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二次函数的定义与图像
知识点一、二次函数的定义
【知识梳理】
1.二次函数的概念
一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a, b, c为常数）的函数是二次函数.
　　若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2.
以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式.
二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
　① （a≠0）；②（a≠0）；③（a≠0）；④（a≠0），其中；⑤（a≠0）.
要点：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
【例题精讲】
例1．下列函数关系式中，是的二次函数是（ ）
A． B．
C． D．
例2．以x为自变量的函数：①；②；③；④．是二次函数的有（ ）
A．②③ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
例3．若函数是关于x的二次函数，则m的值是（ ）
A．2 B．或3 C．3 D．
例4．在二次函数y＝﹣x2+5x﹣2中，a、b、c对应的值为（　　）
A．a＝1，b＝5，c＝﹣2 B．a＝﹣1，b＝5，c＝2
C．a＝﹣1，b＝5，c＝﹣2 D．a＝﹣1，b＝﹣5，c＝﹣2
例5．若函数是关于x二次函数，则a的值为（ ）
A． B．1 C． D．1或0
例6．函数 (a，b，c为常数)是二次函数的条件是（ ）．
A．或 B． C．且 D．
【巩固练习】
知识点二、二次函数解析式
【知识梳理】
1.二次函数解析式的表示方法
1）. 一般式：（，，为常数，）；
2）. 顶点式：（，，为常数，）；
3）. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）（或称交点式）.
要点：
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下
第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或，
或，其中a≠0；
第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；
第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；
第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．
要点：
在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为；③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为．
【例题精讲】
例1．已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（　　）
A．y=-6x2+3x+4 B．y=-2x2+3x-4
C．y=x2+2x-4 D．y=2x2+3x-4
例2．已知点在抛物线上，则下列四个点中，一定也在该抛物线上的是（ ）
A． B． C． D．
例3．已知抛物线经过和两点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
知识点三、特殊二次函数的图象
【知识梳理】
一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象
1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象
用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.
因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.
2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法
用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.
要点：
二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象．
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
二、二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象
1.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象
（1）
（2）
3.二次函数与之间的关系；（上加下减）.
的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到的图象.
要点：抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同．
函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．
抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已．
三、函数与函数的图象
1.函数的图象
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴
向上 x=h
向下 x=h
2.函数的图象
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴
向上 x=h
向下 x=h
要点：二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．
四、二次函数的平移
1.平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
2.平移规律：
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．
【例题精讲】
例1．抛物线y＝x2﹣3的顶点坐标、对称轴是（　　）
A．（0，3），x＝3 B．（0，﹣3），x＝0 C．（3，0），x＝3 D．（3，0），x＝0
例2．抛物线的顶点是（ ）
A． B． C． D．
例3．抛物线y＝3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（　　）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）
例4．抛物线的顶点坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
例5．二次函数y＝（x+4）2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（　　）
A．向上，直线x＝4，（4，5） B．向下，直线x＝﹣4，（﹣4，5）
C．向上，直线x＝4，（4，﹣5） D．向上，直线x＝﹣4，（﹣4，5）
例6．k为任意实数，抛物线y＝a（x﹣k）2﹣k（a≠0）的顶点总在（　　）
A．直线y＝x上 B．直线y＝﹣x上 C．x轴上 D．y轴上
例7．把抛物线y=2x2向上平移5个单位，所得抛物线的解析式为( )
A．y=2x2+5 B．y=2x2-5 C．y=2（x+5）2 D．y=2（x-5）2
例8．把抛物线向右平移3个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
例9．顶点为(-6，0)，开口方向、形状与函数y=x2的图象相同的抛物线所对应的函数是( )
A．y=(x-6)2 B．y=(x+6)2 C．y=-(x-6)2 D．y=-(x+6)2
例10．对于y＝ax2(a≠0)的图象，下列叙述正确的是( )
A．a越大开口越大，a越小开口越小 B．a越大开口越小，a越小开口越大
C．|a|越大开口越小，|a|越小开口越大 D．|a|越大开口越大，|a|越小开口越小
知识点三、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
【知识梳理】
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
一、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与之间的相互关系
1.顶点式化成一般式
　　从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．
2.一般式化成顶点式
．
对照，可知，．
∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
要点：1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用．
2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
二、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的画法
1.一般方法：列表、描点、连线；
2.简易画法：五点定形法.
其步骤为：
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．
(2)求抛物线与坐标轴的交点，
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．
要点：
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，
三、二次函数的图象
1.二次函数图象
函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象
开口方向 向上 向下
对称轴 直线 直线
顶点坐标
2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
项目 字母 字母的符号 图象的特征
a a＞0 开口向上
a＜0 开口向下
b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧
c c=0 图象过原点
c＞0 与y轴正半轴相交
c＜0 与y轴负半轴相交
b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0 与x轴有两个交点
b2-4ac＜0 与x轴没有交点
【例题精讲】
例1．已知函数的图象经过点（0，3），c的值是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
例2．二次函数的对称轴是 （ ）
A．直线x=-2 B．直线x=-4
C．直线x=1 D．直线x=-1
例3．二次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
例4．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．(-1，8) B．(1，-8) C．(-1，-3) D．(1，3)
例5．如果抛物线的顶点关于原点对称点的坐标是（-1，-3），那么m的值是（ ）
A．5 B．－3 C．－9 D．－1
例6．在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是( )
A． B．
C． D．
例7．若二次的数的x与y的部分对应值如下表：
x
y 3 5 3
则当时，y的值为（ ）
A．5 B． C． D．
例8．在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．

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