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第十二章 定义 命题 证明
12.2 命题
本节课是苏科版初中数学七年级下册第十二章第二节的内容，它是在学生学习了定义的基础上进行的.本节课主要深入探讨了命题的定义、命题的组成及结构特征，真命题和假命题的区分及互逆命题，这些内容既是对前面所学知识的巩固、深化和发展，又是为后续学习更复杂的逻辑知识（如复合命题、逻辑推理）奠定了基础，因此本节课具有承前启后的重要作用.
本节课从具体问题中抽象出逻辑模型，进而引入命题的定义、命题的组成及结构特征，区分真命题和假命题的方法以及互逆命题，这种从实际到抽象的过渡，有助于学生更好地理解命题的现实意义，激发他们的学习兴趣.在探索命题相关知识的过程中，学生需要观察、分析和归纳命题的逻辑特征，这有助于培养学生的逻辑思维能力和推理能力.
学生在本节课时，已经具备了一定的知识基础和学习能力.因为学生已经学习了定义的基本概念及其初步应用并能够初步运用这些知识进行简单的逻辑推理.此外，学生在前面数学内容的学习中，已经积累了一定的逻辑思维能力和分析问题的能力，能够通过观察和分析命题的结构，理解其逻辑关系.这些知识为学习命题的深入性质提供了重要的支撑.
同时，学生在学习过程中逐渐形成了初步的逻辑推理能力和归纳总结能力，能够通过观察具体实例（如“如果今天是晴天，那么我会去公园”），归纳出命题的逻辑特征.此外，学生在日常生活中对逻辑判断（如交通信号灯的变化、游戏规则的制定等）有一定的感性认识，这为理解命题的逻辑意义和应用提供了现实基础.因此，学生具备了从简单的命题现象过渡到深入探索命题性质的认知基础，能够较好地理解和掌握命题的基本性质及其应用.
　1.理解命题的结构，会将命题写成“如果……那么……”的形式，会区分命题的条件和结论，并判断其真假，了解反例的作用.
　2.通过具体实例，了解原命题及其逆命题的概念，会识别两个互逆命题；
　3.由生活中实例引入命题，由此进一步积累从具体到抽象的数学活动经验，养成良好的数学抽象思维习惯，提高应用数学解决实际问题的能力.
　重点：理解命题的结构，会将命题写成“如果……那么……”的形式，会区分命题的条件和结论，并判断其真假，了解反例的作用.
　难点：由生活中实例引入命题，由此进一步积累从具体到抽象的数学活动经验，养成良好的数学抽象思维习惯，提高应用数学解决实际问题的能力.
情境导入
下列各语句中,
(1)我乃哪吒三太子. (2)你是敖丙吗？
(3)土拨鼠好可怜啊！ (4)石矶娘娘不是人.
(5)冲啊！不许后退！
对事情作出了判断的语句是 .
答：(1)(4)
师生活动：独立思考，学生代表讲述，学生倾听.
设计意图：通过这一情境导入，激起学生学习的兴趣，同时培养他们的逻辑思维能力和语言分析能力，为深入学习本节课的知识作好铺垫.
探究新知
活动一：探究命题的定义
问题：下列语句能判断真假吗
(1)对顶角相等. (2)3加4等于几
(3)直线a与b垂直吗 (4)如果x2=1，那么x=1.
(5)如果a>b，b>c，那么a>c. (6)平方后等于1的数是1.
答： (1)(3) 是疑问句，不能判断真假；
(2)(4)(5)(6)是陈述句，可以判断真假.
师小结：可以判断真假的陈述句叫作命题.
注：1. 一个命题要么为真，要么为假，二者必居其一.；
2.命题是一个陈述句，可以是肯定句和否定句，疑问句、感叹句和祈使句都不是命题.
问题：判断下列语句是不是命题，并说明理由.
(1)锐角和钝角互补吗 (2)如果a0，那么ac(3)同位角相等，两直线平行. (4)如果|a|=|b|，那么a=b.
答：解：(1)不是，它不是陈述句;(2)(3)(4)是
师小结：判断一个语句是不是命题需要“两看”：判断一个语句是不是命题需要“两看”：
(1)看这个语句是不是一个陈述句；
(2)看这个语句是不是做出了某件事情作出肯定或否定的判断.
师生活动：同伴互相说一说，学生代表讲述，学生倾听，教师板书.
设计意图：通过具体的语句分析，有助于学生理解命题的概念.又通过判断语句是不是命题，加强对命题定义的理解，会判断一个句子是不是命题.通过这一活动，学生不仅能够掌握命题的基本定义，还能培养逻辑思维能力和语言分析能力，为后续学习命题的相关知识打下坚实的基础.
活动二：命题的组成
数学命题一般都由 条件 和 结论 两部分组成.
答：
师小结：
师：观察表中的命题1,5有什么共同的结构特征呢？
答：这两个命题都是“如果……那么……”的结构特征.
师小结：命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.
问题：你能将下面的命题，改写“如果……那么……”的形式吗？
当a是自然数时，a2+a是偶数.
同位角相等，两直线平行.
答：解：(1)如果a是自然数时，那么a2+a是偶数.
(2)如果同位角相等,那么两直线平行.
师生活动：学生独立思考，指定学生讲解，师总结.
设计意图：进一步让学生体会命题的定义，理解命题的组成，概括出命题的特征：有“如果……那么……”的结构，进而明确命题的条件和结论，使学生更好地认识命题及其结构.
活动三：真命题和假命题
问题:判断下列命题哪些是正确的，哪些是错误的？
答：命题1,2,3,4师正确的，命题5是错误的.
师小结：命题1,2,3,4所作的判断是正确的，像这样的命题叫作真命题.
命题5所作的判断是错误的，像这样的命题叫作假命题.
问题：下列命题是真命题还是假命题
(1)有公共顶点的两个角是对顶角；
(2)等式两边都加上同一个数或同一个式，所得结果仍是等式.
答：解：图中的∠AOB与∠BOC有公共顶点O,但它们不是对顶角 .
是假命题；(2)是真命题.
师小结：只要能举出一个反例，就可以判断一个命题是假命题.
举反例的关键是找一个符合命题条件，但是不符合命题结论的例子以判断一个命题是假命题.
师生活动：学生独立思考，指定学生讲解.
设计意图：引导学生判断命题的真假，帮助学生理解真命题和假命题的定义,这种判断过程有助于培养学生的逻辑思维能力和批判性思维，同时加深对命题本质的理解.
活动三：认识互逆命题
问题：观察将下面的命题，你有什么发现呢？
两直线平行，同位角相等.
同位角相等，两直线平行.
答：两个命题正好互换了条件与结论的位置.
师小结：两个命题正好互换了条件与结论的位置，把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个命题叫作原命题，另一个叫作原命题的逆命题.
注：互逆命题是指两个命题的关系，这两个命题中，确定其中任意一个为原命题，另一个为其逆命题.
问题：写出一对互逆命题,并判断原命题及其逆命题的真假.
答：解：(1)原命题：所有直角都相等；
逆命题：所有相等的角都是直角；
原命题是真命题，逆命题是假命题；
（2）原命题：如果两个数互为倒数，那么它们的积为1.
逆命题：如果两个数的积为1，那么它们互为倒数.
原命题是真命题，逆命题是真命题；
师小结：逆命题的真假和原命题的真假不相关.
师生活动：学生先独立思考，然后指定学生回答，全班集体交流.
设计意图：通过对比“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”，帮助学生理解互逆命题的定义，又通过判断原命题和逆命题的真假，让学生理解原命题成立其逆命题不一定成立.
应用新知
例1 把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式,指出它们的条件和结论,并判断真假.
(1)等角的余角相等; (2)正方形是轴对称图形;
解:(1)如果两个角是等角的余角,那么这两个角相等.这个命题是真命题.
条件是“两个角是等角的余角”,结论是“这两个角相等”.
(2)如果一个四边形是正方形,那么它是轴对称图形.这个命题是真命题.
条件是“一个四边形是正方形”,结论是“它是轴对称图形”.
例2 写出下列命题的逆命题，并分别判断逆命题的真假.
(1)三个内角都相等的三角形是等边三角形； (2)对顶角相等.
解:(1) 逆命题：等边三角形的三个内角都相等.逆命题是真命题.
(2)对顶角相等可以改写成如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.逆命题是假命题.
师生活动：学生独立完成后教师板演示范．
设计意图：通过例题讲解，学生不仅能够巩固命题的相关知识，还能培养逻辑思维能力和语言表达能力，为后续学习证明，推理等知识打下坚实的基础.
课堂练习
1. 写出下列命题的条件与结论：
(1)如果a＜0,b＜0,那么a+b＜0;
(2)如果c <1,那么c2 －1<0.
2.根据下面的条件,写出一个结论,使之成为一个真命题:
(1)如果2x+1=5,那么 ;
(2)如果a2+b2=0,那么 ;
(3)如果两条直线平行,那么 ;
(4)如果平移线段AB得到线段A'B',那么 .
3.下列各组命题是否为互逆命题
(1)“正方形的四个角都是直角”与“四个角都是直角的四边形是正方形”；
(2)“两个负数的乘积是正数”与 “乘积是正数的两个数都是负数”.
答案：
1.解：(1)条件：a＜0,b＜0，结论：a+b＜0.
（2）条件：c <1，结论：c2 －1<0.
2.(1)x=2；（2）|a|=|b|；（3）同旁内角互补；（4）AB=A'B'（答案不唯一，合理即可）
3.(1)是；（2）)是.
限时训练
1.下列语句不是命题的是(　　)
A．互补的两个角是邻补角
B．锐角都相等
C．画直线AB平行于CD
D．所有的质数都是奇数
2.对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下列四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是(　　)
A．a＝3，b＝2 B．a＝－3，b＝2
C．a＝3，b＝－1 D．a＝－1，b＝3
3.(1)请写出命题“末位数字是5的数能被5整除”的逆命题：
，
(2)“绝对值相等的两个数相等”是 命题.
(3)把命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”改为“如果……那么……”形式为 .
4.已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，有下列四个命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.
其中真命题是________．(填写所有真命题的序号)
5.已知代数式(x－2)2－2(x+3)(x－3)－23，有人认为不论x取何值,该代数式的值均为负数,你认为这种说法 (填“正确”或“不正确”),若不正确,请举出一个反例加以说明.
答案：1. C 2.B
(1)如果一个数能被5整除，那么这个数的末位数字是5;(2)假;(3)如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行.
①②④
解：,不正确.
原式=x2－4x+4－2(x2－9)－23=x2－4x+4－2x2+18－23=－x2－4x－1，
.当x=－2时，原式=－4+8－1=3>0
师生活动：学生独立完成，教师批阅.
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.
归纳总结
　　　　　
设计意图：通过归纳总结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

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