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第十二章 定义、命题、证明
12.3 证明
本节课《证明》是苏科版初中数学七年级下册第十二章第三节，具有承上启下的重要作用．从知识体系上看，在之前的学习中，学生已经对几何图形有了一定的认识，积累了一些直观的几何经验，如平行线的性质、判定等.本节课的内容是对前面所学知识的进一步深化和拓展，将直观的认识上升到理性的证明，使学生对几何知识的理解更加深入和系统．是今后学习平面几何、立体几何以及其他数学分支的基础. 通过这部分内容的学习，学生能够掌握证明的方法和技巧，培养逻辑思维能力，为后续学习更复杂的数学知识做好准备.
本课教材选取了一些基本事实作为证明的出发点，了解证明的意义，知道判断一个数学结论是否正确，仅依靠经验、观察是不够的，需要有理有据地进行推理；同时证明一个命题是真命题的推理过程就是证明.教材在呈现证明内容时，不仅有文字表述，还有图形、符号等多种形式，使抽象的数学知识更加直观、形象，便于学生理解和掌握。同时，教材还安排了丰富的例题和习题，让学生通过练习巩固所学知识，提高证明能力.
学生在学习本节课内容时，已具备一定的知识基础和学习能力，已经积累了一定的数学知识和解题经验，对一些基本的几何概念和性质有了一定的了解，如平行线的性质与判定等，在证明过程中，他们对于需要将文字语言转化为图形语言和符号语言的能力还比较薄弱，难以准确地根据命题画出图形，并写出已知、求证.对于证明题的学习，需要学生具备认真审题、仔细分析、严谨推理的习惯，但一些学生可能会存在审题不仔细、粗心大意等问题，导致对题目条件和要求的理解出现偏差．部分学生可能在学习过程中遇到困难，从而产生畏难情绪，对自己的学习能力缺乏信心. 特别是当他们看到复杂的证明过程或多次尝试证明无果时，容易产生挫败感，进而影响学习的积极性。教师在教学过程中，要充分考虑学生的这些学情特点，采用合适的教学方法和策略.
　　1.感受一些观察、操作活动，并能对获得的数学猜想进行实验验证，体验直观判断不一定正确，从而尝试从数学的角度运用所学的知识和方法需求给出证明，知道证明的意义和证明的必要性.
　　2.掌握证明的基本步骤和书写格式，会进行简单的证明，能正确表述证明过程.
　　3.会用学过的定义、基本事实等去解决一些简单的问题，并能用几何语言进行简单的推理论证，培养推理能力.
重点：掌握证明的基本步骤和书写格式，会进行简单的证明，能正确表述证明过程.
难点：会用学过的定义、基本事实等去解决一些简单的问题，并能用几何语言进行简单的推理论证，
情境导入
回顾上节课--命题的内容，并画一下思维导图：
　　
问题：观察图片，是静的还是动的呢？
师：据心理医生说，图片与心理承受力有关，你的心理承受力越强，图片运动越慢.美国曾经以此作为犯罪嫌疑人的心理测试，据说犯罪嫌疑人看到的图片是高速运动的.
讨论：1．观察图（1），线段AB与CD哪条较长？
2．观察图（2），位于中心位置的两个圆一样大吗？
思考：先说说你的猜想，再量一量证实你的猜想．
师：看上去线段AB比线段CD长，看上去左边圆大于右边.（课件显示）
师：（1）通过度量线段AB、CD的长度，可以证实：线段CD比线段AB长.
两个圆一样大.
师小结：眼见不一定为实，数学中一般不能仅仅凭借观察来判断一个命题的真假.
数学命题一般都由“条件”和“结论”两部分组成，如果我们从命题的“条件”出发，根据一些已知的事实，得出命题的“结论”成立，那么就可以说这个命题为真命题.
师生活动：学生先独立思考，然后教师演示，．
设计意图：引导学生复习上节课的内容，为本节课内容作铺垫.又通过学生观察实际生活中图片，并能对获得的数学猜想进行实验验证，体验直观判断不一定正确，让学生明白数学结论的正确性是需要通过严格的证明来确认的，而不是仅凭直观感觉或经验判断，初步体会证明的必要性.
探究新知
活动一：证明
问题：判断命题“如果，是偶数，那么也是偶数”的真假性.
答：因为，都是偶数，
所以可以设m，（m，是整数），
所以
所以也是偶数.
所以，命题“如果，是偶数，那么也是偶数”为真命题.
师小结：
问题：.判断命题“如果< < ，那么“ < ”的真假性.
答：
师小结：从命题的条件出发，根据一些已知的事实（如概念的定义，基本性质，真命题等），用“因为……，所以……”的形式一步一步推出命题的结论，从而确定这个命题为真命题的过程称为证明.
思考：结合前面两个问题，谁能说说证明过程中包含几个推理呢？
师生活动：教师演示，学生倾听，学生先独立思考，再小组交流讨论，共同探究．
设计意图：使学生学会从基本事实出发，进行有条理的思考和推理，发展初步的演绎推理能力，感受证明的概念，进而理解证明定义，
活动二：证明命题的步骤.
问题：证明：同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行.
思考：这个命题的条件是什么？结论是什么？
条件：两条直线垂直于同一条直线
结论：这两条直线互相平行
思考：你能根据命题的条件画出相应的图形吗？
思考：你能根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证吗？
已知：如图， ，，是同一平面内的三条直线， ⊥, ⊥. 求证： ∥.
证明：因为⊥ (已知)，
所以（垂直的定义）.
因为⊥ (（已知）.
所以（垂直的定义）.
所以∠1=∠2（等量代换）.
所以∥（同位角相等，两直线平行）.
变式1 如图，已知直线 ， . 求证 .
证明：因为（已知），
所以（垂直的定义）.
因为（已知），
所以（两直线平行，同位角相等），
所以（等量代换），
所以（垂直的定义）.
思考:通过上面证明过程，说一说证明的一般步骤是什么？
1.理解题意，分清命题的已知条件，求证结论.
2.需要画图的画出图形，写出已知、求证.
3.写出证明过程.（注：证明中每一步推理都要有依据，这些依据可以是已知条件，也可以是已学过定义，基本事实)
师生活动：第（1）题，教师演示，学生倾听，变式，学生模仿，类比完成，师生互动交流．
设计意图：在证明的过程中，学生需要分析命题的条件和结论，思考如何运用已有的知识和方法进行推理证明，进而归纳出证明命题时的一般步骤，规范的证明书写格式，有助于培养学生思维的严谨性和条理性，让学生养成言之有理、落笔有据的推理习惯．
应用新知
例1 证明：三个连续自然数之和能被3整除．
证明：设这三个自然数分别为k-1,k k+1，其中k≥1.
所设三个自然数的和为(k-1)+k+(k+1)=3k.
∵3k能被3整除，∴这三个自然数的和能被3整除．
注意：为了书写方便，可以用“∵”表示“因为”用“∴”表示“所以”
例2：如图 ，点，，分别是三角形的边，，上的点，，. 证明：.
证明：因为，(已知)，
所以， (两直线平行，同旁内角互补)，
因为，(已知) ，
所以 ，(同角的补交相等) ，
所以.
师生活动：教师板演示范，学生模仿．
设计意图：通过例题讲解，进一步让学生明白什么是证明，明白证明中的每一步必须要有依据，不能相当然.进一步体会证明的意义和必要性.
课堂练习
【教材习题】
1．如图，点A，B ，E在一条直线上，在空格上填写推理的依据．
(1) ∵∠1=∠3(已知),
∴AB∥DC ( ) .
(2) ∵∠DAE=∠CBE(已知) ，
∴ AD∥BC ( ).
(3) （已知），
∴AB//DC ( ).
答：（1）内错角相等，两直线平行．
（2）同位角相等，两直线平行．
（3）同旁内角互补，两直线平行．
2．填空，完成下面的证明过程．
已知：如图，∠BAD = ∠DCB ， ∠1=∠3.
求证：AD∥BC.
证明：∵∠BAD=∠DCB ， ∠1=∠3( ) ，
∴ ∠BAD-∠ =∠DCB-∠ （等式性质），
即 ∠ =∠ .
∴AD//BC( ).
答：已知 1 3 2 4 内错角相等，两直线平行
　　【限时训练】
1. 在下面的括号内，填上推理的根据.
如图，，求证 .
　　
证明：
∵ ，
∴ （ ）.
∴ （ ）.
答：同旁内角互补，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补
2. 在下面的括号内，填上推理的根据.
如图所示，已知：，，，. 求证：.
证明：∵ ， （ ）
∴ （ ）
∴ （ ）
∴ （ ）
∵ （ ）
∴ （ ）
∴ （ ）
∴ （ ）
∵ （ ）
∴ （ ）
∴ （ ）
∴ （ ）
答：已知 垂直的定义 同位角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等
已知 等量代换 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等
已知 垂直的定义 等量代换 垂直的定义
3．证明命题“如果a＞b＞0，c＜0，那么a2+bc＞ab+ac”.
证明：∵a＞b＞0，
∴a2＞ab. ∴a2+bc ＞ ab+bc．
∵a＞b，c＜0，
∴bc＞ac. ∴ab+bc ＞ ab+ac．
∴a2+bc ＞ ab+ac．
师生活动：学生独立完成，教师批阅.
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.
归纳总结
　　　
设计意图：通过归纳总结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
实践作业
如果你是建筑工人,在砌墙时，为了保证砌的墙是直的，经常会在墙的两端拉一条直线，然后沿着这条直线砌砖.如果已知其中一块砖的一条边与这条直线所成的角为 80°且这块砖的这条边与相邻砖的对应边是平行的，证明相邻砖的对应边与直线所成的角也是 80°.

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