和都是15 ”进行解答即可.
【变式2-3】把夏禹时代的“洛书”用数学符号翻译出来就是一个三阶幻方，它的每行.每列.每条对角线上三个数之和均相等，那么幻方中的值是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解析】【解答】依题意得5+4+9=5+3+a
解得a=10
故答案为：C.
【分析】根据题意“最上方的三个数字之和等于左边第一列的三个数字之和”可得关于a的方程，解方程即可求解.
考点三：日历
例3. 如图，表中给出的是某月的日历，任意选取“Z”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现此月这7个数的和可能的是（ ）
A．49 B．60 C．84 D．105
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．先设中间的数为x，则上一行3个数分别是，下一行3个数分别是，然后列方程求解即可．
【详解】解：先设中间的数为x，则上一行3个数分别是，下一行3个数分别是，
则这7个数的和为，
A、若，则，观察日历，不存在，本选项不符合题意；
B、若，则，不是整数，故本选项不符合题意；
C、若，则，观察日历，不存在，本选项不符合题意；
D、若，则，本选项符合题意；
故选：D．
【变式3-1】如图是2024年1月日历，用“”型方框任意覆盖其中四个方格，最小数字记为，四个数字之和记为．当时，所表示的日期是星期（ ）．
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确表示出其余位置上的数字是解答本题的关键．
【详解】解： 由题意得：
解得：，
∴a处上的日期是星期二．
故选：B
【变式3-2】如图1是年月的日历，用如图2的“Z”字型覆盖住日历中的五个数，这五个数从小到大依次为．
(1)这五个数的和能被5整除吗？为什么？
(2)若三处的数字之和为，请试着求出处的数字．
【答案】(1)这五个数的和能被5整除，理由见解析
(2)处的数字为6
【分析】本题考查了列代数式，整式加减运算的应用，一元一次方程的应用．根据题意正确的列代数式是解题的关键．
（1）设数字为，则数字分别为，可求，根据，进行作答即可；
（2）设数字为，则数字分别为，可求，即，解得，，然后求处的数字即可．
【详解】（1）解：这五个数的和能被5整除，理由如下：设数字为，则数字分别为，
∴，
∵，
∴这五个数的和能被5整除；
（2）解：设数字为，则数字分别为，
∴，
由题意得，，
解得，，
∴处数字为，
∴处的数字为6．
【变式3-3】如图是某年3月的日历，用一长方形框在表中任意框住4个数．
(1)若记左上角的数为x，则另三个数用含x的代数式表示出来，从小到大依次是_____，_____，_____．
(2)将日历中用长方形框框出的四个数之和的最小值记为，最大值记为，求的值．
(3)能否用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于？若能，则求出x的值，若不能，说明理由．
【答案】(1)，，
(2)
(3)不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92，理由见解析
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及代数式求值；
（1）观察图形，根据各数之间的关系，用含的代数式表示出另外三个数；
（2）由（1），可得出四个数之和为，结合图形，可求出，的值，再将其相加，即可得出结论；
（3）不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92，假设能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92，根据四个数之和为92，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，结合19在第七列，可得出假设不成立，即不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92．
【详解】（1）解：若记左上角的数为，则另外三个数分别为，，．
故答案为：，，；
（2）由（1）可知：四个数之和为，
，，
；
（3）不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92，理由如下：
假设能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92，
根据题意得：，
解得：，
在第七列，不符合题意，
假设不成立，即不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92．
考点四：找规律
例4．下列按照一定规律排列一组图形，其中图形①中共有2个小三角形，图形②中共有6个小三角形，图形③中共有11个小三角形，图形④中共有17个小三角形，……．按此规律，图形⑩中共有个小三角形，这里的（ ）
A．87 B．74 C．62 D．53
【答案】B
【分析】本题考查了规律型中的图形的变化类，根据图形中数的变化找出变化规律是解题的关键．
设图形中三角形的个数是为正整数），列出部分图形中三角形的个数，根据数据的变化找出变化规律第个图形三角形个数为，依此规律即可得出结论．
【详解】解：设图形中三角形的个数是为正整数），
，
，
，
，
．
．
故选：B．
【变式4-1】如图，是由相同的小圆圈按照一定规律摆放而成的，第（1）个图形中小圆圈的个数是 7个，第（2）个图形中小圆圈的个数是11个，第（3）个图形中小圆圈的个数是15个，则第（10）个图形中小圆圈的个数是（　）
A．43 B．47 C．51 D．55
【答案】A
【分析】本题考查了图形规律探索，由题意知，其规律是每次增加4个圆圈，依此规律则可求得第（10）个图形中小圆圈的个数．找出规律是解题的关键．
【详解】解：第（1）个图形中小圆圈的个数是 7个，
第（2）个图形中小圆圈的个数是（个），
第（3）个图形中小圆圈的个数是（个），
第（4）个图形中小圆圈的个数是（个），
……，
则第（10）个图形中小圆圈的个数是（个）；
故选：A．
【变式4-2】如图所示的图案是由正方形和三角形组成的，有着一定的规律，请完成下列问题：
(1)第4个图案中，三角形有______个，正方形有______个；
(2)若用字母分别代替三角形和正方形，则第1、第2个图案可表示为多项式则第5个图案可表示为多项式______；
(3)在（2）的条件下，若第5个图案所表示的多项式值为90，且求的值．
【答案】(1)16，16
(2)
(3)
【分析】本题考查了规律型的图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．
（1）观察图形得出规律，即可得出第4个图案中，三角形有16个，正方形有16个；
（2）根据第1、2个图案可表示多项式，，可知第5个图案可表示为多项式；
（3）根据（1）得出的规律，列式计算即可求解．
【详解】（1）观察图形可知：
第1个图案中，三角形有个，正方形有个；
第2个图案中，三角形有个，正方形有个；
第3个图案中，三角形有个，正方形有个；
第4个图案中，三角形有个，正方形有个；
故答案为：16，16；
（2）第1第2个图案可表示为多项式，，可知第5个图案可表示为多项式，
故答案为：；
（3）第5个图案所表示的多项式值为90，
，
又，
，
的值为：2．
【变式4-3】观察下列图形与等式的关系：
第1个图
第2个图
第3个图
第4个图
……
根据图形及等式的关系，解决下列问题：
(1)第5个图中空白部分小正方形的个数是______，第6个图中空白部分小正方形的个数满足的算式：______；
(2)用含的等式表示第个图中空白部分小正方形的个数反映的规律：______；
(3)运用上述规律计算：．
【答案】(1)11，
(2)
(3)2025
【分析】本题考查图形变化的规律，有理数的混合运算等知识点，
（1）根据题图找出规律即可得解；
（2）根据题图找出规律即可得解；
（2）根据题图找出的规律计算即可得解；
能根据所给等式写出图n空白部分小正方形个数满足的等式是解题的关键．
【详解】（1）解：由图知：第5个空白小正方形的个数为，第6个空白小正方形的个数算式应为：，
故答案为：11，；
（2）解：由题图知，
图①空白部分小正方形的个数是；
图②空白部分小正方形的个数是；
图③空白部分小正方形的个数是；
…，
所以图n空白部分小正方形的个数是：，
故答案为：；
（3）解：由（2）问规律可计算得，
．
1．中国人很早就开始使用负数．在著作《九章算术注》中用如图所示的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．《九章算术注》的作者是魏晋时期的数学家（　　）
A．刘徽 B．祖冲之 C．华罗庚 D．丢番图
【答案】A
【解析】【解答】解：《九章算术注》的作者是魏晋时期的数学家刘徽．
故答案为：A．
【分析】根据《九章算术注》的作者是魏晋时期的数学家刘徽，求解即可。
2．中国人对方程的研究有悠久的历史．中国古代数学著作《九章算术》中有专门以“方程”命名的一章．中国古代数学家表示方程时，只用算筹表示各未知数的系数，而没有使用专门的记法来表示未知数.1859年中国清代一位数学家在翻译外国数学著作时，开始将equation（指含未知数的等式）一词译为“方程”，至今一直这样沿用，这位清代数学家是（　　）
A．花拉子米 B．李治 C．李善兰 D．刘徽
【答案】C
【解析】【解答】解：李善兰是中国近代著名的数学家，1852年，他到上海，与英国传教士伟烈亚力等人合作，开始从事西方数学书籍的翻译工作.他在译作中创造了许多数学名词和术语，其中就包括“方程”一词，一直沿用至今.
故答案是：C.
【分析】根据数学常识求解即可。
3．小光的身份证号码是320483200511102651，则小光的生日是（　　）
A．5月11日 B．10月2日 C．11月2日 D．11月10日
【答案】D
【解析】【解答】解：小光的身份证号码是320483200511102651，则小光的生日是11月10日.
故答案为：D.
【分析】身份证号码中，第11、12位表示的是出生月份，13、14位表示的是出生日期，据此解答.
4．把夏禹时代的“洛书”用现代数学符号翻译出来就是一个三阶幻方，其实际数学意义就是它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等，则幻方中a的值是（　　）
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】C
【解析】【解答】设中心数为x，
根据题意得，6+x+16=4+x+a，
∴a=18，
故答案为：C.
【分析】根据三阶幻方的特点，可得三阶幻方的和，根据三阶幻方的和，可得a、b的值，根据有理数的加法，可得答案.
5．身份证号码告诉我们很多信息，某人的身份证号码是130503196704010012，其中13、05、03是此人所属的省（市、自治区）、市、县（市、区）的编码，1967、04、01是此人出生的年、月、日，001是顺序码，2为校验码．那么身份证号码是321084198101208022的人的生日是（　　）
A．8月10日 B．10月12日 C．1月20日 D．12月8日
【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意，分析可得身份证的第7到14位这8个数字为该人的出生、生日信息，
身份证号码是321084198101208022，其7至14位为19810120，
故他（她）的生日是0120，即1月20日．
故选C．
【分析】根据题意，分析可得身份证的第7到14位这8个数字为该人的出生、生日信息，由此人的身份证号码可得此人出生信息，进而可得答案．
6．把正整数1，2…排列成如下一个数表：
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
第1行 1 2 3 4 5
第2行 6 7 8 9 10
第3行 11 12 13 14 15
第4行 16 17 18 19 20
… … … … … …
（1）32在第　 　行第　 　列；
（2）第n行第2列的数是　 　；
（3）团团和圆圆玩游戏，团团说：“从数表中挑一个数x，我就可以按下面程序计算出x是第a行第b列.”你认为团团说的有道理吗？请说明理由.
【答案】（1）7；2
（2）5n-3
（3）解：团团说的没有道理，理由如下，
若的商为a，余数为b.
当时，则为第a行，第5列；
当时，则为第行，第b列.
【解析】【解答】解：（1）由表格可知：每行有5个数，且按由小到大的顺序依次将正整数排列，
∵，
∴32在第7行第2列.
故答案为：7，2；
（2）由表格可知：第二列的数为2，7，12，17……，
即为，，，，……，
∴第n行第2列的数是.
故答案为：；
【分析】（1）观察表格中的信息可知：每行有5个数，且按由小到大的顺序依次将正整数排列，用32÷5可求解；
（2）观察表格中第二列的数可求解；
（3）结合（1）和（2）的计算可求解.
7．【观察思考】
【规律发现】
请用含n的式子填空：
（1）第1个图案“※”的个数为，
第2个图案“※”的个数为，
第3个图案“※”的个数为，
第4个图案“※”的个数为，
…
第n个图案“※”的个数可表示为______；
（2）第1个图案“○”的个数为，
第2个图案“○”的个数为，
第3个图案“○”的个数为，
第4个图案“○”的个数为，
…
第n个图案“○”的个数可表示为______；
【规律应用】
（3）上述图案可以对应变换为如下图案：
结合上述两个图案中“※”和“○”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得变换后的第n个图案中“※”和“○”的个数之和是第n个图案中最后一行“○”的个数的100倍．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键．
（1）根据前几个图案的规律，即可求解；
（2）根据题意，结合图形规律，即可求解．
（3）根据题意，列出关系式，即可求解．
【详解】（1）解：第1个图案“※”的个数为，
第2个图案“※”的个数为，
第3个图案“※”的个数为，
第4个图案“※”的个数为，
……
∴第n个个图案“※”的个数为，
故答案为：．
（2）第1个图案“○”的个数为，
第2个图案“○”的个数为，
第3个图案“○”的个数为，
第4个图案“○”的个数为，
…
第n个图案“○”的个数可表示为；
故答案为：．
（3）解：依题意，变化第n个图案中“※”和“○”的个数之和是，
由第1个图案中最后一行“○”的个数为，
第2个图案中最后一行“○”的个数为，
第3个图案中最后一行“○”的个数为，
第4个图案中最后一行“○”的个数为，
…；
第n个图案中最后一行“○”的个数是，
∵，，
∴
，
解得：．
8．下列8个图形，都是由相同的小正方形拼成的对称图形，分别将这8个图形放在某日历图片上，使每个图形的每个小正方形各圈住一个日期，如果某图形圈住的日期数字之和是这个图形的小正方形个数的整数倍数，那么这个图形叫做倍数图形．
(1)将图形①放在图1中，使其圈住5个日期数字，设其圈住的中心数为n，判断图形①是不是倍数图形？如果，请证明一下，如果不是，请说明理由．
(2)除图形①外，其余的7个图形中，是倍数图形的有_______（填写序号）
(3)将图形④放在日历上，能否圈住三个数，使这三个数之和为33，如果能，请求出它的中心数，如果不能，请说明理由．
【答案】(1)图形①是倍数图形，理由见解析
(2)②③④⑤⑥
(3)不能，理由见解析
【分析】此题考查了一元一次方程的应用，列代数式，整式的加减，解题的关键是正确表示出每个位置上的数，
（1）根据题意表示出5个数，然后相加求解判断即可；
（2）分别表示出每个位置上的数，然后相加求解判断即可；
（3）根据（2）中的结果得到，解得，然后根据11在日历上的位置求解即可．
【详解】（1）∵设其圈住的中心数为n，
∴其他的数分别为，，，，
∴
∴是5的倍数，
∴图形①是倍数图形；
（2）图形②：设中间数为a，则其他的数分别为，，，，，，，
∴
∵是9的整数倍，
∴图形②是倍数图形；
图形③：设第一个数为b，则其他的数分别为，，
∴
∵是4的整数倍，
∴图形③是倍数图形；
图形④：设中间数为c，则其他的数分别为，，
∴
∵是3的整数倍，
∴图形④是倍数图形；
图形⑤：设中间数为d，则其他的数分别为，，
∴
∵是3的整数倍，
∴图形⑤是倍数图形；
图形⑥：设中间数为e，则其他的数分别为，，，
∴
∵是5的整数倍，
∴图形⑥是倍数图形；
图形⑦：设第二个数为f，则其他的数分别为，，，，
∴
∵不是6的整数倍，
∴图形⑦不是倍数图形；
图形⑧：设第一个数为g，则其他的数分别为，
∴
∵不是3的整数倍，
∴图形⑧不是倍数图形；
综上所述，除图形①外，其余的7个图形中，是倍数图形的有②③④⑤⑥．
（3）由（2）得，
解得
∵c是中间的数，而11在日历上是最左边的数，
∴不符合题意，应舍去
∴不能圈住三个数，使这三个数之和为33．
9． 某学校给学生编制的“身份识别条形码”共有12位数字（均为0～9之间的自然数），它是由11位数字代码和最后1位的校验码构成，具体结构如下图：
其中校验码是按照特定的算法计算得来的，用于校验身份识别条形码中前11位数字代码的正确性．具体算法说明如下：
步骤1：计算前11位数字中奇数位数字的和，记为；
步骤2：计算前11位数字中偶数位数字的和，记为；
步骤3：计算，记为；
步骤4：取不小于且为10的整数倍的最小数；
步骤5：计算，结果即为校验码．
阅读上述材料，回答下列问题：
（1）某同学的“身份识别条形码”为的，则计算过程中的值为　 　．校验码的值是　 　．
（2）如图，某同学的“身份识别条形码”中的一位数字不小心污损了，设这个数字为，你能否通过其他信息还原出这位数字，进而确定这位同学的班级？如果能，写出你的推理过程，如果不能，说明理由．
（3）如图，一名2024届的同学在知道了校验码的计算方法后，尝试利用自己的身份信息计算校验码，然后惊喜的发现自己的“班级”、“学号”和“校验码”的数字（图中被遮住的数字）是完全一样的，请直接写出这个数字是　 　．
【答案】（1）35；5
（2）解：能确定．由题意得，
，
检验码为9，，
是10的整倍数，且为0~9之间的自然数，；
（3）2
【解析】【解答】解：（1）由题意得：m=0+2+0+2+1+3=8，
n=4+2+2+0+3=11，
p=3m+n=35，
q=40，
校验码 =40-35=5；
（3）设04220240a0aa，
则m=0+2+0+4+a+a=6+2a，
n=4+2+2+0+0=8，
p=3m+n=18+6a+8=26+6a，
当a=2时，p=387，q=40，
q-p=2，
故这个数字是2.
【分析】（1）根据定义求得m、n的值，进而求得p、q的值，从而求得校验码的值；
（2）根据04220250x35/9可得m=12+x，n=11，进一步得 再根据 是10的整倍数，且为0~9之间的自然数， 进而求得x的值；
（3）设04220240a0aa，可得m=6+2a，n=8，进一步得p=3m+n=26+6a，当a=2时，p=387，q=40，即可求得q-p=2的值，从而得出结论.
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