资源简介

第九章 轴对称、平移与旋转
9.3 旋转
第3课时 旋转对称图形
本节是华师版七年级下册第9章“轴对称、平移与旋转”中9.3节“旋转”的第3课时内容．在学生已掌握旋转的概念和特征基础上展开，旋转对称图形是旋转知识的深入与拓展． 它不仅能加深学生对图形旋转的理解，也为后续学习中心对称图形等知识做铺垫，在几何图形变换体系中起到承上启下的作用．同时，旋转对称图形在生活中应用广泛，学习本节内容有助于培养学生用数学眼光观察世界，提高数学应用能力．
学生在之前的学习中，已经掌握了平面几何的基本概念，如点、线、面等，也了解图形的对称性，对轴对称图形的性质和判定方法有一定认识．同时，他们已学习了旋转的概念和特征，具备了初步的图形变换认知，这为理解旋转对称图形奠定了良好基础 ．
七年级学生对几何图形充满好奇心，有较高的探索欲望，对新鲜事物接受能力较强．在学习能力方面，他们正处于从形象思维向抽象思维过渡阶段，具备一定的观察、分析和归纳能力，但对于较为抽象的数学概念和性质，理解和应用起来仍有困难．在学习风格上，部分学生倾向通过观察、操作来理解新知识，部分学生更擅长抽象思考和逻辑推导．
部分学生可能对旋转对称图形的概念理解不透彻，难以准确区分旋转对称与轴对称；在探究旋转对称图形特征时，空间想象能力不足可能导致无法清晰描述图形的旋转过程；在运用旋转对称图形解决实际问题时，可能出现不能灵活应用知识，难以将实际问题转化为数学模型的情况．
1．学生能够准确理解旋转对称图形的定义，熟练识别旋转对称图形；
2．能正确求出旋转对称图形旋转后重合时的最小旋转角度，确定旋转中心；
3．通过观察、操作、探究等活动，培养学生的空间观念、几何直观和逻辑推理能力；
4．经历从实际生活中抽象出数学概念的过程，体会数学建模思想提高分析和解决问题的能力．
重点：学生能够准确理解旋转对称图形的定义，熟练识别旋转对称图形；
难点：能正确求出旋转对称图形旋转后重合时的最小旋转角度，确定旋转中心．
复习回顾
1．旋转的特征有哪些？
答：(1)图形中每一点都绕着旋转中心按同一旋转方向旋转了同样大小的角度；
(2)对应点到旋转中心的距离相等；
(3)对应线段相等，对应角相等；
(4)图形的形状和大小不变；
(5)旋转中心是唯一不动的点．
师生活动：教师提出问题，学生独立思考，教师引导，共同分析解决问题．
设计意图：回顾上节课学习的有关旋转的内容，让学生在复习旧知的基础上，自然过渡到对旋转对称图形的学习，为新课的学习做好铺垫．
探究新知
活动一：探究旋转对称图形的识别
问题1：电扇的叶片旋转多少度能与自身重合？螺旋桨转动多少度后能与自身重合？
师生活动：学生独立思考后小组讨论，选代表回答问题，教师补充总结学生的结论．
答：
追问：一些图形绕着某一定点旋转一定的角度后能与自身重合．你能再举出一些实例吗？
问题2：在一张半透明的薄纸上画出能与如图所示的图形重合的图形．用一枚图钉在圆心处穿过，将薄纸绕着图钉旋转．
思考：旋转多少度（小于周角）后，薄纸上的图形能与原图形再一次重合？
师生活动：让学生拿出准备好的纸片，尝试画出一个简单图形，然后绕着某一点旋转一定角度，观察能否与原图形重合．通过提问、举例等方式，让学生进一步理解概念．在性质探究中，分组合作探究正多边形的旋转对称性质，进行讨论、测量、计算等活动．
答：该图形绕圆心旋转60°后，能与自身重合（绕圆心旋转120°、180°、240°或300°后，也能与自身重合）
归纳：一个图形绕着某一定点旋转一定角度（小于周角）后能与自身重合，这样的图形叫做旋转对称图形．
旋转的定点叫做旋转中心．
旋转的度数叫做旋转角度（0°~360°之间）．
一般来说，旋转角度可以有很多个，但旋转中心只有一个．
旋转对称图形顺时针或逆时针旋转一定角度后均能与原图形重合，因此可以淡化旋转方向．
问题3：若一个图形在旋转360°后能与自身重合，那么这个图形是旋转对称图形吗？
师生活动：学生对问题充分讨论与交流大胆，发表观点学生观察图片，使用已有经验解决问题．
分析：任意图形在完成一个周角的旋转后，都可与自身重合．
故“图形在旋转 360°后能与自身重合”不能作为旋转对称图形的判断依据．
设计意图：让学生通过亲身体验和自主探究，加深对旋转对称图形概念和性质的理解，培养自主学习能力和合作交流能力．教师适时引导和指导，帮助学生准确掌握知识 ．
问题4：图形的旋转和旋转对称图形有什么区别和联系？
师生活动:学生独立思考后小组讨论，选代表回答问题，教师补充总结学生的结论．
设计意图：让学生在探索规律的过程中学会交流与合作，通过自己亲自动手实践，发现规律，并准确的表述出自己的结论，培养了学生分析问题、解决问题以及归纳问题的能力．
活动二：探究旋转图形的旋转角
师生活动：学生分组进行讨论，通过测量、计算、推理等方式探究规律．教师巡视各小组，观察学生探究情况，适时给予指导和启发，各小组派代表汇报探究结果，教师进行总结归纳．
问题5：下列旋转对称图形分别绕旋转中心至少旋转多少度后能与原图形完全重合？
解：图①每旋转72°就可以与原图形重合一次；
图②每旋转90°就可以与原图形重合一次；
图③每旋转120°就可以与原图形重合一次．
问题6：通过上述过程，你发现了旋转对称图形的旋转角与图形重合之间有什么规律吗？
答：若一个由n个“基本图形”组成的旋转对称图形旋转一定角度后与自身重合，则旋转的角度最小为．
注意：旋转的整数倍也能够与自身重合．
设计意图：引导学生思考非正多边形的旋转对称图形，让学生体会旋转对称图形的多样性．掌握运用旋转对称图形的知识解决问题的方法和技巧．
问题7：将如图所示的图形绕圆心旋转90°，再重复旋转两次，能得到什么图形？
思考1：新得到的图形是旋转对称图形吗？该图形绕圆心旋转多少度后能与原图形重合？
思考2：你能设计一个旋转30°后能与自身重合的图形吗？
答：(思考1)：得到图形如下：
将如图所示的图形绕圆心旋转90°后，可以发现旋转以后的图形能与原来位置上的原图形重合，因此该图形是旋转对称图形．该图形绕圆心旋转180或270°后的图形也能与原图形重合，也可得出该图形是旋转对称图形．
答：(思考2)：方法一：可以设计正十二边形，它是一个旋转30°后能与自身重合的图形．
方法二：还可以设计一些由多个基本图形组合而成的复杂图形，也满足旋转30°后能与自身重合的性质，比如以正十二边形为基础进行一些变形或添加装饰等．
设计意图：在教师的引导下学生逐步构建研究思路，关注学生的实际操作，激发学生探究兴趣,给学生留有充分的探索和交流空间,引导学生在操作中思考、总结。
应用新知
【经典例题】
师生活动：教师通过详细讲解例题，引导学生掌握旋转的特征，以及作图的方法和步骤，并让学生进行练习．
例1 下列各图形是不是旋转对称图形？如果是，请找出旋转中心在何处．旋转角度是多少？这些图形是轴对称图形吗？
答：①这些图形都是旋转对称图形；
②旋转中心和其中一个旋转角度如图所示；
③这些图形都是轴对称图形．
例2 指出各个图形分别至少需旋转多少度后才能与原图形重合．
分析：左边图形：该图形可看作是由一个基本图形绕中心旋转重复得到，它被平分成了12个部分；中间图形内部是正五边形；右边图形可看作由6个相同基本图形组成．
根据由n个“基本图形”组成的旋转对称图形旋转一定角度后与自身重合，则旋转的角度最小为可求出答案．
解：左边图形：；
中间图形： ；
右边图形：．
设计意图：通过例题讲解，让学生掌握运用旋转对称图形的知识解决问题的方法和技巧，提高学生的应用能力． 教师的示范讲解为学生提供规范的解题思路和表达模式．
课堂练习
1．找找看，下面这幅古代艺术品图形中有几匹马？它们的位置关系大致如何？
解：图形中有四匹马．绕矩形两条对角线的交点旋转180°，两匹马能够分别与另两匹马重合，这个图形是旋转对称图形．
2．如图所示的图形绕哪一点旋转多少度后能与自身重合？
解：(1)将图形绕中心旋转 60°、120°、180°、240°、300°后都能与自身重合．
(2)将图形绕中心旋转 90°、180°、270°后都能与自身重合．
3．任意作一个△ABC，再任意作一个点P，然后作出△ABC绕点P逆时针旋转60°后的三角形．
解：(答案不唯一)如图所示，作法：
(1)连结PA、PB、PC；
(2)分别以PA、PB、PC为一边按逆时针方向作∠APA′、∠BPB′、∠CPC′，使；
(3)分别在射线PA′、PB′、PC′上截取，，；
(4)连结A′B′、B′C′、C′A′，则△A′B′C′就是△ABC绕点P逆时针旋转60°后的三角形．
师生活动：教师出示练习题，巡视学生的练习情况，及时给予指导和反馈．学生独立完成练习题，遇到问题举手向教师或同学请教．
设计意图：通过练习，巩固学生所学知识，及时发现学生存在的问题并加以解决，提高学生的解题能力．
课堂检测
【限时训练】
1．如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为( )
A． 45 B． 60 C． 72 D． 144
答：C
2． 如图，在图 ①～④ 中是旋转对称图形的有( )
A． 4 个 B． 3 个
C． 2 个 D． 1 个
答：A
3．下列图案中是旋转对称图形，但不是轴对称图形的是(　 　)
答：C
4．下列多边形中，旋转60°后可以和原图形重合的是( )
A． 正六边形 B． 正五边形
C． 正方形 D． 正三角形
答：A
5．等边△ABC绕着它的中心旋转，要使其与本身重合，至少旋转( )
A． 60° B． 120° C． 180° D． 360°
答：B
6．正方形绕它的________________旋转__________度与自身重合；正六边形至少旋转____度，才能与自身重合．
答：对角线的交点；90；60
设计意图：课堂检测是对学生学习效果的即时检验，通过练习，学生可以进一步巩固所学知识，发现自己的不足之处．教师的讲解和反馈可以帮助学生解决问题，加深对知识的理解．同时，也可以让教师了解学生的学习情况，为后续教学提供参考．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1．本节课你学到了什么？
2．旋转对称图形的定义是什么？
3．最小旋转角度的确定方法是什么？
设计意图：通过小结帮助学生梳理知识，形成知识体系，加深对重点内容的记忆．让学生总结发言可以培养学生的总结归纳能力和语言表达能力．教师的补充完善可以确保知识的准确性和完整性 ．
实践作业
举出日常生活中旋转对称图形的几个实例，比比看谁找的多．

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