资源简介

12.4.1三角形内角和定理
【教学目标】
会证明三角形内角和定理，并能运用定理解决简单的问题；
经历操作、探究与证明的过程，进一步发展推理能力及理性说理能力；
通过一题多解，积累解决几何问题的经验，感悟逻辑推理的数学价值.
【教学重难点】
重点：理解并掌握三角形内角和定理及其简单应用
难点：三角形内角和定理的证明中辅助线的添加
【教学方法】
目标教学法、引导发现法、讲练结合法
【学法指导】
合作交流、动手操作
【教学过程】
新课引入
问题1：小学时，我们学习过对任意的三角形，它们的内角和时多少度？
三角形内角和为（板书）
问题2：回忆一下，我们之前是如何验证这一结论的？
度量、折叠、撕纸等
借助课件展示两种常见的撕纸方法：
观察两种撕纸方法，有什么共同点？
①将三个角共顶点放置； ②三个角拼凑成了平角.
问题3：思考一下，我们之前验证结论的方法一定可靠吗？
观察、实验、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确，因此，要判断一个数学结论是否正确，必须要进行有理有据的证明.
从上面的撕纸操作过程中，你能发现证明思路吗？
新知探究
观察撕纸过程，引导学生得到通过添加辅助线，构造平行线，达到转移角的目的。
教师应指出辅助线通常画为虚线，并在证明前交代说明。添加辅助线不是盲目的，而是证明需要引用某个定义、公理、定理，但原图形不具备直接使用它们的条件，这时就需要添辅助线创造条件，以达到证明的目的。
探究1：根据图1的拼凑方法，得出以下证明方法.
已知：如图，△ABC .
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA．
∵CE∥BA
∴∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）
∠A=∠1（两直线平行，内错角相等）
∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°（平角定义）
∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换)
提问：若不将∠B转化到∠2的位置，还可以证明结论吗？
除可以借助平行线构造平角外，还可以通过构造同旁内角证明结论成立.
根据图2的拼凑方法，得出以下证明方法.
已知：如图，△ABC .
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证明：过点A作∥．
∴∠B=∠1(两直线平行,内错角相等).
∠C=∠2(两直线平行,内错角相等).
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
探究2：观察以上两种证明方法，均将三个角“搬”到三角形的顶点处，思考能否将三角形的三个角的顶点“凑到”三角形的边上？内部？外部？
证明：在BC边上任取一点D,过D作DE∥AC,作DF∥AB.
∵ DE∥AC , DF∥AB
∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC (两直线平行，同位角相等).
∠A+∠AED=180°, ∠AED+∠EDF=180° (两直线平行，同旁内角相补)，
∴ ∠A=∠EDF（同角的补角相等）.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°（平角定义），
∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）.
其他证法按照课后第5题完成，下节课分享.
探究3：经过以上多种方法的严格证明，现在能否肯定“三角形内角和为180°”，直角三角形呢？钝角三角形呢？
（利用构造“同旁内角”说理） （利用构造“平角”说理）
归纳总结：
三角形内角和定理：三角形内角和为180°
几何语言：在△ABC中，
∠A+∠B+∠C=180°
证明思路：三角形三个内角 平角或同旁内角
（三）新知应用
例. 如图，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD平分∠BAC．求∠ADB的度数.
想一想：
1.△ABC 中可以有3个锐角吗？ 2个直角呢？ 2个钝角呢？
一个三角形中，至少有两个锐角
一个三角形中，最大角不能小于60°
2.若△ABC有1个直角，那么另外两角有什么特点？
直角三角形两个锐角互余
练一练：
1.填空题：
①在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °，则∠ C= .
②在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是 三角形.
③在△ABC中，∠A=∠B+10°,∠C=∠A+10°,则∠A= ，∠ B= ，∠ C= .
2.在△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分线，求∠DCE的度数．
试一试：
如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度数．
【板书设计】
【教学反思】
亮点：1.教学环节齐全，思路清晰，板书有设计感，通过三个探究较好的突破了重难点；
2.重视学生的动手操作，师生合作默契；
不足：1.证法（一）教师引入速度较快，给学生思考时间较少；
2.例题剖析出发点太靠后，应“由因索果”式进行.

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