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限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气：
暑假作业13 八年级下学期60道计算题专训
题型一 分式的约分、通分
1．（1）通分：和；（2）约分：
2．化简：
(1)；
(2)．
3．约分：
(1)；
(2)．
4．计算．
(1)约分： ；
(2)通分：，．
5．（1）约分：；
（2）通分：与．
6．已知（其中），求分式的值．
7．已知，求分式的值．
8．约分：
(1)；
(2)；
(3)．
9．（1）约分：；
（2）通分：，．
10．（1）约分：；
（2）通分：与．
题型二 分式的混合运算
11．化简：．
12．化简：．
13．化简：．
14．化简：．
15．计算：．
16．化简：．
17．先化简，再求值：，其中．
18．先化简然后从中选取一个合适的整数作为的值代入求值．
19．先化简，再求值：，其中．
20．化简求值：，再从，，0，1，2中选取一个合适的数代入求值．
题型三 分式方程
21．解方程：．
22．解方程：．
23．解方程
(1)；
(2)
24．解分式方程．
25．解方程：
(1)；
(2)．
26．解分式方程：
(1)
(2)
27．解分式方程：
(1)；
(2)．
28．解下列方程：
(1)．
(2)．
29．解分式方程：
(1)
(2)
30．解下列分式方程：
(1)
(2)
题型四 二次根式的混合运算
31．计算：
(1)
(2)
32．计算：．
33．计算：．
34．计算：
(1)；
(2)．
35．计算：
(1)；
(2)．
36．（1）计算
（2）已知，．求的值
37．计算
(1)；
(2)．
38．计算：
(1)；
(2)．
39．计算．
(1)．
(2)．
40．计算：
(1)
(2)
(3)
题型五 分母有理化
41．（1）计算：
（2）先阅读，再解答
由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：
①的有理化因式是__________；
②请利用上面的知识化去式子分母中的根号：
42．阅读下面的材料，解决问题：
；
；
；
……
(1)求与的值；
(2)已知是正整数，求的值；
(3)计算．
43．在解决问题已知，化简ɑ的值时，小明是这样分析与解答的：．
(1)化简：；
(2)化简：．
44．阅读下面的材料并解答后面所给出的问题：
①，②
两个含二次根式的代数式相乘，若它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如：与，与，数学上将上述把分母变成有理数（式）的过程称为分母有理化，因此，化简一个分母含有二次根式的式子时采用分母、分子同时乘以分母的有理化因式的方法就行了．
(1)的有理化因式是_________，的有理化因式是_________．
(2)求的值；
(3)求的值．
45．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如，，的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，，，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题：
(1)化简：；
(2)若a是的小数部分，求的值；
(3)比较与的大小．
46．若、互为倒数，且，则
(1)你能直接写出下列各数的倒数吗？
①；②；③；
(2)先化简，再求值：已知，，求的值．
47．阅读下列材料：
，像和这样两个含有根式的代数式，它们的积不含根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．
请运用上面的知识解决下列问题：
(1)指出的有理化因式，并将化简为分母中不含根式的式子；
(2)通过化简，比较和的大小关系；
(3)已知，．
①求a的值；
②结合①的结果，解方程：．
48．阅读材料：像，，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．”
聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：
因为，
所以．
所以，所以，
所以，所以，所以．
请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题：
(1)的有理化因式是 ， ．
(2)化简．
(3)若，求的值．
49．阅读下列解题过程：请回答下列问题：
，
，
．
(1)观察上面的解答过程，请写出 ；
(2)请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律： ；
(3)利用上面的解法，请化简：．
50．观察以下式子的化简过程：
①，
②，
③，
……
根据以上式子的化简过程，得出规律．完成下列问题：
(1)如果n为正整数，那么的值为______；
(2)根据以上规律计算：的值．
题型六 二次根式的化简求值
51．先化简，再求值：，其中．
52．已知，求代数式的值．
53．先化简，再求值：，其中．
54．先化简，再求值：，其中．
55．已知，，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
56．先化简，再求值：，其中．
57．已知，．
(1)分别求，的值；
(2)利用（1）的结果求下列代数式的值：
①；
②．
58．若，，求：
(1)；
(2)求．
59．先化简，再求值．．已知．
60．阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．
如：将分母有理化，解：原式．
运用以上方法解决问题：
已知：．
(1)化简；
(2)求的值．
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暑假作业13 八年级下学期60道计算题专训
题型一 分式的约分、通分
1．（1）通分：和；（2）约分：
【答案】（1）；；（2）
【分析】此题考查了通分及约分，通分的关键是找出各分母的最简公分母，约分的关键是找出分子分母的公因式．
（1）找出两分母的最简公分母，通分即可；
（2）原式变形后，约分即可得到结果．
【详解】解：（1）；
（2）原式．
2．化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查分式的化简，解题的关键是掌握分式的基本性质和因式分解即可；
（1）约去公因式，即可；
（2）先对分子分母进行因式分解，再约分即可．
【详解】（1）．
（2）
．
3．约分：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的约分，解题的关键是确定公因式．把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．
（1）先找出分子和分母的公因式，再把分子和分母的公因式约去即可；
（2）先把分母分解因式，再把分子和分母的公因式约去．
【详解】（1）；
（2）
．
4．计算．
(1)约分： ；
(2)通分：，．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题主要考查了分式的约分和通分，熟知约分和通分的计算法则是解题的关键．
（1）分别把分子和分母分解因式，然后约去公因式即可得到答案；
（2）先把两个分式的分母分解因式，再找到两个分式的公分母，再进行通分即可．
【详解】（1）
；
（2），
，
，
5．（1）约分：；
（2）通分：与．
【答案】（1）；（2），
【分析】本题主要考查约分和通分：
（1）原式先将分子、分母因式分解，再约去公因式即可；
（2）找出分母的最简公分母求解即可；
【详解】解：（1）
；
（2）
6．已知（其中），求分式的值．
【答案】
【分析】本题考查求分式的值．设，即可得到，代入分式即可求解．
【详解】解：设，
则，
∴．
7．已知，求分式的值．
【答案】
【分析】本题主要考查分式的值，熟练掌握分式的性质是解题的关键；根据题意先对分式进行化简，然后再代入求值即可．
【详解】解：由条件可知，因此．
原式
．
另解：∵，∴，
∴
．
8．约分：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题主要考查了约分，正确掌握分式的性质是解题关键；
（1）分式的分子、分母都是单项式，可以直接确认分子、分母的公因式并约分；
（2）可以直接确认分子、分母的公因式并约分；
（3）应先将分子、分母分解因式，再进行约分．
【详解】（1）．
（2）．
（3）．
9．（1）约分：；
（2）通分：，．
【答案】（1）；（2），
【分析】本题主要考查了分式的约分和通分，熟知约分和通分的计算法则是解题的关键．
（1）分别把分子和分母分解因式，然后约去公因式即可得到答案；
（2）先把两个分式的分母分解因式，再找到两个分式的公分母，再进行同分即可．
【详解】解（1）
；
（2）∵，，
∴，．
10．（1）约分：；
（2）通分：与．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）分子，分母都含有，即可得；
（2）与的最简公分母是12x2y，即可得
【详解】解：（1）．
（2）∵与的最简公分母是12x2y，
∴．
【点睛】本题考查了约分，通分，解题的关键是掌握约分，确定最简公分母．
题型二 分式的混合运算
11．化简：．
【答案】
【分析】此题考查了分式的混合运算，先计算括号内的减法，再进行除法即可．
【详解】解：
.
12．化简：．
【答案】1
【分析】本题考查了分式的混合运算，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可得出答案，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
．
13．化简：．
【答案】
【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键，首先对括号内的进行通分，然后把除法转化为乘法，再进行化简即可．
【详解】解：原式
．
14．化简：．
【答案】
【分析】本题考查分式的混合运算，先计算括号内的分式的减法，再将除法转化为乘法，结合因式分解和分式的性质化简原式即可．
【详解】解：
．
15．计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式运算，熟练掌握分式运算法则是解题关键．首先将整理为，然后进行分式加减运算，即可得到答案．
【详解】解：原式
．
16．化简：．
【答案】
【分析】本题考查分式的混合运算，先计算小括号内的减法，再计算除法．解题的关键是掌握相应的运算法则和公式．
【详解】解：
．
17．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先根据分式的加减法法则计算括号内的，再将除法变为乘法，然后因式分解，并约分化到最简，最后代入求值即可．
【详解】原式
．
当时，原式．
18．先化简然后从中选取一个合适的整数作为的值代入求值．
【答案】；当时，原式
【分析】本题主要考查了分式的化简求值以及分式有意义的条件，熟练掌握分式的化简和分式的性质是解题的关键．
利用完全平方公式和平方差公式整理原式，约分化简，再根据分式有意义的条件，取代入求值即可．
【详解】解：
，
∵当和 时，会使分式分母，原式没有意义，
当时，会使原式的除式，原式无意义，
∴从中选取一个整数，只能选，则原式．
19．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了分式化简求值，根据分式的的性质化简，再将式子的值代入求解．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴原式．
20．化简求值：，再从，，0，1，2中选取一个合适的数代入求值．
【答案】，取，原式
【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
．
∵要使分式有意义，
∴，，
∴，
当时，原式；
或当时，原式．
题型三 分式方程
21．解方程：．
【答案】
【分析】此题考查了解分式方程，两边同乘以去分母化为整式方程，解方程并检验即可．
【详解】解：
两边同乘以得，
解得
经检验，是分式方程的解，
22．解方程：．
【答案】
【分析】本题主要考查了解分式方程．一般步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1，检验．
方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，检验即可得到方程的解．
【详解】去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
检验：当时，，
∴原分式方程的解为．
23．解方程
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)无解
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
（1）方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验；
（2）方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程即可求解，注意要检验．
【详解】（1）解：方程两边同时乘以，得
，
解得，
经检验，是原方程的解；
（2）解：方程两边同时乘以，得，，
解得，
经检验，是原方程的增根，原方程无解．
24．解分式方程．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，先去分母，将分式方程化为整式方程，再解这个整式方程，最后检验即可，掌握分式方程的解法是解题的关键．
【详解】解：，
∴ ．
∴．
解得：，
经检验是原方程的解，
∴原分式方程的解为：．
25．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)无解
(2)
【分析】本题考查了解分式方程，
（1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得；
（2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得．
【详解】（1）
去分母得，
解得
检验：将代入
∴原方程无解；
（2）
去分母得，
解得
检验：将代入
∴原方程的解为．
26．解分式方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)原分式方程无解
【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握方程的解法以及检验是解题的关键．
（1）方程两边同时乘上后移项、合并，最后检验即可．
（2）将原式的项化为同分母，分子移项合并，最后检验即可．
【详解】（1）解：原方程化为．
方程两边同时乘上得：．
移项，合并，得：．
检验：将代入，
是原方程的解．
（2）解：，
两边乘最简公分母得：，
展开得：．
合并同类项得：，
解得．
经检验，时，．
原分式方程无解．
27．解分式方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)无解
【分析】本题考查解分式方程，掌握等式的性质，解分式方程的步骤和方法是正确解答的关键．
（1）根据等式的性质将方程的两边都乘以化为整式方程，求出整式方程的解，再检验即可；
（2）根据等式的性质将方程的两边都乘以化为整式方程，求出整式方程的解，再检验即可．
【详解】（1）解：两边都乘以，得，
即
解得，
经检验，是原方程的解，
所以原方程的解为；
（2）两边都乘以，得，
去括号得，
移项得，
解得，
经检验是原方程的增根，
所以原方程无解．
28．解下列方程：
(1)．
(2)．
【答案】(1)无解
(2)
【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤及正确去分母求解是解题的关键，解分式方程不要忽略检验．
（1）方程两边同时乘以去分母，求解并检验即可；
（2）方程两边同时乘以去分母，求解并检验即可．
【详解】（1）解：
，
检验，当时，，
原方程无解；
（2）解：
，
检验，当时，，
原方程的解为．
29．解分式方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)无解
【分析】(1)按照解分式方程的基本步骤求解即可．
(2)按照解分式方程的基本步骤求解即可．
本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键．
【详解】（1）∵,
去分母，得
，
去括号，得
，
移项，得
，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
检验，当时，，
故是原方程的根．
（2）∵，
即，
去分母，得
，
去括号，得
，
移项、合并同类项，得
，
系数化为1，得
检验，当时，，
∴不是原分式方程的解，原分式方程无解．
30．解下列分式方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)原方程无解
【分析】本题主要考查了解分式方程：
（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解方程，然后检验即可；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可．
【详解】（1）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解；
（2）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：
检验，当时，，
∴不是原方程的解；
∴原方程无解．
题型四 二次根式的混合运算
31．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接化简二次根式进而合并得出答案；
（2）直接利用二次根式的乘除运算法则化简，再利用二次根式的加减运算法则得出答案．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
32．计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，根据二次根式加、减、乘、除混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
33．计算：．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，化简绝对值，完全平方公式，先化简二次根式和运算绝对值，完全平方公式，再合并同类项，即可作答．
【详解】解：
34．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)4
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则和运算顺序是解题的关键．
（1）根据立方根、绝对值、算术平方根计算即可；
（2）去括号，化为最简二次根式合并即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
35．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）原式利用乘方的意义，零指数幂法则，以及二次根式性质计算即可求出值；
（2）原式利用二次根式的乘除法则，以及完全平方公式计算即可求出值．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
36．（1）计算
（2）已知，．求的值
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先化简二次根式，再计算括号内的加减法，最后计算乘法即可；
（2）利用因式分解可得，再将、的值代入计算可．
本题考查了二次根式的混合运算法则，因式分解的方法，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
【详解】解：（1）
；
（）∵，，
∴
．
37．计算
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）直接化简二次根式，进而利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；
（）直接化简二次根式，进而利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；
此题主要考查了二次根式的加减混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
38．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质进行化简，平方差公式等知识．熟练掌握二次根式的混合运算，利用二次根式的性质进行化简，平方差公式是解题的关键．
（1）先计算二次根式的乘除，然后利用二次根式的性质进行化简，最后进行加减运算即可；
（2）先计算二次根式的乘除，然后利用二次根式的性质进行化简，最后进行加减运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
39．计算．
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）利用二次根式的除法及乘法进行计算，合并同类二次根式即可．
本题考查了二次根式的加减及混合运算，熟练掌握二次根式运算法则是关键．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
40．计算：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）先根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式加减运算法则进行计算即可；
（2）先根据二次根式性质进行化简，然后再根据二次根式混合运算法则进行计算即可；
（3）根据二次根式混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
；
（3）解：
．
题型五 分母有理化
41．（1）计算：
（2）先阅读，再解答
由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：
①的有理化因式是__________；
②请利用上面的知识化去式子分母中的根号：
【答案】（1）；（2）①；②
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，读懂题中材料是解题的关键．
（1）按照二次根式的运算顺序及运算法则进行计算即可；
（2）①按题中材料进行即可；
②按题中材料进行即可．
【详解】解：（1）
；
（2）①，
即的有理化因式是，
故答案为：；
②，
42．阅读下面的材料，解决问题：
；
；
；
……
(1)求与的值；
(2)已知是正整数，求的值；
(3)计算．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】本题考查了规律型---数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．熟练掌握有理化因式是解答本题的关键，单项二次根式的有理化因式是它本身或者本身的相反数；其他代数式的有理化因式可用平方差公式来进行分步确定．
（1）根据所给式子可知，把的分子、分母分别乘以即可化简；把的分子、分母分别乘以即可化简；
（2）由所给式子和（1）的计算可知，当分母中的两个二次根式的被开方数相差1时，其化简的结果等于它的有理化因式；
（3）根据（2）中所总结规律计算即可．
【详解】（1）解：＝＝，
＝＝；
（2）＝＝，
（3）
．
43．在解决问题已知，化简ɑ的值时，小明是这样分析与解答的：．
(1)化简：；
(2)化简：．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式分母有理化化简；理解分母有理化的方法是解题的关键．
（1）分子分母同时乘以（）即可求解；
（2）由（1）同理可进行化简，化为二次根式的加减，即可求解；
【详解】（1）解：
；
（2）解：原式
．
44．阅读下面的材料并解答后面所给出的问题：
①，②
两个含二次根式的代数式相乘，若它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如：与，与，数学上将上述把分母变成有理数（式）的过程称为分母有理化，因此，化简一个分母含有二次根式的式子时采用分母、分子同时乘以分母的有理化因式的方法就行了．
(1)的有理化因式是_________，的有理化因式是_________．
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查二次根式的性质．
（1）根据互为有理化因式的定义和示例直接得出答案；
（2）利用平方差公式对分母进行分母有理化，即可解答；
（3）利用平方差公式对分母进行分母有理化，再合并计算即可；
【详解】（1）解：∵，，
∴的有理化因式是，的有理化因式是，
故填：，；
（2）
（3）
45．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如，，的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，，，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题：
(1)化简：；
(2)若a是的小数部分，求的值；
(3)比较与的大小．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的乘法与加法、分母有理化等知识点，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
（1）分子分母同乘以即可得；
（2）先根据无理数的估算求出a的值，再代入进行分母有理化即可得；
（3）根据题意得到，，然后由即可求解．
【详解】（1），
，
；
（2），
，
的小数部分是，即，
则
，
；
（3）根据题意得，
，
∵
∴．
46．若、互为倒数，且，则
(1)你能直接写出下列各数的倒数吗？
①；②；③；
(2)先化简，再求值：已知，，求的值．
【答案】(1)①；②；③
(2)10
【分析】本题主要考查了无理数倒数的特点和分式的运算，此类题型的特点是，利用平方差找到无理数的有理化因式；化简求值的题目要把所求的代数式化简后利用分母有理化的方法，把最后结果有理化．
（1）直接根据题意可写出各数的倒数；
（2）化简后要注意最后结果要分母有理化．
【详解】（1）解： ①，
∴的倒数是；
②，
∴的倒数是；
③，
∴的倒数是；
（2），
，
原式．
47．阅读下列材料：
，像和这样两个含有根式的代数式，它们的积不含根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．
请运用上面的知识解决下列问题：
(1)指出的有理化因式，并将化简为分母中不含根式的式子；
(2)通过化简，比较和的大小关系；
(3)已知，．
①求a的值；
②结合①的结果，解方程：．
【答案】(1)，
(2)
(3)①2；②
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、平方差公式，掌握二次根式的混合运算、平方差公式，分母有理化是解题关键．
（1）阅读材料可直接得出结果；
（2）先把分母有理化，然后比较大小即可；
（3）①将已知两等式相乘可得出关于a的方程，然后解方程即可；
②两等式相加可得出，然后解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴的有理化因式是，
；
（2）解：
，
∵，，
∴，
∴，
∴，即；
（3）解：①∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②由①知：，
又，
两等式相加，得，
∴，
解得．
48．阅读材料：像，，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．”
聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：
因为，
所以．
所以，所以，
所以，所以，所以．
请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题：
(1)的有理化因式是 ， ．
(2)化简．
(3)若，求的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）根据平方差公式和互为有理化因式的意义得出答案即可；
（2）根据已知算式得出规律再利用规律进行计算即可；
（3）先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴的有理化因式是，
，
故答案为：；；
（2）∵（为正整数），
∴
；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化，数字的变化类和平方差公式等知识点，能根据已知算式得出规律是解题的关键．
49．阅读下列解题过程：请回答下列问题：
，
，
．
(1)观察上面的解答过程，请写出 ；
(2)请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律： ；
(3)利用上面的解法，请化简：．
【答案】(1)
(2)
(3)5
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．也考查了数字变化规律型问题的解决方法．
（1）分子分母同乘，运用平方差公式计算即可；
（2）利用题目中式子的变化规律（等式左边为分子为1，分母为两邻两正整数的算术平方根的和，等式右边为这两相邻两整数的算术平方根的差）求解；
（3）根据找到的规律化简，然后合并即可．
【详解】（1）解：；
故答案为：
（2）解：；
故答案为：
（3）解：
．
50．观察以下式子的化简过程：
①，
②，
③，
……
根据以上式子的化简过程，得出规律．完成下列问题：
(1)如果n为正整数，那么的值为______；
(2)根据以上规律计算：的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式的应用，正确得出是解题的关键．
（1）结合已知的式子，在分子和分母同乘以，然后利用平方差公式进行运算即可；
（2）由（1）结论将原式化简，再进行加减运算即可；
【详解】（1）解：，
故答案为： ；
（2）
．
题型六 二次根式的化简求值
51．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算，最后把代入计算即可．
【详解】解：
当时，
原式
52．已知，求代数式的值．
【答案】
【分析】此题考查了二次根式的化简求值，所求式子配方后，将x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：，
当时，原式．
53．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，因式分解 运用公式法，以及二次根式的性质与化简，原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
【详解】
，
当时，原式．
54．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式混合运算法则进行计算，然后再代入数据求值即可．
【详解】解：
，
当 时，原式 ．
55．已知，，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)8．
【分析】本题考查了二次根式的化简求值．
（1）由，的值，求出与的值，将原式提取公因式得到，代入计算即可；
（2）由（1）得，，将原式利用完全平方公式变形后代入计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∴．
（2）解：由（1）得，，
∴．
56．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查分式的化简求值，直接将括号里面通分运算，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【详解】解:
∴原式
57．已知，．
(1)分别求，的值；
(2)利用（1）的结果求下列代数式的值：
①；
②．
【答案】(1)，
(2)①；②
【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，平方差公式的运用，二次根式的混合运算，熟知二次根式的加减法则是解题的关键．
（1）直接把x，y的值代入进行计算即可；
（2）把（1）中的，的值代入进行计算即可．
【详解】（1）解：，，
，
；
（2）由（1）知，，
①；
②．
58．若，，求：
(1)；
(2)求．
【答案】(1)
(2)18
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值：
（1）先求出，，再根据进行求解即可；
（2）先求出，，再把所求式子变形为，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∴
；
（2）解：∵，，
∴，
∴
．
59．先化简，再求值．．已知．
【答案】；2
【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号内，再进行除法，然后化简得出，再把代入，进行运算即可作答．
【详解】解：原式
．
∵，
∴原式．
60．阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．
如：将分母有理化，解：原式．
运用以上方法解决问题：
已知：．
(1)化简；
(2)求的值．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】（）仿照已知化简即可；
（）求出、的值，再把它们代入代数式计算即可求解；
本题考查了二次根式的化简求值，掌握分母有理化是解题的关键．
【详解】（1）解：，
；
（2）解：∵，，
∴，，
∴原式
，
．
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