资源简介

第九章 轴对称、平移与旋转
9.3 旋转
第2课时 旋转的特征
本节内容是华师七下第9章第3节第2课时，是在学生学习了旋转的概念基础上进行的深入探究．旋转作为图形变换的重要方式，与之前所学的轴对称、平移共同构成初中阶段图形变换知识体系．它不仅是对图形性质的进一步探索，更为后续学习中心对称、圆以及高中的向量旋转等知识奠定基础，在几何知识的学习进程中起到承上启下的关键作用．
内容结构：教材先通过具体图形的旋转，引导学生观察思考，从对应点、对应线段、对应角等角度探究旋转前后图形的关系，归纳出旋转的特征；随后安排简单平面图形旋转作图的内容，让学生在实践操作中深化对旋转特征的理解和应用，将理论知识与实际技能相结合，符合学生从感性认识到理性认识的认知规律．
学生在之前已经学习了图形的平移和旋转的概念，对图形变换有了初步认识，知道平移不改变图形的形状和大小，能理解旋转中的旋转中心、旋转方向和旋转角等基本要素． 但对于旋转后图形中对应元素之间更深层次的关系，还需要进一步探究学习．
七年级学生正处于从形象思维向抽象思维过渡的阶段，具备一定的观察、分析和归纳能力，但对于较为抽象的几何知识，在理解和应用上仍有困难．在学习过程中，他们能够通过观察简单的实例发现一些表面现象，但对于如何从数学角度严谨地描述和应用旋转的特征，还需要教师引导和训练．
学生对生活中的实际问题和直观的图形操作比较感兴趣，在学习过程中，更倾向于通过自主探究和小组合作的方式获取知识．但在学习过程中可能会出现注意力不集中，对知识的理解停留在表面等问题，需要教师在教学中不断引导和启发，激发他们的学习兴趣和主动性 ．
1．通过具体实例认识旋转，理解旋转的特征；
2．掌握旋转作图的步骤，能够按照要求作出简单平面图形旋转后的图形；
3．会用旋转的特征解决相关的数学问题；
4．培养识图能力，体会旋转现象在现实生活中的价值．
重点：通过具体实例认识旋转，理解旋转的特征．
难点：掌握旋转作图的步骤，能够按照要求作出简单平面图形旋转后的图形．
复习回顾
1．图形旋转的三个要素是什么？
答：旋转中心、旋转方向、旋转角度．
2．线段绕线段上的某一点旋转90°后与原来位置的线段有何关系？
答：线段绕线段上的某一点旋转90°后与原来位置的线段互相垂直．
师生活动：教师展示生活中旋转现象的图片，引导学生观察并思考这些物体的运动有什么共同特点．学生观察后回答，教师总结并引出本节课的主题——图形的旋转．
设计意图：回顾上节课学习的有关旋转的内容，为新课的学习做好铺垫．
探究新知
活动一：探究旋转的特征
师生活动：组织学生分组讨论，观察旋转前后两个三角形的对应点、对应线段和对应角之间的关系．提出问题引导思考：对应点到旋转中心的距离有什么关系？对应点与旋转中心的连线所成的角有什么特点？对应线段和对应角又有怎样的关系？小组汇报：各小组派代表汇报讨论结果，教师进行总结和补充．
问题1：在下图中，△AOB绕点O(点O是三角形的顶点)逆时针旋转到△A′OB′处．
(1)形状、大小有何变化？你发现有哪些线段相等？有哪些角相等？
(2)图形上的每一点的旋转方向是否相同？旋转角度是否相同？
答：(1)旋转不改变图形的大小和形状，只改变图形的位置．
，，；
对应线段相等．
，，
对应角相等．
答：(2)图形上的每一点的旋转方向都相同，，各组对应点与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角．
问题2：在下图中，△ABC绕点O(点O不是三角形的顶点，而是在三角形外)逆时针旋转到△A′B′C′处．
(1)△ABC和△A′B′C′的形状、大小有何变化？哪些线段相等？有哪些角相等？
(2)对应点到旋转中心的距离有什么关系？
答：(1)形状和大小不变，位置改变
，，；
；
，，．
(2)，，；
对应点到旋转中心的距离相等．
问题3：通过以上探究，你能归纳出旋转的特征吗？
师生活动：学生独立思考后小组讨论，选代表回答问题，教师补充总结学生的结论．
答：旋转的特征：
(1)图形中每一点都绕旋转中心按同一旋转方向旋转了同样大小的角度，都等于旋转角;
(2)对应点到旋转中心的距离相等;
(3)对应线段相等，对应角相等；
(4)旋转不改变图形的大小和形状．
设计意图：通过学生自己动手操作和小组讨论，让学生亲身经历探究旋转特征的过程，培养学生的观察能力、分析能力和归纳总结能力．用数学语言描述旋转特征，有助于学生从数学角度准确理解和把握旋转的性质，提高学生的数学表达能力 ．
活动二：探究旋转作图
师生活动：学生观察、思考，动手操作，然后小组讨论探究班内交流讨论后，听教师的讲解．
问题4：如图，△ABC绕点C旋转后，顶点A旋转到了点A′，画出旋转后的三角形．
作法：
(1)连结CA′；
(2)在BC的同侧作；
(3)在射线CM上截取；
(4)连结A′B′，则△A′B′C即为所求的三角形．
问题5：如图，作△ABC和过点P的两条直线PQ、PR．作出△ABC关于PQ对称的△A′B′C′，再作出△A′B′C′关于PR对称的△A″B″C″． 并观察△ABC和△A″B″C″有什么关系？
作法：(1)作A、B、C点关于PQ的对称点A'、B'、C'；
(2)连A'B'、B'C'、C'A'则△A'B'C'是△ABC关于PQ的对称三角形；
(3)作A'、B'、C'关于PR的对称点A"、B"、C"；
(4)连A"B"，C"B"，C"A"，则△A"B"C"是△A'B'C'关于PR的对称三角形．
△A″B″C″可以看作是把△ABC绕点P旋转2倍∠QPR得到的．
总结：旋转作图的方法：
(1)先确定图形的关键点；
(2)利用旋转的特征画出关键点的对应点；
(3)按原图形中的方式顺次连结对应点．
画图时一定要注意旋转中心、旋转方向和旋转角度．
设计意图：让学生亲身参与到知识的探究过程中，通过实际操作和观察，直观地感受旋转的特征，培养学生的动手能力和自主探究能力．小组讨论可以促进学生之间的交流与合作，培养学生的团队协作精神和语言表达能力．
活动三：探究轴对称、旋转和平移的异同
问题6：轴对称、旋转和平移的有什么异同点？
师生活动:学生独立思考后小组讨论，选代表回答问题，教师补充总结学生的结论．
答：
设计意图：让学生在探索规律的过程中学会交流与合作，通过自己亲自动手实践，发现规律，并准确的表述出自己的结论，培养了学生分析问题、解决问题以及归纳问题的能力．
应用新知
【经典例题】
师生活动：教师通过详细讲解例题，引导学生掌握旋转的特征，以及作图的方法和步骤，并让学生进行练习．
例1 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定的角度得到△ADE．若，，且，则∠CAE的度数为（ ）
A．60° B．65° C．75° D．90°
分析：
∠C的对应角是
∠BAC的对应角是
答：B
例2 如图所示，△ABC是等腰直角三角形，，画出将△ABC以点A为旋转中心，逆时针旋转45°后的图形．
分析：延长AC，使，过点A作AC′ AB，截取，再连接B′C′即可．
解：如图所示，△AB′C′就是所画的图形．
设计意图：教师的示范讲解可以让学生清晰地了解解题思路和方法，为学生的练习提供指导．学生的练习可以让他们在实践中巩固所学知识，提高解题能力．教师在巡视过程中可以及时发现学生的问题并进行指导，实现个性化教学．
课堂练习
1．确定如图中的旋转中心，指出这一图形可以看成是由哪个基本图形旋转而生成的，旋转了几次，每一次旋转了多少度．
解：①旋转中心为图形的中心黑点；
②这一图形可以看成由1个弯曲的箭头旋转而生成的；
③绕旋转中心沿同一个方向旋转了4次，每一次旋转了72°．
2．如图，△ACD、△AEB都是等腰直角三角形，，作出△ACE以点A为旋转中心、逆时针旋转90°后的三角形．
解：如图所示，△ACE以点A为旋转中心、逆时针旋转90°后的三角形就是△ADB．
3．如图，作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形．
解：作图如下，即为△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形．
师生活动：教师出示练习题，巡视学生的练习情况，及时给予指导和反馈．学生独立完成练习题，遇到问题举手向教师或同学请教．
设计意图：通过练习，巩固学生所学知识，及时发现学生存在的问题并加以解决，提高学生的解题能力．
课堂检测
【限时训练】
1．一个图形经过平移或旋转，有以下的说法：①对应线段平行；②对应线段相等；③对应角相等；④图形的形状和大小都没有发生变化，其中正确的是( )
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
答：D
2．如图所示，在△ABC中，，，将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DEC，则∠AED的度数为( )
A．105° B．120° C．135° D．150°
答：B．
3．如图所示，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1．则它的旋转中心一定是( )
A．点A B．点B C．点C D．点D
答：B
4．如图所示，四边形ABCD是正方形，△ADE旋转后能与△ABF重合．旋转中心是哪一点 顺时针旋转了多少度
解：旋转中心是点A，顺时针旋转了90°．
5．如图所示，请画出将△ABC绕点D按顺时针方向旋转90°后的图形．
解：如图所示，△A′B′C′就是所画的三角形．
设计意图：课堂检测是对学生学习效果的即时检验，通过练习，学生可以进一步巩固所学知识，发现自己的不足之处．教师的讲解和反馈可以帮助学生解决问题，加深对知识的理解．同时，也可以让教师了解学生的学习情况，为后续教学提供参考．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1．本节课你学到了什么？
2．图形旋转的特征是什么？
3．旋转前后什么改变，什么没有改变？
设计意图：通过小结帮助学生梳理知识，形成知识体系，加深对重点内容的记忆．让学生总结发言可以培养学生的总结归纳能力和语言表达能力．教师的补充完善可以确保知识的准确性和完整性．
实践作业
同桌两人互相给对方设计一个图形，然后画出绕某点按顺时针(或逆时针)方向旋转90°后的图形 ．

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