苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义暑假作业13八年级下学期60道计算题专训(6大题型)(原卷版+解析)

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苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义暑假作业13八年级下学期60道计算题专训(6大题型)(原卷版+解析)

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限时练习:60min 完成时间: 月 日 天气:
暑假作业13 八年级下学期60道计算题专训
题型一 分式的约分、通分
1.(1)通分:和;(2)约分:
2.化简:
(1);
(2).
3.约分:
(1);
(2).
4.计算.
(1)约分: ;
(2)通分:,.
5.(1)约分:;
(2)通分:与.
6.已知(其中),求分式的值.
7.已知,求分式的值.
8.约分:
(1);
(2);
(3).
9.(1)约分:;
(2)通分:,.
10.(1)约分:;
(2)通分:与.
题型二 分式的混合运算
11.化简:.
12.化简:.
13.化简:.
14.化简:.
15.计算:.
16.化简:.
17.先化简,再求值:,其中.
18.先化简然后从中选取一个合适的整数作为的值代入求值.
19.先化简,再求值:,其中.
20.化简求值:,再从,,0,1,2中选取一个合适的数代入求值.
题型三 分式方程
21.解方程:.
22.解方程:.
23.解方程
(1);
(2)
24.解分式方程.
25.解方程:
(1);
(2).
26.解分式方程:
(1)
(2)
27.解分式方程:
(1);
(2).
28.解下列方程:
(1).
(2).
29.解分式方程:
(1)
(2)
30.解下列分式方程:
(1)
(2)
题型四 二次根式的混合运算
31.计算:
(1)
(2)
32.计算:.
33.计算:.
34.计算:
(1);
(2).
35.计算:
(1);
(2).
36.(1)计算
(2)已知,.求的值
37.计算
(1);
(2).
38.计算:
(1);
(2).
39.计算.
(1).
(2).
40.计算:
(1)
(2)
(3)
题型五 分母有理化
41.(1)计算:
(2)先阅读,再解答
由可以看出,两个含有二次根式的代数式相乘,积不含有二次根式,我们称这两个代数式互为有理化因式,在进行二次根式计算时,利用有理化因式,有时可以化去分母中的根号,例如:,请完成下列问题:
①的有理化因式是__________;
②请利用上面的知识化去式子分母中的根号:
42.阅读下面的材料,解决问题:



……
(1)求与的值;
(2)已知是正整数,求的值;
(3)计算.
43.在解决问题已知,化简ɑ的值时,小明是这样分析与解答的:.
(1)化简:;
(2)化简:.
44.阅读下面的材料并解答后面所给出的问题:
①,②
两个含二次根式的代数式相乘,若它们的积不含有二次根式,我们就说这两个代数式互为有理化因式,例如:与,与,数学上将上述把分母变成有理数(式)的过程称为分母有理化,因此,化简一个分母含有二次根式的式子时采用分母、分子同时乘以分母的有理化因式的方法就行了.
(1)的有理化因式是_________,的有理化因式是_________.
(2)求的值;
(3)求的值.
45.在进行二次根式化简时,我们有时会碰上形如,,的式子,这样的式子我们可以将其进一步化简,,,,这种化简的方法叫做分母有理化,请利用分母有理化解答下列问题:
(1)化简:;
(2)若a是的小数部分,求的值;
(3)比较与的大小.
46.若、互为倒数,且,则
(1)你能直接写出下列各数的倒数吗?
①;②;③;
(2)先化简,再求值:已知,,求的值.
47.阅读下列材料:
,像和这样两个含有根式的代数式,它们的积不含根式,我们就说这两个代数式互为有理化因式,其中一个是另一个的有理化因式.
请运用上面的知识解决下列问题:
(1)指出的有理化因式,并将化简为分母中不含根式的式子;
(2)通过化简,比较和的大小关系;
(3)已知,.
①求a的值;
②结合①的结果,解方程:.
48.阅读材料:像,,……这种两个含二次根式的代数式相乘,积不含二次根式,我们称这两个代数式互为有理化因式.在进行二次根式运算时,利用有理化因式可以化去分母中的根号.数学课上,老师出了一道题“已知,求的值.”
聪明的小明同学根据上述材料,做了这样的解答:
因为,
所以.
所以,所以,
所以,所以,所以.
请你根据上述材料和小明的解答过程,解决如下问题:
(1)的有理化因式是 , .
(2)化简.
(3)若,求的值.
49.阅读下列解题过程:请回答下列问题:



(1)观察上面的解答过程,请写出 ;
(2)请你用含n(n为正整数)的关系式表示上述各式子的变形规律: ;
(3)利用上面的解法,请化简:.
50.观察以下式子的化简过程:
①,
②,
③,
……
根据以上式子的化简过程,得出规律.完成下列问题:
(1)如果n为正整数,那么的值为______;
(2)根据以上规律计算:的值.
题型六 二次根式的化简求值
51.先化简,再求值:,其中.
52.已知,求代数式的值.
53.先化简,再求值:,其中.
54.先化简,再求值:,其中.
55.已知,,求下列各式的值:
(1);
(2).
56.先化简,再求值:,其中.
57.已知,.
(1)分别求,的值;
(2)利用(1)的结果求下列代数式的值:
①;
②.
58.若,,求:
(1);
(2)求.
59.先化简,再求值..已知.
60.阅读材料,并解决问题:定义:将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化.
如:将分母有理化,解:原式.
运用以上方法解决问题:
已知:.
(1)化简;
(2)求的值.
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暑假作业13 八年级下学期60道计算题专训
题型一 分式的约分、通分
1.(1)通分:和;(2)约分:
【答案】(1);;(2)
【分析】此题考查了通分及约分,通分的关键是找出各分母的最简公分母,约分的关键是找出分子分母的公因式.
(1)找出两分母的最简公分母,通分即可;
(2)原式变形后,约分即可得到结果.
【详解】解:(1);
(2)原式.
2.化简:
(1);
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查分式的化简,解题的关键是掌握分式的基本性质和因式分解即可;
(1)约去公因式,即可;
(2)先对分子分母进行因式分解,再约分即可.
【详解】(1).
(2)

3.约分:
(1);
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的约分,解题的关键是确定公因式.把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分.
(1)先找出分子和分母的公因式,再把分子和分母的公因式约去即可;
(2)先把分母分解因式,再把分子和分母的公因式约去.
【详解】(1);
(2)

4.计算.
(1)约分: ;
(2)通分:,.
【答案】(1)
(2),
【分析】本题主要考查了分式的约分和通分,熟知约分和通分的计算法则是解题的关键.
(1)分别把分子和分母分解因式,然后约去公因式即可得到答案;
(2)先把两个分式的分母分解因式,再找到两个分式的公分母,再进行通分即可.
【详解】(1)

(2),


5.(1)约分:;
(2)通分:与.
【答案】(1);(2),
【分析】本题主要考查约分和通分:
(1)原式先将分子、分母因式分解,再约去公因式即可;
(2)找出分母的最简公分母求解即可;
【详解】解:(1)

(2)
6.已知(其中),求分式的值.
【答案】
【分析】本题考查求分式的值.设,即可得到,代入分式即可求解.
【详解】解:设,
则,
∴.
7.已知,求分式的值.
【答案】
【分析】本题主要考查分式的值,熟练掌握分式的性质是解题的关键;根据题意先对分式进行化简,然后再代入求值即可.
【详解】解:由条件可知,因此.
原式

另解:∵,∴,


8.约分:
(1);
(2);
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题主要考查了约分,正确掌握分式的性质是解题关键;
(1)分式的分子、分母都是单项式,可以直接确认分子、分母的公因式并约分;
(2)可以直接确认分子、分母的公因式并约分;
(3)应先将分子、分母分解因式,再进行约分.
【详解】(1).
(2).
(3).
9.(1)约分:;
(2)通分:,.
【答案】(1);(2),
【分析】本题主要考查了分式的约分和通分,熟知约分和通分的计算法则是解题的关键.
(1)分别把分子和分母分解因式,然后约去公因式即可得到答案;
(2)先把两个分式的分母分解因式,再找到两个分式的公分母,再进行同分即可.
【详解】解(1)

(2)∵,,
∴,.
10.(1)约分:;
(2)通分:与.
【答案】(1);(2).
【分析】(1)分子,分母都含有,即可得;
(2)与的最简公分母是12x2y,即可得
【详解】解:(1).
(2)∵与的最简公分母是12x2y,
∴.
【点睛】本题考查了约分,通分,解题的关键是掌握约分,确定最简公分母.
题型二 分式的混合运算
11.化简:.
【答案】
【分析】此题考查了分式的混合运算,先计算括号内的减法,再进行除法即可.
【详解】解:
.
12.化简:.
【答案】1
【分析】本题考查了分式的混合运算,括号内先通分,再将除法转化为乘法,约分即可得出答案,熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键.
【详解】解:

13.化简:.
【答案】
【分析】本题考查了分式的化简,熟练掌握分式的运算法则是解题的关键,首先对括号内的进行通分,然后把除法转化为乘法,再进行化简即可.
【详解】解:原式

14.化简:.
【答案】
【分析】本题考查分式的混合运算,先计算括号内的分式的减法,再将除法转化为乘法,结合因式分解和分式的性质化简原式即可.
【详解】解:

15.计算:.
【答案】
【分析】本题主要考查了分式运算,熟练掌握分式运算法则是解题关键.首先将整理为,然后进行分式加减运算,即可得到答案.
【详解】解:原式

16.化简:.
【答案】
【分析】本题考查分式的混合运算,先计算小括号内的减法,再计算除法.解题的关键是掌握相应的运算法则和公式.
【详解】解:

17.先化简,再求值:,其中.
【答案】,
【分析】本题主要考查了分式的化简求值,先根据分式的加减法法则计算括号内的,再将除法变为乘法,然后因式分解,并约分化到最简,最后代入求值即可.
【详解】原式

当时,原式.
18.先化简然后从中选取一个合适的整数作为的值代入求值.
【答案】;当时,原式
【分析】本题主要考查了分式的化简求值以及分式有意义的条件,熟练掌握分式的化简和分式的性质是解题的关键.
利用完全平方公式和平方差公式整理原式,约分化简,再根据分式有意义的条件,取代入求值即可.
【详解】解:

∵当和 时,会使分式分母,原式没有意义,
当时,会使原式的除式,原式无意义,
∴从中选取一个整数,只能选,则原式.
19.先化简,再求值:,其中.
【答案】,
【分析】本题考查了分式化简求值,根据分式的的性质化简,再将式子的值代入求解.
【详解】解:

∵,
∴,
∴原式.
20.化简求值:,再从,,0,1,2中选取一个合适的数代入求值.
【答案】,取,原式
【分析】本题考查了分式的化简求值.原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果,把x的值代入计算即可求出值.
【详解】解:

∵要使分式有意义,
∴,,
∴,
当时,原式;
或当时,原式.
题型三 分式方程
21.解方程:.
【答案】
【分析】此题考查了解分式方程,两边同乘以去分母化为整式方程,解方程并检验即可.
【详解】解:
两边同乘以得,
解得
经检验,是分式方程的解,
22.解方程:.
【答案】
【分析】本题主要考查了解分式方程.一般步骤为:去分母,去括号,移项,合并同类项,把系数化为1,检验.
方程去分母,去括号,移项合并,把x系数化为1,检验即可得到方程的解.
【详解】去分母,得,
去括号,得,
移项,得,
合并同类项,得,
检验:当时,,
∴原分式方程的解为.
23.解方程
(1);
(2)
【答案】(1)
(2)无解
【分析】本题考查了解分式方程,熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键.
(1)方程两边同时乘以,化为整式方程,解方程即可求解,最后要检验;
(2)方程两边同时乘以,化为整式方程,解方程即可求解,注意要检验.
【详解】(1)解:方程两边同时乘以,得

解得,
经检验,是原方程的解;
(2)解:方程两边同时乘以,得,,
解得,
经检验,是原方程的增根,原方程无解.
24.解分式方程.
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程,先去分母,将分式方程化为整式方程,再解这个整式方程,最后检验即可,掌握分式方程的解法是解题的关键.
【详解】解:,
∴ .
∴.
解得:,
经检验是原方程的解,
∴原分式方程的解为:.
25.解方程:
(1);
(2).
【答案】(1)无解
(2)
【分析】本题考查了解分式方程,
(1)先化为整式方程,再解一元一次方程,然后对所求的方程的解进行检验即可得;
(2)先化为整式方程,再解一元一次方程,然后对所求的方程的解进行检验即可得.
【详解】(1)
去分母得,
解得
检验:将代入
∴原方程无解;
(2)
去分母得,
解得
检验:将代入
∴原方程的解为.
26.解分式方程:
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)原分式方程无解
【分析】本题考查了解分式方程.熟练掌握方程的解法以及检验是解题的关键.
(1)方程两边同时乘上后移项、合并,最后检验即可.
(2)将原式的项化为同分母,分子移项合并,最后检验即可.
【详解】(1)解:原方程化为.
方程两边同时乘上得:.
移项,合并,得:.
检验:将代入,
是原方程的解.
(2)解:,
两边乘最简公分母得:,
展开得:.
合并同类项得:,
解得.
经检验,时,.
原分式方程无解.
27.解分式方程:
(1);
(2).
【答案】(1)
(2)无解
【分析】本题考查解分式方程,掌握等式的性质,解分式方程的步骤和方法是正确解答的关键.
(1)根据等式的性质将方程的两边都乘以化为整式方程,求出整式方程的解,再检验即可;
(2)根据等式的性质将方程的两边都乘以化为整式方程,求出整式方程的解,再检验即可.
【详解】(1)解:两边都乘以,得,

解得,
经检验,是原方程的解,
所以原方程的解为;
(2)两边都乘以,得,
去括号得,
移项得,
解得,
经检验是原方程的增根,
所以原方程无解.
28.解下列方程:
(1).
(2).
【答案】(1)无解
(2)
【分析】本题考查解分式方程,掌握解分式方程的步骤及正确去分母求解是解题的关键,解分式方程不要忽略检验.
(1)方程两边同时乘以去分母,求解并检验即可;
(2)方程两边同时乘以去分母,求解并检验即可.
【详解】(1)解:

检验,当时,,
原方程无解;
(2)解:

检验,当时,,
原方程的解为.
29.解分式方程:
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)无解
【分析】(1)按照解分式方程的基本步骤求解即可.
(2)按照解分式方程的基本步骤求解即可.
本题考查了分式方程的解法,熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键.
【详解】(1)∵,
去分母,得

去括号,得

移项,得

合并同类项,得,
系数化为1,得,
检验,当时,,
故是原方程的根.
(2)∵,
即,
去分母,得

去括号,得

移项、合并同类项,得

系数化为1,得
检验,当时,,
∴不是原分式方程的解,原分式方程无解.
30.解下列分式方程:
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)原方程无解
【分析】本题主要考查了解分式方程:
(1)按照去分母,去括号,移项,合并同类项的步骤解方程,然后检验即可;
(2)按照去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为1的步骤解方程,然后检验即可.
【详解】(1)解:
去分母得:,
去括号得:,
移项得:,
合并同类项得:,
检验,当时,,
∴是原方程的解;
(2)解:
去分母得:,
去括号得:,
移项得:,
合并同类项得:,
系数化为1得:
检验,当时,,
∴不是原方程的解;
∴原方程无解.
题型四 二次根式的混合运算
31.计算:
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)直接化简二次根式进而合并得出答案;
(2)直接利用二次根式的乘除运算法则化简,再利用二次根式的加减运算法则得出答案.
本题考查了二次根式的混合运算,掌握相关运算法则是解题的关键.
【详解】(1)解:

(2)解:

32.计算:.
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算,解题的关键是熟练掌握运算法则,根据二次根式加、减、乘、除混合运算法则进行计算即可.
【详解】解:

33.计算:.
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算,化简绝对值,完全平方公式,先化简二次根式和运算绝对值,完全平方公式,再合并同类项,即可作答.
【详解】解:
34.计算:
(1);
(2).
【答案】(1)4
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算,熟练掌握二次根式的运算法则和运算顺序是解题的关键.
(1)根据立方根、绝对值、算术平方根计算即可;
(2)去括号,化为最简二次根式合并即可求解.
【详解】(1)解:

(2)

35.计算:
(1);
(2).
【答案】(1);
(2).
【分析】本题考查了二次根式的混合运算,熟练掌握运算法则是解题的关键.
(1)原式利用乘方的意义,零指数幂法则,以及二次根式性质计算即可求出值;
(2)原式利用二次根式的乘除法则,以及完全平方公式计算即可求出值.
【详解】(1)解:原式;
(2)解:原式.
36.(1)计算
(2)已知,.求的值
【答案】(1);(2)
【分析】(1)先化简二次根式,再计算括号内的加减法,最后计算乘法即可;
(2)利用因式分解可得,再将、的值代入计算可.
本题考查了二次根式的混合运算法则,因式分解的方法,掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键.
【详解】解:(1)

()∵,,


37.计算
(1);
(2).
【答案】(1);
(2).
【分析】()直接化简二次根式,进而利用二次根式的加减运算法则计算得出答案;
()直接化简二次根式,进而利用二次根式的加减运算法则计算得出答案;
此题主要考查了二次根式的加减混合运算,正确掌握相关运算法则是解题关键.
【详解】(1)解:原式

(2)解:原式

38.计算:
(1);
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算,利用二次根式的性质进行化简,平方差公式等知识.熟练掌握二次根式的混合运算,利用二次根式的性质进行化简,平方差公式是解题的关键.
(1)先计算二次根式的乘除,然后利用二次根式的性质进行化简,最后进行加减运算即可;
(2)先计算二次根式的乘除,然后利用二次根式的性质进行化简,最后进行加减运算即可.
【详解】(1)解:

(2)解:

39.计算.
(1).
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)先化简各二次根式,再合并同类二次根式即可;
(2)利用二次根式的除法及乘法进行计算,合并同类二次根式即可.
本题考查了二次根式的加减及混合运算,熟练掌握二次根式运算法则是关键.
【详解】(1)解:原式;
(2)解:原式.
40.计算:
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算,解题的关键是熟练掌握运算法则,准确计算.
(1)先根据二次根式性质进行化简,然后再根据二次根式加减运算法则进行计算即可;
(2)先根据二次根式性质进行化简,然后再根据二次根式混合运算法则进行计算即可;
(3)根据二次根式混合运算法则进行计算即可.
【详解】(1)解:

(2)解:

(3)解:

题型五 分母有理化
41.(1)计算:
(2)先阅读,再解答
由可以看出,两个含有二次根式的代数式相乘,积不含有二次根式,我们称这两个代数式互为有理化因式,在进行二次根式计算时,利用有理化因式,有时可以化去分母中的根号,例如:,请完成下列问题:
①的有理化因式是__________;
②请利用上面的知识化去式子分母中的根号:
【答案】(1);(2)①;②
【分析】本题考查了二次根式的混合运算,读懂题中材料是解题的关键.
(1)按照二次根式的运算顺序及运算法则进行计算即可;
(2)①按题中材料进行即可;
②按题中材料进行即可.
【详解】解:(1)

(2)①,
即的有理化因式是,
故答案为:;
②,
42.阅读下面的材料,解决问题:



……
(1)求与的值;
(2)已知是正整数,求的值;
(3)计算.
【答案】(1);
(2)
(3)
【分析】本题考查了规律型---数字类规律与探究,要求学生通过观察,分析、归纳发现其中的规律,并应用发现的规律解决问题.熟练掌握有理化因式是解答本题的关键,单项二次根式的有理化因式是它本身或者本身的相反数;其他代数式的有理化因式可用平方差公式来进行分步确定.
(1)根据所给式子可知,把的分子、分母分别乘以即可化简;把的分子、分母分别乘以即可化简;
(2)由所给式子和(1)的计算可知,当分母中的两个二次根式的被开方数相差1时,其化简的结果等于它的有理化因式;
(3)根据(2)中所总结规律计算即可.
【详解】(1)解:==,
==;
(2)==,
(3)

43.在解决问题已知,化简ɑ的值时,小明是这样分析与解答的:.
(1)化简:;
(2)化简:.
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式分母有理化化简;理解分母有理化的方法是解题的关键.
(1)分子分母同时乘以()即可求解;
(2)由(1)同理可进行化简,化为二次根式的加减,即可求解;
【详解】(1)解:

(2)解:原式

44.阅读下面的材料并解答后面所给出的问题:
①,②
两个含二次根式的代数式相乘,若它们的积不含有二次根式,我们就说这两个代数式互为有理化因式,例如:与,与,数学上将上述把分母变成有理数(式)的过程称为分母有理化,因此,化简一个分母含有二次根式的式子时采用分母、分子同时乘以分母的有理化因式的方法就行了.
(1)的有理化因式是_________,的有理化因式是_________.
(2)求的值;
(3)求的值.
【答案】(1),
(2)
(3)
【分析】本题考查二次根式的性质.
(1)根据互为有理化因式的定义和示例直接得出答案;
(2)利用平方差公式对分母进行分母有理化,即可解答;
(3)利用平方差公式对分母进行分母有理化,再合并计算即可;
【详解】(1)解:∵,,
∴的有理化因式是,的有理化因式是,
故填:,;
(2)
(3)
45.在进行二次根式化简时,我们有时会碰上形如,,的式子,这样的式子我们可以将其进一步化简,,,,这种化简的方法叫做分母有理化,请利用分母有理化解答下列问题:
(1)化简:;
(2)若a是的小数部分,求的值;
(3)比较与的大小.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的乘法与加法、分母有理化等知识点,熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键.
(1)分子分母同乘以即可得;
(2)先根据无理数的估算求出a的值,再代入进行分母有理化即可得;
(3)根据题意得到,,然后由即可求解.
【详解】(1),


(2),

的小数部分是,即,



(3)根据题意得,


∴.
46.若、互为倒数,且,则
(1)你能直接写出下列各数的倒数吗?
①;②;③;
(2)先化简,再求值:已知,,求的值.
【答案】(1)①;②;③
(2)10
【分析】本题主要考查了无理数倒数的特点和分式的运算,此类题型的特点是,利用平方差找到无理数的有理化因式;化简求值的题目要把所求的代数式化简后利用分母有理化的方法,把最后结果有理化.
(1)直接根据题意可写出各数的倒数;
(2)化简后要注意最后结果要分母有理化.
【详解】(1)解: ①,
∴的倒数是;
②,
∴的倒数是;
③,
∴的倒数是;
(2),

原式.
47.阅读下列材料:
,像和这样两个含有根式的代数式,它们的积不含根式,我们就说这两个代数式互为有理化因式,其中一个是另一个的有理化因式.
请运用上面的知识解决下列问题:
(1)指出的有理化因式,并将化简为分母中不含根式的式子;
(2)通过化简,比较和的大小关系;
(3)已知,.
①求a的值;
②结合①的结果,解方程:.
【答案】(1),
(2)
(3)①2;②
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、平方差公式,掌握二次根式的混合运算、平方差公式,分母有理化是解题关键.
(1)阅读材料可直接得出结果;
(2)先把分母有理化,然后比较大小即可;
(3)①将已知两等式相乘可得出关于a的方程,然后解方程即可;
②两等式相加可得出,然后解方程即可.
【详解】(1)解:∵,
∴的有理化因式是,

(2)解:

∵,,
∴,
∴,
∴,即;
(3)解:①∵,,
∴,
∴,
∴,
∴;
②由①知:,
又,
两等式相加,得,
∴,
解得.
48.阅读材料:像,,……这种两个含二次根式的代数式相乘,积不含二次根式,我们称这两个代数式互为有理化因式.在进行二次根式运算时,利用有理化因式可以化去分母中的根号.数学课上,老师出了一道题“已知,求的值.”
聪明的小明同学根据上述材料,做了这样的解答:
因为,
所以.
所以,所以,
所以,所以,所以.
请你根据上述材料和小明的解答过程,解决如下问题:
(1)的有理化因式是 , .
(2)化简.
(3)若,求的值.
【答案】(1);
(2)
(3)
【分析】(1)根据平方差公式和互为有理化因式的意义得出答案即可;
(2)根据已知算式得出规律再利用规律进行计算即可;
(3)先分母有理化,再根据二次根式的加减法法则进行计算即可.
【详解】(1)解:∵,
∴的有理化因式是,

故答案为:;;
(2)∵(为正整数),


(3)∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴.
【点睛】本题考查二次根式的混合运算,分母有理化,数字的变化类和平方差公式等知识点,能根据已知算式得出规律是解题的关键.
49.阅读下列解题过程:请回答下列问题:



(1)观察上面的解答过程,请写出 ;
(2)请你用含n(n为正整数)的关系式表示上述各式子的变形规律: ;
(3)利用上面的解法,请化简:.
【答案】(1)
(2)
(3)5
【分析】本题考查了二次根式的混合运算,熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键.也考查了数字变化规律型问题的解决方法.
(1)分子分母同乘,运用平方差公式计算即可;
(2)利用题目中式子的变化规律(等式左边为分子为1,分母为两邻两正整数的算术平方根的和,等式右边为这两相邻两整数的算术平方根的差)求解;
(3)根据找到的规律化简,然后合并即可.
【详解】(1)解:;
故答案为:
(2)解:;
故答案为:
(3)解:

50.观察以下式子的化简过程:
①,
②,
③,
……
根据以上式子的化简过程,得出规律.完成下列问题:
(1)如果n为正整数,那么的值为______;
(2)根据以上规律计算:的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算,平方差公式的应用,正确得出是解题的关键.
(1)结合已知的式子,在分子和分母同乘以,然后利用平方差公式进行运算即可;
(2)由(1)结论将原式化简,再进行加减运算即可;
【详解】(1)解:,
故答案为: ;
(2)

题型六 二次根式的化简求值
51.先化简,再求值:,其中.
【答案】,
【分析】本题考查的是分式的化简求值,分母有理化,先计算括号内分式的减法运算,再计算除法运算,最后把代入计算即可.
【详解】解:
当时,
原式
52.已知,求代数式的值.
【答案】
【分析】此题考查了二次根式的化简求值,所求式子配方后,将x的值代入计算即可求出值.
【详解】解:,
当时,原式.
53.先化简,再求值:,其中.
【答案】,
【分析】本题主要考查了分式的化简求值,因式分解 运用公式法,以及二次根式的性质与化简,原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果,把a的值代入计算即可求出值,熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键.
【详解】

当时,原式.
54.先化简,再求值:,其中.
【答案】,
【分析】本题主要考查了分式化简求值,先根据分式混合运算法则进行计算,然后再代入数据求值即可.
【详解】解:

当 时,原式 .
55.已知,,求下列各式的值:
(1);
(2).
【答案】(1);
(2)8.
【分析】本题考查了二次根式的化简求值.
(1)由,的值,求出与的值,将原式提取公因式得到,代入计算即可;
(2)由(1)得,,将原式利用完全平方公式变形后代入计算即可.
【详解】(1)解:∵,,
∴,,
∴.
(2)解:由(1)得,,
∴.
56.先化简,再求值:,其中.
【答案】,
【分析】本题主要考查分式的化简求值,直接将括号里面通分运算,进而利用分式的混合运算法则计算得出答案.
【详解】解:
∴原式
57.已知,.
(1)分别求,的值;
(2)利用(1)的结果求下列代数式的值:
①;
②.
【答案】(1),
(2)①;②
【分析】本题考查的是二次根式的化简求值,平方差公式的运用,二次根式的混合运算,熟知二次根式的加减法则是解题的关键.
(1)直接把x,y的值代入进行计算即可;
(2)把(1)中的,的值代入进行计算即可.
【详解】(1)解:,,


(2)由(1)知,,
①;
②.
58.若,,求:
(1);
(2)求.
【答案】(1)
(2)18
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值:
(1)先求出,,再根据进行求解即可;
(2)先求出,,再把所求式子变形为,据此求解即可.
【详解】(1)解:∵,,
∴,,


(2)解:∵,,
∴,


59.先化简,再求值..已知.
【答案】;2
【分析】本题考查了分式化简求值,先通分括号内,再进行除法,然后化简得出,再把代入,进行运算即可作答.
【详解】解:原式

∵,
∴原式.
60.阅读材料,并解决问题:定义:将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化.
如:将分母有理化,解:原式.
运用以上方法解决问题:
已知:.
(1)化简;
(2)求的值.
【答案】(1),;
(2).
【分析】()仿照已知化简即可;
()求出、的值,再把它们代入代数式计算即可求解;
本题考查了二次根式的化简求值,掌握分母有理化是解题的关键.
【详解】(1)解:,

(2)解:∵,,
∴,,
∴原式


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