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10.4　三元一次方程组的解法（第1课时）
　　1．了解三元一次方程组的概念，会用消元法解简单的三元一次方程组．
　　2．理解用消元法解三元一次方程组时体现的“三元”化“二元”、“二元”化“一元”的化归思想．
　　能应用消元法解三元一次方程组．
　　能应用消元法解三元一次方程组．
知识回顾
　　1．代入法解二元一次方程组的一般步骤：
　　（1）变形：从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来；
　　（2）代入：把变形后的方程代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
　　（3）求值：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
　　（4）回代：把求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值；
（5）写解：将两个未知数的值用“{”联立在一起，就得到方程组的解．
　　2．加减法解二元一次方程组的一般步骤：
　　（1）变形：使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数；
　　（2）加减：将两个二元一次方程用相加或相减的方式消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
　　（3）求值：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
　　（4）回代：把求得的未知数的值代入方程组中的任一方程，求出另一个未知数的值；
　　（5）写解：将两个未知数的值用“{”联立在一起，就得到方程组的解．
新知探究
一、探究学习
　　【思考】在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛，积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2．按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场？
　　【师生活动】教师提问：这个问题中含有哪几个相等关系？
　　学生思考并回答：（1）胜的场数＋平的场数＋负的场数＝22；
　　（2）胜场的得分＋平场的得分＋负场的得分＝47分；
　　（3）胜的场数＝负的场数×4＋2．
　　教师追问：如何设未知数，列方程求解？
　　学生分小组讨论，并派代表发言：
解：设这个球队胜、平、负的场数分别为x，y，z，根据题意，可以得到下面三个方程：
x＋y＋z＝22，
3x＋y＝47，
x＝4z＋2．
　　这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起，写成
　　【新知】方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组．
　　【思考】怎样解三元一次方程组？
　　【师生活动】教师提示：二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数，化成一元一次方程求解．那么，能不能按照同样的思路，用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数，把它化成二元一次方程组呢？
　　学生根据教师提示，分小组讨论，并派代表回答，教师进行补充并出示分析．
　　【分析】仿照前面学过的代入法，可以把③分别代入①②化简，得到两个只含y，z的方程y＋5z＝20和y＋12z＝41，它们组成方程组：
解这个二元一次方程组，可以求出y和z，进而可以求出x．
【追问】你还能用其他方法解这个三元一次方程组吗？
　　【师生活动】学生独立作答：
　　仿照前面学过的加减法，②－①先消去y，再将得到的只含x，z的方程2x－z＝25与③联立：
　　解这个二元一次方程组，可以求出x和z，进而可以求出y.
　　【归纳】解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．
　　【设计意图】通过问题串的形式，激发学生的求知欲，调动学生学习的积极性．通过问题探究，让学生理解用消元法解三元一次方程组时体现的“三元”化“二元”、“二元”化“一元”的化归思想．
二、典例分析
　　【例1】下列方程组中，不是三元一次方程组的是（　　）．
　　A． B．
　　C． D．
　　【师生活动】教师提出问题，学生思考并回答．
　　【答案】B
　　【例2】解三元一次方程组：
　　【师生活动】教师提示：解三元一次方程组的关键是将“三元”化“二元”．
　　学生根据提示，小组交流，并回答：可以将方程①变形为，代入到②③中，消去x，得到一个只含y，z的二元一次方程组．
　　教师点评：这种方法的确将“三元”化为了“二元”，但是方程①中每个未知数的系数的绝对值都不是1，将其变形，用代入法解比较繁琐．
　　学生继续思考，并回答：方程①只含x，z，因此，可以由②③消去y，得到一个只含x，z的方程，与方程①组成一个二元一次方程组．
　　【答案】解：②×3＋③，得11x＋10z＝35．④
　　①与④组成方程组
　　解这个方程组，得
　　把x＝5，z＝－2代入②，得2×5＋3y－2＝9，
　　所以y＝．
　　因此，这个三元一次方程组的解为
　　【归纳】当三元一次方程组中某个方程缺少一个未知数时，可由另两个方程消去与前述方程中所缺未知数相同的未知数，从而组成二元一次方程组求解．
　　【例3】在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60．求a，b，c的值．
　　【师生活动】教师提示：把a，b，c看作三个未知数，分别把已知的x，y值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组．
　　学生根据提示，思考并作答．
　　【答案】解：根据题意，得三元一次方程组
　　②－①，得a＋b＝1.④
　　③－①，得4a＋b＝10．⑤
　　④与⑤组成二元一次方程组
　　解这个方程组，得
　　把a=3，b=－2代入①，得c＝－5．
　　因此a，b，c的值分别为3，－2，－5．
　　【设计意图】通过例1、例2、例3的讲解与练习，巩固学生对所学知识的理解及应用．
课堂小结
课后任务
　　完成教材第109页练习题．10.4　三元一次方程组的解法（第2课时）
　　能根据不同的题目类型，选取合适的方法解三元一次方程组．
　　能根据不同的题目类型，选取合适的方法解三元一次方程组．
　　能根据不同的题目类型，选取合适的方法解三元一次方程组．
知识回顾
　　1．如果一个方程组含有 三个 未知数，且含有未知数的式子都是 整式 ，含有未知数的项的次数都是 1 ，一共有 三个 方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组．
　　2．解三元一次方程组的基本思路是：通过“ 代入 ”或“ 加减 ”进行消元，把“ 三元 ”转化为“ 二元 ”，使解三元一次方程组转化为解 二元一次方程组 ，进而再转化为解一元一次方程．
新知探究
类型一、一般型三元一次方程组的解法
　　【问题】1．解三元一次方程组：
　　【师生活动】首先让学生独立完成，然后教师展示结果并讲解．
　　【答案】解：由②，得x＝y＋1．④
　　把④代入①，得2y＋z＝25．⑤
　　把④代入③，得y＋z＝16．⑥
　　⑤与⑥组成方程组解这个方程组，得
　　把y＝9代入④，得x＝10．
　　所以原方程组的解是
　　【归纳】消元法解三元一次方程组的注意点：
　　（1）确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般选择消去后可以使计算量相对较小的未知数．
　　（2）消去的未知数一定是同一个未知数，否则就达不到消元的目的．
　　【问题】2．解三元一次方程组：
　　【答案】解：由③，得z＝4x－7．④
　　把④代入①，得17x－2y＝40．⑤
　　把④代入②，得7x＋2y＝8．⑥
　　⑤与⑥组成方程组解这个方程组，得
　　把x＝2代入④，得z＝1．
　　所以原方程组的解是
　　【设计意图】通过问题1，2，让学生掌握一般型三元一次方程组的解法．
类型二、轮换型三元一次方程组的解法
　　【问题】3．解三元一次方程组：
　　【师生活动】让学生尝试独立完成，教师提示可以先将①②③相加，并适当整理所得方程，再分别减去①②③，就可以得到原方程组的解．
　　【答案】解：①＋②＋③，得2(x＋y＋z)＝12，即x＋y＋z＝6．④
　　④－①，得z＝3；
　　④－②，得x＝1；
　　④－③，得y＝2．
　　所以原方程组的解是
　　【归纳】解三元一次方程组时，应具体问题具体分析，找出其结构特点及系数之间的关系，灵活巧妙地消元．本例中，由于未知数的系数都相同，故采用了整体代入来消元的方法，简化了运算．
　　【问题】4．解三元一次方程组：
　　【答案】解：①＋②＋③，得x＋y＋z＝16．④
　　④－①，得z＝8.
　　④－②，得x＝4.5.
　　④－③，得y＝3.5．
　　所以原方程组的解是
　　【设计意图】通过问题3，4，让学生掌握轮换型三元一次方程组的解法．
类型三、连等型三元一次方程组的解法
　　【问题】5．解三元一次方程组：
　　【师生活动】教师提示：像这种连等形式的方程，通常选择用同一字母参数来表示各个未知数，即参数法．通过参数法化多元为一元，简化解题过程．
　　学生根据提示先独立解答，然后教师讲解．
　　【答案】解：设（k为常数，k≠0），则x＝3k，y＝4k，z＝5k．
　　将它们代入②中，得3k－4k＋10k＝18，解得k＝2．所以x＝6，y＝8，z＝10．
　　所以原方程组的解是
　　【归纳】用参数法解连等形式的方程组：
　　解连等形式的方程组时，通常采用参数法，先用同一个字母参数表示方程组中各个未知数，再根据题目所给的条件求出字母参数的值，最后求出各个未知数的值．此外，比例形式的方程也可运用参数法．利用参数法达到消元的目的，使运算更加简便，且不易出错．
　　【问题】6．解三元一次方程组：
　　【答案】解：由①②，得xyz＝345．设x＝3k，y＝4k，z＝5k（k为常数，k≠0），
　　将它们代入③，得3k＋4k＋5k＝36，解得k＝3．所以x＝9，y＝12，z＝15．
　　所以原方程组的解是
　　【设计意图】通过问题5，6，让学生掌握连等型三元一次方程组的解法．
课堂小结
课后任务
　　完成教材第111页习题10.4第1～4题．

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