资源简介

第十一章 一元一次不等式
11．1不等式
第1课时 不等式的概念
本节课是苏科版初中数学七年级下册第十一章第一节第1课时，它是初中数学代数部分的重要内容，具有承上启下的重要作用．方程是等量关系的数学表达，而不等式则是对不等关系的刻画，两者在形式上有相似之处，但又有所不同．教材从两个数的三种关系入手，过渡到生活中的不等关系，通过具体实例引导学生认识不等式的实际意义，体现了数学与生活的紧密联系，让学生在已有的知识基础上进行迁移和拓展，降低了学习难度，使学生能够更好地理解和掌握不等式的相关知识．同时不等式也为后续学习函数、不等式组等内容奠定了基础，是初中数学知识体系中不可或缺的一部分．
学生在学习不等式之前已经掌握了有理数的运算、一元一次方程的解法等相关知识，这为理解不等式的概念提供了有力支撑，但七年级学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，他们对直观、形象的知识更容易接受，对于从实际问题中找出不等关系还存在困难，学生可能需要更多的时间和练习来逐步适应．在学习态度上，部分学生对数学学习兴趣浓厚，愿意主动探索新知识，但在面对不等式应用题时，可能会因缺乏生活经验或对题意理解不准确而感到困难；而一些学生可能对数学学习缺乏信心，需要教师通过鼓励和引导，帮助他们克服畏难情绪，积极参与课堂学习和课后练习．
　　1．理解不等式的概念以及不等式的传递性．
　　2．经历由具体问题建立不等式的过程，能根据实际问题中不等关系列出不等式，进一步发展符号意识，初步体会不等式是刻画现实世界中不等关系的一种数学模型．
　　3．初步认识实际生活与数学息息相关，存在紧密的联系，增强学生学习数学的兴趣.
重点：理解不等式的概念以及不等式的传递性
难点：能根据实际问题中不等关系列出不等式．
本章引入
不等式是表达两个数量之间不等关系的数学工具．本章将学习不等式的概念、基本性质以及一元一次不等式 (组)的概念、解法和应用．
不等式的基本性质是解决不等式问题的基本依据，与等式的基本性质既有联系又有区别．在学习一元一次不等式时，可以与一元一次方程进行类比，要注意它们之间的不同之处．
不等关系在现实世界中普遍存在．一元一次不等式是刻画现实世界中不等关系的重要模型，是分析和解决很多实际问题的重要方法．
“欢乐夏日”游泳馆即将开业了，游泳馆夏季的收费标准如下图所示：
1.填写下表：
2.小明今年夏季计划游泳10次，他选择哪种收费方式比较合适
3.你会选择哪种收费方式 说说你的理由．
答：1.
2.因为250＜300，所以选会员．
3.解：游泳的次数少于等于7，选非会员收费方式；游泳的次数大于7，选办理会员卡.理由：游泳的次数少于等于7，非会员的花费比办理会员卡花费少；选择选非会员收费方式合适；游泳的次数大于7，办理会员卡的花费比非会员少，选办理会员
师生活动：师适当引导，学生回答.
设计意图：第一幅图展示了处于不平衡状态的天平，有助于学生理解“不等关系”的普遍存在、不等式可以清晰表示天平两端物体质量之间的关系．第二幅图突出大象与小象高度大小的反差，教学时可以提示学生考查与象相关的不同数量（如质量、体积、身高、食量等）的大小关系，并在课后查找相关数据．通过比较会员和非会员游泳费用，引导学生发现其中的相等关系、不等关系.让学生学生对本章有一个初步的感知，有利于激发学生的学习兴趣，学生在头脑中建立全章的思维导图，形成体系．
情境导入
问题：任意两个数a，b可能存在怎样关系呢？
答：ab．
其中“=”表示相等关系a=b是等式.
“>”“<”分别表示“大于”“小于”关系，它们都属于 ．a和b不相等也可记为 ．
答：不等关系，a≠b．
问题：数量之间的不等关系普遍存在，你能说出生活中的不等关系吗？
答：比较笔长短……
师生活动：学生独立思考，指定学生回答.
设计意图：从比较a，b两数的大小出发，激发学生深度思考，以熟悉的等式带出不等式,为学习不等式的概念埋下伏笔．
探究新知
活动一：探究不等式的概念
问题：如图，左边托盘中物体的质量小于右边托盘中物体的质量，若设茶包的质量为x g，你能用含x的式子表示不等关系？
答：x+20<50或50>x+20．
问题：图中的交通图标表示该公路某路段上汽车的最高时速不得超过80km.如果一辆汽车的行驶速度是a km/h，那么a与80之间应满足怎样的关系？
答：a≤80．
思考：这里“≤”表示什么意思？
答：a＜80或者a＝80．
小结：读作“a小于或等于80”，也可读作“a不大于80”．
问题：你能用式子表示(a－b)2是一个非负数吗？
答：(a－b)2≥0．
思考：这里“≥”表示什么意思？
答：(a－b)2＞0或者(a－b)2＝0.
小姐：读作：“ (a－b)2大于或等于0”，也可读作：“(a－b)2不小于0”.
问题：观察下面的式子，它们有什么共同特征？
x+20<50，a≤80，ab，(a－b)2≥0
答：用不等号表示不等关系的式子.
师小结：
不等式的概念：用不等号(>，<，≥，≤)表示数量之间关系的式子叫作不等式．
注意：1.不等式中可以不含字母，例如3<4.
式子中必须要有不等号才是不等式．
问题：下列式子中，哪些是不等式？
（1）－2<0； （2）2a＞3－a；
（3）3x+5； （4）a≤3；
a≠3； （6）s=vt.
答：(1)(2)(4)(5)是不等式．
师小结：判断一个式子是不是不等式，关键看式子中有没有不等号，若有，则是；否则不是.
师生活动：教学中注意引导学生感受相等关系、不等关系的对立统一，师问生答，一问一答．
设计意图：从现实生活中引出不等关系，列出不等式，进而归纳出不等式的概念，了解不等式的意义.
活动二：探究不等式的传递性
问题：等式具有传递性：如果a=b，b=c，那么a=c.不等式是否也具有传递性？
答：不等式具有传递性．
问题：类比等式的传递性，如何用字母表示不等式的传递性呢
师小结：如果a＞b，b＞c，那么a＞c．
如果a＜b，b＜c，那么a＜c．
扩充：
如果a≥b，b≥c，那么 ．
如果a≤b，b≤c，那么 ．
答：a≥c，a≤c．
师生活动：学生独立思考，然后指定学生回答.
设计意图：借助三支不同笔的长度直观说明不等式也具有传递性．结合等号的传递性可知：不等号≤和≥同样具有传递性，不等式的传递性是代数推理的基础．
应用新知
例1 用不等式表示下列数量之间的关系：
(1)m(m≠0)的倒数小于－5；
(2)x的3倍与y的差大于等于－1；
(3)小丽每天睡眠时间超过9 h，昨天她的睡眠时间是t h；
(4)某校男子跳高纪录是1.79 m，在今年的校田径运动会上，小明的跳高成绩是h m，打破了该项纪录．
答： （1） ＜－5；
（2）3x－y≥－1；
t＞9；
h＞1.79．
师小结：用不等式表示不等关系时，一定要抓住关键词语，弄清不等式关系，把用文字语言表示的不等关系转化为用数学符号表示的不等式.
讨论：实际生活中有哪些表示不等关系的日常用语？
答：限高、至多、至少、超过、不超过、最高、最小、不高
于、不少于等．
思考：它们分别用怎样的不等号表示？
答：限高(≤)、至多(≤)、至少(≥)、超过( ＞)、不超过(≤)、最高(≤)、最小(≥)、不高于(≤)，不少于(≥)等.
例2 用不等式表示下列数量之间的关系：
(1)一辆48座的客车载有游客x人，途中上来2人后， 仍有空座位；
(2)某天平均气温是t ℃，最低气温是－2 ℃，最高气温是6 ℃；
(3)小丽种了一棵高70 cm 的小树，假设小树平均每周长高0.5 cm，x周后这棵小树的高度不超过100 cm．
答：(1)x+2＜48；(2) t＞－2且t＜6或－2＜t＜6；(3) 0.5x+70≤100．
变式：如何表示下面问题中的不等关系？
(1)汽车以v km/h的速度在某高速公路上行驶，该高速公路的最低时速为60 km/h，最高时速是120 km/h．
(2)梨a元/kg，苹果b元/kg，买2 kg梨、3 kg苹果的费用不超过50元.
(3)甲的体重是x kg，乙的体重是y kg，甲比乙的体重轻；
(4)某校八年级有学生m人，七年级有学生n人，八年级学生人数比七年级学生人数的2倍还要多．
答：(1) v≥60，v≤120； (2) 2a+3b≤50；(3) x＜y；(4) m＞2n．
师小结：用不等式表示数量关系的基本步骤：
一找：认真审题，找到关键词语；
二配：理清不等关系，匹配不等号；
三列：列出不等式.
师生活动：学生先独立思考，然后指定学生回答，全班集体交流．
设计意图：通过题中关键词中获取信息，建立不等式模型，体会不等式的意义.例题中的不等关系隐藏在生活语言的表述中，需要引导学生关注文字语言与数学语言的相互转化，这是培养学生用数学的眼光观察现实世界的关键切人点．
课堂练习
1. 用不等式表示：
(1) a是负数； (2) a不小于4；
(3) x与5的和大于2； (4) x与y的差是非负数.
2. 根据下列含有“最”字的实例，写出不等式：
(1)某动车组列车速度v (km/h)最高可达400 km/h；
(2)某班学生的身高h (m)最高为1.80 m；
(3)某班学生从家到校的路程s (km)最短是1 km.
3. 用不等式表示下列数量关系：
(1)在章头活动中，小明计划游泳x次，选择办理会员卡更合算；
(2)按下列方式搭“小鱼”，用60根火柴棒最多可搭n 条“小鱼”.
答：1.（1）a＜0；（2）a≥4； （3）x+5＞2；（4）x－y≥0.
(1)v≤400；(2)h≤1.80；(3)s≥1.
3.(1)150+10x＜30x；
分析：搭1条小鱼用8根火柴棒，以后每多搭一条小鱼需要增加6根火柴棒，搭第n条小鱼用 （6n+2）根火柴棒.
答：6n+2≤60.
限时训练
1．有下列式子：①－5＜7；②3y－6≥0；③a＝6；④x－2；⑤a≠2； ⑥7y－6＞5y＋2.其中是不等式的有 （　　）
A.2个 B.3个 　C.4个　 D.5个
2．填表：
3. 用不等式表示下列数量之间的关系：
(1)小明每天跑步x min，学校规定每名学生每天跑步的时间不少于20 min；
(2)某次知识竞赛共有20道题，每答对1道题得10分，答错或不答1道题倒扣5分，娜娜答对了n 道题，她的得分超过了90分；
(3)一袋实际质量为y g的牛奶包装盒上标重(200±2)g.
答：1．C．
2．
3．（1）x≥20；（2）10n－5(20－n)＞90；（3）200－2＜y＜200＋2或198＜y＜202．
师生活动：学生独立完成，教师批阅．
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用．
归纳总结
设计意图：通过归纳小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识．
实践作业
寻找生活中含有不等关系的例子，并用不等式表示出来．第十一章 一元一次不等式
11.1不等式
第2课时 不等式的性质
本节课是苏科版初中数学七年级下册第十一章章第一节的第二课时，具有承上启下的重要作用．从知识体系上看，它是在学生掌握等式性质及有理数运算基础上的延伸，它是后续学习一元一次不等式、一元一次不等式组及其解法的理论基石，为后续学习解不等式和不等式组及实际应用（如优化问题）奠定理论支撑；不等式性质是初中阶段“代数推理”的重要组成部分，培养学生从具体到抽象的数学思维能力.
本课教材通过创设实际问题情境，如“小明和小丽的年龄比较”等，引导学生从具体问题中抽象出数学模型，通过观察、类比、猜想、验证等步骤，发现不等式的基本性质．这种从实际到抽象的过渡，有助于学生更好地理解不等式的基本性质，激发他们的学习兴趣．在探索不等式的基本性质的过程中，从简单的不等式变形判断，到运用性质解不等式，逐步提升学生对知识的掌握程度与应用能力，帮助学生在练习中深化对不等式基本性质的理解，将抽象知识转化为实际解题技能. 这有助于培养学生的数学思维能力和解决问题的能力础，不仅传授了重要的数学知识，更注重了学生数学素养的全面提升．
学生在学习《不等式的基本性质》时，已具备一定的知识基础和学习能力．因为学生在七年级上册已学习了等式的基本性质和有理数运算，掌握了用字母表示数的技能，而前一课时对不等式的概念有了初步认识，这也为学习不等式的基本性质提供了知识支撑．
1.通过类比、猜测、探究、验证、归纳出不等式性质，理解并掌握不等式的性质，体会类比思想.
2.能利用不等式的性质解决简单的数学问题，培养应用意识；
3.通过对不等式的性质的合作探究，增强学生团队协作的意识，培养学生学习数学的兴趣.析
重点：理解并掌握不等式的性质
难点：能利用不等式的性质解决简单的数学问题
情境导入
问题：等式的基本性质有哪些呢？
答： 基本性质1：等式两边加上(或减去)同一个数(或整式)结果仍相等；
若a=b，则a±c=b±c.
基本性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.
若a=b，则ac=bc(或=);
问题：类比等式的性质，不等式是否也有类似的性质呢
师：小明的年龄比小丽大.3年后或3年前小明与小丽的年龄之间有什么关系 如何用式子表示
生：
师追问：n年后呢？n年前呢？
答：
师生活动：教师演示，学生倾听，独立思考．
设计意图：通过情境创设，让学生感悟数学来源于生活并应用于生活的辩证思想，锻炼学生的独立思考能力，为推导不等式的基本性质埋下伏笔．
探究新知
活动一：探究不等式的基本性质1
思考：请观察表格第4列的不等式，你发现了什么？
答：不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变；
不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.
师总结：不等式的基本性质 1： 不等式的两边都加上(或减去)同一个数或整式，不等号的方向不变. 可以用符号表示为：如果a>b，那么a±c>b±c.
注意：运用不等式的基本性质1时，需要注意不等式的两边必须同加或同减，且必须
是同一个数或同一个整式，不等号方向不变.
师生活动：教师提出问题，学生独立思考，直接作答填空.
设计意图：通过让学生尝试去探索，并展开讨论，归纳出不等式性质1，让学生们初步感知不等式的性质.经历思考，猜想，验证的过程，培养学生分析问题，解决问题的能力.
活动二：探究不等式的基本性质2
师：在不等式的两边都乘（或除以）同一个数，不等式会有什么变化
问题：用不等号填空：
思考：观察上面各组不等式的不等号方向，你可以得到什么结论
师小结：不等式的基本性质 2：
不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变;
不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.
可以用符号表示为：如果a>b，c>0，那么ac>bc(或>);
如果a>b，c<0，那么ac师追问：不等式的两边都乘以0，结果又怎样？（相等）
师生活动：教师提出问题，学生独立思考，直接作答填空.然后小组讨论，选代表回答问题，教师补充总结学生的结论.
设计意图：通过学生尝试去探索，并展开讨论，归纳出不等式性质2，让学生们初步感知不等式的性质2,培养学生分析问题，解决问题的能力.
活动三：不等式的基本性质和等式的基本性质的相同点、不同点
问题：不等式的基本性质与等式的基本性质有什么相同点和不同点
师生活动：小组讨论，选代表回答问题，教师补充总结学生的结论.
设计意图：通过归纳进一步熟悉不等式与等式的相同和不同之处，加深学生对不等式性质的理
解，培养语言表达能力
应用新知
例1 如果a-b<0，那么是否一定有a答：解：如果a-b<0，那么a因为a-b<0，
在不等式的两边同时加上b，得
a-b+b<0+b(不等式的基本性质1),
所以a师小结：如果a＜b，同样能说明a-b＜0.（师指定学生说说答案）
例2 利用不等式的基本性质,将下列不等式化成x>c或x(1)x+5>2; (2)-2x>4; (3)3x解：(1)根据不等式的基本性质1，在不等式x+5>2两边都减去5，得x>-3.
(2)根据不等式的基本性质2，在不等式-2x>4两边都除以-2，得x<-2.
(3)根据不等式的基本性质1，在不等式3x根据不等式的基本性质2，在不等式2x<5两边都除以2，得x<.　
变式 (1)若b，则 .
若不等式ax>a两边都除以a得x<1，则满足条件的a的取值范围是 .
答：(1)≥ (2)a<0.
师总结：运用不等式的基本性质2时，一定要弄清楚两边同乘（或除以）是一个正数还是负数，不等号的方向改变还是不改变.当不等式的两边都乘0时，不等式将变为等式.
师生活动：学生先独立完成，然后指定学生回答，全班集体交流.
设计意图：通过例题讲解，及时练习巩固所学，培养学以致用、积极思考的习惯，提升学生计算能力．让学生理解运用不等式的基本性质前提：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．特别地，不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
课堂练习
1. 已知a>b，用“>”或“<”号填空：
(1)a+2 b+2; (2)a-5 b-5;
(3)4a 4b; (4)-a -b;
(5)4a-3 4b-3; (6)3-2a 3-2b.
2. 说出下列不等式变形的依据：
(1)由x-1>2，得x>3;
(2)由x<-1，得x>2;
(3)由3x(4)由x>y，得x-1>y-2.
3.无论a为何值，是否一定有a+3>a 请说明理由.
4.利用不等式的基本性质，将下列不等式化成x>c或x(1)x+3<2x; (2)-3x<6.
答：1.（1）>； （2）>；（3）>； （4）< ； （5）>； （6）< .
解：（1）根据不等式的基本性质1，在不等式x-1>2两边都加上1，得x>3；
（2）根据不等式的基本性质2，在不等式x<-1，两边都乘以-2,得x>2；
（3）根据不等式的基本性质1，在不等式3x（4）根据不等式的基本性质1，在不等式x>y两边都减去1，得x-1>y-1；
根据不等式的基本性质1，在不等式-1>-2两边都加上y，得y-1>y-2；
所以x-1>y-1>y-2；即x-1>y-2.
3.解：方法1：无论a为何值，一定有a+3>a.
理由如下：因为3>0，所以a+3>a+0，
所以a+3>a.
方法2：方法2：作差法.
无论a为何值，一定有a+3>a
理由如下： 因为a+3-a=3，且3>0； 所以a+3-a>0；
所以a+3>a.
4.解：(1)不等式x+3<2x两边都减去2x，根据不等式性质1，得x+3-2x<0，
即3-x<0；两边都减去3，根据不等式性质1，得-x<-3；
两边都乘-1，根据不等式的基本性质2，得x>3.
(2)不等式-3x<6两边都除以-3，根据不等式性质2，得 x>-2.
限时训练
如果a＞b，那么下列运算正确的是（　　）
A. a－3＜b－3 B. a＋3＜b＋3 C. 3a＜3b D.
2.比较7a与4a的大小关系是( )
A. 7a<4a B.7a=4a C.7a>4a D.不能确定
3.将下列不等式化成x>v或x< c(c为常数)的形式，并说明理由.
（1）x – 2 < – 5 ; （2）; (3) – 2x < – 6.
4.小明到离家1500m的农业基地参加劳动实践,早晨7：00出发,要在7：20前到达.如果他平均每分钟走xm,那么可以得到怎样的不等式 把不等式化成x>c或x< c(c为常数)的形式.
答：1.D
2.D
3.（1）根据不等式的基本性质1，在不等式x – 2 < – 5 两边都加上2，得x < -3；
（2）根据不等式的基本性质2，在不等式两边都乘以2,得x> -2；
（3）根据不等式的基本性质2，在不等式– 2x < – 6 两边都除以-2,得x＜-3.
4.解：20x＞1500.
不等式20x＞1500两边都除以20,
根据不等式的基本性质2，得x>75 .
师生活动：学生独立完成，教师批阅.
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.
归纳总结
设计意图：通过归让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

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