资源简介

有理数
1.5 有理数的乘法和除法 1.5.1 有理数的乘法
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课是湘教版《义务教育教科书·数学》七年级下册第一章“有理数”第1.5.1节“有理数的乘法”，主要内容包括：通过乘法分配律推导有理数的乘法法则（同号得正、异号得负、绝对值相乘），理解乘法交换律与结合律在有理数运算中的应用，掌握多个有理数连乘时符号的确定规则（奇负偶正）。
2. 内容解析
学生在小学已掌握非负数的乘法运算及分配律，本章将数系扩充到有理数后，需建立负数的乘法规则。本节课的核心是以分配律为逻辑起点，通过数学推理导出有理数乘法法则，并验证运算律的普适性。这一过程不仅巩固运算技能，更为后续学习有理数除法、乘方及代数式运算奠定基础。
二、目标和目标解析
1. 目标
(1) 经历从分配律推导有理数乘法法则的过程，理解法则的合理性，能正确计算有理数的乘法。
(2) 通过计算实例归纳多个有理数连乘的符号规律（奇负偶正），提升符号意识和推理能力。
(3) 灵活运用乘法交换律、结合律简化运算，发展运算能力和策略优化意识。
2. 目标解析
达成目标（1）的标志是学生能独立说明“负负得正”的推导逻辑（如 源于分配律），并准确计算含整数、分数、小数的乘法。目标（2）要求学生能根据负数个数快速判断积的符号。目标（3）体现在能重组算式（如凑整、约分）简化复杂运算，体现算法优化思想。
三、教学问题诊断分析
符号规则混淆：学生易将加法规则（同号相加取原符号）迁移到乘法，错误认为“负数乘负数得负数”。
分配律应用错误：计算 时可能忽略符号，写成 而未将减法转化为加法（即 ）。
多个因数符号判断遗漏：连乘时可能漏数负数个数或忽略“0”的存在。
四、教学过程设计
（一）情景引入
问题1 某水库水位每天下降3厘米，若水位变化记为负数，则3天后的水位变化如何表示？（列式：）
问题2 若水位每天“上升”记为负（如逆常规），那么3天前的水位比现在高还是低？列式说明。（提示：）
问题3 利用分配律计算：。若要求分配律对所有有理数成立， 应如何规定？
设计意图：
通过生活实例（水位变化）抽象数学问题，引发认知冲突（负负运算），自然导向分配律的桥梁作用。对应目标（1），培养学生数学建模和逻辑推理能力。
（二）合作探究1
探究1 如何利用分配律说明 ？
答：设 。
由分配律：，
因此 是 的相反数，即 。
追问：由此能否总结有理数乘法法则？
（三）巩固练习1
计算：
(1) (2)
答案：
(1) （异号得负） (2) （同号得正）
填空：若 ，则 ____（需异号得负，故 ）。
答案：
（四）合作探究2
探究2 计算：
① ②
答：
① 先算 ，再算 ；
② 连乘三个 得 。
猜想：多个非零有理数相乘，积的符号由什么决定？
验证：完成表格：
算式 负数个数 积的符号 结果
1个 负
2个 正
3个 负
4个 正
结论：负因数个数为奇数时积为负，偶数时积为正，绝对值均为因数绝对值的积。
探究3 如何证明乘法交换律 在有理数中成立？
分析：分类讨论（正正、正负、负负），以 与 为例，结果均为 ，推广到一般形式。
设计意图：
通过实例归纳符号规律，强化抽象概括能力；通过特例验证运算律，体会数学的严谨性。对应目标（2）（3）。
（五）典例分析
例1 计算：
(1)
(2)
解：
(1) 先化减法为加法：
(2) 先定符号（3个负数 → 负），再算绝对值：
原式
设计意图：
综合训练分配律应用及连乘符号判断，强化运算策略选择（先转化、先定号）。对应目标（1）（3）。
（六）巩固练习
计算：
解：
连乘符号判断：下列积为正数的是（ ）
A. B.
C. D.
答：D（2个负数）
简便计算：
解：
设计意图：
分层训练基础运算、符号判断及简算能力，强化算法优化意识。对应目标（2）（3）。
（七）归纳总结
知识点 法则/律 关键要点
乘法法则 同号得正，异号得负 绝对值相乘
多个因数连乘 奇负偶正 含0时积为0
乘法交换律 简化计算顺序
乘法结合律 重组因数优化计算
分配律 化加减为乘法
（八）感受中考
(2024·陕西) 计算： ____。
答案：（2个负数 → 正）
(2023·江苏) 若 ，，则 的符号为（ ）。
A. 正 B. 负 C. 0 D. 无法确定
解析：由 知 同号；由 知 异号，故 异号，积为负。选B。
(2024·湖北) 简便计算：。
解：
(2023·浙江) 若 ，，则 ____。
解析： 或 ，积为 或 。
设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。
（九）小结梳理
核心概念 关联性说明
分配律 → 推导乘法法则的基础
符号规则 → 连乘符号由负因数个数决定
运算律 → 交换律、结合律提升计算效率
实际应用 → 水位变化、债务模型等量化描述
（十）布置作业
必做题：
计算：
(1)
(2)
(3)
选做题：
研究规律：
(1) ____
(2) ____
(3) 猜想 的结果（ 为正整数），并验证 时的值。
五、教学反思
（课后填写）

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