资源简介

第十一章 一元一次不等式
11.2一元一次不等式的概念
本节课是苏科版初中数学七年级下册第十一章第二节的内容，是学生在学习了一元一次方程及不等式的基础上，首次系统接触一元一次不等式.从知识体系上看，本节内容属于数与代数体系.从教材结构看，苏科版初中数学七年级上册学习的一元一次方程及相关知识为探索一元一次不等式提供了知识基础和类比学习的路径，而本课时所学的一元一次不等式在教材后续学习一元一次不等式组、函数取值范围以及实际问题建模等内容中具有重要地位，是构建学生代数知识结构、培养数学建模能力和数形结合思想的重要载体，在教材中起着承上启下的作用.
本节课首先通过类比一元一次方程，引导学生自主归纳一元一次不等式的定义，强化概念辨析能力.教学过程中，教师可通过限高标识图与车厢高度的直观对比，帮助学生从算术方法转向代数思维，为后续学习不等式解集奠定基础. 在列出不等式前，增加学生猜想环节先让学生估算车厢高度的可能范围，再通过代数验证，增强主动探究意识.也可结合动画演示货车能否通过隧道的动态过程，直观呈现“不等关系”的实际意义，深化情境理解.再结合教材的解题方法，揭示解与解集的一致性，帮助学生建立完整认知链条. 通过经历在数轴上表示不等式解集的过程，初步体会数学数形结合的思想，为后续学习更复杂的不等式和函数知识奠定坚实的基础.
学生在学习本节课之前，已具备一定的知识基础和学习能力，已系统学习了一元一次方程的概念、解法及实际应用，能够熟练运用移项、合并同类项等基本代数变形方法解决问题，并具备初步的代数思维和逻辑推理能力.在七年级上册的数轴学习中，学生已接触过不等关系的直观表示（如数轴上的大小比较），这为理解不等式的解集奠定了数形结合的基础.此外，学生在实际问题中已有“范围”、“限制条件”等生活经验（如温度范围、价格区间），能够初步感知不等关系的现实意义.
由于不等关系相比等量关系更为复杂，学生符号意识相对薄弱对，对“解集是范围而非单一解”的抽象性理解不足，解集理解可能存在偏差，导致数轴表示时忽略端点是否包含.因此，教学中需强化对比迁移，借助数轴演示解集范围，结合实例强化“空心点”与“实心点”的含义，逐步建立数学建模意识；通过针对性练习和分层指导，帮助学生逐步克服思维障碍，深化对一元一次不等式及解集概念的理解与应用能力.
1.理解一元一次不等式概念、不等式解与解集的概念.
2.经历一元一次不等式概念、不等式解与解集概念的形成过程，发展抽象能力.
3.会在数轴上表示不等式的解集，理解不等式的解和解集的关系，感受数形结合思想，发展几何直观.
重点：理解一元一次不等式概念、不等式解与解集的概念.
难点：会在数轴上表示不等式的解集，理解不等式的解和解集的关系
情境导入
问题1：用不等式表示下列数量之间的关系:
(1) x的3倍与－2的和是－10；
(2) x的3倍与－2的和是非负数；
(3)一辆53座的客车载有游客x人，途中上来15人后，有人无座位；
(4)某试卷有20题，选对1题得10分，选错或不选扣5分，要选对x道题，其得分不少于80分．
答：(1) 3x+（－2）=－10；
(2) 3x+（－2）≥0；
(3) x+15＞53；
(4) 10x－5（20－ x）≥80．
师生活动：教师展示情境，学生独立思考，举手回答．
设计意图：通过列出式子的过程，引导学生感受等量关系与不等关系的区别，通过对所列出不同形式式子的对比，借助学生熟悉的一元一次方程感悟一元一次不等式的形式，为后续一元一次不等式的概念建构做铺垫.
探究新知
活动一：认识一元一次不等式
问题：观察下面的不等式，它们有哪些共同特征？
3x+(－2)≥0； (2) x+15＞53； (3)10x－5(20－x)≥80．
答：①只含有1个未知数；②不等号两边都是整式；③未知数的次数是1.
思考：类比一元一次方程，你知道上面的不等式是什么不等式吗？
答：一元一次不等式.
师总结：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫作一元一次不等式.
一元一次不等式必须同时满足三个条件:
（1）不等式的两边都是整式；
（2）只含有一个未知数；
（3）未知数的次数为1.
师生活动：学生独立思考，举手回答，教师板书．
设计意图：寻找它们的共同特点，进而归纳一元一次不等式的概念，加深概念的认识与理解.
活动二：认识不等式的解及解集
问题：如图，公路隧道入口处常有汽车限高标识.一辆货车车厢底部离地面1.1m，车厢高度分别为2m，2.5m，3.1m时，该货车能通过这条隧道吗 要通过这条隧道，该货车车厢高度应满足什么条件
答：方法1：图中的标识表示可以通过该隧道的汽车的高度不能超过4.0m.显然，车厢高度为2m，2.5m的货车能通过隧道，车厢高度为3.1m的货车不能通过隧道，要通过隧道，车厢高度不能超过4.0－1.1=2.9(m).
方法2：设车厢高度为xm，根据题意，得1.1+x≤4.0.
当x=2，x=2.5时，这个不等式成立，
当x=3.1时，这个不等式不成立.1.1+x≤4.0，得x≤2.9，即所有不大于 2.9的数都满足上述不等式.
思考：高度为2.75m的货车能通过隧道吗？
答：能.
思考：你还能举出其他满足条件的数值吗？这样的值有多少个呢？
答：能，无数个.
师总结：把满足不等式的未知数的某个值称为不等式的一个解，所有的解组成的全体叫作这个不等式的解集.求不等式解集的过程叫作解不等式.
注意：
1.一般情况下，不等式的解有无数个,但不等式的特殊解可以有有限个.
2.不等式的解集必须符合两个条件：(1)解集中的每一个数值都能使不等式成立；(2)能够使不等式成立的所有数值都在该解集中.
思考：不等式的解与解集的区别与联系是什么？
师生活动：学生独立思考，举手回答，教师板书．
设计意图：本环节通过“货车车厢高度满足什么条件才能通过隧道”问题，引导学生抽象出不等式，从而探究不等式的解与解集的概念及两者之间的关系.又通过归纳不等式的解与解集的区别与联系，加深学生对不等式的解与解集的概念的理解.
活动三：在数轴上表示不等式的解集
问题：x≤3.1是不等式 1.1+x≤4.2的解集，你能在数轴表示出x≤3.1吗？
思考：表示小于3.1的点在表示3.1所在点的哪边呢？
答：
在数轴上表示3.1的点的位置画实心圆圈，表示不等式的解集包含 3.1这个数.
思考：x＜3.1如何在数轴上表示呢？
答 :
如果画空心圆圈，那么表示不等式的解集不包含该点所对应的数.
问题：如何在数轴上表示x＞3.1和x≥3.1 ？
答：
师总结：
在数轴上表示不等式的解集的步骤：
1.画数轴，标出正方向、原点、长度；
2.定边界点:若边界点含于解集的用实心点，不含于解集的用空心圈；
3.定方向:对边界点而言，大于向右画，小于向左画.
师生活动：学生独立思考，举手回答，教师板书．
设计意图：引导学生在数轴上表示不等式的解集的方法，感受定边界点、定方向的具体过程及注意点，掌握在数轴上表示不等式的解集的技能.通过经历在数轴上表示不等式解集的过程，结合图形进一步区分不等式解集和解的概念．
应用新知
例1 在数轴上表示下列不等式的解集:
(1)x<－2； (2)x≤－2； (3)x>－2； (4)x≥－2.
答：(1)x<－2可以表示为:
(2)x≤－2可以表示为:
(3)x>－2可以表示为:
(4)x≥－2可以表示为:
变式：根据下列各数轴上所表示的关于x的不等式的解集完成填空.
（1）此不等式的解集为 ，最小整数解为 ；
（2）此不等式的解集为 ，正整数解为 ；
（3）此不等式的解集为 ，非正整数解为 ；
（4）此不等式的解集为 ，最大负整数解为 .
答：（1）x≥ 2；
（2）x≤6.3 1，2，3，4，5，6；
（3）x>－2.4 －2，－1，0；
（4）x<7 －1.
师生活动：学生独立思考，然后指定学生板演示范．
设计意图：通过例题进一步巩固利用数轴直观地表示解集，引导学生感受数形结合思想，感受图形表示解集的简洁与便利.
课堂练习
　　1. 下列数值中，哪些是不等式x+2>4的解
　　－5，－3，－1.5，0，1，2，3.4，4，5，6.2，9.
　　2. x取任意负数时，不等式x－2<0都成立，能说这个不等式的解集是x<0吗 为什么
　　3.在数轴上表示下列不等式的解集:
　　(1)x≤2； (2)x≥－3；(3)x<； (4)x>－.
　　答：1. 3.4，4，5，6.2，9是不等式x+2>4的解；
2.不能说不等式x－2<0的解集是x<0，因为x取0.5,1,1.5时，该不等式也成立.
3.解：如图所示.
限时训练
1.下列数是不等式3x－2＜1的解的是（ 　）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
2.下列不等式的解集中，不包括－5的是（　　）
A. x≤4 B. x≥－4 C. x≤－5 D. x≥－5
3. 如图，将数轴上表示的关于x的不等式的解集表示出来：
4.按要求填空：
（1）写出不等式x＜4的所有正整数解： ；
（2）写出不等式x≥－3的所有负整数解： ；
（3）写出不等式x≤3的所有非负整数解 ；
（4）写出不等式x＞－2的最小整数解： .
答：1. D；
2. B；
3.解：图1对应的不等式的解集为x＜2.图2对应的不等式的解集为x＞－3；
4.（1）1，2，3；（2）－1，－2，－3；（3）0，1，2，3；（4）－1.
师生活动：学生独立完成，指定学生回答.
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.
归纳总结
设计意图：通过归纳总结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
实践作业
小明带50元去文具店买笔记本，笔记本每本6元，小明结账时发现剩余的钱多于10元.
（1）利用一元一次不等式及不等式的解集等知识，猜一猜，小明买了几本笔记本.
（2）仿照上述购物情境设计一个与今天所学知识有关的的问题，考一考你的同桌.

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