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限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气：
暑假作业07 分式方程
知识点01 分式方程
1）分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2）分式方程的解法：解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．
3）分式方程的增根问题
增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根.
因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.
知识点02 分式方程的应用
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.
题型一 分式方程的定义
1．给出下列关于x的方程：①，②，③，④．其中，分式方程有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．观察下列分式方程：①；②；③；…．根据他们所蕴含的规律，写出这一组分式方程中的第⑥个方程： ．
3．在下列方程：①、②、③、④、⑤⑥，⑦，⑧，⑨中，哪些是分式方程，并说明理由．
题型二 解分式方程
1．解方程，的值为（ ）
A． B．1 C． D．
2．若关于x的方程的解是，则a的值为 ．
3．解方程：
(1)；
(2)．
题型三 根据分式方程解的情况求值
1．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
2．已知关于x的分式方程：．
（1）若方程的根为，则m的值为 ；
（2）若方程的解为负数，则m的取值范围为 ．
3．已知关于x的方程的解是正数，求m的取值范围．
题型四 分式方程增根问题
1．若关于的方程有增根，则的值是（ ）
A．3 B． C．5 D．
2．若关于x的分式方程，会产生增根，则m的值为 ．
3．若分式方程有增根，求m的值．
题型五 分式方程无解问题
1．若关于x的方程无解，则m的值是（　　）
A．3 B． C．5 D．
2．若关于x的分式方程无解，则m的值是 ．
3．已知关于的分式方程．
(1)若分式方程有增根，求的值；
(2)若分式方程无解，求的值．
题型六 列分式方程
1．A、B两地相距80千米，一辆大汽车从 A地开出2小时后，又从A地开出另一辆小汽车，已知小汽车的速度是大汽车速度的3倍， 结果小汽车比大汽车早40分钟到达B地，求两种汽车每小时各走多少千米．设大汽车的速度为，则下面所列方程正确的是（ ）．
A． B． C． D．
2．甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个，小闽同学所列方程中的x表示 ．
3．小王在书店和网上共买了套相同的书，网上的售价比书店的售价每套便宜元，已知网上购书共花了元，比书店购书多花了元，小王在书店和网上各买了多少套书？
(1)购书费用问题的数量关系是：单价= ．
(2)设小王在书店购买了套书，则在网上购买了套书．完成下列表格：
总费用（元） 数量（套） 单价（元）
书店 x
网上 25－x
(3)根据“网上的售价比书店的售价每套便宜元”这个条件，可列方程： ．
题型七 分式方程的实际应用
1．巢马城际铁路某路段由甲、乙两个工程队共同承包修建，经调查，甲工程队单独完成该工程的时间是乙工程队单独完成该工程时间的2倍，若甲、乙两工程队共同完成该工程需要20天，则乙工程队单独完成该工程的时间是（ ）
A．30天 B．35天 C．40天 D．60天
2．已知两地相距60千米，若骑摩托车走完全程可比骑自行车少用小时，已知摩托车的速度是自行车速度的2倍，求自行车的速度．设骑自行车的速度为千米/时，根据题意可列方程为 ．
3．某商场准备购进A、B两种商品进行销售，有关信息如下表．已知1500元购进A产品的数量与400元购进的B产品数量相等．
进价(元) 售价(元)
A产品 a 400
B产品 120
(1)求表中a的值；
(2)该商场准备购进A、B两种商品共60件，若要使这些产品售完后利润不低于4800元，A 种产品至少要购进多少件？
1．分式与互为相反数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．关于的方程的解是负数，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．若关于x的分式方程无解，则（　　）
A． B．0 C．1 D．
4．电商经济的蓬勃发展，物流配送体系建设的不断完善，推动我国快递行业迅速崛起．某快递公司的甲、乙两名快递员从公司出发分别到距离公司2400米和1000米的两地派送快件，甲快递员的速度是乙快递员速度的1.2倍，乙快递员比甲快递员提前10分钟到达派送地点．若设乙快递员的速度是x米/分，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A． B． C． D．
6．方程的解为
7．若方程有增根，则a的值是 ．
8．若关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是 ．
9．题目如下：“甲、乙两位同学做中国结，已知，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数．”阴影部分为被墨迹弄污的条件．根据图中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是 ．

10．若关于x的一元一次不等式组的解集为；关于x的分式方程的解为非负整数．则满足条件的整数m的值之和是为 ．
11．解方程：．
12．解方程：．
13．某校组织八年级学生赴珠湖小镇开展劳动实践活动，已知学校离珠湖小镇60千米，师生乘大巴车前往，王老师因有事情，推迟了6分钟出发，自驾小轿车以大巴车速度的1.2倍前往，结果王老师提前4分钟到达珠湖小镇．求小轿车、大巴车的平均速度．
14．某商场从生产厂家购进、两种玩具，再进行销售，进价和售价如下表所示：
进价元件
售价元件
已知该商场用元从生产厂家购进玩具的数量与用元购进玩具的数量相同．
(1)求的值；
(2)该商场计划同时购进、两种玩具共件，其中玩具最多购进件，最少购进件．实际进货时，由于生产厂家做优惠活动，所以每件玩具的进价下调元．若该商场保持玩具的售价不变且所有玩具都能售出，求该商场销售这些玩具能获得的最大利润．
15．先阅读下面的材料，然后回答问题：
阅读材料一：
方程的解为，；
方程的解为，；
方程的解为，；
…
阅读材料二：
在处理分式问题时，当分子的次数不低于分母的次数，运算时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式（分子为正数）的和（差）的形式．
如：；
再如：．
(1)根据上面材料一的规律，猜想关于x的方程的解是________；
(2)根据材料二将分式分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式________________，利用（1）的结论得到关于x的方程的解是________；
(3)利上述材料及（1）的结论解关于x的方程：．
1．（2022·江苏无锡·中考真题）方程的解是（　　　）．
A． B． C． D．
2．（2019·江苏苏州·中考真题）小明15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本(两人的钱恰好用完)，已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为元，根据题意可列出的方程为( )
A． B． C． D．
3．（2023·江苏·中考真题）方程的解是 ．
4．（2023·江苏无锡·中考真题）方程的解是： ．
5．（2023·江苏苏州·中考真题）分式方程的解为 ．
6．（2022·江苏徐州·中考真题）方程的解是 .
7．（2022·江苏盐城·中考真题）分式方程的解为 ．
8．（2022·江苏苏州·中考真题）解方程：．
9．（2023·江苏扬州·中考真题）甲、乙两名学生到离校的“人民公园”参加志愿者活动，甲同学步行，乙同学骑自行车，骑自行车速度是步行速度的4倍，甲出发后乙同学出发，两名同学同时到达，求乙同学骑自行车的速度．
10．（2023·江苏盐城·中考真题）某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）．
(1)若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，求甲商店硬面笔记本的单价．
(2)若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）：一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出．班长小华打算购买本硬面笔记本（为正整数），他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔记本的原价．
11．（2023·江苏南通·中考真题）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息—
工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元）
甲 3600
乙 x 2200
信息二
甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等．
(1)求x的值；
(2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用
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暑假作业07 分式方程
知识点01 分式方程
1）分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2）分式方程的解法：解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．
3）分式方程的增根问题
增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根.
因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.
知识点02 分式方程的应用
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.
题型一 分式方程的定义
1．给出下列关于x的方程：①，②，③，④．其中，分式方程有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查分式方程的概念，根据分式方程概念对上述方程进行判断，即可解题．
【详解】解：①，③，④是整式方程；②的分母中含有未知数x，是关于x的分式方程．
故分式方程有1个，
故选：A．
2．观察下列分式方程：①；②；③；…．根据他们所蕴含的规律，写出这一组分式方程中的第⑥个方程： ．
【答案】
【分析】本题考查了分式方程，代数式规律的探索；探索出方程的规律是解题的关键；分式方程的规律是：方程左边是分式与1的和，其中分式的分母为未知数x，分子为从1开始的相邻两个自然数的积，方程右边是从3开始的奇数；根据此规律即可写出第⑥个方程．
【详解】解：根据规律知，第⑥个方程为：，
即，
故答案为：．
3．在下列方程：①、②、③、④、⑤⑥，⑦，⑧，⑨中，哪些是分式方程，并说明理由．
【答案】③④⑤⑦,详见解析
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．
【详解】解：方程①②⑥⑧分母中不含未知数，故①②⑥⑧不是分式方程；
方程③④⑤⑦分母中含表示未知数的字母，故是分式方程；
方程⑨属于无理方程．
【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
题型二 解分式方程
1．解方程，的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查解分式方程，先将分式方程两边同时乘以，变形为整式方程，求解，最后检验即可．
【详解】解：
经检验，是原方程的解，
故选：C．
2．若关于x的方程的解是，则a的值为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了分式方程的解和解分式方程，利用分式方程的解的意义，将方程的解代入原方程是解题的关键．
将方程的解代入原方程，解关于的方程即可求得结论．
【详解】解：∵关于的分式方程的解为，
，
，
，
将代入原方程，，
∴是原方程的解，
，
故答案为：2．
3．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)无解
【分析】本题主要考查了解分式方程：
（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可；
（2）按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可．
【详解】（1）解：
方程两边同乘，去分母得，
去括号得：，
移项，合并同类项，得：，
系数化为1得，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
（2）解：
方程两边同乘，去分母得，
移项，合并同类项，得，
系数化为1得，
检验：当时，，
∴是原分式方程的增根，原分式方程无解．
题型三 根据分式方程解的情况求值
1．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，分式有意义的条件，正确的计算是解题的关键．
解分式方程，根据分式方程的解为非负数，进而列出一元一次不等式，结合分式有意义的条件即可求解．
【详解】解：，
去分母得：，
解得：，
∵关于x的分式方程的解是非负数，
∴且，
解得：且，
故选：D．
2．已知关于x的分式方程：．
（1）若方程的根为，则m的值为 ；
（2）若方程的解为负数，则m的取值范围为 ．
【答案】 35 且
【分析】本题主要考查了解分式方程，已知分式方程解的情况求参数，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法，注意分式方程中分母不等于零．
（1）将代入分式方程，然后求出m的值即可；
（2）先解分式方程，然后再根据分式方程的解为负数，列出关于m的不等式，解不等式即可．
【详解】解：（1）把代入得：
，
化简得：，
解得：；
故答案为：35．
（2）
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
∵方程的解为负数，
∴且，
解得：且．
故答案为：且．
3．已知关于x的方程的解是正数，求m的取值范围．
【答案】且
【分析】本题考查了分式方程与解不等式的综合运用．了解方程有正数解必须具备两个条件：①有解，最简公分母不等于0；②有正数解，是解题的关键．
原式去分母得，然后按照方程有正数解的条件求m的取值范围即可．
【详解】解：去分母，得，解得：．
原式的解为正数，得且，
且．
题型四 分式方程增根问题
1．若关于的方程有增根，则的值是（ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】A
【分析】本题考查解分式方程，理解增根是解题的关键．
先把分式方程转化为整式方程，再确定增根，并把增根代入整式方程求解即可．
【详解】解：，两边都乘以得：，
关于的方程有增根，
，
解得：，
∴，
．
故选：A．
2．若关于x的分式方程，会产生增根，则m的值为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确∶(1)化分式方程为整式方程；(2)把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到或据此求出的值，代入整式方程求出的值即可
【详解】解∶去分母，得∶
由分式方程有增根，得到或，即，，，
把代入整式方程，可得∶，解得
当时，，方程的解为，没有产生增根，
不符合题意；
把代入整式方程，可得∶，解得；
把代入整式方程，可得∶，无解；
综上，可得若关于x的分式方程会产生增根，则的值为
故答案为∶ ．
3．若分式方程有增根，求m的值．
【答案】
【分析】本题考查了分式方程的增根问题，掌握分式方程中增根的定义及增根产生的原因是解题的关键．根据分式方程有增根可求出，方程去分母后将代入求解即可．
【详解】解：∵分式方程有增根，
∴，
去分母，得，
将代入，得，
解得．
题型五 分式方程无解问题
1．若关于x的方程无解，则m的值是（　　）
A．3 B． C．5 D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程的增根，先去分母化为整式方程，再根据增根的定义求出的值，然后代入整式方程求解即可．掌握分式方程增根的定义是解题的关键．
【详解】解：，
两边都乘以，得，
∵关于的方程有增根，
∴，
∴．
∴，
∴，
故选：A．
2．若关于x的分式方程无解，则m的值是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了解分式方程以及分式方程的无解问题，先把分式方程化为整式方程，再化简得出，结合分式无解，即为分母为0，列式计算，即可作答．
【详解】解：
∴
∴
∵关于x的分式方程无解，
∴或，即
解得或
把代入
得
解得
综上：m的值是或
故答案为：或
3．已知关于的分式方程．
(1)若分式方程有增根，求的值；
(2)若分式方程无解，求的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先把分式方程化为整式方程，再结合增根，得出，然后代入，进行计算，即可作答．
（2）先把分式方程化为整式方程，再结合无解，进行分类讨论，即增根和都满足条件，即可作答．
【详解】（1）解：去分母，得．
由分式方程有增根，得．
．
把代入，得．
解得．
的值为．
（2）解：去分母，得．
①当分式方程有增根时，此分式方程无解，即时分式方程无解．
②将上式整理，得．
当，即时，分式方程无解．
综上，若分式方程无解，的值为或．
题型六 列分式方程
1．A、B两地相距80千米，一辆大汽车从 A地开出2小时后，又从A地开出另一辆小汽车，已知小汽车的速度是大汽车速度的3倍， 结果小汽车比大汽车早40分钟到达B地，求两种汽车每小时各走多少千米．设大汽车的速度为，则下面所列方程正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了分式方程的应用；根据题意小汽车的速度为，根据时间等量关系：大汽车行驶的时间减去2小时等于小汽车行驶的时间加上小时，列出分式方程即可．
【详解】解：由题意知，小汽车的速度为，且，
则有：；
故选：B．
2．甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个，小闽同学所列方程中的x表示 ．
【答案】乙每小时做个零件
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用；找准等量关系、正确列出分式方程是解题的关键．设乙每小时做个零件，甲每小时做个零件，根据时间等于总工作量除以工作效率，即可得出关于的分式方程．
【详解】解：设乙每小时做个零件，则甲每小时做个零件，由题意得：
，
∴x表示乙每小时做个零件；
故答案为：乙每小时做个零件；
3．小王在书店和网上共买了套相同的书，网上的售价比书店的售价每套便宜元，已知网上购书共花了元，比书店购书多花了元，小王在书店和网上各买了多少套书？
(1)购书费用问题的数量关系是：单价= ．
(2)设小王在书店购买了套书，则在网上购买了套书．完成下列表格：
总费用（元） 数量（套） 单价（元）
书店 x
网上 25－x
(3)根据“网上的售价比书店的售价每套便宜元”这个条件，可列方程： ．
【答案】(1)总费用÷数量；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（1）购书费用问题的数量关系是：总费用＝数量×单价，据此填空即可；
（2）根据题意可知在书店购书花费1000元，单价为元，在网上购书花费1350元，，单价为元，填表即可；
（3）根据“网上的售价比书店的售价每套便宜元”可列出方程．
【详解】（1）由总费用＝数量×单价，可得：单价＝总费用÷单价．
故答案为：总费用÷单价．
（2）填表如下
总费用（元） 数量（套） 单价（元）
书店 1000 x
网上 1350
（3）根据题意，可列方程：．
故答案为：．
【点睛】本题考查列分式方程的应用，关键在于找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程．
题型七 分式方程的实际应用
1．巢马城际铁路某路段由甲、乙两个工程队共同承包修建，经调查，甲工程队单独完成该工程的时间是乙工程队单独完成该工程时间的2倍，若甲、乙两工程队共同完成该工程需要20天，则乙工程队单独完成该工程的时间是（ ）
A．30天 B．35天 C．40天 D．60天
【答案】A
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设乙工程队单独完成该工程的时间为x天，则甲工程队单独完成该工程的时间是天，根据两个工程队共同干，每天完成整个工程的，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设乙工程队单独完成该工程的时间为x天，则甲工程队单独完成该工程的时间是天，根据题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的根，
即乙工程队单独完成该工程的时间是30天，
故选：A．
2．已知两地相距60千米，若骑摩托车走完全程可比骑自行车少用小时，已知摩托车的速度是自行车速度的2倍，求自行车的速度．设骑自行车的速度为千米/时，根据题意可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设骑自行车的速度为千米/时，则骑摩托车的速度为千米/时，再根据时间路程速度结合骑摩托车走完全程可比骑自行车少用小时列出方程即可．
【详解】解：设骑自行车的速度为千米/时，则骑摩托车的速度为千米/时，
由题意得，，
故答案为：．
3．某商场准备购进A、B两种商品进行销售，有关信息如下表．已知1500元购进A产品的数量与400元购进的B产品数量相等．
进价(元) 售价(元)
A产品 a 400
B产品 120
(1)求表中a的值；
(2)该商场准备购进A、B两种商品共60件，若要使这些产品售完后利润不低于4800元，A 种产品至少要购进多少件？
【答案】(1)
(2)A 种产品至少要购进40件
【分析】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用，根据题意找到相等关系与不等关系，列出方程与不等式是解题的关键．
（1）根据等量关系：1500元购进A产品的数量与400元购进的B产品数量相等，列出分式方程，并求解，最后检验即可；
（2）设A 种产品购进x件，则B种产品购进件，根据：售完后利润不低于4800元，列出不等式，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
故a的值为300；
（2）解：设A 种产品购进x件，则B种产品购进件，
由题意得：，
解得：；
答：A 种产品至少要购进40件．
1．分式与互为相反数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了解分式方程和互为相反数的两数之和为零，根据题意列出分式方程，求出解即可得到的值，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
【详解】由题意得：，
去分母，得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
故选：．
2．关于的方程的解是负数，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将分式方程化为整式方程，根据分式方程有解、解为负数，得到关于a的不等式，即可求解．
【详解】解：，
等号两边同时乘以，得，
解得，
分式方程有解，
，即，
解得；
解是负数，
，
解得，
实数的取值范围是．
故选B．
【点睛】本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式，解题的关键是注意隐含条件．
3．若关于x的分式方程无解，则（　　）
A． B．0 C．1 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了解分式方程以及分式方程无解问题，通过分析确定该分式方程的增根为是解题关键．
解分式方程，可得，根据题意可知分式方程的增根为，即有，求解即可获得答案．
【详解】解：，
去分母，得，
合并同类项、系数化为1，得，
由题意可知，分式方程的增根为，
即有，解得．
故选：A．
4．电商经济的蓬勃发展，物流配送体系建设的不断完善，推动我国快递行业迅速崛起．某快递公司的甲、乙两名快递员从公司出发分别到距离公司2400米和1000米的两地派送快件，甲快递员的速度是乙快递员速度的1.2倍，乙快递员比甲快递员提前10分钟到达派送地点．若设乙快递员的速度是x米/分，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．根据时间、路程、速度之间的关系，表示出乙快递员、甲快递员所用时间，再根据“乙快递员比甲快递员提前10分钟到达派送地点”建立方程，即可解题．
【详解】解：由题知，乙快递员的速度是x米/分，甲快递员的速度是乙快递员速度的1.2倍，
甲快递员的速度是米/分，
甲、乙两名快递员从公司出发分别到距离公司2400米和1000米的两地派送快件，
可列方程为，
故选：A．
5．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查根据不等式的解集求出参数的范围，根据分式方程的解的情况求参数的范围，求出不等式组和分式方程的解，进而求出的取值范围，得到所有满足条件的整数a的值，求和即可．
【详解】解：解不等式组，得：，
∵不等式组的解集为，
∴，
∴，
解方程，得：，
∵方程的解为负整数且，
∴为负整数，且，
∴整数或，
∴所有满足条件的整数a的值之和是；
故选B．
6．方程的解为
【答案】
【分析】本题考查了分式方程的求解，根据去分母，去括号，移项合并同类项，检验的过程进行求解即可．
【详解】解：，
去分母，得：，
去括号得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
经检验，是原方程的的解，
故答案为：．
7．若方程有增根，则a的值是 ．
【答案】3
【分析】此题主要考查了分式方程的增根，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出的值，代入整式方程求出的值即可．
【详解】解：去分母，得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程，可得：．
故答案为：3．
8．若关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的范围，先求出方程的解，再根据解的情况结合分式有意义，进行求解即可．
【详解】解：关于的分式方程的解为：，
分式方程有可能产生增根2，
，
，
关于的分式方程的解是非负数，
，
解得：，
综上，的取值范围是：且．
故答案为：且．
9．题目如下：“甲、乙两位同学做中国结，已知，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数．”阴影部分为被墨迹弄污的条件．根据图中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是 ．

【答案】乙每小时比甲多做6个
【分析】根据解答过程中所列方程，即可知被墨迹弄污的条件.
【详解】根据题意：甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相同，由此列出方，
若x表示甲每小时做的个数，则应表示乙每小时做的个数.，即乙每小时比甲多做6个.
故答案为：乙每小时比甲多做6个.
【点睛】本题主要考查了列分式方程解应用题，列方程解应用题的关键是根据题意找等量关系，解答本题的关键是正确理解方程中每一个式子所表示的意义.
10．若关于x的一元一次不等式组的解集为；关于x的分式方程的解为非负整数．则满足条件的整数m的值之和是为 ．
【答案】12
【分析】本题考查一元一次不等式组和分式方程的解，根据不等式组的解求出m的范围，再根据分式方程的解求出m的值是求解本题的关键；
先根据不等式组的解找到满足的条件，再根据分式方程的解求出．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：．
∵不等式组的解集是，
∵方程的解为非负整数，且，
∵是3的倍数，
故答案为：12．
11．解方程：．
【答案】
【分析】本题考查解分式方程，去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可．
【详解】解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以分式方程的解是．
12．解方程：．
【答案】
【分析】此题考查了解分式方程，去分母化为整式方程，解方程并检验即可得到答案．
【详解】解：
去分母得，
整理得到，
解得
经检验，是分式方程的解．
13．某校组织八年级学生赴珠湖小镇开展劳动实践活动，已知学校离珠湖小镇60千米，师生乘大巴车前往，王老师因有事情，推迟了6分钟出发，自驾小轿车以大巴车速度的1.2倍前往，结果王老师提前4分钟到达珠湖小镇．求小轿车、大巴车的平均速度．
【答案】大巴车平均速度60千米每小时，小轿车平均速度72千米每小时
【分析】本题考查了分式方程的应用，设大巴车平均速度x千米每小时，小轿车平均速度千米每小时，根据“去距学校60千米的珠湖小镇，师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了6分钟出发，自驾汽车前往，结果王老师提前4分钟到达珠湖小镇，列出分式方程，解分式方程，检验即可．
【详解】设大巴车平均速度x千米每小时，小轿车平均速度千米每小时，则根据题意得：
解得：
经检验是原方程的解，
则（千米每小时）
答：大巴车平均速度60千米每小时，小轿车平均速度72千米每小时．
14．某商场从生产厂家购进、两种玩具，再进行销售，进价和售价如下表所示：
进价元件
售价元件
已知该商场用元从生产厂家购进玩具的数量与用元购进玩具的数量相同．
(1)求的值；
(2)该商场计划同时购进、两种玩具共件，其中玩具最多购进件，最少购进件．实际进货时，由于生产厂家做优惠活动，所以每件玩具的进价下调元．若该商场保持玩具的售价不变且所有玩具都能售出，求该商场销售这些玩具能获得的最大利润．
【答案】(1)
(2)该商场销售这些玩具能获得的最大利润为元
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，得出需要的函数关系式．
（1）利用数量总价单价，结合该商场用元从生产厂家购进玩具的数量与用元购进玩具的数量相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
（2）设购进件玩具，该商场销售完这些玩具获得的总利润为元，则购进件玩具，利用总利润每件玩具的销售利润购进玩具的数量每件玩具的销售利润购进玩具的数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：的值为；
（2）解：设购进件玩具数量，该商场销售完这些玩具获得的总利润为元，则购进件玩具，
根据题意得：，
即，
，
随的增大而减小，
又，
当时，取得最大值，最大值（元）．
答：该商场销售这些玩具能获得的最大利润为元．
15．先阅读下面的材料，然后回答问题：
阅读材料一：
方程的解为，；
方程的解为，；
方程的解为，；
…
阅读材料二：
在处理分式问题时，当分子的次数不低于分母的次数，运算时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式（分子为正数）的和（差）的形式．
如：；
再如：．
(1)根据上面材料一的规律，猜想关于x的方程的解是________；
(2)根据材料二将分式分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式________________，利用（1）的结论得到关于x的方程的解是________；
(3)利上述材料及（1）的结论解关于x的方程：．
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【分析】本题考查了分式方程求解，读懂材料并且灵活运用是解题关键．
（1）根据材料一的规律直接得出答案即可；
（2）根据材料一的规律可得，结合已知，即可得出结果；
（3）根据材料一的规律可得，进一步求出结果即可．
【详解】（1）解：根据上面材料一的规律，可知 x的方程的解是，，
故答案为：，；
（2）根据材料二：
，
，即，
，，
，
故答案为：，；
（3），
，即，
，，
解得：．
1．（2022·江苏无锡·中考真题）方程的解是（　　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据解分式方程的基本步骤进行求解即可．先两边同时乘最简公分母，化为一元一次方程；然后按常规方法，解一元一次方程；最后检验所得一元一次方程的解是否为分式方程的解．
【详解】解：方程两边都乘，得
解这个方程，得
检验：将代入原方程，得
左边，右边，左边=右边．
所以，是原方程的根．
故选：A．
【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤和验根是解题的关键．
2．（2019·江苏苏州·中考真题）小明15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本(两人的钱恰好用完)，已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为元，根据题意可列出的方程为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先找出本题等量关系为两人买的笔记本数量，再根据等量关系列出方程．
【详解】找到等量关系为两人买的笔记本数量．
故选A
【点睛】本题考查分式方程的简单应用，本题关键在于找出等量关系．
3．（2023·江苏·中考真题）方程的解是 ．
【答案】
【分析】将分式方程转化为整式方程，求解即可．
【详解】解：由可得：
解得
经检验是原分式方程的解，
故答案为：
【点睛】此题考查了分式方程的求解，解题的关键是掌握分式方程的求解方法．
4．（2023·江苏无锡·中考真题）方程的解是： ．
【答案】
【分析】首先方程两边乘以最简公分母去分母，然后去括号，移项，合并同类项，把的系数化为1，最后一定要检验．
【详解】解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
检验：把代入最简公分母中：，
∴原分式方程的解为： ，
故答案为：
【点睛】此题主要考查了分式方程的解法，做题过程中关键是不要忘记检验，很多同学忘记检验，导致错误．
5．（2023·江苏苏州·中考真题）分式方程的解为 ．
【答案】
【分析】方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程验根即可求解．
【详解】解：方程两边同时乘以，
解得：，
经检验，是原方程的解，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
6．（2022·江苏徐州·中考真题）方程的解是 .
【答案】
【分析】先去分母，将分式方程化为整式方程求解，注意结果要检验．
【详解】解：去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
经检验，是分式方程的解，
故答案为：．
【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法步骤是解答的关键．
7．（2022·江苏盐城·中考真题）分式方程的解为 ．
【答案】
【分析】方程两边同时乘以2x-1，然后求出方程的解，最后验根．
【详解】解：方程两边同乘得
解得，
经检验，是原分式方程的根，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解分式方程的知识，解答本题的关键是掌握解分式方程的步骤，注意要验根．
8．（2022·江苏苏州·中考真题）解方程：．
【答案】
【分析】根据解分式方程的步骤求出解，再检验即可．
【详解】方程两边同乘以，得．
解方程，得．
经检验，是原方程的解．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．即去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验．
9．（2023·江苏扬州·中考真题）甲、乙两名学生到离校的“人民公园”参加志愿者活动，甲同学步行，乙同学骑自行车，骑自行车速度是步行速度的4倍，甲出发后乙同学出发，两名同学同时到达，求乙同学骑自行车的速度．
【答案】
【分析】根据甲、乙同学步行和骑自行车的速度之间的数量关系设未知数，再根据所走时间之间的数量关系列方程即可．
【详解】解：设甲同学步行的速度为，则乙同学骑自行车速度为，
，由题意得，
，
解得，
经检验，是分式方程的解，也符合实际．
，
答：乙同学骑自行车的速度为．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，解决问题时需注意时间单位的统一，同时解分式方程需检验．
10．（2023·江苏盐城·中考真题）某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）．
(1)若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，求甲商店硬面笔记本的单价．
(2)若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）：一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出．班长小华打算购买本硬面笔记本（为正整数），他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔记本的原价．
【答案】(1)甲商店硬面笔记本的单价为16元
(2)乙商店硬面笔记本的原价18元
【分析】（1）根据“硬面笔记本数量=软面笔记本数量”列出分式方程，求解检验即可；
（2）设乙商店硬面笔记本的原价为a元，则软面笔记本的单价为元，由再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同可得，再根据且m，均为正整数，即可求解．
【详解】（1）解：设硬面笔记本的单价为x元，则软面笔记本的单价为元，根据题意得
，
解得，
经检验，是原方程的根，且符合题意，
故甲商店硬面笔记本的单价为16元；
（2）设乙商店硬面笔记本的原价为a元，则软面笔记本的单价为元，
由题意可得，
解得，
根据题意得，
解得，
为正整数，
，，，，，分别代入，
可得，，，，，
由单价均为整数可得，
故乙商店硬面笔记本的原价18元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出相应方程．
11．（2023·江苏南通·中考真题）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息—
工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元）
甲 3600
乙 x 2200
信息二
甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等．
(1)求x的值；
(2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用
【答案】(1)x的值为600
(2)该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元
【分析】（1）根据题意甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等列出分式方程解方程即可；
（2）设甲工程队先单独施工天，体育中心共支付施工费用元，根据先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于列出不等式即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意列方程，得．
方程两边乘，得．
解得．
检验：当时，．
所以，原分式方程的解为．
答：x的值为600．
（2）解：设甲工程队先单独施工天，体育中心共支付施工费用元．
则．
，
．
1400>0，
随的增大而增大．
当时，取得最小值，最小值为56800．
答：该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．
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