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暑假作业03 图形的旋转与中心对称
知识点01 旋转的概念和性质
将图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转.
一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.
知识点02 中心对称与中心对称图形
一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称.这个点叫做对称中心．
成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分.
把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
题型一 旋转对称图形的识别
1．下列图形绕某点逆时针旋转后，不能与原来图形重合的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了旋转对称图形的知识，如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．熟知一些常见图形的旋转特性是解题的关键.
【详解】解：A、绕它的中心旋转能与原图形重合，故本选项不符合题意；
B、绕它的中心旋转能与原图形重合，故本选项不符合题意；
C、绕它的中心旋转不能与原图形重合，故本选项符合题意；
D、绕它的中心旋转才能与原图形重合，故本选项不符合题意，
故选C．
2．下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是的有 ．（填序号）
【答案】（1）（3）（5）
【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．根据旋转对称图形的定义对六个图形进行分析即可．
【详解】解：（1）旋转后与初始位置重合，是旋转对称图形；
（2）旋转后与初始位置重合，是旋转对称图形；
（3）旋转后与初始位置重合，是旋转对称图形；
（4）旋转后与初始位置重合，是旋转对称图形；
（5）旋转后与初始位置重合，是旋转对称图形；
（6）不是旋转对称图形；
故答案为：（1）（3）（5）．
3．如图，正五边形的边长等于2，分别以正五边形各边为直径，向外作半圆．
(1)这个图形________（填“是”或“不是”）旋转对称图形，若是，则旋转中心是点________，最小旋转角为________；
(2)求阴影部分的周长和面积（用含π的式子表示）．
【答案】(1)是，O，
(2)周长为，阴影部分的面积为
【分析】此题考查了旋转对称图形，熟练掌握旋转对称图形的概念以及最小旋转角的求法是解答此题的关键．旋转对称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心．根据定义可知，最小旋转角等于周角除以正多边形的边数．
【详解】（1）解：根据题意，可知这个图案是旋转对称图形，点是旋转对称中心，
这个图案的最小旋转角为；
故答案为：是，O，
（2）由题意得，阴影部分的周长为，
阴影部分的面积为．
题型二 旋转的性质及辨析
1．下列说法中正确的有（ ）
（1）如果把一个图形绕着一定点旋转后和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称；
（2）如果两个图形关于一点成中心对称，那么其对应点之间的距离相等；
（3）如果一个旋转对称图形有一个旋转角为，那么它不是中心对称图形；
（4）如果一个旋转对称图形有一个旋转角为，那么它是中心对称图形．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】根据中心对称图形定义及性质依次判断即可．
【详解】（1）只有旋转后重合才是中心对称，故此说法错误；
（2）对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，但是距离不一定相等，故此说法错误；
（3）如果一个旋转对称图形，有一个旋转角为，那么它有可能是中心对称图形，此说法错误；
（4）如果一个旋转对称图形有一个旋转角为，那么它是中心对称图形，故此说法正确；
说法正确的只有1个，
故选：B．
【点睛】此题考查中心对称图形，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
2、如图，点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为，点D坐标为．若线段AB和线段CD间存在某种变换关系，即其中一条线段绕某点旋转一个角度后可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是
【答案】或
【分析】分点A的对应点为C或D两种情况考虑：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，点E即为旋转中心；②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点N，则问题可求解．
【详解】解：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，如图所示：
∵点A坐标为，点B坐标为，
∴点E的坐标为；
②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点N，如图所示：
∵点A坐标为，点B坐标为，
∴点N的坐标为，
综上所述：这个旋转中心的坐标为或；
故答案为或．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
3．如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，在旋转过程中，当点落在的中点处时，求的度数．

【答案】
【分析】本题主要考查旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，利用旋转的性质结合直角三角形的性质得出是等边三角形，进而得出答案，正确掌握直角三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，

∴，，
∵点可以恰好落在的中点处，
∴点是的中点，
∵，
∴，
∴，
即是等边三角形，
∴，
∵，
∴．
题型三 求旋转对称图形的旋转角度
1．如图，一个万花筒图案，其中平行四边形变成平行四边形，如果看成是经过以点F为旋转中心、旋转角为的旋转移动得到的，那么的度数为（　　）

A． B．
C． D．以上答案都不对
【答案】B
【分析】本题考查了旋转角的定义及求法．对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转角．根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答．
【详解】解：根据图形
可知，
所以可看成是平行四边形以点F为旋转中心，逆时针旋转变成平行四边形的，
所以的度数为．
故选：B
2．如图是环岛行驶的交通标志，表示在环形交叉路口中，车辆按逆时针方向绕行．将这个图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则旋转的角度至少为 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转对称图形，根据图形的对称性，用除以计算即可得解，仔细观察图形求出旋转角是的整数倍是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴旋转的角度是的整数倍，
∴旋转的角度至少是，
故答案为：．
3．规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转或后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．
根据以上规定，回答问题：
(1)下列选项是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________；
A．矩形 B．正五边形 C．菱形 D．正六边形
(2)下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是度的有：________（填序号）．

(3)下列三个结论：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③平行四边形是旋转对称图形．其中正确的个数有________个；
A．0 B．1 C．2 D．3
(4)如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有，，，，将图形补充完整．

【答案】(1)B
(2)（1）（3）（5）
(3)C
(4)
【分析】（1）本题考查旋转图形及中心对称图形的判断，根据旋转图形及中心对称图形定义逐个判断即可的答案；
（2）本题考查旋转图形，根据旋转对称图形的定义逐个判断即可得到答案；
（3）本题考查旋转图形，根据旋转对称图形的定义逐个判断即可得到答案；
（4）本题考查旋转图形，根据旋转角有，，，，结合等腰直角三角形的性质作图即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
矩形，菱形，正六边形即是旋转对称图形又是中心对称图形，
正五边形是是旋转对称图形但不是中心对称图形，
故选：B；
（2）解：由图形可得，
（1）（3）（5）的旋转角有度，
（2）（4）的旋转角最小为，
（6）的旋转角是及其整数倍数，
故答案为：（1）（3）（5）；
（3）解：由题意可得，
中心对称图形是旋转对称图形，平行四边形是旋转对称图形，①③正确，
等腰三角形不是旋转对称图形，②错误，
故选：C；
（4）解：由题意可得，
∵旋转角有，，，，
∴每一个四分之一半圆里均要有两个等腰直角三角形，
∴图形如下图所示，
题型四 旋转与坐标
1．以原点为中心，把点逆时针旋转，得到点B，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是一个点绕原点旋转后对应的点的坐标，根据以原点为中心逆时针旋转，得到的点与该点关于原点对称，即可求得答案．
【详解】解：依题意，点关于原点的对称点为，
即把点逆时针旋转，得到点B，点B的坐标为，
故选：B．
2．如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，，，将绕点O旋转，使点B落在x轴上，则此时点A的坐标为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，等边对等角，勾股定理， 含30度角的直角三角形的性质，分当点F在x轴正半轴时，当点F在x轴负半轴时，过点E作于H，根据旋转的性质得到，据此利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出点E的坐标即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
设点A的对应点为点E，点B的对应点为F，
如图所示，当点F在x轴正半轴时，过点E作于H，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当点F在x轴负半轴时，同理可得；
综上所述，当点B落在x轴上，此时点A的坐标为或，
故答案为：或．
3．如图，的顶点坐标分别为，，．
(1)画出关于点的中心对称图形；
(2)画出绕原点逆时针旋转的，直接写出点的坐标为__________；
(3)若内一点绕原点逆时针旋转的对应点为，则的坐标为__________．（用含m，n的式子表示）
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了作图 中心对称与旋转变换，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形，熟记旋转的性质是解题的关键．
（1）根据关于原点对称的点的坐标特征得到的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出的对应点，然后顺次连接，从而得到点的坐标；
（3）利用绕原点逆时针旋转的对应点的规律写出Q的坐标．
【详解】（1）解：即为所求；
（2）即为所求；
；
（3）若内一点绕原点逆时针旋转的对应点为，
则的坐标为．
题型五 坐标与旋转规律问题
1．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边与坐标轴重合，．将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点B的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内坐标的变化规律，旋转，矩形的性质，先根据矩形的性质可知，再作出旋转后的图形，进而找到B点的坐标规律即可．
【详解】解：，
．
将矩形绕点O逆时针旋转，如图
可知：，…，
则：每旋转4次则回到原位置，
，
即：第2024次旋转结束时，完成了506次循环，又回到了原来的位置，
的坐标为．
故选：C．
2．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，点，点，将矩形绕点A逆时针旋转，每次旋转，当第2026次旋转结束时，点C对应的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查旋转的知识，点坐标规律问题，熟练根据旋转的知识确定旋转后的位置是解题的关键．
根据矩形的性质作出旋转后的图形，找到C点的坐标规律即可．
【详解】解：将矩形绕点A逆时针旋转，如图

可知：，，，…，
则：每旋转4次则回到原位置，
∵，
即：第2026次旋转结束时，完成了506次循环，又旋转了2次，
∴当第2026次旋转结束时，点C对应的坐标是．
故答案为：．
3．如图，为等腰三角形，顶点的坐标，底边在轴上．将绕点按顺时针方向旋转一定角度后得到，点的对应点在轴上，请你求出点的坐标．
【答案】点的坐标为
【分析】过点作于，过点作于，根据点的坐标求出、，再利用勾股定理列式计算求出，根据等腰三角形三线合一的性质求出，根据旋转的性质可得，然后运用三角形面积以及勾股定理求出，再求出，然后写出点的坐标即可．
【详解】解：如图，
过点作于C，过点作于D，
∵，
∴，，
由勾股定理得，，
∵为等腰三角形，是底边，
∴，
由旋转的性质可得，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化 旋转，主要利用了勾股定理，等腰三角形的性质，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
题型六 中心对称
1．如图，与关于O成中心对称，下列不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了中心对称的性质，掌握中心对称的性质是解题关键．根据中心对称的性质逐项判断即可．
【详解】解：∵与关于O成中心对称，
∴，，，
故A，B，D正确，不符合题意．
∵和不是对应边，
∴不一定相等，故C错误，符合题意．
故选C．
2．如图，与关于点成中心对称，若点A的坐标为，则点的坐标为 ．

【答案】
【分析】根据中心对称的性质，为的中点，即可求解．
【详解】解：与关于点成中心对称，点A的坐标为，
设，
依题意，，
解得：，
点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了中心对称的性质，掌握中心对称的性质是解题的关键．
3．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，，点的坐标为．
(1)与关于点中心对称，其中点与点对应，点与点对应，请在坐标系中画出，并写出点的坐标；
(2)若点是内部任意一点，请直接写出这个点关于点中心对称的对应点的坐标．
【答案】(1)画图见解析，
(2)
【分析】（1）根据中心对称的性质画出图形，即可求解；
（2）设，根据点与关于中心对称，根据中点坐标公式，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，
（2）解：依题意，点与关于中心对称，
设，
则
∴
∴
【点睛】本题考查了画中心对称图形，中心对称的性质，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．
题型七 中心对称与坐标
1．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．3
【答案】A
【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆关于原点对称点的性质是解题关键．
根据关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是，进而得出答案．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，，
则的值为：．
故选：A．
2．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内关于原点对称两点坐标特征，根据关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数这一特征求解即可．
【详解】解：已知点与点关于原点对称，
则，即
故答案为：
3．已知点，解答下列问题：
(1)若点与关于原点对称，求点的值；
(2)若点，且直线平行于轴，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查直角坐标系中点的特征，关于原点对称的点坐标特征；
（1）根据原点对称的两点横纵坐标都互为相反数求解即可；
（2）根据直线平行于轴可得、两点纵坐标相等列方程计算即可．
【详解】（1）∵点与关于原点对称，
∴，
解得；
（2）∵点，且直线平行于轴，
∴点纵坐标为9，
∴，解得，
∴．
1．我国古代数学的许多创新和发展都曾位居世界前列，如杨辉三角、赵爽弦图、刘徽的割圆术、李冶天元术图就是其中四例．在这四个图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解决问题的关键．中心对称图形定义：把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判断即可得出结论．
【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故选项不符合题意；
B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故选项符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故选项不符合题意；
故选：B．
2．如图，与关于点 O 成中心对称，连接．下列结论不一定成立的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了成中心对称图形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定等知识．熟练掌握成中心对称图形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定是解题的关键．
由与关于点 O 成中心对称，可得，则，，可判断A；证明，可判断D；由，可得，可判断B；不一定成立，可判断C．
【详解】解：∵与关于点 O 成中心对称，
∴，
∴，，故A不符合要求；
∵，，，
∴，故D不符合要求；
∴，
∴，故B不符合要求；
不一定成立，故C符合要求；
故选：C．
3．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，图形的旋转性质．根据图形的旋转性质，得，已知，结合等腰三角形的性质及三角形的外角性质，得，再根据三角形内角和定理即可求出度数，再由旋转性质得出度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵将绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
4．如图，矩形中，顶点，，，将矩形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第秒旋转结束时，点的坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查坐标与图形，图形的旋转和矩形的性质，根据所给旋转方式可知每旋转八秒，点的坐标重复出现，再根据四边形是矩形，求出点坐标可解决问题，通过旋转角度找到旋转规律是解题的关键．
【详解】∵，
∴每旋转八次，点的坐标重复出现，
∴，
∴秒旋转结束时点的位置，与第秒旋转结束时点的位置相同，
连接和，
∵四边形是矩形，
∴和互相平分，
∴，，
∴，，
∴点的坐标为，
又，
∴第秒旋转结束时的点与点关于坐标原点对称，
∴此时点的坐标为，
即第秒旋转结束时，点的坐标为，
故选：．
5．如图，方格纸上的两条对称轴相交于中心点O，对分别作下列变换，其中，能将与重合，即点A与点重合，点B与点重合，点C与点重合的是：（ ）
①先以点A为旋转中心顺时针旋转，再向右平移4格、向上平移4格；
②先以点O为对称中心画出与成中心对称的图形，再以点A的对应点为旋转中心逆时针旋转；
③先以直线为对称轴画出与成轴对称的图形，然后向上平移4格，再以点A的对应点为旋转中心顺时针旋转．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】本题考查图形的变化，要求学生熟练掌握平移、旋转和轴对称变化的性质与运用．根据图形的平移、旋转和轴对称变化的性质与运用得出．
【详解】解：①通过画图可知，此方法可以将与重合，故此方法正确，
②通过画图可知，此方法可以将与重合，故此方法正确，
③通过画图可知，此方法可以将与重合，故此方法正确，
故选：D．
6．若与点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点和点的坐标，根据关于原点对称的点的坐标特点求出点的坐标，根据第四象限点的坐标特征列出不等式组，解不等式组即可，掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是是解题的关键．
【详解】解：点关于原点对称的点在第四象限，
∴点在第二象限，
∴，
解得：，
故答案为：．
7．如图，直线与x轴交于点A，将该直线绕点A旋转，得到的直线解析式为 ．
【答案】
【分析】本题考查旋转的性质，待定系数法求函数解析式，一次函数性质，记直线解析式与轴交与点，原点为，利用解析式得到点A，，根据题意可绕点A逆时针旋转得到，得到旋转后的直线，利用旋转的性质得到，设旋转后的直线解析式为，利用待定系数法求出函数解析式，即可解题．
【详解】解：记直线解析式与轴交与点，原点为，
直线解析式为，
点A，，
该直线绕点A旋转，
即绕点A逆时针旋转得到，
，，
，
设旋转后的直线解析式为，且直线过点A，，
，解得，
旋转后的直线解析式为．
故答案为：．
8．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点，，，，，，均在格点上，下列结论：①点与点关于点中心对称；②连接，，，则平分；③连接，则点，到线段的距离相等．其中正确结论的序号是 ．
【答案】①②③
【分析】本题考查中心对称，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形性质及应用等，解题的关键是掌握中心对称的概念，能熟练应用全等三角形的判定定理．根据中心对称概念，全等三角形判定与性质，点到直线的距离等逐个判断．
【详解】解：①连接，如图：
由图可知，点与点关于点中心对称，故①正确；
②如图：
由可知，
，平分，故②正确；
③取上的格点，，连接，，如图，
由正方形性质可知，
到的距离为的长度，到的距离为的长度，
而，
点，到线段的距离相等，故③正确；
正确结论是①②③；
故答案为：①②③．
9．如图，已知点， ， ．
（1）若线段绕点旋转，使点B与点C重合，设点A的对应点为D，直接写出点D的坐标 ；
（2）若将线段绕另一点旋转一定角度，也可使其与（1）中的线段重合，则这个旋转中心的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查坐标与图形变化 旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
（1）画出图形，观察坐标系即可得点D坐标；
（2）对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【详解】解：（1）如图，
观察图象可知，点D的坐标为，
故答案为：；
（2）点A与C对应，点B与D对应时，如图：
此时这个旋转中心的坐标为；
故答案为：．
10．如图，在中，，，点在上，连接，作等腰直角，，连接，交于点，若，，则的长为 ．

【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质的综合，掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
根据等腰直角三角形的性质，将绕点逆时针旋转得，可得直角，根据勾股定理可求出的长，根据全等三角形的判定和性质可证，可求出的值，过点作，根据勾股定理可求出的值，在直角中根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵是等腰三角形，，
∴是等腰直角三角形，，，
∴，
如图所示，将绕点逆时针旋转得，则与重合，连接，

∴，，，,
∴，
在直角中，，
∵，
∴，
∴，则，，
∴，
如图所示，过点作于点，且，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在直角中，，
故答案为： ．
11．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取3个涂上阴影：（请将两小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）

(1)使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形而非中心对称图形．
(2)使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形而非轴对称图形．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
【分析】本题考查了利用轴对称和中心对称设计图案，掌握轴对称和中心对称图形的概念是解题的关键．
（1）根据轴对称图形的定义画出图形，同时保证非中心对称图形即可；
（2）根据中心对称图形的定义画出图形构成一个平行四边形即可；
【详解】（1）组成一个轴对称图形而非中心对称图形如图所示，

（2）组成一个中心对称图形而非轴对称图形如图所示：

12．如图，在的方格纸中，每个小方格的边长为．已知格点，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．
(1)在方格纸中画一个等腰三角形，使底边长为，点在上，点在上；
(2)画出绕矩形的中心旋转后的．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了格点作图，画中心对称图形，勾股定理，等腰三角形的定义；
（1）底边长为即底边为小方格的对角线，根据要求画出底边，再在其底边的垂直平分线找到在格点上的顶点即可得到等腰；
（2）根据中心旋转性质作出绕矩形的中心旋转180°后的图形．
【详解】（1）画法不唯一，如图，
（2）解：如图所示，
13．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称．
(1)求a，b的值．
(2)已知点，将点C绕原点按逆时针方向旋转后，其对应点的坐标为________．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内关于原点对称的点的特征，点的旋转，全等三角形的性质和判定等，
（1）根据两个点关于原点对称横纵坐标都互为相反数，确定a，b的值即可；
（2）先确定点C，再根据旋转的性质确定点，然后根据全等三角形的性质得出答案．
【详解】（1）∵点，点关于原点对称，
∴，
解得；
（2）由（1），得点，将点C绕原点逆时针旋转得到点，如图所示.
作轴，于点D，作轴，于点E. 根据题意可知，，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴点．
故答案为：．
14．如图，等腰中，，，点为斜边上一点（不与，重合），，连接，将线段绕点顺时针方向旋转至，连接、．
(1)求证：
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查旋转的性质及全等三角形的判定与性质，熟知图形旋转的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据旋转的性质，得出全等三角形判定的条件即可解决问题．
（2）根据全等三角形的性质，得出，进而得出，再利用勾股定理即可解决问题．
【详解】（1）证明：由旋转可知，
，，
，
，
．
在和中，
，
；
（2）解：，
，．
是等腰直角三角形，
，，
．
又，
则在中，
，
故的长为．
15．综合与实践
【观察猜想】（1）如图1，与都是等腰直角三角形，其中，，点在线段上，连接，则和的数量关系是______．
【探索证明】（2）如图2，将（1）中的绕点顺时针旋转，点落在线段上，其他条件不变，此时的度数是______，并探究线段之间的数量关系，并说明理由．
【拓展探究】（3）如图3，是等腰直角三角形，其中为外一点，，连接，若，请求出的长．
【答案】（1）（2），理由见解析；（3）5
【分析】（1）由“”可证，可得；
（2）根据证明，得，，由勾股定理可求，，据此即可求解；
（3）过点作，交的延长线于，连接．证明是等腰直角三角形，得出，得出，得出，求出，即可得出答案．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴；
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，过点作，交的延长线于，连接．
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
又，，
，
，
，
．
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
1．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，中，，将逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据旋转可得，再结合旋转角即可求解．
【详解】解：由旋转性质可得：，，
∵，
∴，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了几何—旋转问题，掌握旋转的性质是关键．
2．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，根据将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，可得△ABC是等边三角形，又A（0，2），C（m，3），即得，可得，，从而，即可解得．
【详解】解：过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，如图所示：
∵CD⊥x轴，CE⊥y轴，
∴∠CDO=∠CEO=∠DOE＝90°，
∴四边形EODC是矩形，
∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，
∵A（0，2），C（m，3），
∴CE＝m＝OD，CD＝3，OA＝2，
∴AE＝OE OA＝CD OA＝1，
∴，
在Rt△BCD中，，
在Rt△AOB中，，
∵OB＋BD＝OD＝m，
∴，
化简变形得：3m4 22m2 25＝0，
解得：或（舍去），
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含m的代数式表示相关线段的长度．
3．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，是正三角形，点A在第一象限，点、．将线段　绕点C按顺时针方向旋转至；将线段绕点B按顺时针方向旋转至；将线段绕点A按顺时针方向旋转至；将线段绕点C按顺时针方向旋转至；……以此类推，则点的坐标是 ．

【答案】
【分析】首先画出图形，然后得到旋转3次为一循环，然后求出点在射线的延长线上，点在x轴的正半轴上，然后利用旋转的性质得到，最后利用勾股定理和含角直角三角形的性质求解即可．
【详解】如图所示，

由图象可得，点，在x轴的正半轴上，
∴．旋转3次为一个循环，
∵
∴点在射线的延长线上，
∴点在x轴的正半轴上，
∵，是正三角形，
∴由旋转的性质可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴同理可得，，，
∴，
∴，
∴，
∴由旋转的性质可得，，
∴如图所示，过点作轴于点E，

∵，
∴，
∴，
∴，，
∴点的坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，勾股定理，等边三角形的性质．正确确定每次旋转后点与旋转中心的距离长度是关键．
4．（2023·江苏连云港·中考真题）以正五边形的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形的顶点落在直线上，则正五边形旋转的度数至少为 °．
【答案】
【分析】依据正五边形的外角性质，即可得到的度数，进而得出旋转的角度．
【详解】解：∵五边形是正五边形，
∴，
∴新五边形的顶点落在直线上，则旋转的最小角度是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正多边形、旋转性质，关键是掌握正多边形的外角和公式的运用．
5．（2022·江苏常州·中考真题）如图，点在射线上，．如果绕点按逆时针方向旋转到，那么点的位置可以用表示．
(1)按上述表示方法，若，，则点的位置可以表示为______；
(2)在（1）的条件下，已知点的位置用表示，连接、．求证：．
【答案】(1)(3,37°)
(2)见解析
【分析】（1）根据点的位置定义，即可得出答案；
（2）画出图形，证明△AOA′≌△BOA′（SAS），即可由全等三角形的性质，得出结论．
【详解】（1）解：由题意，得A′(a,n°)，
∵a=3,n=37，
∴A′(3,37°)，
故答案为：(3,37°)；
（2）证明：如图，
∵，B(3,74°)，
∴∠AOA′=37°，∠AOB=74°，OA= OB=3，
∴∠A′OB=∠AOB-∠AOA′=74°-37°=37°，
∵OA′=OA′，
∴△AOA′≌△BOA′（SAS），
∴A′A=A′B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，新定义，旋转的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
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暑假作业03 图形的旋转与中心对称
知识点01 旋转的概念和性质
将图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转.
一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.
知识点02 中心对称与中心对称图形
一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称.这个点叫做对称中心．
成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分.
把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
题型一 旋转对称图形的识别
1．下列图形绕某点逆时针旋转后，不能与原来图形重合的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是的有 ．（填序号）
3．如图，正五边形的边长等于2，分别以正五边形各边为直径，向外作半圆．
(1)这个图形________（填“是”或“不是”）旋转对称图形，若是，则旋转中心是点________，最小旋转角为________；
(2)求阴影部分的周长和面积（用含π的式子表示）．
题型二 旋转的性质及辨析
1．下列说法中正确的有（ ）
（1）如果把一个图形绕着一定点旋转后和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称；
（2）如果两个图形关于一点成中心对称，那么其对应点之间的距离相等；
（3）如果一个旋转对称图形有一个旋转角为，那么它不是中心对称图形；
（4）如果一个旋转对称图形有一个旋转角为，那么它是中心对称图形．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2、如图，点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为，点D坐标为．若线段AB和线段CD间存在某种变换关系，即其中一条线段绕某点旋转一个角度后可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是
3．如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，在旋转过程中，当点落在的中点处时，求的度数．

题型三 求旋转对称图形的旋转角度
1．如图，一个万花筒图案，其中平行四边形变成平行四边形，如果看成是经过以点F为旋转中心、旋转角为的旋转移动得到的，那么的度数为（　　）

A． B．
C． D．以上答案都不对
2．如图是环岛行驶的交通标志，表示在环形交叉路口中，车辆按逆时针方向绕行．将这个图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则旋转的角度至少为 ．
3．规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转或后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．
根据以上规定，回答问题：
(1)下列选项是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________；
A．矩形 B．正五边形 C．菱形 D．正六边形
(2)下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是度的有：________（填序号）．

(3)下列三个结论：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③平行四边形是旋转对称图形．其中正确的个数有________个；
A．0 B．1 C．2 D．3
(4)如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有，，，，将图形补充完整．

题型四 旋转与坐标
1．以原点为中心，把点逆时针旋转，得到点B，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，，，将绕点O旋转，使点B落在x轴上，则此时点A的坐标为 ．
3．如图，的顶点坐标分别为，，．
(1)画出关于点的中心对称图形；
(2)画出绕原点逆时针旋转的，直接写出点的坐标为__________；
(3)若内一点绕原点逆时针旋转的对应点为，则的坐标为__________．（用含m，n的式子表示）
题型五 坐标与旋转规律问题
1．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边与坐标轴重合，．将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点B的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，点，点，将矩形绕点A逆时针旋转，每次旋转，当第2026次旋转结束时，点C对应的坐标是 ．
3．如图，为等腰三角形，顶点的坐标，底边在轴上．将绕点按顺时针方向旋转一定角度后得到，点的对应点在轴上，请你求出点的坐标．
题型六 中心对称
1．如图，与关于O成中心对称，下列不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，与关于点成中心对称，若点A的坐标为，则点的坐标为 ．

3．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，，点的坐标为．
(1)与关于点中心对称，其中点与点对应，点与点对应，请在坐标系中画出，并写出点的坐标；
(2)若点是内部任意一点，请直接写出这个点关于点中心对称的对应点的坐标．
题型七 中心对称与坐标
1．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．3
2．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则 ．
3．已知点，解答下列问题：
(1)若点与关于原点对称，求点的值；
(2)若点，且直线平行于轴，求点的坐标．
1．我国古代数学的许多创新和发展都曾位居世界前列，如杨辉三角、赵爽弦图、刘徽的割圆术、李冶天元术图就是其中四例．在这四个图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，与关于点 O 成中心对称，连接．下列结论不一定成立的是（ ）

A． B． C． D．
3．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，矩形中，顶点，，，将矩形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第秒旋转结束时，点的坐标为( )
A． B． C． D．
5．如图，方格纸上的两条对称轴相交于中心点O，对分别作下列变换，其中，能将与重合，即点A与点重合，点B与点重合，点C与点重合的是：（ ）
①先以点A为旋转中心顺时针旋转，再向右平移4格、向上平移4格；
②先以点O为对称中心画出与成中心对称的图形，再以点A的对应点为旋转中心逆时针旋转；
③先以直线为对称轴画出与成轴对称的图形，然后向上平移4格，再以点A的对应点为旋转中心顺时针旋转．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6．若与点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围是 ．
7．如图，直线与x轴交于点A，将该直线绕点A旋转，得到的直线解析式为 ．
8．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点，，，，，，均在格点上，下列结论：①点与点关于点中心对称；②连接，，，则平分；③连接，则点，到线段的距离相等．其中正确结论的序号是 ．
9．如图，已知点， ， ．
（1）若线段绕点旋转，使点B与点C重合，设点A的对应点为D，直接写出点D的坐标 ；
（2）若将线段绕另一点旋转一定角度，也可使其与（1）中的线段重合，则这个旋转中心的坐标为 ．
10．如图，在中，，，点在上，连接，作等腰直角，，连接，交于点，若，，则的长为 ．

11．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取3个涂上阴影：（请将两小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）

(1)使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形而非中心对称图形．
(2)使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形而非轴对称图形．
12．如图，在的方格纸中，每个小方格的边长为．已知格点，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．
(1)在方格纸中画一个等腰三角形，使底边长为，点在上，点在上；
(2)画出绕矩形的中心旋转后的．
13．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称．
(1)求a，b的值．
(2)已知点，将点C绕原点按逆时针方向旋转后，其对应点的坐标为________．
14．如图，等腰中，，，点为斜边上一点（不与，重合），，连接，将线段绕点顺时针方向旋转至，连接、．
(1)求证：
(2)若，，求的长．
15．综合与实践
【观察猜想】（1）如图1，与都是等腰直角三角形，其中，，点在线段上，连接，则和的数量关系是______．
【探索证明】（2）如图2，将（1）中的绕点顺时针旋转，点落在线段上，其他条件不变，此时的度数是______，并探究线段之间的数量关系，并说明理由．
【拓展探究】（3）如图3，是等腰直角三角形，其中为外一点，，连接，若，请求出的长．
1．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，中，，将逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于（ ）

A． B． C． D．
2．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，是正三角形，点A在第一象限，点、．将线段　绕点C按顺时针方向旋转至；将线段绕点B按顺时针方向旋转至；将线段绕点A按顺时针方向旋转至；将线段绕点C按顺时针方向旋转至；……以此类推，则点的坐标是 ．

4．（2023·江苏连云港·中考真题）以正五边形的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形的顶点落在直线上，则正五边形旋转的度数至少为 °．
5．（2022·江苏常州·中考真题）如图，点在射线上，．如果绕点按逆时针方向旋转到，那么点的位置可以用表示．
(1)按上述表示方法，若，，则点的位置可以表示为______；
(2)在（1）的条件下，已知点的位置用表示，连接、．求证：．
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