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限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气：
暑假作业09 二次根式及其运算
知识点01 二次根式的相关概念和性质
1）二次根式： 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.
二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.
2）二次根式的性质
（1）；（2）；（3）.
3）最简二次根式
1）被开方数是整数或整式；2)被开方数中不含能开方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.
4）同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式.
知识点02 二次根式的运算
1）乘除法
类型 法则 逆用法则
二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式：
二次根式的除法 商的算术平方根化简公式：
2.加减法:将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.
题型一 求二次根式的值
1．当时，二次根式的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．当时，二次根式的值是 ．
3．若求的值．
题型二 求二次根式的参数
1．已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（ ）
A．11 B．12 C．15 D．19
2．二次根式与 的的和为0，则的值为 ．
3．已知n是一个正整数，是整数，求n的最小值．
题型三 二次根式有意义的条件
1．在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．且
2．已知为实数，且，则的值为 ．
3．已知，且是偶数，求代数式的值．
题型四 利用二次根式的性质化简
1．已知，下面关于的计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．若实数在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是 ．
3．阅读材料：
小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小李同学进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为整数），则有．∴，．
这样小李同学就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．
请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：______，______；
(2)若且a、m、n均为正整数，求a的值．
(3)化简：．
题型五 二次根式的乘除法
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．计算：
（1） ．
（2） ．
3．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
题型六 已知最简二次根式求参数
1．若与最简二次根式能合并，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．若和都是最简二次根式，则 ．
3．已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值．
题型七 同类二次根式
1．若最简二次根式能与合并，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．若最简二次根式和是同类二次根式，则 ．
3．如果最简二次根式与能进行合并，且化简：．
题型八 二次根式的加减法
1．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．计算的结果为 ．
3．计算：
(1)
(2)
题型九 分母有理化
1．如果，那么a与b的关系是（　　）
A．且互为相反数 B．且互为相反数
C． D．
2．阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
参照上面的方法化简： ．
3．教材明确指出①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．二次根式运算中，要把计算结果化为最简二次根式
(1)化简：______；
(2)我们思考“如何化简”的问题．为了使分母之中不含根号，我们想到平方差公式“”，其特点是先平方后作差，既可以把运算为整数，又不产生新的无理数：．
这样的计算过程数学上称之为“分母有理化”．
请你化简：
(3)计算：．
题型十 二次根式的化简求值
1．已知，，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
2．若的小数部分为，则代数式的值为 ．
3．先化简，再求值：，其中．
题型十一 二次根式的应用
1．电流通过导线时会产生热量，电流（单位：）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：）满足．已知导线的电阻为，时间导线产生的热量，电流的值是（ ）
A．5 B． C． D．
2．如图所示的是丽丽家正方形后院的示意图，丽丽家打算在正方形后院打造一个的正方形游泳池和一个的正方形花园，剩下阴影部分铺满瓷砖，则阴影部分的面积为 ．

3．现有两块同样大小的矩形纸片，丽丽采用如图1所示的方式，在矩形纸片上裁出两块面积分别为和的正方形纸片A，B．
(1)裁出的正方形纸片A的边长为_____；
(2)求图1中阴影部分的面积；
(3)小明想采用如图2所示的方式，在矩形纸片上裁出两块面积都是的正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由．
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．14
3．函数中自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．一间长方形卧室的面积为平方米，其中一边长为米，则这条边的邻边长为（ ）
A． B． C． D．
5．如果，把式子中根号外的因式移到根号内后得（ ）
A． B． C． D．
6．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
7．计算的结果是 ．
8．当时，代数式的值是 ．
9．若，，且，则的值为 ．
10．设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列面积公式： （海伦公式），（秦九韶公式），若一个三角形的三边长依次为2，，，则三角形的面积为 ．
11．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
12．计算：
(1)．
(2)
(3)
13．（1）先化简，再求值：，其中，．
（2）计算：
14．学习完《二次根式》后，聪聪发现了下面这类有趣味的试题，请你根据他的探索过程，解答下列问题：
(1)具体运算，发现规律：
，…
计算：
(2)观察归纳，写出结论
（且n为正整数）
(3)灵活运用，提升能力
请利用你所发现的规律，
计算 的值．
15．材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”；．
类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”；
．
根据上述知识，请你解答下列问题：
(1)化简；
(2)比较与的大小，并说明理由．
1．（2022·江苏徐州·中考真题）使式子 有意义的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·江苏无锡·中考真题）函数中自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3（2021·江苏泰州·中考真题）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（　　）
A．与 B．与 C．与 D．与
4．（2021·江苏连云港·中考真题）化简 ．
5．（2023·江苏徐州·中考真题）若二次根式有意义，则的取值范围是 ．
6．（2021·江苏宿迁·中考真题）若代数式有意义，则的取值范围是 ．
7．（2021·江苏南京·中考真题）计算的结果是 ．
8．（2023·江苏·中考真题）先化简，再求值：，其中．
9．（2022·江苏泰州·中考真题）计算:
(1)计算：；
(2)按要求填空：
小王计算的过程如下：
解：
小王计算的第一步是 (填“整式乘法”或“因式分解”)，计算过程的第 步出现错误.直接写出正确的计算结果是 .
10．（2021·江苏苏州·中考真题）先化简再求值：，其中．
11．（2020·江苏宿迁·中考真题）先化简，再求值：÷（x﹣），其中x＝﹣2．
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暑假作业09 二次根式及其运算
知识点01 二次根式的相关概念和性质
1）二次根式： 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.
二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.
2）二次根式的性质
（1）；（2）；（3）.
3）最简二次根式
1）被开方数是整数或整式；2)被开方数中不含能开方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.
4）同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式.
知识点02 二次根式的运算
1）乘除法
类型 法则 逆用法则
二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式：
二次根式的除法 商的算术平方根化简公式：
2.加减法:将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.
题型一 求二次根式的值
1．当时，二次根式的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查二次根式求值，将代入二次根式，直接求解即可．
【详解】解：当时，
故选：B．
2．当时，二次根式的值是 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了二次根式的基本性质及化简，二次根式的定义，掌握代入求值法是解题关键．把代入原式化简即可．
【详解】解：当时，，
故答案为：2．
3．若求的值．
【答案】
【分析】此题主要考查了非负数性质以及二次根式，正确得出，的值是解题关键．直接利用算术平方根和偶次方的非负数性质得出，的值，进而得出答案．
【详解】解：，
，
解得，
．
题型二 求二次根式的参数
1．已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（ ）
A．11 B．12 C．15 D．19
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义．
根据二次根式的定义即可求出答案．
【详解】由题意可知：，
，
∵是整数，是正整数，
∴或7或8，
，
故选：D．
2．二次根式与 的的和为0，则的值为 ．
【答案】/0.5
【分析】本题考查了二次根式的非负性，求整式的值；可得，由二次根式的非负性得，，求出和，代值即可求解；理解二次根式的非负性（）是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
，，
解得：，，
；
故答案：．
3．已知n是一个正整数，是整数，求n的最小值．
【答案】n的最小值是15
【分析】直接利用二次根式的性质化简，进而得出n的最小值．
【详解】解：∵＝3，n是一个正整数，
∴n的最小值是15．
【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键．
题型三 二次根式有意义的条件
1．在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．且
【答案】C
【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，因函数式中含有分母，分母应不为零；函数式中含有二次根式，被开方数应非负，由此即可确定自变量的取值范围．
【详解】解：由题意知：且，
解得：且；
故；
故选：C．
2．已知为实数，且，则的值为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，直接利用二次根式有意义的条件得出的值，进而得出的值，进而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
，
，
，
故答案为：．
3．已知，且是偶数，求代数式的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的意义，二次根式化简，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，分式的分母不为0，以及二次根式的性质．
先根据二次根式有意义的条件求出，得出，然后进行根据二次根式性质进行化简求出结果即可．
【详解】解：∵ ，
∴，，
解得：，
∵x为偶数，
∴，
∴
．
题型四 利用二次根式的性质化简
1．已知，下面关于的计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的运算和性质，根据，即可求解．
【详解】解：A. ，故选项错误；
B. ，故选项错误；
C. ，故选项正确；
D. ，故选项错误；
故选：C．
2．若实数在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了数轴上数的大小比较，二次根式的化简，根据数轴得，化简计算即可．
【详解】根据题意，得，
∴
．
故答案为：．
3．阅读材料：
小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小李同学进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为整数），则有．∴，．
这样小李同学就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．
请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：______，______；
(2)若且a、m、n均为正整数，求a的值．
(3)化简：．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）利用完全平方公式将展开即可求解；
（2）由（1）中所得结论结合a、m、n均为正整数，即可求解；
（3），据此即可求解．
【详解】（1）解：
∵
∴．
故答案为：．
（2）解：∵
∴，
由（1）中结论可知：，
∴，
∵m、n均为正整数，
∴或，
当时，；
当时，；
∴a的值为或．
（3）解：，
∴．
【点睛】本题考查复合二次根式的化简．正确理解题意是解题关键．
题型五 二次根式的乘除法
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，直接根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可．
【详解】解：
，
故选：C．
2．计算：
（1） ．
（2） ．
【答案】
3．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算
（1）根据二次根式乘除法法则计算即可；
（2）根据二次根式乘除法法则计算即可；
（3）根据二次根式乘除法法则计算即可；
（4）根据二次根式乘除法法则计算即可．
【详解】（1）解：原式
（2）原式
；
（3）原式；
（4）原式．
题型六 已知最简二次根式求参数
1．若与最简二次根式能合并，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式是解题的关键．
由题意知，，则，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
解得，，
故选：B．
2．若和都是最简二次根式，则 ．
【答案】
【分析】
本题考查了最简二次根，如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此即可求解．
【详解】解：由题意得：，
解得：
∴
故答案为：
3．已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值．
【答案】1
【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义求得a，b的值，再代入计算即可；
【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得：，
∴（a+b）a＝（0+2）0＝1；
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义： 被开方数的因数是整数，字母因式是整式， 被开方数不含能开得尽方的因数或因式；还考查了二元一次方程组和零指数幂；掌握最简二次根式的定义是解题关键．
题型七 同类二次根式
1．若最简二次根式能与合并，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握最简二次根式的化简是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可．
能与合并，则，进而可求出的值．
【详解】解：，
∵与最简二次根式能合并，
，
，
故选：C．
2．若最简二次根式和是同类二次根式，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了最简二次根式，同类二次根式，理解定义是解题的关键．先根据同类二次根式的定义得出关于a的方程，求出解即可．
【详解】解：根据题意，得，
解得．
故答案为：．
3．如果最简二次根式与能进行合并，且化简：．
【答案】4
【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，二次根式的化简，二次根式有意义的条件，先根据最简二次根式与能进行合并得出，求出，再根据当时，，不符合题意，得出，根据，将进行化简即可．
【详解】解：由题意，得，
解得．
当时，，
，
，
，
原式．
题型八 二次根式的加减法
1．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故不D符合题意；
故选：C．
2．计算的结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．
先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．
【详解】解：原式，
故答案为：．
3．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，掌握运算法则是解本题的关键；
（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
【详解】（1）解：
；
（2）
．
题型九 分母有理化
1．如果，那么a与b的关系是（　　）
A．且互为相反数 B．且互为相反数
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了分母有理化．根据平方差公式，可对b分母有理化，根据相反数的定义、有理数的大小比较，可得答案．
【详解】∵，
∴与互为相反数，
答案：B
2．阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
参照上面的方法化简： ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了分母有理化，仿照题意进行求解即可．
【详解】解；
,
故答案为：．
3．教材明确指出①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．二次根式运算中，要把计算结果化为最简二次根式
(1)化简：______；
(2)我们思考“如何化简”的问题．为了使分母之中不含根号，我们想到平方差公式“”，其特点是先平方后作差，既可以把运算为整数，又不产生新的无理数：．
这样的计算过程数学上称之为“分母有理化”．
请你化简：
(3)计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次根式的性质、分母有理化、二次根式的混合运算等知识点，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键．
（1）分子、分母同时乘以，计算即可得答案；
（2）利用平方差公式，分子、分母同时乘以，即可得答案；
（3）先通过分母有理化化简，然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：．
故答案为：
（2）
．
（3）
．
题型十 二次根式的化简求值
1．已知，，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，本题关键在于利用完全平方公式以及平方差公式简化运算．将变形为已知的值，分别计算出的值，整体代入求值即可．
【详解】解：，，
，，
故选：A．
2．若的小数部分为，则代数式的值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查的是分式的化简求值，二次根式的除法运算，掌握“二次根式的除法运算与分式的混合运算”是解本题的关键．
先把除法转化为乘法运算，约分后可得结果，然后估算无理数的大小得出，再代入要求值可得答案．
【详解】解：
∵的小数部分为，，
∴，
∴原式，
故答案为：．
3．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算，最后把代入计算即可．
【详解】解：
当时，
原式
题型十一 二次根式的应用
1．电流通过导线时会产生热量，电流（单位：）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：）满足．已知导线的电阻为，时间导线产生的热量，电流的值是（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的实际应用．将已知量代入物理公式，即可求得电流I的值．
【详解】解：通电时间t（单位：s)与产生的热量Q（单位：J）满足，
所以电流．
故电流I的值为 ，
故选：B．
2．如图所示的是丽丽家正方形后院的示意图，丽丽家打算在正方形后院打造一个的正方形游泳池和一个的正方形花园，剩下阴影部分铺满瓷砖，则阴影部分的面积为 ．

【答案】
【分析】本题主要考查图形的变化规律，利用勾股定理找出的规律是解题的关键．首先求出、、的长度，然后归纳命题中隐含的数学规律，即可解决问题．
【详解】解：由题意得：
大正方形的边长为，
∴阴影部分面积
故答案为：
3．现有两块同样大小的矩形纸片，丽丽采用如图1所示的方式，在矩形纸片上裁出两块面积分别为和的正方形纸片A，B．
(1)裁出的正方形纸片A的边长为_____；
(2)求图1中阴影部分的面积；
(3)小明想采用如图2所示的方式，在矩形纸片上裁出两块面积都是的正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)不能截出，理由见解析．
【分析】本题考查了算术平方根的应用以及二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据正方形面积等于边长的平方，结合面积为，即可计算正方形纸片A的边长；
（2）先算出正方形纸片B的边长，再得出矩形的长，宽，运用面积和差关系列式计算，即可作答．
（3）先计算，则，据此即可作答．
【详解】（1）解：依题意，正方形纸片A的边长为；
故答案为：；
（2）解：由题意得，截出的正方形纸片B的边长为，
则矩形的长为，宽为，
∴阴影部分的面积．
（3）解：不能截出，理由如下：
∵面积为的正方形纸片的边长为，
则，
∴不能在矩形纸片上裁出两块面积是的正方形纸片．
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用二次根式的加减法的法则，二次根式的除法的法则，二次根式的化简的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：A、，与2不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：B．
2．已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．14
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值．
【详解】解：，
∵是整数，n是一个正整数，
∴n的最小值是7．
故选：C．
3．函数中自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了求函数自变量的求值范围，二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得到，求出结果即可．
【详解】解：，
，
，
故选：B．
4．一间长方形卧室的面积为平方米，其中一边长为米，则这条边的邻边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据长方形面积公式直接用面积除以已知边长即可得到答案．
【详解】解：，
∴这条边的邻边长为，
故选：D．
5．如果，把式子中根号外的因式移到根号内后得（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，根据，结合二次根式的性质，推出，然后再按照二次根式的性质运算变形即可，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：A．
6．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式以及分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握以上知识．
根据分母不为零，被开方数大于等于零，列式，解答即可．
【详解】解：在实数范围内有意义，
∴，
解得：，
故答案为：．
7．计算的结果是 ．
【答案】
【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
根据二次根式的性质化简后，再根据二次根式的加减法运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式，
故答案为：．
8．当时，代数式的值是 ．
【答案】1
【分析】本题考查利用二次根式的性质化简，绝对值的性质，正确化简是解题关键．根据a的取值范围，可求出和的取值范围，再结合二次根式的性质化简即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴．
故答案为：1．
9．若，，且，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查分式的值，熟练掌握完全平方公式，将用含的代数式表示出来是解题的关键．
由得，将左边配成完全平方，从而将用含的代数式表示出来，进而计算的值即可．
【详解】解：，
，
，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
10．设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列面积公式： （海伦公式），（秦九韶公式），若一个三角形的三边长依次为2，，，则三角形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查代数式求值，二次根式的应用．正确计算是解题关键．理解题意，掌握海伦公式和秦九韶公式是解题关键．
【详解】解：利用海伦公式求解：，
，
，
，
∴，
；
利用秦九韶公式：
．
11．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)1
(4)4
【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式等：
（1）合并同类二次根式即可；
（2）先利用乘法分配律计算二次根式乘二次根式，再利用二次根式的性质化简；
（3）利用平方差公式求解；
（4）先计算二次根式的除法和乘法，再计算加减．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
12．计算：
(1)．
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)0
【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及分母有理化，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先化简，再进行乘除 ，最后运算加减，即可作答．
（2）先化简，再进行乘除 ，最后运算加减，即可作答．
（3）先由二次根式有意义，得出，然后进行分母有理化，再运算加减，即可作答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：∵
∴
．
13．（1）先化简，再求值：，其中，．
（2）计算：
【答案】（1），；（2）
【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）先化简括号内的分式，再将除法运算转化为乘法运算，最后再代入求值即可；
（2）先化简计算，再合并即可．
【详解】解：（1）原式
，
当时，原式；
（2）原式
．
14．学习完《二次根式》后，聪聪发现了下面这类有趣味的试题，请你根据他的探索过程，解答下列问题：
(1)具体运算，发现规律：
，…
计算：
(2)观察归纳，写出结论
（且n为正整数）
(3)灵活运用，提升能力
请利用你所发现的规律，
计算 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查二次根式的性质，解题的关键是理解题中所给新运算；
（1）根据题中所给新运算可进行求解；
（2）由（1）及题干可进行求解；
（3）根据（2）中的结论可进行求解．
【详解】（1）解：；
故答案为；
（2）解：；
故答案为；
（3）解：
．
15．材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”；．
类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”；
．
根据上述知识，请你解答下列问题：
(1)化简；
(2)比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)2
(2)，理由见解析
【分析】本题考查的是分母有理化：
（1）根据分母有理化是要求把分子分母同时乘以，再计算即可得到答案；
（2）根据分子有理化的要求把原式变形为同分子的分数 ，再比较大小即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵，，且，
∴．
1．（2022·江苏徐州·中考真题）使式子 有意义的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件；
根据二次根式有意义，被开方数非负列式求解即可．
【详解】解：由有意义可得，
解得：，
故选：B．
2．（2021·江苏无锡·中考真题）函数中自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查分式的性质，二次根式的性质的综合，掌握分式的性质，二次根式有意义的条件求自变量的取值范围是解题的关键．
根据二次根式的性质，被开方数为非负数，即，根据分式的性质，分母不能为零，即，由此即可求解．
【详解】解：根据题意可得，，且，
∴，
故选：．
3（2021·江苏泰州·中考真题）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（　　）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】D
【分析】把每个选项中的不是最简二次根式化为最简二次根式即可作出判断．
【详解】A、，与不是同类二次根式，故此选项错误；
B、，与不是同类二次根式，故此选项错误；
C、与不是同类二次根式，故此选项错误；
D、，，与3是同类二次根式，故此选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的识别等知识，注意二次根式必须化成最简二次根式．
4．（2021·江苏连云港·中考真题）化简 ．
【答案】5
【分析】本题考查根据二次根式的性质计算，掌握是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：5．
5．（2023·江苏徐州·中考真题）若二次根式有意义，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【详解】解：二次根式有意义，
，
，
故答案为：．
6．（2021·江苏宿迁·中考真题）若代数式有意义，则的取值范围是 ．
【答案】任意实数
【分析】根据二次根式有意义的条件及平方的非负性即可得解．
【详解】解：∵，
∴＞0，
∴无论x取何值，代数式均有意义，
∴x的取值范围为任意实数，
故答案为：任意实数．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件及平方的非负性，熟练掌握二次根式的定义是解决本题的关键．
7．（2021·江苏南京·中考真题）计算的结果是 ．
【答案】
【分析】分别化简和，再利用法则计算即可．
【详解】解：原式=；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的减法运算，涉及到二次根式的化简等知识，解决本题的关键是牢记二次根式的性质和计算法则等．
8．（2023·江苏·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先将括号内式子通分，变分式除法为乘法，约分化简，再将代入求值．
【详解】解：
，
将代入，得：
原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，分母有理化，解题的关键是掌握分式的运算法则．
9．（2022·江苏泰州·中考真题）计算:
(1)计算：；
(2)按要求填空：
小王计算的过程如下：
解：
小王计算的第一步是 (填“整式乘法”或“因式分解”)，计算过程的第 步出现错误.直接写出正确的计算结果是 .
【答案】(1)
(2)因式分解；三和五；
【分析】(1)先化成最简二次根式，然后根据二次根式的四则运算法则求解即可；
(2)按照分式的加减运算法则逐步验算即可.
【详解】（1）解：原式；
（2）解：由题意可知：
故小王的计算过程中第三步和第五步出现了错误；最终正确的计算结果为.
故答案为：因式分解，第三步和第五步，
【点睛】本题考查二次根式的四则运算法则及分式的加减运算法则，属于基础题，熟练掌握运算法则是解题的关键.
10．（2021·江苏苏州·中考真题）先化简再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先算分式的加法，再算乘法运算，最后代入求值，即可求解．
【详解】解：原式．
当时，原式．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的通分和约分，是解题的关键．
11．（2020·江苏宿迁·中考真题）先化简，再求值：÷（x﹣），其中x＝﹣2．
【答案】；
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【详解】解：原式＝÷(﹣)
＝÷
＝·
＝，
当x＝﹣2时，
原式＝＝＝．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，二次根式的除法，根据分式的运算法则把所给代数式正确化简是解答本题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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