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第十章 二元一次方程组 章末复习
　　1．理解二元一次方程（组）及二元一次方程（组）的解的概念，会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解．
　　2．体会“消元”思想，掌握解二元一次方程组的方法——代入法和加减法，能根据二元一次方程组的结构特征选择合适的解法．
　　3．了解三元一次方程组及其解法，进一步体会“消元”思想，能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法．
　　4．能够根据具体问题中的数量关系，列出二（三）元一次方程组，解决实际问题．
　　会选择合适的方法解二元一次方程组，能利用二元一次方程组解决实际问题．
　　解复杂的二元一次方程组，用二元一次方程组解决复杂的实际问题．
复习导入
　　请你带着下面的问题，进入本章的复习吧！
　　1．举例说明怎样用代入法和加减法解二元一次方程组．“代入”与“加减”的目的是什么？
　　2．比较解三元一次方程组与解二元一次方程组的联系与区别，你能说说“消元”的思想方法在解三元一次方程组中的体现吗？
　　3．用二元或三元一次方程组解决一个实际问题，你能说说用方程组解决实际问题的基本思路吗？
　　【设计意图】以问题串的形式创设情境，引导学生复习回顾已学知识，通过学生回答，检查学生对知识的掌握情况，加深学生对知识的理解，提高学生灵活运用知识的能力．
要点复习
考点一　二元一次方程与二元一次方程组
　　【例1】方程2x－＝0，3x＋y＝0，2x＋xy＝1，3x＋y－2z＝0，x2－x＋1＝0，2x＋6y＝2x中，二元一次方程的个数是（　　）．
　　A．4 B．3 C．2 D．1
　　【师生活动】学生口述解题过程，教师进行指导．
　　【答案】D
　　【解析】2x－＝0不是整式方程，故不是二元一次方程；
　　3x＋y＝0是二元一次方程；
　　2x＋xy＝1中“xy”项的次数为2，故不是二元一次方程；
　　3x＋y－2z＝0中含有三个未知数，故不是二元一次方程；
　　x2－x＋1＝0中只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，故不是二元一次方程；
　　2x＋6y＝2x化为一般形式为y＝0，故不是二元一次方程．
　　综上所述，二元一次方程只有一个．
　　【归纳】识别二元一次方程看两点：
　　一看原方程是不是整式方程，且只含有两个未知数；
　　二看化简为一般形式后的方程是否符合两个未知数的系数都不为0，且含未知数的项的次数都是1．
　　【设计意图】通过例1，考查学生是否知道什么是二元一次方程．通过练习和教师的讲解，进一步加深学生对二元一次方程的理解．
　　【例2】下列方程组中是二元一次方程组的是（　　）．
　　A． B． C． D．
　　【师生活动】教师展示问题，学生独立完成．
　　【答案】D
　　【解析】选项A化简后为只含有一个未知数，故不是二元一次方程组，不符合题意；
　　选项B中“xy”项的次数为2，故不是二元一次方程组，不符合题意；
　　选项C中含有三个未知数，故不是二元一次方程组，不符合题意；
　　选项D化简后为是二元一次方程组，符合题意．
　　【归纳】识别二元一次方程组要“先化再看”：
　　先将方程组化简为最简形式，再判断．
　　一看方程组中的方程是否都是整式方程；
　　二看方程组中是不是只含有两个未知数；
　　三看含有未知数的项的次数是不是都为1．
　　【设计意图】通过例2，考查学生是否知道二元一次方程组的概念．通过学生练习和教师讲解，进一步加深学生对二元一次方程组的理解．
　　【跟踪训练1】若＋＝7是二元一次方程，则mn＝______．
　　【答案】1
　　【解析】由二元一次方程的定义，可得2m－1＝1，3n－2m＝1．
　　解得m＝1，n＝1．所以mn＝11＝1．
考点二　二元一次方程与二元一次方程组的解
　　【例3】若关于x，y的二元一次方程组的解是则a＝______，b＝______．
　　【师生活动】学生独立思考完成，选一名学生代表板演，教师讲评．
　　【答案】2　　3
　　【解析】将代入方程组得解得
　　【归纳】已知二元一次方程（组）的解求字母参数的值的方法：
　　（1）将方程（组）的解代入方程（组）中，得到一个关于待求字母参数的新方程（组），注意当方程中未知数较多时，要先弄清是关于哪些未知数的方程；
　　（2）求解这个新方程（组），得出待求字母参数的值．
　　【设计意图】通过例3，进一步加深对二元一次方程（组）的解的理解，让学生能灵活运用二元一次方程（组）的解求字母参数的值．
　　【跟踪训练2】如果是方程x－3y＝－3的一组解，那么5－a＋3b＝______．
　　【答案】8
　　【解析】将代入方程x－3y＝－3，得a－3b＝－3．
　　所以5－a＋3b＝5－(a－3b)＝5－(－3)＝8．
　　【跟踪训练3】已知x＝4，y＝－2与x＝－2，y＝－5都是方程y＝kx＋b的解，则k＋b＝______．
　　【答案】－
　　【解析】将x＝4，y＝－2代入方程y＝kx＋b得－2＝4k＋b，①
　　将x＝－2，y＝－5代入方程y＝kx＋b得－5＝－2k＋b，②
　　联立①②，得解得所以k＋b＝－4＝－．
考点三　二元一次方程组的解法
　　【例4】选择合适的方法解下列方程组：
　　（1） （2）
　　【师生活动】学生独立解答，小组内部交流纠错，教师进行指导．
　　【答案】解：（1）①×2，得4x＋6y＝8．③
　　②－③，得5x－4x＝7－8，解得x＝－1．
　　把x＝－1代入①，得y＝2．
　　所以原方程组的解为
　　（2）由①，得y＝2x－7．③
　　把③代入②，得3x＋2(2x－7)＝0，解得x＝2．
　　把x＝2代入③，得y＝－3．
　　所以原方程组的解为
　　【归纳】两种消元法的比较：
思路 方法 特点 消元过程
消元 代入法 未知数的系数为±1 把系数为±1的未知数用另一个未知数表示 代入另一方程得到一元一次方程
加减法 某个未知数的系数 相等 两个方程相减 得到一元一次方程
相反 两个方程相加
　　【设计意图】通过例4，检查学生对代入法和加减法的掌握情况，通过实践，巩固选择合适的方法解二元一次方程组．
　　【例5】解方程组：
　　【师生活动】学生小组讨论，尝试完成解答，教师提示学生使用整体思想．
　　【答案】解：设＝m，＝n．
　　则原方程组可转化为解得
　　所以即解得所以原方程组的解为
　　【设计意图】通过例5，引导学生利用整体思想使问题化繁为简，提醒学生注意整体代换求出的结果还要回代到原问题中．
　　【跟踪训练4】解方程组：
　　【师生活动】学生独立解答，小组内部交流纠错，教师进行指导．
　　【答案】解：方法1：①－②，得2y－y＝5－2，解得y＝3．
　　把y＝3代入②，得x＝－1．所以原方程组的解为
　　方法2：由①，得x＝5－2y．③
　　把③代入②，得5－2y＋y＝2，解得y＝3．
　　把y＝3代入③，得x＝－1．
　　所以原方程组的解为
考点四　二元一次方程组的实际应用
　　【例6】甲、乙、丙三个工程队要完成A，B两项工程．B工程的工作量比A工程的工作量多25％，甲、乙、丙三队单独完成A工程所需的时间分别是20天、24天、30天．为了完成这两项工程，先派甲队做A工程，乙、丙两队做B工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A工程．问乙、丙两队合作了多少天？
　　【师生活动】学生独立思考作答，教师根据学生的作答情况补充说明．
　　【分析】可设A工程的工作量为1，进而可得B工程的工作量．两个相等关系为“甲独做的工作量＋甲、丙合作的工作量＝1”“乙、丙合作的工作量＋乙独做的工作量＝B工程的工作量”，把相关数值代入求解即可．
　　【答案】解：设乙、丙两队合作了x天，甲、丙两队合作了y天．
　　将A工程的工作量视为1，则B工程的工作量为1＋1×25％＝．
　　由题意，得整理，得解得
　　答：乙、丙两队合作了15天．
　　【归纳】列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤可简记为审、设、列、解、验、答，其关键是确定相等关系，可通过画示意图或列表的方法理解和揭示数量之间的相等关系．当所给的量的单位不统一时，应先统一单位．
　　【设计意图】通过解答本题，让学生复习列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤，培养学生分析和解决问题的能力．
　　【跟踪训练5】用甲、乙两种原料配制某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及价格如下表：
项目 甲种原料 乙种原料
维生素C含量/(单位/kg) 600 100
原料价格/(元/kg) 8 4
　　现要求用72元配制含有5 000单位的维生素C的这种饮料，请问应买这两种原料各多少千克？
　　【答案】解：设应买甲种原料x kg，乙种原料y kg，可得下表：
项目 甲种原料x kg 乙种原料y kg 配制后饮料
维生素C含量/单位 600x 100y 5 000
原料价格/元 8x 4y 72
　　由题意，得解得
　　答：应买甲种原料8 kg，乙种原料2 kg．
考点五　三元一次方程组的解法
　　【例7】解方程组：
　　【师生活动】学生独立解答，小组内部交流纠错，教师进行指导．
　　【分析】先利用加减消元法消去z，得到关于x，y的两个方程，解由这两个方程组成的方程组求出x，y，再利用代入法求z，从而得到原方程组的解．
　　【答案】解：①＋②，得4x＋y＝16．④
　　①－③，得2x－2y＝－2，即x－y＝－1．⑤
　　④＋⑤，得5x＝15，解得x＝3．
　　把x＝3代入⑤，得3－y＝－1，解得y＝4．
　　把x＝3，y＝4代入③，得3＋4＋z＝12，解得z＝5．
　　所以原方程组的解为
　　【归纳】三元一次方程组中未知数较多，要根据各方程的特点，先确定消元对象，再灵活地确定消元步骤和方法，切忌盲目消元．
　　【设计意图】通过具体题目巩固三元一次方程组的解法．
　　【跟踪训练7】解方程组：
　　【答案】解：①＋②，得3x－3y＝15，即x－y＝5．④
　　②－③，得x＋2y＝11．⑤
　　⑤－④，得3y＝6，解得y＝2．
　　把y＝2代入④，得x＝7．
　　把x＝7，y＝2代入③，得z＝－2．
　　所以原方程组的解为
课堂小结
课后任务
　　完成教材第118页复习题10第1～5题．

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