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第九章 轴对称、平移与旋转
9.5 图形的全等
“图形的全等”是在学生学习了三角形的相关知识以及图形的轴对称、平移和旋转等变换之后的内容．它是对前面所学知识的综合运用和深化，同时也是后续学习全等三角形的判定、性质以及解决各种几何问题的重要基础．通过对图形全等的学习，学生能进一步理解图形的本质特征，体会图形变换与图形关系之间的联系，为今后学习更复杂的几何知识奠定坚实的基础．
学生在前面已经学习了三角形的基本概念、性质以及图形的轴对称、平移和旋转等知识，具备了一定的几何知识基础和空间观念．他们能够识别一些简单的图形变换，理解图形在变换过程中的不变性，这为学习图形的全等提供了有利的条件．但对于全等图形的概念和性质的理解，还需要进一步的引导和深化．
七年级的学生正处于从形象思维向抽象思维过渡的阶段，他们具有一定的观察、分析和归纳能力，但逻辑推理能力和抽象思维能力还比较薄弱．在学习过程中，对于直观的图形和具体的操作活动比较感兴趣，但对于抽象的概念和理论性的知识理解起来可能会有一定的困难．因此，在教学中需要结合具体的实例和图形，通过直观演示、动手操作等方式，帮助学生理解和掌握知识．
这个阶段的学生好奇心强，喜欢积极参与课堂活动，但注意力容易分散，学习的自主性和主动性还不够强．在学习过程中，可能会出现对知识的理解不够深入、做题粗心大意等问题．教师需要引导学生养成良好的学习习惯，培养他们的自主学习能力和严谨的治学态度．
1．理解全等图形的概念，会区分所给图形是否是全等图形；
2．能找出全等图形的对应元素；
3．能应用全等图形的性质解决简单的数学问题；
4．经历观察、操作、想象、交流等活动，培养学生的空间观念和几何直观能力，让学生体会通过图形变换研究图形性质的方法，提高学生的逻辑思维能力和推理能力．
重点：理解全等图形的概念，会区分所给图形是否是全等图形．
难点：能找出全等图形的对应元素．
复习回顾
1．我们认识的图形的基本变换有哪些？
答：旋转、平行、轴对称．
观察思考：每组中的两个图形有什么特点？
答：形状没有发生改变，大小发生了改变，无法完全重合．
师生活动：教师提出问题，学生独立思考，教师引导，共同分析解决问题．
设计意图：从常见的图案入手，激发学生的学习兴趣，让学生感受到数学与生活的紧密联系，为引出全等图形的概念做铺垫．
探究新知
活动一：探究全等图形
问题1：观察思考：每组中的两个图形有什么特点？
师生活动：学生观察思考，举手回答问题，教师补充总结学生的结论．
答：变换前后图形的对应线段相等，对应角相等，它们的形状和大小并没有改变，可以完全重合．
问题2：试一试：把手中三角板按在纸上，画出三角形，并裁下来，把三角板和纸三角形放在一起，观察它们能够重合吗？
教师活动：在教师提出问题，学生按要求操作，小组讨论后选代表回答问题，教师补充总结学生的结论．
教师给出全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形．然后通过课件展示一些图形，让学生判断哪些是全等图形，哪些不是，并说明理由．
答：纸三角形和三角板完全重合．
思考：把你的数学课本和同学的数学课本叠放在一起会重合吗？
全等图形：能够完全重合的两个图形叫做全等图形．
一个图形经过轴对称、平移与旋转等变换所得到的新图形一定与原图形全等．
反过来，两个全等的图形经过上述变换后一定能够互相重合．
全等三角形的特点：形状相同、大小相同，与图形的位置、方向无关．
问题3：图中给出了8个图形，你能发现哪两个图形是全等图形吗？动手试试看．
教师活动：学生观察、思考，动手操作，然后小组讨论探究班内交流讨论后，听教师的讲解．
答：③⑥可以完全重合，是全等图形．
②④可以完全重合，是全等图形．
设计意图：让学生通过具体的实例，加深对全等图形概念的理解，特别是对“完全重合”这一关键条件的把握．
活动二：探究全等多边形
问题4：观察图中的两对多边形，每对中的其中一个图形可以经过怎样的变换和另一个图形重合？
教师活动：以两对多边形为例，通过课件演示将它们重合在一起，介绍对应顶点、对应边、对应角的概念．然后让学生观察几组全等多边形，找出它们的对应元素．学生观察教师的演示，理解对应顶点、对应边、对应角的概念．然后自主观察其他全等多边形，尝试找出对应元素，并与同桌交流．
答：左边：平移、旋转
右边：平移、轴对称
上面的两对多边形都是全等图形，也叫做全等多边形．
两个全等的多边形，经过变化而重合，
相互重合的顶点叫做对应顶点，
相互重合的边叫做对应边，
相互重合的角叫做对应角．
全等多边形的对应边、对应角分别相等
如图，两个五边形是全等的．
记作：五边形ABCDE≌五边形A′B′C′D′E′
符号“≌”表示全等，读作“全等于”．
总结：记两个多边形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上．
问题5：你能说出这两个图形的对应顶点、对应边与对应角吗？
对应顶点：点A与点A'；点B与点B'；点C与点C'；点D与点D'；点E与点E'
对应边：AB与A'B'；BC与B'C'；CD与C'D'；DE与D'E'；AE与A'E'
对应角：∠A与∠A'；∠B与∠B'；∠C与∠C'；∠D与∠D'；∠E与∠E'
问题6：如果这两个图形的对应边与对应角分别相等，那么它们是全等的吗？
答：它们能完全重合，所以全等．
归纳：1．全等多边形的性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等．
2．判定多边形全等的方法：如果两个多边形的边、角分别对应相等，那么这两个多边形全等．
设计意图：通过直观演示和实际操作，让学生掌握全等多边形对应元素的确定方法，为后续学习全等三角形的性质和判定打下基础．
活动三：探究全等三角形
教师活动：观察重合的三角形，教师直接给出全等三角形的定义，学生思考并回答全等三角形的对应边相等，对应角相等．最后学生根据全等图形的性质和判定方法得出全等三角形性质和判定方法．
归纳：能够完全重合的三角形叫做全等三角形．
如图，△ABC ≌ △DEF．
对应位置的字母表示对应顶点．
问题7：指出它们之间的对应顶点、对应边与对应角．
答：对应顶点：点A与点D；点B与点E；点C与点F
对应边：AB与DE；BC与EF；AC与DF
对应角：∠A与∠D；∠B与∠E；∠C与∠F
总结：三角形是特殊的多边形，因此可以得到：
1．全等三角形的性质：
全等三角形的对应边、对应角分别相等．
∵△ABC≌△DEF，
∴，，，，，．
2．判定三角形全等的方法：
如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等．
∵，，，，，，
∴△ABC≌△DEF．
设计意图：在教师的引导下学生逐步构建研究思路，关注学生的实际操作，激发学生探究兴趣,给学生留有充分的探索和交流空间,引导学生在操作中思考、总结．
应用新知
【教材例题】
师生活动：教师通过详细讲解例题，引导学生掌握旋转的特征，以及作图的方法和步骤，并让学生进行练习．
例1 如图，△ABC沿着BC的方向平移至△DEF，，，求∠F的度数．
解：由图形平移的特征，可知△DEF与△ABC的形状和大小相同，即
△DEF≌△ABC，
∴(全等三角形的对应角相等)．
同理
又∵(三角形的内角和等于180°)，
∴(等式的性质)
．
【经典例题】
例2 下列说法：
①所有的正方形都全等；
②两个四边形全等，则它们的对应边相等；
③两个六边形全等，则它们的对应角相等；
④各角对应相等的两个多边形是全等多边形．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
分析：①大小不一定相同；②、③正确；④边不一定对应相等
故选B．
答：B．
例3 如图，△ABC绕顶点A逆时针旋转30°至△ADE，，．求∠E的度数．
解：∵△ABC绕顶点A逆时针旋转30°至△ADE，
∴△ABC≌△ADE，，．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
设计意图：通过例题讲解，巩固学生对全等图形概念、对应元素以及性质的理解和掌握，提高学生运用所学知识解决问题的能力，同时，通过小组交流培养学生的合作学习能力．
课堂练习
1．在日常生活中，处处可以看到全等的图形，例如同一张底片印出的同样尺寸的照片、我们使用的数学教科书的封面、我们班的课桌面等．试尽可能多地举出生活中全等图形的例子，和同学比一比，看谁举出的例子多．
解：生活中全等的图形有很多，如同学们使用的语文教材的封面、各个教室里统一装配的同一型号尺寸的黑板面、铺设地面时用的同一类型大小相同的瓷砖等(答案不唯一)．
2．如图，△ABD绕着点A逆时针旋转60°到△ACE位置，则△_____≌△ _____，这两个三角形的对应点是___与___， ___与___，___与___；
对应边是____与____， ____与____， ____与____；
对应角是_______与_______， _______与_______， _______与_______；∠BAC=∠_____= _____°．
答：ABD，ACE；
A，A；B，C；D，E；
AB，AC；AD，AE；BD，CE；
∠BAD，∠CAE；∠ABD，∠ACE；∠BDA，∠CEA；DAE，60．
3．如图，点E是正方形ABCD的边AB上的一点，△ADE绕着点D逆时针旋转到△CDF位置，则△_____≌△ _____，这两个三角形的对应边是____与____， ____与____， ____与____；对应角是_______与_______，_______与_______， _______与_______；由于∠_____= _____°，因此上述旋转的旋转角度等于______°．
答：如图，点E是正方形ABCD的边AB上的一点，△ADE绕着点D逆时针旋转到△CDF位置，则△ADE≌△CDF，这两个三角形的对应边是AD与CD，AE与CF，DE与DF；对应角是∠A与∠DCF，∠ADE与∠CDF，∠AED与∠F；由于，因此上述旋转的旋转角度等90°．
4．如图，已知，，△ABC与△BAD关于直线l成轴对称，则△ABC≌△ _______， _______°， ______°．
答：BAD；25；50．
师生活动：教师出示练习题，巡视学生的练习情况，及时给予指导和反馈．学生独立完成练习题，遇到问题举手向教师或同学请教．
设计意图：通过练习，巩固学生所学知识，及时发现学生存在的问题并加以解决，提高学生的解题能力．
课堂检测
【限时训练】
1．下列说法正确的是（ ）
①用一张像纸冲洗出来的10张1寸像片是全等图形；
②我国国旗上的4颗小五角星是全等图形；
③所有的正方形是全等图形；
④全等图形的面积一定相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答：C．
2．如图，已知△ABC绕着点C顺时针旋转到△DEC的位置，下面不能得到的结论是（ ）
A．△ABC≌△DEC B．
C． D．
分析：旋转前后图形全等，对应角、对应边分别相等，所以A、B、C正确；
即
所以D错误．
答：D．
3．如图，已知△ABC和△DCB全等，AB和DC是对应边，BC是公共边，说出这两个全等三角形的其他对应边和对应角以及对应顶点．
解：对应边：AC对应DB，BC对应CB
对应角：∠A对应∠D，∠ABC对应∠DCB，∠ACB对应∠DBC
对应顶点：A对应D，C对应B，B对应C
4．已知△ABC≌△DEF，△ABC的周长是40cm，cm，cm，求DF的长度．
解：∵△ABC≌△DEF(已知)
∴(全等三角形的对应边等)
∵△ABC的周长是40cm，cm，cm，(已知)
∴4cm，
∴cm．
设计意图：课堂检测是对学生学习效果的即时检验，通过练习，学生可以进一步巩固所学知识，发现自己的不足之处．教师的讲解和反馈可以帮助学生解决问题，加深对知识的理解．同时，也可以让教师了解学生的学习情况，为后续教学提供参考．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1．本节课你学到了什么？
2．什么是全等图形？全等图形的性质是什么？
3．全等三角形的性质和判定方法是什么？
设计意图：通过小结帮助学生梳理知识，形成知识体系，加深对重点内容的记忆． 让学生总结发言可以培养学生的总结归纳能力和语言表达能力． 教师的补充完善可以确保知识的准确性和完整性 ．
实践作业
同桌两人一人画两个全等的图形，然后让另一位同学指出对应的边和对应的角，看谁说的又快又对．

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