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第五章 图形的轴对称
5.2简单的轴对称图形
第1课时
一、 教学目标
1.掌握等腰三角形的轴对称性，等腰三角形“三线合一”、两个底角相等等性质.
2.会利用等腰三角形的性质解决相关问题.
3.经历探索等腰三角形和等边三角形相关性质的过程，进一步理解轴对称的性质.
4.通过探究积累数学活动经验，发展空间观念.
二、 教学重难点
重点：掌握等腰三角形的轴对称性，等腰三角形“三线合一”、等腰三角形的两个底角相等等性质.
难点：会利用等腰三角形的性质解决相关问题.
三、教学过程设计
环节一 创设情境
【情境引入】
教师活动：展示图片，提出问题，学生思考后回答问题.
问题：在这些知名的建筑中都含有什么相同的数学图形？
预设：都有等腰三角形.
设计意图：展示知名建筑中出现的等腰三角形，引发学生兴趣.
环节二 探究新知
教师活动：引导学生利用对称性剪出等腰三角形，探究等腰三角形的性质.
操作：如图，把一张长方形纸片按图中的虚线对折，并剪去红线下方的部分，再把它展开，得到△ABC.
思考：AC和AB有什么关系
预设：AC=AB
【归纳】
像这样有两条边相等的三角形叫作等腰三角形
教师活动：和学生一起回顾之前学习过的等腰三角形的相关概念.
已知△ABC中，有AB=AC，则△ABC为等腰三角形.
等腰三角形中，相等的两边都叫作腰，另一边叫做底边.两腰对应的角叫作底角，底边对应的角叫作顶角.
设计意图：通过复习等腰三角形的有关知识，为接下来的性质的探究做准备.
【思考交流】
(1)等腰三角形是轴对称图形吗 如果是，沿它的对称轴折叠，你能发现哪些相等的线段和相等的角
(2)等腰三角形的对称轴是一条怎样的直线 你是如何描述的
(3)你认为等腰三角形有哪些特征？与同伴交流.
预设：（1）是，如图，
相等的线段：AB=AC，BD=CD；相等的角：∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD，∠B=∠C.
（2）等腰三角形的对称轴是一条等腰三角形底边上的高或底边上的中线或顶角角平分线所在的直线.
（3）等腰三角形是轴对称图形.
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴.
等腰三角形的两个底角相等.
你能证明上述的猜想吗？
【证明猜想】
教师活动：和学生一起利用之前学习的内容证明上面发现的结论.
先将问题转化为数学语言：
如图， △ABC是等腰三角形， AB=AC，做顶角∠BAC的平分线AD ，与BC交于点D， 求证：BD=DC，AD⊥BC，∠B=∠C
进行数学证明：
证明：∵ AD是∠BAC的平分线
∴ ∠BAD=∠DAC
∵ AB=AC，AD=AD
∴ △ABD≌△ACD (SAS)
∴ BD=DC，∠B=∠C，∠ADB=∠ADC，
而∠ADB+∠ADC=180°
∴ ∠ADB=∠ADC=90°， 即AD⊥BC.
设计意图：通过数学证明，让学生深入记忆等腰三角形的相关性质特征.
【归纳】
教师活动：证明后总结等腰三角形的底边中线、底边上高线、顶角平分线三线合一，且等腰三角形的两个底角相等.
等腰三角形ABC中，AB=AC，有：
∠B=∠C
∠BAD=∠CAD，AD为顶角平分线
AD⊥BC，AD为底边上的高线
BD=CD，AD为底边上的中线
结合图形总结说明：
等腰三角形的两个底角相等，简记为：等边对等角.
等腰三角形的顶角平分线， 底边上的中线，底边上的高互相重合，简记为：三线合一.
【归纳】
等腰三角形的有关性质：
1.等腰三角形是轴对称图形.
2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴.
3.等腰三角形的两个底角相等.
设计意图：整体总结归纳等腰三角形的性质，加强巩固.
环节三 应用新知
【典型例题】
教师提出问题，学生根据前面知识内容，先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，最终教师展示答题过程.
例1 已知一个等腰三角形的底角是顶角的2倍，求它的各个内角的度数.
解：设这个等腰三角形顶角的度数为x°，则底角的度数为 2x°.
根据“三角形三个内角的和等于 180°，得
x+2x+2x=180
解得 x= 36
2×36=72.
所以，这个三角形的三个内角分别是 36°，72°，72°.
例2如图，已知AD∥BC，BD是∠ABC的平分线，那么△ABD是等腰三角形吗？为什么？
分析：①由两直线平行可以得到内错角相等，可得∠ADB=∠DBC.
　　②BD是∠ABC的平分线，可得∠ABD=∠DBC
　　③∠ABD=∠ADB，所以△ABD为等腰三角形.
解：△ABD是等腰三角形
∵ AD∥BC
∴ ∠ADB=∠DBC.
又∵ BD是∠ABC的平分线
∴ ∠ABD=∠DBC
∴ ∠ABD=∠ADB
∴ AB=AD（等角对等边）
∴ △ABD是等腰三角形.
【尝试·思考】
如图，△ABC是一个等腰三角形，直线是它的对称轴.请在△ABC中画出以直线l为对称轴的一组对应点、一组对应线段、一组对应角，你能发现哪些相等的线段、相等的角，以及形状、大小完全相同的图形
预设：如图，
相等的线段：AB=AC，BD=CD；
相等的角：∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD，∠B=∠C.
△ABD与△ACD形状、大小完全相同的图形.
【思考交流】
教师活动：引导学生思考特殊的等腰三角形，等边三角形的相关性质特征.鼓励学生通过操作和思考分析，尽可能多的探索它的特征.
等腰三角形中，若底边与腰相等．这时三角形三边都相等．我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
等边三角形有几条对称轴？
(2)你能发现等边三角形的哪些特征？
预设：
(1)三条，如右图
(2)三边相等，三个角均为60°
证明：根据“等边对等角”可得：∠A=∠B=∠C
而三角形内角和为180°，即∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=∠B=∠C=60°
设计意图：等边三角形为特殊的等腰三角形，它的性质具有特殊性，教学中应鼓励学生通过操作和思考分析,更多的探索它的对称性质.
环节四 巩固新知
　　【随堂练习】
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1.在△ABC中，AB=AC，∠B=72°，那么∠A=______.
2.在△ABC中，如果AB=AC，且一个角等于70°，求另两个角的度数.
3.如图：在△ABC中，AB=AC.点D位AB边上任意一点，过点D作DE∥AC，交BC于点E.△DBE是等腰三角形吗？说说你的理由.
参考答案：
36°.
2.解：若顶角即∠A=70°，则∠B=55 °，∠C=55 °
若底角即∠B=70°，则∠C=70°，∠A=40°
若底角即∠C=70°，则∠B=70°，∠A=40°.
3.解：△DBE是等腰三角形.理由如下：
∵AB=AC，∴∠C=∠B，
又∵DE∥AC，∴∠C=∠DEB，∴∠B=∠DEB
∴DE=DB，△DBE是等腰三角形．
设计意图：通过课堂练习巩固新知，考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 总结归纳
以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容.
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

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