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第十二章 定义 命题 证明
12.1定义
本节课是苏科版初中数学七年级下册第十二章第一节内容．本章是初中数学从“直观几何”向“逻辑推理”过渡的关键章节，本课是本章的起点，建立在学生对几何图形（如三角形、平行线）的直观认识，以及代数中的基本概念（如等式、不等式）的基础上，为后续学习“命题”“定理”“证明”奠定基础.本节课中通过复习已学习的概念，发现它们的特点，总结归纳定义的概念，进而根据一个概念的定义判断一个对象是否属于这个概念，又引导学生通过绘示意图直观表示概念之间的从属关系，在讨论活动中区分“定义”与“性质描述”，理解定义的内涵，对新情境产生的名词进行下定义.通过真实情境尝试自主下定义， 也能对熟悉的数学对象下定义，理解定义是推理的基础，从而感受数学语言的精确性，养成严谨的思维习惯.认识到定义在数学体系中的重要性，激发对逻辑推理的兴趣.
学生在学习本时，已具备一定的知识基础和学习能力．因为学生在这之前已经学习过很多概念、定义等知识，且在教师的引导了解概念间关系，但区分、建立从属关系能力还有待加强，通过理解定义的概念，区分概念间的关系，培养学严谨的逻辑能力．
　　1. 理解定义的概念，会根据一个概念的定义判断一个对象是否属于这个概念，会利用示意图表示概念之间的关系.
　　2. 能给数学对象下定义，理解定义是几何推理的依据.
　　3. 感受数学语言的精确性，养成严谨的思维习惯.认识到定义在数学体系中的重要性，激发对逻辑推理的兴趣.
重点：理解定义的概念，会根据一个概念的定义判断一个对象是否属于这个概念，会利用示意图表示概念之间的关系.
　　难点：能给数学对象下定义，理解定义是几何推理的依据.
本章引入
　概念、命题、推理是数学学科的基础.概念需要定义,命题需要证明.
　推理是数学学习与研究的基本活动.我们要逐步掌握逻辑推理的基本方法,学会规范地表达证明
过程.
　通过定义和证明,我们不仅可以得到一些“信得过”的概念和结论,而且可以学会有逻辑地思考
问题,养成 “重证据、有条理”的思维习惯 .
∠A+∠B+∠ACB =180°
情境导入
问题：同学们，你们听说过Deepseek吗？请描述一下它是什么？
师小结：Deepseek是生成式人工智能大模型，让我们来一起探究吧！
师生活动：教师演示，学生倾听，感受人工智能的优势；独立思考．
设计意图：通过体验Deepseek大模型，感受科技的发展，从生活中的情境，从情境中对定义的感知与理解，激发学生的学习兴趣与热情．
探究新知
活动一：定义
问题 我们已经学习过许多的数学概念，你能说出下列名称的概念吗？
整数：
方程：
两点之间的距离：
平行线：
对顶角：
答：
整数：正整数、负整数、零统称为整数.
方程：含有未知数的等式叫作方程.
两点之间的距离：两点之间线段的长度叫作这两点之间的距离.
平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线
对顶角：两条相交直线所成的四个角中，有公共顶点没有公共边的两个角称
思考：通过这些概念，你发现什么？
答：对某一概念作出了明确规定
师小结：对一个概念作出明确规定的语句叫作这个概念的定义,有时也说“给概念下定义”.
师提示：1. 根据概念的定义，就可以准确地判断一个对象是否属于这个概念；
2.定义就像标签，把事物与事物区别开；
3. 定义必须是严格的，要避免使用含糊不清的词语.
讨论 根据对顶角的定义判断下面哪些图形中含有对顶角.
分析：两条相交直线所成的四个角中，有公共顶点没有公共边的两个角称为对顶角.
答：解：（1）没有公共顶点，（2）（3）（4）都不是两条直线相交所成的角，这4个图形都不含有对顶角.
师生活动：学生独立思考，指定学生说说答案，师给与一定的反馈.
设计意图：通过回顾以前学习的定义、概念，引导学生明确定义的概念，在此过程中培养学生的表达能力和总结能力．
活动二：利用示意图表达概念之间的关系
问题： 许多概念之间都是有关系的，单项式，整式，代数式之间有什么关系？你能用画图的方式表示出吗？
答：单项式都属于整式，整式都属于代数式.
师小结：数学中常用上图所示的示意图来直观地表示这种从属关系.
尝试 三角形、等腰三角形、等边三角形之间有什么关系？画出表示它们之间关系的示意图.
答：等腰三角形都属于三角形，等边三角形都属于等腰三角形.
师生活动：生思考、尝试绘图，师反馈.
设计意图：通过分类、对比等方法对概念间关系进行分析，引导学生对概念间的从属关系进行梳理..
活动三：探究如何下定义
　　讨论 小亮和几个好朋友玩游戏：每个人轮流在空地上投七颗小石子，谁投的七颗小石子的散度最小就算谁赢.你觉得游戏中的“散度”是什么意思 你能给“散度”下定义吗
　　分析：给概念下定义时要求语言简单明了、标准清晰，可以明确地区分这个概念所包含的对象.
　　答：在这个游戏中，“散度”是表示七颗小石子在空地上分散程度.
　　根据游戏，可以尝试给散度下定义：一些物体在平面上相对于某一处的分散程度.(答案不唯一）
师生活动：生思考、尝试绘图，师反馈.
设计意图：通过探究、谈论真实情境中的新定义，归纳总结得出新定义，在此过程中培养学生的表达能力和总结能力，让学生学会用数学思维思考，体悟数学严谨的语言表达．
应用新知
例1 下面是小明给一些概念下的“定义”，你觉得这些“定义”合适吗？说说你的理由.
(1) 像火车铁轨那样的两条线叫作平行线;
(2) 三条边都相等的三角形叫作等边三角形;
(3) 四条边都相等的四边形叫作正方形;
(4) 有一个角是锐角的三角形叫作锐角三角形.
答：解：(1)不合适.理由：根据定义没法判断一个对象是否属于这个概念，在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线.
　　(2)合适.理由：根据定义可以判断一个对象是否属于这个概念.
　　(3)不合适.理由：根据定义没法判断一个对象是否属于这个概念，需加上四个角也相等才能确定正方形的定义.
　　(4)不合适.理由：根据定义没法判断一个对象是否属于这个概念，直角三角形或钝角三角形中也有2个锐角，但不是锐角三角形.
师生活动：学生独立思考，然后指定学生回答，全班集体交流.
设计意图：通过例题讲解，及时练习巩固所学，培养学以致用、积极思考的习惯，提升学生计算能力．让学生理解运用本节内容.
课堂练习
1.将下列图形分类，并说说分类的依据.
2.回忆并写出下列概念的定义.
绝对值、余角、补角.
3.画示意图表示下列概念之间的关系.有理数、正有理数、负有理数、零.
答：1.解：这些图形可以分类为四边形、三角形、圆，分类的依据是它们的定义
2.解：绝对值：一般地，数轴上表示一个数的点到原点的距离，叫作这个数的绝对值.
余角：如果两个角的度数之和等于90°，那么这两个角互为余角.
补角：如果两个角的度数之和等于180°，那么这两个角互为补角.
3.
【限时训练】
1. 下列语句中，属于定义的是( ).
A. 两点确定一条直线
B. 内错角相等，两直线平行
C. 点到直线的垂线段的长度就是点到直线的距离
D. 两直线平行，同位角相等
2. 下列句子中属于定义的是 .
①两点之间，线段最短；
②两边相等的三角形是等腰三角形；
③同角或等角的余角相等；
④两点之间的线段的长度，叫作这两点之间的距离；
⑤两直线平行，内错角相等；
⑥有一个内角是直角的三角形叫作直角三角形.
自然数6的因数有1，2，3，6，这几个因数具有关系1+2+3=6.像6这样的数叫作完全数(也称完美数)，判断下列各数是否是“完全数”.
（1）8;（2）28.
答：1.C
2.②④⑥.
3.解：8的因数有1，2，4，8，1+2+4=7≠8，因此8不是完全数；
28的因数有1，2， 4，7，14，28，1+2+4+7+14=28，因此28是完全数.
师生活动：学生独立完成，教师批阅.
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.
归纳总结
设计意图：通过归纳总结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
实践作业
小美和朋友们玩“气球靶心”游戏，规则：每人用吹箭射击固定在墙上的五个气球（气球排列成十字形，中心气球为红色靶心，其余四个为白色外围气球）.每轮每人射击一次，最终根据“命中精度”排名。你认为“命中精度”在这个游戏中可以如何定义？如果想让游戏更考验技巧，可以增加什么规则？（例如：距离调整、时间限制等）请同学们课下与同学一起玩这个游戏，并讨论分享.

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