资源简介

湘教版七年级下册
1.2.2 完全平方公式 教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课选自湘教版《义务教育教科书·数学》七年级下册第1章“整式的乘法”第1.2.2节“完全平方公式”，主要内容是理解完全平方公式的代数推导与几何背景，掌握公式 和 的结构特征，并能运用公式进行整式乘法运算与数值简便计算。
2. 内容解析
完全平方公式是多项式乘法法则的特例，是乘法公式体系的核心组成部分。学生已掌握多项式乘法和平方差公式，本节课通过代数推导和几何直观（面积模型）建立公式的生成逻辑，强调公式中“平方和”与“积的2倍”的关系。公式的灵活应用为后续学习因式分解、二次方程及函数奠定基础，同时培养数形结合思想与代数推理能力。
二、目标和目标解析
1. 目标
(1) 通过计算具体算式和几何拼图，归纳完全平方公式的结构特征，发展抽象概括能力。
(2) 经历公式的代数推导与几何验证过程，理解公式本质，增强几何直观与逻辑推理能力。
(3) 熟练运用公式进行整式运算与数值简便计算，提升运算能力和应用意识。
2. 目标解析
达成目标（1）的标志：学生能准确描述公式中“平方项”与“交叉项”的符号规律，区分 与 的差异。
达成目标（2）的标志：学生能独立完成公式的代数证明（多项式乘法展开），并解释几何面积模型与公式的对应关系。
达成目标（3）的标志：能正确解决含字母系数的整式计算（如 ）和数值计算（如 ），并分析错误原因。
三、教学问题诊断分析
符号混淆：学生易混淆 与 ，错误写成 或遗漏负号。
几何理解障碍：部分学生难以将代数公式与图形面积（如例5的拼图）建立联系。
应用不灵活：面对复杂项（如 ）或变形（如 ）时，无法快速匹配公式结构。
四、教学过程设计
（一）情景引入
问题1 计算边长为 的正方形面积，能否用不同方法表示总面积？
问题2 如图，将正方形分割为四部分（面积分别为 ），如何用这些部分表示总面积？
问题3 类比问题1，计算 的结果是什么？它与 相等吗？
设计意图：从面积模型切入，将抽象公式具象化，引导学生发现“交叉项” 的存在性，激发探究兴趣，对应目标（1）（2）。
（二）合作探究1
探究1 计算下列算式，观察结果规律：
①
②
追问：结果中各项与算式的“首项” “尾项”有何关系？
答：
①
②
规律：结果均为“首平方 + 尾平方 ± 2倍首尾积”。
（三）巩固练习1
填空：
答：
判断： 是否正确？说明理由。
答：错误，应为 。
（四）合作探究2
探究2 用多项式乘法证明：。
证明：
探究3 如何用面积模型解释 ？
操作：
在边长为 的正方形中剪去边长为 的小正方形（），剩余面积可分割为 ，但需补回重叠部分，实际面积为 。
设计意图：代数证明强化逻辑推理，几何模型深化直观理解，突破符号与几何障碍，对应目标（2）。
（五）典例分析
例1 计算：
(1)
(2)
解：
(1) 解法1（直接套用公式2）：
解法2（变形后套用公式1）：
(2)
设计意图：通过多解法对比，强调公式的灵活应用，培养学生分类讨论意识，对应目标（3）。
（六）巩固练习
计算
答：
简便计算
答：
若 ，求 的值。
答：由公式得 ，故 。
设计意图：分层设计基础题、应用题和逆向思维题，强化公式结构记忆与迁移能力。
（七）归纳总结
完全平方公式结构表
公式 展开式 符号规律
两正一正（交叉项）
两正一负（交叉项）
口诀：首平方，尾平方，积的2倍放中央，符号同中项。
（八）感受中考
(2023·江苏) 计算 。
(2024·浙江) 若 ，则 。
(2022·福建) 简便计算 的结果是（ C ）
A. B. C. D.
解析：。
(2023·河南) 如图，四张全等矩形纸片拼成大正方形，边长 ，则阴影面积是（ B ）
A. B. C. D.
解析：阴影为两个矩形，面积 。
设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。
（九）小结梳理
知识关联表
核心概念 与已学知识的联系 后续应用方向
完全平方公式 多项式乘法、平方差公式 因式分解、配方法
几何模型 长方形面积、分割思想 数形结合解应用题
（十）布置作业
必做题：
教材练习1：计算 、。
教材练习2：计算 。
选做题：
推导：。
思考：是否存在整数 满足 ？说明理由。
五、教学反思
（课后填写）

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