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教案
课 题 用频率估计概率（教学设计）-2024-2025学年北师大版数学九年级上册
备课人 授课日期
教学目标 （1）会用数学的眼光观察现实世界：通过试验观察随机事件频率的稳定性，理解频率与概率的关系。 （2）会用数学的思维思考现实世界：通过分析大量重复试验的数据，建立频率作为概率估计的数学模型，明确频率与概率的区别与联系。 （3）会用数学的语言表达现实世界：能够用数学语言描述频率与概率的关系，并运用频率估计概率的方法解决实际问题。
教 学 重 点 与 难 点 （1）理解频率与概率的关系，掌握通过大量重复试验用频率估计概率的方法，并能解释其合理性和局限性。 （2）在真实情境中运用频率估计概率解决实际问题，培养数据分析能力和理性思维。
媒体教具 （1）多媒体投影仪和电脑，用于展示投掷硬币和骰子的模拟试验结果，以及相关的数学公式和图表。 （2）实物教具，包括质地均匀的硬币和骰子，用于现场演示随机事件及其频率的计算。 （3）打印好的案例分析材料，例如公园游戏活动的案例，供学生小组讨论和分析。
教法学法 实验法、案例分析法、小组合作学习法
教 学 过 程 二次备课调整
一、情境导入，初步认识 问题 1：当你投掷一枚质地均匀的硬币时，得到正面向上的概率是多少？ 答：0.5 问题 2：假设周末县体育馆有一场精彩的篮球比赛，小亮有一张球票，而他的两个朋友小强和小明都是篮球迷，都希望能去看比赛。请帮小亮想一个公平的方法来决定谁可以获得这张球票。 方案：可以通过投掷硬币的方式来决定，如果正面朝上，小强获得球票；如果反面朝上，小明获得球票。 问题 3：为什么使用这种方式可以保证公平性呢？ 理由：因为这样做能够确保每个人获得球票的机会均等，即他们得票的概率相同，均为 0.5。 问题 4：如果多次重复投掷硬币，结果会怎样变化呢？ 假设连续投掷 10 次硬币，是否一定是 5 次正面朝上？ 那么如果是 50 次，或是 100 次甚至更多？ （学生展开讨论，通过实际操作或模拟实验，探索发现虽然理论概率是 0.5，但具体的频率在有限次试验中可能并不严格等于 0.5，从而理解频率与概率之间的关系。） 【教学说明】 基于以上讨论，引出本节课的主题 ——频率与概率的联系与区别，以及如何用频率估计概率。 二、思考探究，获取新知 1. 自主学习课本 157~159 页内容 学生自主阅读相关教材部分，重点放在理解如何利用频率的数据来估算事件的概率。 （教师指导学生仔细研读文本，注意区分频率与概率的概念，并尝试结合生活实例进行初步理解。） 2. 小颖和小红两位同学在研究 “概率” 这一课题时，进行了 60 次掷骰子（每个面都均匀且规则）的实验，记录如下： 请问，根据实验数据，“3 点朝上” 的频率和 “5 点朝上” 的频率分别是多少？ “3 点朝上” 的频率计算得出为 6/60=1/10。 “5 点朝上” 的频率则为 20/60=1/3。 针对这组数据，同学们有不同意见。小颖认为一次试验出现 5 点的机会最大；小红则推测说如果增加到 600 次尝试的话，那么正好会有 100 次看到 6 点。你认为她们的说法对不对，为什么？ （学生分成小组进行探讨，在讨论中进一步澄清关于频率稳定值代表的概率含义。） 分析思路引导： 概率是一种用来描述不确定事件发生的可能性大小的数学工具。它不同于实验观察到的频率。随着实验次数增加，特定结果出现的频率往往会趋向于其概率。 解： “3 点朝上” 的实验频率为 6/60=1/10； “5 点朝上” 的实验频率为 20/60=1/3。 小颖的观点不正确。即使在一个特定的数据集中某个结果出现的频率较高，也不能直接推断该结果发生的概率也高。需要足够多的样本数使得频率稳定下来才能近似代表真实概率。 同样的道理，小红的预期也不准确。由于每次投掷骰子的结果具有不确定性，无法保证在 600 次中精确获得 100 次特定面数值。 3. 六一儿童节期间，某地公园举办了一场以 “迎接奥林匹克运动会” 为主题的游戏活动 其中包含一种游戏项目：参与者需要从装满了 6 个红色球体加上若干个白色球体（所有球除了颜色外其他特性一致）的袋子内随机抽取一颗。抽中的红球将作为奖励送出玩具吉祥物。据统计，当天共有 40000 人参与了这个小游戏，共发放了 10000 份礼物。 请大家帮忙计算一下，单次参与此游戏赢取奖品的概率大约是多少？ 10000 除以 40000 后得到的是 0.25，也就是四分之一的机会。 基于上面的信息，请尝试估算袋子里原本放了多少个白色的球？ 首先我们知道当实验次数足够大时，实际频率值能很好反映理论概率。 因此我们可以推测从袋中任意摸出一颗球是红色的概率为 1/4。 设定白球的数量为 x，则根据题目要求建立方程式 6/(x+6)=1/4 求解 x 值。计算后得知 x 约等于 18。 解释给同学们听为何可以采用此方法解决问题，并强调设置方程的思想在解决类似问题中的重要性和实用性。 【教学扩展】 鼓励大家思考更多现实生活中可能出现的情境，在哪些情况下我们也可以用类似的逻辑推理方式去估计未知因素？ 三、运用新知，深化理解 1. 在一块边长为 4 厘米的正方形纸片上做针刺实验 正方形中央还画了一个直径 1 厘米的小圆圈。假设随机选择一个点扎针，针落在圆形区域内的机会有多大？ A. 1/16 B. 1/4 C. π/16 D. π/4 （学生做出选择并陈述他们的理由。提示可以从面积比角度出发考虑问题。） 2. 给定图形显示了由三个直径划分开的大圆被分为六个相等扇形 若随机向整个盘面上撒一些小豆粒，预测落到阴影部分里的豆粒所占比例是多少？ （让学生自行计算该问题的答案，并分享彼此间得出结论的过程。） 3. 有一个口袋里装着红色玻璃珠与其他颜色总共四十颗 为了判断里面具体有多少颗红珠，有人反复从中取出再重新放入，最后观察到了红珠被挑中的几率大概稳定在 15% 左右。你能据此推算出口袋中最可能含有的红色球的数量吗？ （引导学生自己动手计算，并解释所应用的方法背后的原理。） 4. 对城镇居民观看某一档新闻节目的习惯进行调查 城镇总人口约为十万人。调研团队随机挑选了两千居民询问他们是否收看了早上播出的一档时事节目，最终发现其中二百五十人回答肯定。那么对于任何一位来自这里的居民来说，预计他看这档早间节目的可能性有多大？全城大概有多少人在关注这项资讯来源？ 根据现有统计数据可知，概率大致相当于 250/2000=0.125；也就是说每八个人当中就有一位固定观众。 从而可以推测全市范围内潜在听众的数量大致为十二万五千名。 （通过这类实际案例的应用练习帮助学生们加强对概念的掌握。） 四、课堂总结与反思 回顾整节课的学习过程，你们有哪些重要的收获？是否还有未解之惑？现在请大家互相交流一下自己的想法。 （邀请几位同学发言分享各自的心得体会；老师在此过程中补充必要的知识点回顾，并回应学生提出的问题。） 【教学说明】 通过这样结构化的总结环节不仅能让每位学生有机会表达个人见解，还能强化核心观念的理解程度。同时也便于教师及时发现并纠正普遍存在的误解。
作业布置 （1）请学生设计一个简单的随机试验，例如抛掷一枚硬币或骰子，记录试验结果，并计算特定事件发生的频率。通过多次重复试验，分析频率的变化，探讨频率与概率之间的关系。 （2）根据课堂所学的频率估计概率的方法，调查并分析生活中一个实际事件的频率，例如家庭成员中看早间新闻的人数比例，然后估计整个家庭成员看早间新闻的概率。

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