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第九章 平面直角坐标系 章末复习
　　1．进一步认识平面直角坐标系，了解点与坐标的对应关系；在给定的平面直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，由点的位置写出点的坐标．
　　2．能建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置，进一步体会平面直角坐标系在解决问题中的应用．
　　3．在同一平面直角坐标系中，能用坐标表示平移变换，知道平面直角坐标系是数与形之间的桥梁，发展形象思维能力和数形结合意识．
　　1．坐标系中各象限内、坐标轴上及平行于坐标轴上的直线上的点的坐标特征．
　　2．用平面直角坐标系和“方向和距离”表示平面内物体的位置．
　　3．能写出点移动后新位置的坐标，能利用点的坐标变化与图形平移的关系解决问题．
　　4．能利用所学平面直角坐标系知识解决面积问题、点的坐标规律问题．
　　利用所学平面直角坐标系知识解决面积问题、点的坐标规律问题．
复习导入
　　请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
　　1．结合具体实例，谈谈如何建立平面直角坐标系．在平面直角坐标系中描出原点以及其他一些点的位置，并分别指出它们的横坐标、纵坐标及所在的象限．
　　2．当要用坐标描述一个简单几何图形时，你是如何建立平面直角坐标系的？结合长方形谈谈你的做法．
3．你能结合具体实例，说一说怎样用坐标描述一个区域内的地点分布情况吗？你又是怎样用方向和距离表示两个地点或物体的相对位置的？请结合实例说明．
4．你能结合具体实例，说一说怎样借助坐标表示图形的平移吗？
　　【设计意图】以问题串的形式创设情境，引导学生复习回顾已学知识点，通过学生回答，检查学生对知识的掌握情况，加深学生对知识的理解，提高学生灵活运用知识的能力．
要点复习
考点一　平面直角坐标系中点的坐标特征
　　【例1】（1）若点P(m，n)在第二象限，则点Q(－m，－n)在第_____象限；
　　（2）若点A(m＋3，m＋1)在y轴上，则点A的坐标为_________．
　　【师生活动】学生作答后小组交流，然后教师做适当的补充说明．
　　【答案】四　　(0，－2)
　　【解析】（1）因为点P(m，n)在第二象限，所以m＜0，n＞0．所以－m＞0，－n＜0．
　　所以点Q(－m，－n)在第四象限．
　　（2）因为点A(m＋3，m＋1)在y轴上，所以m＋3＝0，即m＝－3．所以m＋1＝－2．
　　所以点A的坐标为(0，－2)．
　　【归纳】根据已知点的横、纵坐标确定某点所在的象限：
　　（1）确定已知点的横、纵坐标的符号；
　　（2）根据各象限内点的坐标的特征判断点所在的象限．各象限内点的坐标特征：第一象限(＋，＋)，第二象限(－，＋)，第三象限(－，－)，第四象限(＋，－)．
　　根据点的坐标特征求字母的值：
　　（1）明确平面直角坐标系内点的特征；
　　（2）结合题意列出方程；
　　（3）解方程，求出字母的值．
　　【跟踪训练1】（1）如果点A(a，b)在第三象限，那么点B(－a＋1，2b－1)在哪一个象限？
　　（2）如果点P(m＋2，m－1)在x轴上，求出点P的坐标．
　　【答案】解：（1）因为点A(a，b)在第三象限，所以a＜0，b＜0．
　　所以－a＋1＞0，2b－1＜0．
　　所以点B在第四象限．
　　（2）因为点P(m＋2，m－1)在x轴上，所以m－1＝0，解得m＝1．所以m＋2＝3．
　　所以点P的坐标为(3，0)．
　　【设计意图】通过例题及跟踪训练的讲解与练习，检查学生对平面直角坐标系中点的坐标特征的掌握情况，总结根据已知点的横、纵坐标确定某点所在的象限及根据点的坐标特征求字母的值的方法，巩固学生对所学知识的应用．
考点二　用坐标表示地理位置
　　【例2】根据下列条件画一幅示意图，标出学校、书店、电影院、汽车站的位置．
　　书店：从学校向东走500 m，再向北走450 m；
　　电影院：从学校向西走300 m，再向南走300 m，最后向东走50 m；
　　汽车站：从学校向南走600 m，再向东走400 m．
　　【师生活动】学生作图回答，教师根据学生的回答情况补充说明．
　　【答案】解：如图，以学校所在位置为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系，规定1个单位长度代表100 m．
　　根据已知条件，可知点A(500，450)是书店的位置，点B(－250，－300)是电影院的位置，点C(400，－600)是汽车站的位置．
　　【归纳】建立平面直角坐标系表示地理位置时的注意事项：
　　（1）选择适当的位置为坐标原点，通常是比较明显的地点或是所要绘制的区域内较居中的位置；
　　（2）坐标轴的方向通常是以正北为纵轴的正方向，正东为横轴的正方向，这样可以使东西南北的方向与地理位置的方向一致．
　　【设计意图】学生通过独立解决例2，加深对用坐标表示地理位置的理解．让学生知道坐标轴的方向通常是以正北为纵轴的正方向，正东为横轴的正方向，并能灵活选择适当的位置为坐标原点建立平面直角坐标系解决问题．
考点三　用坐标表示平移
　　【例3】将三角形ABC的三个顶点的横坐标都加上－6，纵坐标都减去5，则三角形ABC平移的方式是（　　）．
　　A．向右平移6个单位长度，向上平移5个单位长度
　　B．向左平移6个单位长度，向上平移5个单位长度
　　C．向左平移6个单位长度，向下平移5个单位长度
　　D．向右平移6个单位长度，向下平移5个单位长度
　　【师生活动】教师提问，学生回答．
　　【答案】C
　　【解析】横坐标加－6，就是横坐标减6，表示向左平移6个单位长度；纵坐标减5，表示向下平移5个单位长度．
　　【例4】在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点的位置如图所示．点A′的坐标为(4，6)，现将三角形ABC平移，使点A平移到点A′，点B′，C′分别是点B，C的对应点．请画出平移后的三角形A′B′C′（不写画法），并直接写出点B′，C′的坐标．
　　【师生活动】学生作图回答，教师根据学生的回答情况补充说明．
　　【答案】解：由点A(1，2) 平移到点A′(4，6)，得平移过程是先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度．由平移过程可得出点B′的坐标为(0，4)，点C′的坐标为(3，2)．进而可画出平移后的三角形A′B′C′（如图）．
　　【归纳】由点的坐标变化确定点的平移方式：
　　（1）平移后的点与平移前的点的横坐标之差反映了点沿x轴的平移情况．若差值为正，则表示向右平移；若差值为负，则表示向左平移；
　　（2）平移后的点与平移前的点的纵坐标之差反映了点沿y轴的平移情况．若差值为正，则表示向上平移；若差值为负，则表示向下平移．
　　坐标平面内的图形平移的步骤：
　　第1步：明确平移的方向和距离；
　　第2步：找出图形中的关键点；
　　第3步：利用平移规律确定平移后的各关键点的对应点的坐标，顺次连接各点得到平移后的图形．
　　【设计意图】通过例3和例4，引导学生掌握由点的坐标变化确定点的平移方式，在解题的过程中师生归纳坐标平面内的图形平移的步骤，加深学生对所学知识的理解．
【跟踪训练2】在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别是A(－1，2)，
B(－2，3)，若线段AB平移后点B的新坐标为(1，4)，则点A的新坐标是________．
　　【答案】(2，3)
　　【解析】由点B(－2，3)平移后的新坐标为(1，4)，可得坐标的变化规律为横坐标加3，纵坐标加1，所以点A平移后的横坐标为－1＋3＝2，纵坐标为2＋1＝3，所以平移后点A的坐标是(2，3)．
考点四　平面直角坐标系中的图形面积问题
　　【例5】如图，四边形OABC各个顶点的坐标分别是O(0，0)，A(3，0)，B(5，2)，C(2，3)．求这个四边形的面积．
　　【师生活动】学生独立解答，小组内部交流纠错，教师进行指导．
　　【答案】解：如图，过点C作x轴的平行线，交y轴于点F，过点B作y轴的平行线，交x轴于点H，且这两条线交于点E，则E(5，3)，F(0，3)，H(5，0)．
　　所以S四边形OABC＝S长方形OHEF－S三角形ABH－S三角形CBE－S三角形OCF
　　＝5×3－×2×2－×1×3－×3×2＝．
　　【归纳】在平面直角坐标系中求图形的面积的两点注意：
　　（1）在平面直角坐标系中求不规则图形的面积时，一般采用割补法，将其割补为规则的图形，求出这些规则图形的面积再相加减即可．
　　（2）利用点的平移规律，将点的坐标转化为距离是求解图形面积的关键．
　　【设计意图】通过解答本题，让学生复习利用割补法求不规则图形的面积的方法与过程，培养学生分析问题、解决问题的能力．
　　【跟踪训练3】如图，在三角形AOB中，点A的坐标为(2，3)，点B的坐标为(5，2)，求三角形AOB的面积．
　　【师生活动】教师提出问题，学生独立完成．
　　【答案】解：如图，过点B作x轴的垂线，垂足为C，过点A作y轴的垂线，垂足为E，延长EA，CB交于点D．
　　因为点A的坐标为(2，3)，点B的坐标为(5，2)，
　　所以AE＝2，OE＝3，AD＝3，BD＝1，BC＝2，OC＝5．
　　所以S三角形AOB＝S长方形OCDE－S三角形OBC－S三角形ABD－S三角形AEO
　　＝5×3－×5×2－×3×1－×2×3＝15－5－－3＝．
考点五　平面直角坐标系中的点的规律探究
　　【例6】如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，…（每个正方形的顶点从第三象限开始，按顺时针方向，依次记为A1，A2，A3，A4；A5，A6，A7，A8；A9，A10，A11，A12；…）的中心均在坐标原点O处，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6，…，则顶点A20的坐标为___________．
　　【师生活动】学生小组讨论，尝试完成解答，教师给出提示：观察图形中各个正方形的对应顶点的关系，找出规律．
　　【答案】(5，－5)
　　【解析】因为＝5，所以A20在第四象限，是第五个正方形的顶点．
　　因为第一个正方形的边长是2，第二个正方形的边长是4，第三个正方形的边长是6，…，所以第五个正方形的边长是10，所以A20的坐标为(5，－5)．
　　【设计意图】让学生体会平面直角坐标系中的点的规律探究的方法，把问题化繁为简，化难为易，提高学生分析问题和解决问题的能力．
【跟踪训练4】如图，已知点A1(1，0)，A2(1，1)，A3(－1，1)，A4(－1，－1)，A5(2，－1)，…，则点A2 027的坐标为________________．
　　【答案】(－506，506)
【解析】要求A2 027的坐标，可先从简单的点的坐标开始探究，发现其中的规律．从各点的位置可以发现：
A1(1，0)，A2(1，1)，A3(－1，1)，A4(－1，－1)；
A5(2，－1)，A6(2，2)，A7(－2，2)，A8(－2，－2)；
A9(3，－2)，A10(3，3)，A11(－3，3)，A12(－3，－3)；
……
观察A3(－1，1)，A7(－2，2)，A11(－3，3)，…可知，这些点的横、纵坐标互为相反数．把A3，A7，A11，…右下角的数字提出来，可整理为：
　　 3＝3＋4×0，A3(－1，1)，
　　 7＝3＋4×1，A7(－2，2)，
　　 11＝3＋4×2，A11(－3，3)，
　　 … …
因为2 027＝3＋4×506，所以点A2 027的坐标为(－507，507)．
课堂小结
课后任务
　　完成教材第84页复习题9第1～4题．

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