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第02讲 正数与负数
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．通过生活实例认识正数和负数； 2．会用正数、负数表示相反意义的量； 3. 知道整数、分数的分类。
1.读写正负数。
正、负数的读法与写法：
“＋”号读作“正”．如 8。读作“正8”，“＋” 可以省略不写．
“–”号读作“负”，如–13，读作“负13”，“–”号是不可以省略的．
实际上，日常生活中，许多具有相反意义的量都可以用正数、负数来表示．例如零上和零下，前进和后退，上升和下降,收入和支出，向东和向西，超过和不及等等。
2.认识正负数。
正数概念：像3、+8这样的数;负数概念：像-1、-4____；
0既不是_正数________，也不是__负数________.
请写出两个整数 0、1 ；两个负数 -1、-2 ；两个分数 1/2、2/3 ；两个负分数 -1/2、4/5 ；两个非负数 2、6 ；
3.正整数、负整数、零统称为整数．
正分数、负分数统称为分数．
4.认识有理数
有理数概念： 我们把能够写成分数形式的数叫做有理数 ；
因为整数、有限小数、无限循环小数能够写成分数形式，所以 整数 、 有限小数 、无限循环小数 都是有理数；
考点一：相反意义的量
例1．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上记作，则零下记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了正数和负数，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【详解】解：若零上记作，则零下记作．
故选：D．
【变式1-1】中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果盈利元记作元，那么亏本元记作（　　）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】B
【分析】本题考查了相反意义的量．熟练掌握相反意义的量是解题的关键．
根据相反意义的量进行判断作答即可．
【详解】解：∵盈利元记作元，
∴亏本元记作元，
故选：B．
【变式1-2】如果把“盈利100元”记作“元”，那么“亏损80元”可记作 元．
【答案】
【分析】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
【详解】解：“盈利100元”记作“元”，那么“亏损80元”可记作元，
故答案为：．
【变式1-3】把下列具有相反意义的量用线连接起来．
前进米 收入元
运出吨 盈利元
上升C 后退米
支出元 运进吨
亏损元 下降
【答案】见详解
【分析】相反意义的量指的是：具有相反意义，有数量（数量可以相等，也可以不相等），成对出现，由此即可求解．
【详解】解：根据相反意义的量的含义得，
【点睛】本题主要考查相反意义的量，理解并掌握相反意义的量的定义是解题的关键．
考点二：有理数的分类
例2.在下列数，，，0，，，中整数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的分类、整数的识别，逐个识别是否为整数，得出整数的个数即可，掌握“整数包含正整数、0、负整数”是解题的关键．
【详解】解：，，，0，，，中整数有：，0，，共3个，
故选：B．
【变式2-1】在，，0，，中分数有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查有理数，根据分数的定义进行判断即可．
【详解】解：在，，0，，中，分数有， ，，共3个，
故选：C．
【变式2-2】在，9，，，0，，中，正数有 ，负数有 ， 既不是正数也不是负数．
【答案】 、9、 、、 0
【分析】本题主要考查了有理数的知识，熟练掌握相关概念是解题关键．比0大的数叫正数，正数前面常有一个符号“”，通常可以省略不写；比0小的数叫做负数，负数用负号“”和一个正数标记．利用正数、负数和0的意义可得出答案．
【详解】解：在，9，，，0，，中，
正数有、9、，负数有、、，0既不是正数也不是负数．
故答案为：、9、；、、；0．
【变式2-3】下列各数哪些属于非负数集合？哪些属于正整数集合？哪些是负分数集合？
，，，，0，，，
非负数：{ ，．．．}
正整数：{ ，．．．}
负分数：{ ，．．．}
【答案】见解析
【分析】本题考查了非负数、正整数、负分数，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．根据有理数的分类填写：有理数包括整数（正整数、0和负整数）；非负数包括正数和0．
【详解】解：非负数：{，，0，}
正整数：{}；
负分数：{，}．
考点三：分数与小数互化
例3.化成小数后，小数点后面第2000位上的数字是（ ）。
A．4 B．2 C．8 D．5
【答案】B
【分析】化成小数后是，循环节是428571，有6位数，（个），所以小数部分的第2000位数字是333个循环节后的334个循环节上的第2个数字，循环节的第2个数字是2，据此解答。
【详解】（个）
化成小数后，小数点后面第2000位上的数字是2。
故答案为：B
【变式3-1】、、、四个分数中，能化成有限小数的有（ ）个。
A．4 B．2 C．3 D．1
【答案】C
【分析】用分子除以分母，将分数化为小数，再看能化成有限小数的有几个即可。小数部分的位数是有限的小数是有限小数；小数部分的位数是无限的小数是无限小数。
【详解】
、、能化成有限小数，化成的是无限循环小数，所以能化成有限小数的有3个。
故答案为：C
【变式3-2】在0.75、、、0.7四个数中，最大的数是 ，最小的数是 。
【答案】
【分析】首先根据分数化为小数的方法：用分子除以分母，把、都化成小数。最后根据小数大小比较的方法判断即可。
【详解】＝7÷8＝0.875，＝2÷3≈0.67，
因为0.875＞0.75＞0.7＞0.67，
所以＞0.75＞0.7＞，
所以在0.75、、、0.7四个数中，最大的数是，最小的数是。
【变式3-3】把下列分数化成小数。（除不尽的保留三位小数）
＝( ) ＝( ) ＝( ) ≈( )
【答案】 0.3 0.375 0.85 0.786
【分析】
根据分数化小数的方法，将分数改写成分子除以分母的形式，再按小数除法的计算方法计算并按要求保留小数位数即可。
【详解】＝3÷10＝0.3
＝3÷8＝0.375
＝17÷20＝0.85
＝11÷14≈0.786
1．随着商业的发展和技术的进步，手机支付已经成为常见的支付方式，若手机钱包收入元记作元，则元表示（ ）
A．支出元 B．收入元 C．支出元 D．收入元
【答案】A
【分析】本题考查了运用正数和负数表示两个相反意义的量，正确理解正、负数的意义是解题的关键．收入和支出相反，如果收入为正，那么负为支出，即可解决．
【详解】∵收入元记作元，
∴元表示支出元，
故选：A．
2．温度由变为，表示温度（ ）
A．上升了 B．下降了 C．上升了 D．下降了
【答案】A
【分析】本题考查了正负数的意义，根据温度由变为，得出温度上升了，即可作答．
【详解】解：∵温度由变为，
∴表示温度上升了，
故选：A．
3．某品牌酸奶外包装上标明“净含量：”，现随机抽取四种口味的这种酸奶，它们的净含量如下表所示，其中，净含量不合格的是 口味的酸奶．
种类 原味 草莓味 香草味 巧克力味
净含量/mL 175 180 190 185
【答案】香草味
【分析】本题主要考查了正数和负数等知识点，根据正数和负数的实际意义求得合格酸奶的重量范围，据此进行判断即可，理解正数和负数的实际意义是解决此问题的关键．
【详解】由题意可得：合格酸奶净含量的最小值为:，合格酸奶净含量的最大值为:，
∴合格酸奶的重量范围为，
则净含量不合格的是香草味，
故答案为：香草味．
4．把下列的小数化成分数、分数化成小数。（除不尽的得数保留两位小数）。
0.875＝ 0.41＝ 0.125＝
＝ ＝ ＝
【答案】；；
5.67；1.22；0.5625
【分析】小数化成分数，原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，再化简成最简分数。
真分数或假分数化成小数，用分子除以分母即可；带分数先转化成假分数，再化成小数。
【详解】0.875＝＝
0.41＝
0.125＝＝
＝＝17÷3≈5.67
＝11÷9≈1.22
＝9÷16＝0.5625
5．把下面的小数化成分数，把分数化成小数（除不尽的保留三位小数）。
0.091 1.7
【答案】；1；1.667；0.96
【分析】小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分；
分数化成小数：用分母去除分子，能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位数；依此即可求解。
【详解】0.091＝ 1.7＝1 ≈1.667 ＝0.96
6．某食品厂从生产的袋装面粉中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如表：
与标准质量的差值（单位：g） 0 1 3 6
袋数 1 4 3 4 5 3
(1)这批样品的平均质量比标准质量重还是轻？重或轻多少克？
(2)若标准质量为每袋，则这批样品的总质量是多少？若该厂袋装面粉的合格标准，这批样品的合格率是多少？
【答案】(1)这批样品的平均质量比标准质量重，重克
(2)这批样品的总质量是4024克，这批样品的合格率是80%
【分析】本题主要考查正负数及有理数加法在实际生活中的应用，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义，熟练掌握运算法则．（1）根据样本的平均质量减去标准的质量，可得答案；（2）根据有理数的加法，可得答案；找到所给数值中，绝对值小于或等于3的食品的袋数占总袋数的多少即可．
【详解】（1）解：(克)；
(克)．
答:这批样品的平均质量比标准质量重，重克．
（2）由题意，得：(克)．
由题意可知，与标准质量相差g的有袋，
所以，
答:这批样品的总质量是4024克，这批样品的合格率是．
7．如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，他从A处出发去看望B、C、D处的其他甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负，如果从A到B记为，从B到A记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向.
(1)图中{______，______}， {______，______}：
(2)若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的最短路程；
(3)若图中另有两个格点M、N，且，，则应记为什么？直接写出你的答案．
【答案】(1)3，4；，0
(2)10
(3)
【分析】本题考查了正负数在网格线中的运动路线问题，数形结合，明确运动规则，是解题的关键．
（1）根据向上向右走均为正，向下向左走均为负，分别写出各点的坐标即可；
（2）分别根据各点的坐标计算总长即可；
（3）将，对应的横纵坐标相减即可得出答案．
【详解】（1）解：图中，
故答案为：3，4；，0．
（2）解：由已知可得：表示为，记为，记为，
则该甲虫走过的路程为：．
（3）解：由，，
可知：，，
∴点A向右走4个格点，向上走3个格点到点N，
∴应记为．
8．出租车司机小张某天在季华路（近似的看成一条直线）上行驶，如果规定向东为“正”，向西为“负”，他这天上午的行程可以表示为：，，，，，，，，，（单位：千米）
(1)小张将最后一名乘客送达目的地后需要返回出发地换班，请问小张该如何行驶才能回到出发地？
(2)若汽车耗油量为升/千米，发车前油箱有升汽油，若小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问小张今天上午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由．
【答案】(1)小张向西行驶1千米才能回到出发地
(2)小张今天上午不需要加油，理由见解析
【分析】本题考查了有理数的加法，正数和负数，熟练掌握有理数的加法是解答本题的关键．
（1）根据题意，将小张所有行程按照向东为“正”，向西为“负”，依次相加，得到结果，判断小张最后地点距离出发地的距离，以此分析小张该如何行驶才能回到出发地．
（2）根据题意，计算出小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地一共行驶的距离，然后计算行驶了这些距离耗的油量，最终得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，
（千米），
小张将最后一名乘客送达的目的距离出发地正东方向千米，
故小张向西行驶1千米才能回到出发地．
答：小张向西行驶1千米才能回到出发地．
（2）不用加油，理由如下：
小张将最后一名乘客送达目的地一共行驶了：（千米），
再返回出发地一共行驶了：（千米），
汽车耗油：．
答：小张今天上午不需要加油．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第02讲 正数与负数
模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．通过生活实例认识正数和负数； 2．会用正数、负数表示相反意义的量； 3. 知道整数、分数的分类。
1.读写正负数。
正、负数的读法与写法：
“＋”号读作“正”．如 8。读作“正8”，“＋” 可以省略不写．
“–”号读作“负”，如–13，读作“负13”，“–”号是不可以省略的．
实际上，日常生活中，许多具有相反意义的量都可以用正数、负数来表示．例如零上和 ，前进和 ，上升和下降,收入和支出，向东和向西，超过和不及等等。
2.认识正负数。
正数概念： ；
0既不是 ，也不是 .
请写出两个整数 ；两个负数 ；两个分数 ；两个负分数 ；两个非负数 ；
3.正整数、负整数、零统称为整数．
正分数、负分数统称为分数．
4.认识有理数
有理数概念： ；
因为整数、有限小数、无限循环小数能够写成分数形式，所以 都是有理数；
考点一：相反意义的量
例1．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上记作，则零下记作（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果盈利元记作元，那么亏本元记作（　　）
A．元 B．元 C．元 D．元
【变式1-2】如果把“盈利100元”记作“元”，那么“亏损80元”可记作 元．
【变式1-3】把下列具有相反意义的量用线连接起来．
前进米 收入元
运出吨 盈利元
上升C 后退米
支出元 运进吨
亏损元 下降
考点二：有理数的分类
例2.在下列数，，，0，，，中整数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式2-1】在，，0，，中分数有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2-2】在，9，，，0，，中，正数有 ，负数有 ， 既不是正数也不是负数．
【变式2-3】下列各数哪些属于非负数集合？哪些属于正整数集合？哪些是负分数集合？
，，，，0，，，
非负数：{ ，．．．}
正整数：{ ，．．．}
负分数：{ ，．．．}
考点三：分数与小数互化
例3.化成小数后，小数点后面第2000位上的数字是（ ）。
A．4 B．2 C．8 D．5
【变式3-1】、、、四个分数中，能化成有限小数的有（ ）个。
A．4 B．2 C．3 D．1
【变式3-2】在0.75、、、0.7四个数中，最大的数是 ，最小的数是 。
【变式3-3】把下列分数化成小数。（除不尽的保留三位小数）
＝( ) ＝( ) ＝( ) ≈( )
1．随着商业的发展和技术的进步，手机支付已经成为常见的支付方式，若手机钱包收入元记作元，则元表示（ ）
A．支出元 B．收入元 C．支出元 D．收入元
2．温度由变为，表示温度（ ）
A．上升了 B．下降了 C．上升了 D．下降了
3．某品牌酸奶外包装上标明“净含量：”，现随机抽取四种口味的这种酸奶，它们的净含量如下表所示，其中，净含量不合格的是 口味的酸奶．
种类 原味 草莓味 香草味 巧克力味
净含量/mL 175 180 190 185
4．把下列的小数化成分数、分数化成小数。（除不尽的得数保留两位小数）。
0.875＝ 0.41＝ 0.125＝
＝ ＝ ＝
5．把下面的小数化成分数，把分数化成小数（除不尽的保留三位小数）。
0.091 1.7
6．某食品厂从生产的袋装面粉中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如表：
与标准质量的差值（单位：g） 0 1 3 6
袋数 1 4 3 4 5 3
(1)这批样品的平均质量比标准质量重还是轻？重或轻多少克？
(2)若标准质量为每袋，则这批样品的总质量是多少？若该厂袋装面粉的合格标准，这批样品的合格率是多少？
7．如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，他从A处出发去看望B、C、D处的其他甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负，如果从A到B记为，从B到A记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向.
(1)图中{______，______}， {______，______}：
(2)若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的最短路程；
(3)若图中另有两个格点M、N，且，，则应记为什么？直接写出你的答案．
8．出租车司机小张某天在季华路（近似的看成一条直线）上行驶，如果规定向东为“正”，向西为“负”，他这天上午的行程可以表示为：，，，，，，，，，（单位：千米）
(1)小张将最后一名乘客送达目的地后需要返回出发地换班，请问小张该如何行驶才能回到出发地？
(2)若汽车耗油量为升/千米，发车前油箱有升汽油，若小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问小张今天上午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由．
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