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第十二章 数据的收集、整理与描述
12.2.3《趋势图》
本节课是人教版《数学七年级（下）》第十二章第二节第五课时趋势图.
趋势图是统计知识的重要组成部分.通过趋势图，比较清楚地表示了两个量之间的关系，有利于根据一个量的变化，预测另一个量的变化趋势，帮助学生更好地理解数据背后隐藏的信息，对培养学生数据分析观念意义重大，为后续学习更复杂的统计知识奠定基础，在数学与实际生活应用间搭建关键桥梁.
教材先是通过生活中常见的数据场景引入趋势图 ，让学生初步认识趋势图的外形特征.接着详细介绍绘制趋势图的步骤和方法，包括确定横纵轴代表的量、标刻度、描点、连线等 ，引导学生亲自动手绘制，深入理解其制作原理.随后深入探究趋势图的特点，最后通过实际案例分析，让学生学会从趋势图中获取信息、分析问题、预测趋势.
七年级学生在小学阶段已学习简单的统计图表，如条形统计图、统计表等，对数据收集、整理和初步分析有一定经验，具备初步的数据意识和图表认知能力.但趋势图独特的表示数据变化趋势的功能，与之前所学有所不同，需要学生转换思维，深入理解数据的动态变化特征.
七年级学生正处于从直观形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键时期，对于直观呈现的趋势图容易产生兴趣，但在理解趋势图所反映的数据变化规律以及根据趋势进行合理推测等抽象内容时，可能会遇到困难.他们能够进行简单的数据计算和图表绘制，但在分析复杂数据关系和综合运用知识解决实际问题方面，还需要教师进一步引导和训练.
部分学生在学习上主动性不足，习惯于被动接受知识，在学习趋势图时，对于自主探究绘制步骤、分析数据趋势等任务可能存在畏难情绪，但也有相当一部分学生好奇心强，对生活中的数据现象充满兴趣，教师可利用这一点，通过创设丰富有趣的教学情境，激发学生学习积极性，引导他们养成主动思考、合作交流的学习习惯.
1.掌握趋势图的定义及绘制趋势图的基本方法；
2.能通过趋势图获取变量之间的关系，能够对相关数据的趋势进行判断；
3.通过绘制趋势图，感受和分析随机现象的变化趋势，提升观察、归纳和解决问题的能力；
4.能根据实际数据选择恰当的数据描述方法，感受数学与生活的紧密联系，增强学习兴趣.
重点：掌握趋势图的定义及绘制趋势图的基本方法.
难点: 能通过趋势图获取变量之间的关系，能够对相关数据的趋势进行判断.
复习回顾
问题1：我们学习过的统计图都有哪些 各自有什么特点呢
师生活动：教师提问，学生独立思考并举手回答.
答：
条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目.
折线统计图能清楚地反映数据的变化趋势.
扇形统计图能清楚地表示各部分占总体的百分比.
追问：前面，我们用折线图表示了与时间有关的量(如2013-2022年我国货物进、出口总额)的发展趋势.
现实生活中，还经常需要研究更广泛的两个量之间的关系，如 GDP 随时间的变化趋势、学生体重与身高的关系、商品销售收入与广告支出的关系等，用什么统计图描述它们之间的关系呢
设计意图：提出新问题，触发学生思考，引出新课题.
探究新知
活动一：探究用趋势图描述数据
问题2：为了研究气温对冷饮销售的影响，一家饮品店经过一段时间的统计，得到一组卖出的冷饮杯数与当天最高气温的数据，如表所示.
你能用统计图描述这家饮品店一天中卖出的冷饮杯数与当天的最高气温之间的关系吗
师生活动：教师提出问题，给学生适当分析两个量之间的因果关系.如本问题中，是天气的炎热程度影响了冷饮的销售量，即当日最高气温是因，卖出的冷饮杯数是果.
让学生体会，虽然根据表中的数据，一般也能大致看出一个量随另一个量变化的趋势，但是单纯的数据不如图形直观，所以我们要绘制趋势图.
追问1：观察表中数据，请说一说：随着最高气温的逐渐升高，每天卖出的冷饮杯数有怎样的变化趋势
答：大致呈现逐渐上升的趋势.
追问2：为了更加清楚地看出冷饮杯数与最高气温之间的关系，采用什么样的统计图进行描述呢？
方法：可以用横轴表示最高气温，用纵轴表示冷饮杯数，描出表格中各对值(12，50)，(13，69)，…，(28，154)所对应的点.
问题3：观察图中散点的分布情况，你发现了什么
答：这些散点大致落在一条呈上升趋势的直线附近.
问题4：如果用一条尽可能靠近所有散点的直线来表示一天卖出的冷饮杯数与当天最高气温之间的关系，你能试着在图中画出这条直线吗
师生活动：学生观察、思考，动手操作，然后小组讨论探究班内交流讨论后，听教师的讲解.在绘制这条表示趋势的直线时，保持一定的开放性，只要学生遵循了“尽可能靠近所有散点”这一原则，都应给予肯定.
方法一：
画的线经过尽可能多的点.
方法二：
画的线满足两侧的点的个数大致相等.
方法三：
画出多条直线，然后测量各点到这些直线的距离和，选取距离和最小的直线作为所求的直线.
拓展：高中将会学习计算“竖直距离”的平方和，选取这个平方和最小时的直线，来描述饮品店一天卖出的冷饮杯数与当天最高气温之间的关系.
归纳：像上面这样，用一条线(直线或曲线)来描述一个量与另一个量之间关系的统计图，叫作趋势图.
趋势图比较清楚地表示了两个量之间的关系，有利于根据一个量的变化，预测另一个量的变化趋势.
问题5：根据上图中的趋势图，请你预测一下：当一天的最高气温为30℃时，饮品店当天大约能卖出多少杯冷饮
师生活动:学生独立思考后举手回答.根据趋势图作预测时，由于没有具体的算式，只能根据图形位置去取数值，所以不同的人所取的结果可能会不同.只要结果符合大致情况，都应给予认可.
答：155杯.
问题6：结合具体问题，说一说趋势图在描述数据方面有什么特点.
师生活动:学生独立思考后小组讨论，选代表回答问题，教师补充总结学生的结论.
答：①可以直观地展示数据的变化趋势；
②可以获取变量之间的关系并根据变化趋势预测变量的发展；
③易于识别转折点.
设计意图：通过数据分析和图形直观感知，探究两个随机变量之间的关系，通过绘画表示趋势的直线，更明确地显示两个量之间的关系，同时提升主观动手的能力，让学生学习根据趋势图作预测.
应用新知
【经典例题】
师生活动：教师在黑板上展示例题，学生认真分析思考，找一名学生上台展示，试着讲出相应的过程，其他同学在作业本上计算，鼓励学生提出疑问.
例1 有时候，一些东西吃起来口味越好，对我们的身体越有害，下表给出了不同类型的某种食品的数据. 第二行表示此种食品所含热量的百分比，第三行数据表示由一些美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价：
(1)用趋势图描述食品中所含热量的百分比与口味评价分数之间的关系.
(2)对于食品，为什么人们更喜欢吃位于直线上方的食品而不是下方的
分析：(1)首先以两个变量分别为横轴和纵轴作平面直角坐标系，再在坐标系中描出各点坐标，即作出散点图，由散点图中点的分布规律可判断食品中所含热量的百分比与口味评价分数之间的关系;
解：(1)画趋势图如图：
(2)由图知，当直线上方的食品和下方的食品所含热量相同时，直线上方的食品口味更好.
例2 某单位指导农户通过种植紫甘薯来提高经济收入，紫甘薯对环境温度要求较高，温度的变化会影响紫甘薯的存活率. 下表给出了去年种植的一批试验紫甘薯在不同温度时死亡的株数：
(1)用趋势图描述这一批紫甘薯的死亡株数与温度之间的关系；
(2)用你绘制的趋势图预测33℃时该批紫甘薯的死亡株数.
分析：以温度为横轴，观察变量为纵轴，用以反映温度与死亡株数之间的关系，根据统计表画出趋势图，并预测33℃该批紫甘薯的死亡株数.
解：(1)绘制趋势图如图所示，从趋势图可以看出，随着温度的升高，紫甘薯的死亡株数呈上升的趋势.
(2)预测 33℃时该批紫甘薯的死亡株数约为 83 株.
总结：按题目所给数据，绘制趋势图，观察图形，分析出两个量之间的关系，再按要求作出预测.
设计意图：通过典型例题让学生巩固新知，培养学生逻辑思维能力，锻炼学生的推理能力.进一步熟悉趋势图的特征，并能准确获取信息解决相应的问题.
课堂练习
【教材练习】
1.下表记录了8位男生和他们的父亲的身高，用趋势图描述儿子身高与父亲身高之间的关系，并根据你作的趋势图，估计当父亲身高为175cm时儿子的身高.
分析：①以父亲身高为横坐标，儿子身高为纵坐标，在平面直角坐标系中绘制散点.
②然后观察这些散点的分布趋势，添加一条趋势线，使得趋势线尽可能地贴近这些散点.
③根据趋势图进行估计.
解：作出趋势图如图所示：
根据趋势图估计当父亲身高为175cm时，儿子身高为177cm.
2.下表是 2016——2022 年我国地下水供水量的数据.
用趋势图描述这段时间我国地下水供水量的变化趋势，并预测2023年的地下水供水量.查阅资料，看一看你的预测值与2023年的实际值相差多少.
分析：首先根据给定的数据绘制趋势图，通过趋势图直观地观察地下水供水量随年份的变化趋势，然后依据该趋势对2023年的地下水供水量进行预测.
解：作出趋势图如图所示：
根据趋势图可预测 2023年地下水供水量为780亿立方米.
查阅资料可知 2023年地下水供水量为819.5亿立方米，预测值与实际值相差39.5亿立方米.
师生活动：学生先独立作答，再随机选择学生回答.
设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加强学生对本节知识的掌握，培养应用意识，锻炼运用能力和解题能力.
【限时训练】
1.如图表示小明每个月测量他栽种的小树高度之间的趋势图，去掉一个点后，剩下的5个点大致分布在如图这条直线附近，这个点是( )
A.D B.E C.F D.A
分析：由图可知F(6，2)远离这条直线，因此去掉点F(6，2)后，剩下的5个点大致分布在如图这条直线附近.
故选：C.
答：C
2.小明家要买一台电脑，下面是甲、乙、丙三种电脑近几年来的销售情况，如果小明想买一台比较流行的电脑，他应买( )
A.甲 B. 乙 C.丙 D.乙或丙
分析：甲呈下降趋势，乙销售持续上升，而丙也略微下降.
故选：B.
答：B
3.目标达成度也叫完成率，一般是指个体的实际完成量与目标完成量的比值. 某销售部门有9位员工(编号分别为A—I)，如图是根据他们月初制定的目标销售任务和月末实际完成情况绘制的统计图，下列结论正确的是( )
①E超额完成了目标任务；
②目标与实际完成相差最多的是G；
③H的目标达成度为100%；
④月度达成率超过75%且实际销售额大于4万元的有四个人.
A.①②③④ B. ①③ C.①②③ D.②③④
分析： (1)根据统计图即可直接判断E超额完成了目标任务，故①正确;
(2)G的目标完成量与实际完成量相差6万元为最大，故②正确;
(3)H的目标完成量为3万元，实际完成量为3万
元，即H的目标达成度为100%，故③正确;
(4)分别计算出实际销售额大于4万元的人员的月度达成率，再和75%作比较即可判断④错误.
综上，①②③正确. 故选：C.
答：C.
4.小强家想购买一套商品房，他爸爸通过媒体查询，获得以下信息:
已知小强家对住房面积的要求在60m2~90m2之间，考虑到房价及小强到学校的路程，则小强家应首选上述四处中的 处.
分析：首选D处，理由如下:
由题意可知，A处离学校的路程最短，但房价最贵；B处房价较低，但离学校的路程较远；D处比C处离学校的路程较近，且房价低.
所以小强家应该首选D处.
答：D
设计意图：设置分层作业，兼顾不同水平的学生，关注差异，使学生获得各自的发展，加深学生对知识进一步理解的同时，扩展学生的思维，让优秀生有施展的舞台．
课堂总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.本节课你学到了什么？
2.什么是趋势图？
3.趋势图描述数据时有什么特点？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
实践作业
收集家庭一周内每日气温与用电量的数据，或记录自己每天的学习时间与作业正确率，整理成表格，然后画出趋势图.
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