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第12章 定义 命题 证明
12.4定理
第1课时
本节课具有重要的教学价值，它不仅是数学知识体系中的关键环节，更是培养学生逻辑思维和推理能力的重要载体．教材通过精心设计的例题和练习，引导学生逐步理解定理的内涵和证明方法，帮助学生建立起严谨的数学思维模式．例如，在学习三角形内角和定理时，教材引导学生回忆小学探究三角形内角和定理的过程，引出本节课证明是三角形内角和的思路，让学生更容易添加辅助线的必要性，又利用三角形内角定理得到三角形内角和定理的推论,让学生更好的理解推论的含义.在教学过程中，教师需要注重引导学生理解定理的条件和结论，帮助学生掌握定理的证明思路和方法．教材中的定理证明部分，采用了多种证明方法，教师可以通过讲解和示范，让学生学会如何运用这些方法进行推理和证明，培养学生的逻辑思维能力和数学表达能力．同时，教师还应注重引导学生将定理应用到实际问题中，帮助学生理解定理的实用性和价值．教师应充分挖掘教材资源，精心设计教学活动，引导学生深入理解和掌握定理知识，提高学生的数学学习能力和综合素质．
学生已经具备了一定的数学基础知识，如基本的几何图形概念、简单的代数运算等，这些为理解定理的表述和应用奠定了初步基础．然而，对于定理的严谨性、逻辑性和抽象性，部分学生可能会感到陌生和困惑．
从学习能力来看，学生在思维活跃度和学习积极性方面表现出明显的个体差异．一些学生能够较快地接受新知识，通过自主探究和小组讨论，能够主动发现定理的应用场景，并尝试运用定理解决简单的实际问题．然而，也有部分学生在学习过程中较为被动，对定理的理解停留在表面，难以将其与实际问题联系起来．在课堂练习中，这些学生往往需要教师的反复指导和提示，才能逐步掌握定理的应用方法．
在学习态度方面，大部分学生对数学学习持有积极的态度，但也有少数学生对数学存在畏难情绪．在学习定理时，他们可能会因为遇到抽象的概念和复杂的证明过程而产生抵触心理，其严谨的证明过程和多种判定方法可能会让学生感到压力较大，从而影响学习效果．因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习态度，通过创设生动有趣的情境、设计富有挑战性的任务等方式，激发学生的学习兴趣，帮助他们克服畏难情绪，增强学习信心，从而更好地掌握定理知识，提高数学素养．
　　1.了解定理、推理的意义，初步理解定理在公理体系中的作用.
　　2. 会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和定理.
　　3.掌握三角形内角和定理及其推论，并会利用它们进行证明或计算.
　　4.继续感受数学的严谨性和数学结论的确定性，树立言之有理、落笔有据的推理意识.
重点：会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和定理.
难点：掌握三角形内角和定理及其推论，并会利用它们进行证明或计算
情境导入
问题：三角形三个内角的和是多少？
答：三角形的内角和等于180°.
思考：你还记得这个结论是如何探索的吗？
答：测量法：任意画一个三角形，用量角器量出各内角的度数，并求它们的和为180°．
撕角法：
师小结：这种“撕角”的办法，其基本思路是：把三角形的三个内角“搬”到一起组成一个平角.
师生活动：学生独立思考，然后指定学生回答.
设计意图：引导学生回顾原来的探究与验证三角形角和的过程，力图从验证活动中获取证明三角形内角的的证明思路.
新知探究
活动一：探究三角形内角和定理
问题：证明“三角形三个内角的和等于180°.
思考：证明命题的基本步骤是什么？
答：
已知：如图，∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
分析：从“撕角”拼图得到启发，需要添加辅助线，将三个角合并成一个平角．过某一顶点作该顶点所对的边所在直线的平行线，利用平行线的性质，将三个角合并成一个平角．
证明：延长BC到点D，过点C作CE∥AB.
∵CE∥AB，
∴∠1= ∠A (两直线平行，内错角相等)，
∠2= ∠B (两直线平行，同位角相等).
∵∠1+∠2+∠ACB =180° (平角的定义)，
∴∠A+∠B+∠C=180°(等量代换).
师追问：你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗
答：
证明：过点A作EF∥BC，如图.
∵EF∥BC，
∴∠B =∠2(两直线平行，内错角相等)，
∠C =∠1(两直线平行，内错角相等).
∵∠2+∠1+∠BAC = 180°(平角的定义)，
∴∠A+∠B+∠C=180°(等量代换).
证明：过点A作AE∥BC,如图.
∵AE∥BC,
∴∠B =∠EAB (两直线平行，内错角相等),
∠EAC+∠C =180°(两直线平行，同旁内角互补) ,即∠EAB +∠BAC +∠C =180°.
∴∠B +∠BAC +∠C =180°(等量代换).
师总结：运用平行线的性质，将三角形的三个角转化为一个平角或同旁内角互补，这种转化思想是数学中的常用方法.
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.
符号语言：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.
一般情况下，数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理．定理可以作为证明后续命题的依据．
师生活动：师生共同完成，互动交流．
设计意图：感悟证明方法的多样性．如果时间允许，教师可引导学生反思、评价自己或他人的推理过程，在探求多种思路中，重点是理解定理的意义和作用，掌握证明的形式与规则．理解“定理”的描述性定义.从理论上看，所有经过证明的真命题都可以作为定理，为了简化理论体系，教材会对定理有所选择，选择的依据是《课标（2022年版）》和教学的必要性.
活动二：探究三角形内角和定理的推论
问题：证明：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
答：
已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角，∠A，∠B 是与它不相邻的两个内角.
求证：∠ACD=∠A+∠B.
证明：∵∠ACD+∠ACB=180°(平角的定义)，
∠A+∠B+∠ACB =180°(三角形内角和定理)，
∴∠ACD =180°－∠ACB，
∠A+∠B=180°－∠ACB(等式的性质).
∴∠ACD=∠A+∠B(等量代换).
师总结：们根据三角形内角和定理推出了一个新结论.
由一个定理直接推出的重要结论，一般叫作这个定理的推论.它和定理一样，也可以作为后续证明的依据.
三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
符号语言：∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD=∠A+∠B.
注意：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角.
拓展：人们在长期生产和生活实践中总结出来的，公认的一些真命题称为基本事实.基本事实是不需要推理论证的真命题，也可以作为判定其它命题真假的依据.
师生活动：学生先独立思考，学生代表回答，然后教师写在黑板上，师给予适当的评价.
设计意图：让学生进一步体会定理是后续推理的依据，数学中，我们常常把由定理直接推出的、重要的真命题作为推论，推论的作用与定理一样，可以作为后继推理的依据．进一步认清三角形的外角，借用三角形内角和推论对于解决与外角相关的证明和计算尤为重要.
应用新知
例1 如图， ∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角，那么∠1，∠2，∠3的和是多少度
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得:
∠1= ∠ABC+ ∠ACB， ∠2= ∠BAC+ ∠ACB，
∠3= ∠ABC+ ∠BAC.
又∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180 °(三角形内角和定理)，
∴∠1+∠2+∠3=2(∠BAC+∠ABC+∠ACB)=360 °(等式的性质).
师总结：三角形的外角和为360°.
例2 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC. 求证：AD∥BC.
分析：要证明AD∥BC，只需证明“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”.
证明：∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)，
∠B=∠C (已知)，
∴∠C=∠EAC(等式的性质).
∵AD平分∠EAC(已知).
∴∠DAC=∠EAC(角平分线的定义).
∴∠DAC=∠C(等量代换).
∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行).
师追问：如何利用“同位角相等”或“同旁内角互补” 证明？
（利用同旁内角互补证明）∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻
的两个内角的和)，∠B=∠C (已知)，
∴∠EAC=2∠C(等式的性质).
∵AD平分 ∠EAC(已知).∴∠EAC=2∠DAC(角平分线的定义).
∴∠DAC=∠C(等量代换).
∵∠BAC+∠B+∠C =180°(三角形内角和定理).
∴ ∠BAC+∠B+∠DAC =180°,即 ∠B+∠DAB =180°(等量代换).
∴ AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行).
（利用同位角证明）证明：∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的
两个内角的和)，∠B=∠C (已知)，
∴∠B=∠EAC(等式的性质).
∵AD平分 ∠EAC(已知).
∴∠EAD=∠EAC(角平分线的定义).
∴∠EAD=∠B(等量代换).
∴AD∥BC(同位角相等，两直线平行).
师生活动：学生先独立思考，完成在练习本上，然后师生共同校对答案．
设计意图：通过例题讲解，帮助学生熟练应用三角形内角和定理及其推论解决问题，数形结合，培养学生的分析和解决问题的能力，同时加深对三角形内角和定理及其推论的理解．
课堂练习
已知：如图，AC，BD相交于点O.求证：∠A+∠B = ∠C+∠D.
写出“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题，判断真假并给出证明.
　　　答：1. 证明：（方法一）
在△ABO中， ∠A+∠B+∠1 =180°，
∴∠A+∠B=180 °－∠1.
同理：∠C+∠D=180 °－∠2，
又∵∠1 = ∠2 ，
∴ ∠A+∠B=∠C+∠D.
证明：（方法二）
∵∠BOC是△ABO的外角，
∴∠BOC=∠A+∠B.
同理：∠BOC= ∠C+∠D.
∴ ∠A+∠B=∠C+∠D.
2. 逆命题是：两个锐角互余的三角形是直角三角形.
这个逆命题是真命题.
已知：如图，在△ABC中，∠A＋∠B=90°，
求证：△ABC是直角三角形.
证明：在△ABC中，
∠A+∠B+∠C=180°且∠A＋∠B=90°，
∴ ∠C=180°－∠A－∠B=90°，
即△ABC是直角三角形.
师生活动：学生独立完成，教师批阅.
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.
限时训练
1.在△ABC中，若∠C=40°，∠A：∠B=1：6，则∠A等于（　　）
A．20° B．120° C．40° D．100°
2.如图，AB//CD，∠A＝37°，∠C＝63°，那么∠F等于 ( )
3. 如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A=40°，∠AOB=75°，则∠C= °.
4.如图，已知CE⊥AB，MN⊥AB，∠EDC+∠ACB=180°. 求证:∠1=∠2.
答：1.A
2.D
3.65°
4.解：∵CE⊥AB，MN⊥AB，
∴MN // CE（垂直于同一条直线的两直线平行），
∴∠2=∠BCE（两直线平行，同位角相等）.
∵∠EDC+∠ACB=180°.
∴ED//BC（同旁内角互补，两直线平行）,
∴∠1=∠BCE（两直线平行，内错角相等）,
∴∠1=∠2.
师生活动：学生独立完成，教师批阅.
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.
课堂小结
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.第十二章 定义 命题 证明
12.4定理
第2课时
本节课是苏科版初中数学七年级下册第十二章第四节的第2课时，是学生逻辑思维发展的重要阶段，起着承上启下的关键作用。此前，学生已经接触了一些简单的几何图形和基本的数学概念，对数学知识有了初步的认识，而本章节在此基础上，进一步引导学生深入理解定义、命题的含义，学会区分真命题和假命题，并掌握定理的证明过程，为后续学习三角形、四边形等几何知识以及更为复杂的数学证明奠定坚实的基础. 本课教材线复习三角形内角和，特殊四边形的内角，进而引入“任意一个四边形的内角和是多少”引导学生从具体问题中抽象出数学模型，进而引入多边形的内角和公式．这种从特殊到一般的过渡，有助于学生更好地理解多边形的内角和定理，激发他们的学习兴趣．类比探索多边形的内角和定理的探索过程，探索多边形的外角和定理.在探索多边形的内角和定理的过程中，学生需要将图形转化为简单的三角形内角和问题，这有助于培养学生的数学思维能力和解决问题的能力础，不仅传授了重要的数学知识，更注重了学生数学素养的全面提升．
学生此前接触过简单几何图形与命题概念，会证明三角形内角和定理，但从直观认知迈向严谨证明，思维转换挑战大. 他们正处于形象思维向抽象思维过渡阶段，对直观图形接受度高，抽象逻辑推导能力不足. 学习态度上好奇心强却易分心，依赖心理普遍. 学生个体差异明显，部分思维敏捷，部分基础薄弱，这些学情特征需要教师因材施教，助力定理2的学习．
1.探索并证明多边形的内角和与外角和定理，体会转化思想在几何中的运用，同时让学生体会从特殊到一般的思考认识问题的方法.
2.掌握多边形的内角和与外角和公式，并能用其解决一些简单的问题.
3.通过动手操作、交流讨论激发学生的学习热情，体验从猜想到证明的成就感，并从中体会数学学习是一个充满探索的过程.
重点：探索并证明多边形的内角和与外角和定理的过程，
难点：掌握多边形的内角和与外角和公式，并能用其解决一些简单的问题.
情境导入
问题：三角形、正方形、长方形的内角和是多少度？
答：180° 360° 360°
思考：任意一个四边形的内角和都等于360°吗
答： 360°
师生活动：教师演示，学生倾听，独立思考．
设计意图：通过情境创设，一方面承接“三角形的内角和定理”，引导学生复习如何证人另一方面渗透“观察、猜想、验证、证明”的思路，锻炼学生的独立思考能力，为推导多边形内角和定理埋下伏笔．
探究新知
活动一：探究多边形内角和定理
问题：你能利用三角形的内角和求四边形的内角和呢？
答：
问题：你能求出任意一个五边形、六边形的内角和吗？
答：
问题 对于n边形的内角和，你有什么猜想
答：如图所示，在n边形内任取一点P，连接PA1，PA2， ，PAn，把n边形分成n 个三角形，所以n 边形的内角和为n×180° 360°=(n 2) 180°.
师：你还有其他证明方法吗？
如图所示，在n 边形的一边上任取一点P 与各顶点相连，连接PA1，PA2，PA3，PA6，…，PAn.得(n 1)个三角形，n 边形内角和n 边形的内角和为(n 1)×180° 180°=(n 2) 180°.
如图所示，从n 边形的一个顶点引出(n 3)条对角线，这(n 3)条对角线把n边形分成
(n 2)个三角形，所以n 边形的内角和为(n 2)·180°.
师小结：多边形内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)·180°.
师生活动：学生独立思考，教师适当的引导，全班交流.
设计意图：通过把多边形转化成三角形，体会转化思想在几何中的运用，同时让学生体会从特殊到一般的思考认识问题的方法.
活动二：探究多边形外角和定理
师：多边形有内角，也有外角，如图，延长CD，得到射线CF，∠EDF是五边形ABCDE的一个外角. 顺次延长多边形的各边：AB，BC，CD，…，在每个顶点处得到一个外角，这些外角的和叫作这个多边形的外角和.
思考： 内角和有一般规律，外角和也有一般规律吗
问题：仿照多边形的内角和研究过程，如何求多边形的外角和
三角形的外角和：
由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得:
∠=∠1+ ∠2， ∠= ∠1+ ∠3，∠= ∠2+ ∠3.
又∵∠1+∠2+∠3=180 °，
∴∠+∠+∠=2(∠1+∠2+∠3)=360 °.
师追问：还有其他方法吗？
答：如图，△ABC的3个内角及3个对应外角共形成3个平角.
因为三角形的内角和为180°，所以三角形的外角和是180°×3-180°=360°.
思考：四边形的外角和等于多少度？
答：如图，四边形ABCD的4个内角及4个对应外角共形成4个平角.
因为四边形的内角和为360°，
所以四边形的外角和180°×4-360°=360°
思考：五边形的外角和等于多少度？ 六边形呢？
答：180°×5-540°=360°.180°×6-720°=360°.
师追问：n边形的外角和是多少？
多边形的外角和=180°·n-多边形的内角和 =180°·n-180°·(n-2) =180°×2=360°.
师小结：多边形外角和定理：n边形的外角和等于360°.
师生活动：学生独立思考，教师适当的引导，全班交流.
设计意图：借助多边形内角和定理和外角定义，获得多边形外角和定理，在此过程中培养学生的表达能力和总结能力，让学生学会用数学思维思考，用数学的语言表达．
应用新知
例1 一个多边形的内角和是720°,则这个多边形是( )
A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形
分析：设这个多边形的边数为n .由多边形的内角和公式，得
(n 2)·180°=720° ，解得n=6 .
所以选C.
变式 一个多边形截去一个内角之后，形成的另一个多边形的内角和是2520°，求原多边形的边数.
思考：一个多边形截去一个内角，可以怎么截呢？以四边形为例.
答：
思考：一个n边形截去一个内角后，边数有什么变化呢？
一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，可能加1.
答：解：设原多边形的边数为n.
①截取一个内角后形成的多边形的边数为n-1. 根据多边形内角和定理得到（n-1-2）×180°=2520°. 解得n=17.
②截取一个内角后形成的多边形的边数为n. 根据多边形内角和定理得到（n-2）×180°=2520°，解得n=16.
③截取一个内角后形成的多边形的边数为n+1. 根据多边形内角和定理得（n+1-2）×180°=2520°. 解得n=15.
答：原多边形的边数可能为15，16，17.
例2 如图所示，∠1，∠2，∠3，∠4 是五边形ABCDE的四个外角,若∠A=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4= ______.
答：
解：如图，因为∠EAB=120°，所以与∠5=180° ∠EAB=180° 120°=60°.
因为多边形的外角和为360°，所以∠1+∠2+∠3+∠4+60°=360°，
所以∠1+∠2+∠3+∠4=360 ∠5=300°
.
师生活动：教师板演示范，学生模仿．
变式 （1）一个多边形的每一个外角都等于30°，它的边数是 ；
一个多边形的每一个内角都等于144°，它的边数是 ；
分析：(1) 如果多边形(边数为n)的每个外角都相等，则n×每个外角的度数=360°．
(2) 设此多边形边数为n，可以根据“(n-2)× 180°=用每一个内角的度数×边数n．还可以先求每个外角的度数，再根据n×每个外角的度数360°来求.
答：（1）12；（2）10；
师生活动：学生先独立思考，再小组交流讨论，共同探究．
设计意图：理解并运用多边形内角和定理和外角和定理解决问题，培养学生的运算能力．
课堂练习
1. 求证:如果一个n边形的所有内角都相等，那么其内角为 .
2.多边形中小于120°的内角最多有几个
答：1.证明： ∵n边形的内角和等于(n-2)·180°，且这n个内角都相等，
∴每个内角 .
2.解：设小于120°的内角有x个，那么这些内角对应的外角和就大于60°x.
∵多边形的外角和等于外角和为360°，
∴60°x＜360°，解得x＜6.
∵x为正整数，∴x=5.
∴多边形中小于120°的内角最多有5个.
限时训练
1.在四边形ABCD中，若∠A与∠C互补， 则它的另一组对角∠B与∠D的关系为 .
2.如果一个多边形的内角和是1440°，那么这个多边形的边数是 （　 ）　
　A.8　　　　B.9　　 　　C.10　 　D.11
3.一个多边形的内角和不可能是 （　 　）
A.360°　　　　B.910°　　　　C.1080°　　 　D.1800°
4.求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
5.如图，S是六边形草地ABCDEF的边AB上一点，小明从点S出发，沿着它的边步行1周，仍回到点S处，小明转过的角度是 ，若六边形草地ABCDEF的每边长为5米，小明走了 米。
答：1. 互补 .2.C3. B .
4.解：由外角的性质可知：∠AGH=∠A+∠B，∠CMG=∠C+∠D，∠EHM=∠E+∠F，
由三角形的外角和为360 ，得∠AGH+∠CMG+∠EHM=360 ．
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360 ．
4.360°，30.
师生活动：学生独立完成，教师批阅.
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.
归纳总结
设计意图：通过归纳总结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.第十二章 定义 命题 证明
12.4定理
第3课时
本节课是苏教版七年级下册12章第4节第3课时，但是在苏教版七年级上册第六章6.4平行线这一节课后阅读已经初步认识了反证法的基本结构，用反证法证明“两直线平行，同位角相等”.但不要求学生掌握，掌握反证法是本节课的教学要求.反证法是数学教学中一种重要证题方法,尽管其应用不如直接证法普遍，但它在数学命题的证明过程中能起到直接证明所起不到的作用，不少数学命题的证明使用直接证法比较麻烦或比较困难甚至不可能时，如能恰当地使用反证法，就可以化繁为简，化难为易，化不能为可能. 苏科版教科书将反证法分散在三个年级开展教学, 解决了初中数学推理证明中的诸多难点: 平行线的性质、是无理数、平行四边形判定的否命题、三角形内角只有一个钝角、切线的性质、直觉误导等, 足见其重要性.所以反证法的教学一定要重视起来.
七年级上学期的教学任务是基于生活经验对数与式, 一元一次方程、进一步认识简单图形并初步感受构造一些比较复杂的图形, 整册未涉及证明推理. 而从七年级下学期开始, 伴随着推理教学要求的提高, 反证法便如影随形. 但七年级下学期时, 学生对推理证明还很陌生，虽然不少学生在七上已经了解了反证法，但是不少初中生对学习反证法感到格外吃力，除了在证明过程中所用到的数学基础知识不牢固等因素，还有一些阻力是来自学生心理上的障碍，比如，看到图形上两条直线画得不平行，即使已知条件中明明写着它们平行的，在推证过程中也往往不自觉地排除反证法证题时，导出了矛盾还不知道已经证明了原结论正确.因此构成了反证法教学的障碍，这正是学生在学习反证法的困难所在. 教学时，可以通过学生已有实践体会浅显的生活方面的事例 ，让学生逐步领会“否定反面、肯定正面”的基本思想开始将反证法用于几何证题时，也宜于用学生已掌握的而且也是最浅显的例子引人.
1.通过实例理解反证法的含义，并了解运用反证法证明的基本步骤；
2.会用反证法证明一些简单的数学命题,在提升对反证法证明的敏感性，提升逆向思维的意识.
3.通过反证法的学习，感受数学命题证明的灵活性，体验数学思维灵活的魅力.
重点：通过实例理解反证法的含义，并了解运用反证法证明的基本步骤；
难点：会用反证法证明一些简单的数学命题
情境导入
问题 《世说新语》记载：王戎七岁，尝与诸小儿游.道边李树多子折枝，诸儿竞去取之，唯戎不动.人问之，答曰：“树在道边而多子，必苦李.”取之，信然..
王戎是怎么知道李子是苦的呢？
答：
师生活动：学生先独立思考，然后指定学生回答，全班集体交流
设计意图：引入反证法这种证明方法要深人浅出，引入日常生活中的实例，促使学生认识到反证法已非新鲜事物.
探究新知
活动：感悟反证法，探究反证法步骤
问题 证明：一个三角形最多有一个钝角.
分析：反过来考虑，如果命题不对，那么一个三角形有两个或者三个钝角.
答：证明：假设△ABC中不止一个钝角,那么可能有两个钝角或三个钝 角 .当有两个钝角时,不妨设∠A,∠B 均为钝角,即∠A>90°, ∠B>90°,则∠A+∠B>180°,所以∠A+∠B+∠C>180°,这与∠A+∠B+∠C=180°矛盾 .同理,当有三个钝角时,也与∠A+∠B+∠C=180°矛盾 .所以假设不正确 .于是△ABC 中最多只能有一个钝角.
师小结：通过否定命题的结论,发现了矛盾,从而反过来肯定命题结论成立的证明方法叫作反证法，
思考：用反证法证明一个命题的步骤是什么？
答：(1)先假设命题的结论不成立.
(2)从这个假设出发,经过若干步推理,得出矛盾 .
(3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定原来命题的结论成立
师生活动：学生先独立思考，师适当的引导.
设计意图：用反证法证明有点难，需要教师适当的引导学生思考. 在教学过程中, 用数学的语言明确问题中的已知和求证，将有助于学生对问题的进一步理解，减少因问题的抽象性所产生学习的障碍，在让学生感知反证法作用的同时, 还要让学生感悟反证法的逻辑和论证流程, 感知矛盾律和排中律, 形成初步的推理能力．
应用新知
例1 已知： ,b,c是三条不同的直线,// b,b.求证： // c.
证明：假设a,c不平行，那么它们相交于一点P(如图).
∵ a// b,b // c.
过点P的两条直线,c都与直线b平行， 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线”产生矛盾.
假设不成立, a // c.
例2 判断命题 “对于任意的有理数a,b ,如果a>b ,那么| a |> | b |”的真假,并说明理由 .
证明：这是一个假命题.理由如下.
取a=1, .
此时a >b，但是| a|< | b |.
所以命题的结论| a |> | b |不成立..
师总结：在说明一个命题是假命题时,常用“举反例”的方法.举反例的关键是找到符合命题条件，但不符合命题结论的例子.
变式 已知a是整数,2能整除,求证：2能整除a.
生：证明：假设2不能整除a.
a整数.
a是奇数，不妨设，
是奇数.
2不能整除,与已知矛盾.
假设不成立, 2能整除a.
师生活动：学生独立思考，完成反证法证题步骤.
设计意图：引导学生形成反面思考问题的习惯，逐步掌握反证法的证明步骤.学生利用反证法对之前学习过的定理或者命题进行证明，不仅仅回顾了旧知，还进行了知识的迁移，培养了逆向思维能力，有助于对反证法的应用意识增强实现，并实现了从“知其然”到“知其所以然”的跨越从而提升了逻辑推理能力和逆向思维能力.
课堂练习
【教材习题】
1.用反证法证明:已知a,b,c是三条不同的直线,如果a//b, a与c相交,那么b与c相交 .
2.举反例说明下列命题是假命题:
(1)如果那么=b;
(2)任何数的平方都大于0;
(3)两个锐角的和是钝角;
(4)如果一点到线段两端的距离相等,那么这个点是这条线段的中点.
答：1. 证明：假设b与c不相交 ，即b//c.
∵a//b,b//c ，
∴a//c,与题中已知a与c相交矛盾
∴假设不成立， b与c相交 .
2.解：（1）反例：取a=1, . 此时，但是b.
(2)反例：0的平方等于0.
(3)∠1=30°，∠2=45°.∠1+∠2=75°<90°.
（4）如图所示，AC=BC，但点C不是线段AB的中点.
【限时训练】
1.某个命题的结论为“x,y,z三个数中至少有一个数为正数”，现用反证法证明，假设正确的是( )
A.假设三个数都是正数
B. 假设三个数都为非正数
C. 假设三个数至多有一个为负数
D. 假设三个数中至多有两个为非正数
答：B
2.已知:m 是正整数,且 是偶数 . 求证:m 是偶数 .
证明：假设m不是偶数，即m是奇数，且，
,
∵n是自然数，∴是自然数，
∴与是偶数相矛盾，
假设不成立，m 是偶数 .
3.已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于．
答： 证明：假设这五个正数，，，，中没有一个大于或等于即都小于，
那么，
这与已知矛盾，所以原命题得证．
师生活动：学生独立完成，教师批阅.
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对反证法的理解及应用.
归纳总结
设计意图：通过归纳总结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识,使学生对反证法的概念有一个完整且清晰的认识，学习数学不仅仅在于掌握数学知识和方法，更应该注重思维培养与应用意识的提升.

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