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第十一章 一元一次不等式
11.3 解一元一次不等式
第1课时
本节课是苏科版初中数学七年级下册第十一章第三节第1课时内容，具有承上启下的重要作用．此内容建立在学生已经掌握了不等式的基本性质、一元一次方程解法的基础上．也为学生后期学习解复杂一元一次不等式、解一元一次不等式组、一元一次不等式的应用、一次函数等内容奠定了坚实基础．
本节课主要通过类比解一元一次方程的过程，获得解一元一次不等式的思路，即依据一元一次不等式的性质，将一元一次不等式化简为x＞a或x＜a的形式，加深对化归思想的体会.但在未知数的系数化为 1 时，需要根据不等式两边所乘（或除以）的数的正负情况，确定不等号方向是否改变.这一过程既强化了学生对已有知识（解方程步骤）的迁移运用，又突出了不等式解法的独特之处，培养学生严谨的思维习惯.
学生在学习一元一次不等式时的状况，学生已经掌握了等式的基础知识，有利于知识的迁移，但不等式性质与等式的性质差异易致混淆.
从认知能力看，学生在理解不等式性质及实际应用方面有困难，主要是从具体的问题到抽象的数学建模需要学生具有一定的理解能力.学习特点方面，个体差异和学习方式偏好明显.困难集中在不等式性质理解、解题错误及应用建模，应对策略从直观教学、规范解题、强化应用训练等方面展开.
　　1.会解一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集，培养学生的运算能力和数形结合的思想.
　　2.能够利用一元一次不等式解决数学问题，培养学生的应用意识.
　　3.通过类比解一元一次方程的过程，获得解一元一次不等式的思路，即依据一元一次不等式的性质，将一元一次不等式化简为x＞a或x＜a的形式，加深对化归思想的体会.
　　重点：会解一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集．
　　难点：能够利用一元一次不等式解决数学问题，培养学生的应用意识.
情境导入
问题：不等式有哪些基本性质
答：基本性质1：不等式两边加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变．
如果 a>b，那么 a±c>b±c.
基本性质2：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
如果 a>b，c>0，那么 ac>bc(或 ).如果 a>b，c<0，那么 ac问题：解方程：3x=x+6，并说出解一元一次方程的依据和步骤.
答：
思考：类比解方程的方法，你能解不等式3x>x+6吗？
师生活动：学生独立思考，然后指定学生回答，全班集体交流.
设计意图：引导学生回顾不等式的基本性质，为探究环节准备理论依据.回顾解一元一次方程的步骤和依据，引导学生的思考方向，使用类比一元一次方程的解法解一元一次不等式作铺垫.
探究新知
活动：一元一次不等式的解法
问题：怎样解一元一次不等式？
师小结：解一元一次不等式与解一元一次方程步骤类似，根据不等式的基本性质，将原不等式转化为 x>c或 x＜c(c 为常数)的形式.
师生活动：教师板书，学生代表回答，全班集体交流.
设计意图：，通过类比一元一次方程的解法，使学生掌握一元一次不等式的解法，使学生利用原有的知识基础进行迁移，这样能帮助学生对知识的理解与掌握，进一步体会类比思想.
应用新知
例1 解不等式14-3x>6-x,并把它的解集在数轴上表示出来.
解: 移项，得 -3x+x>6-14.
合并同类项，得 -2x>-8.
不等式的两边都除以-2,得 x<4.
这个不等式的解集在数轴上表示如图所示:
师总结：根据不等式的基本性质2，不等式的两边都除以一个负数时，不等号的方向要改变.
师生活动：学生先独立完成，然后指定学生板演．
设计意图：通过例题，适度暴露学生在化未知数系数为1的步骤中常见的典型错误.根据典型错误，强调变形的依据，及时再次强调解一元一次不等式的注意事项.同时，锻炼学生的新知运用能力和计算能力，发展创新意识，提高解题技巧.
例2 当x取什么值时,代数式3-2x的值小于2
解：根据题意，得 3-2x<2
移项，得 -2x<2-3.
合并同类项，得 -2x<-1.
不等式的两边都除以-2,得 x>.
所以当x>时,代数式3-2x的值小于2.
师生活动：学生思考后独立完成，学生代表展示．
设计意图：通过例题，让学生审题后列不等式，让学生理解取值问题可转化为解不等式问题，并巩固解一元一次不等式方法，提高学生的解题技巧.
例3 关于x的不等式2x-a≥-3的解集如图所示求a的值.
分析：已知解集求字母的值，通常是先解含有字母的不等式，再利用解集的唯一性列方程求字母的值.
解：移项，得 2x≥ a 3.
不等式两边都除以2得 x≥.
观察数轴可知不等式2x-a≥-3的解集为. x≥-1.
所以 = -1，解得a=1.
教师小结：同类题型的解法：第一步：先化不等式为x≥m的形式；第二步：再与图中的解集比较，列方程求解.
师生活动：学生审题后独立完成，同伴互评互纠．
设计意图：通过利用不等式的解集求字母的值，一方面让学生再次巩固如何解一元一次不等式，另一方面，提高学生解决问题分析问题的能力.
课堂练习
解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
(1)2+2a>6; (2)5-x<1;
(3)4x≤2x+3; (4);
(5)2x-1≥4x+13; (6);
解：(1) 移项，得 2a>6-2.
合并同类项， 得 2a>4.
不等式两边都除以2 得 a>2.
这个不等式的解集在数轴上表示如图所示:
(2) 移项，得 -x＜1-5.
合并同类项， 得 -x＜-4.
不等式两边都除以-1 得 x＞4.
这个不等式的解集在数轴上表示如图所示：
：(3) 移项，得 4x-2x≤3.
合并同类项， 得 2x≤3.
不等式两边都除以2，得 x≤.
这个不等式的解集在数轴上表示如图所示:
解：(4) 移项，得
合并同类项， 得
不等式两边都除以，得 .
这个不等式的解集在数轴上表示如图所示:
(5) 移项，得 2x-4x≥13+1.
合并同类项， 得 -2x≥14.
不等式两边同除-2 得 x≤-7.
这个不等式的解集在数轴上表示如图所示:
(6) 移项，得 5m-8m>3+1.
合并同类项， 得 -3m>4.
不等式两边同除-3 得 m<.
这个不等式的解集在数轴上表示如图所示:
师生活动：学生独立完成，学生互评互纠．
设计意图：通过教材练习巩固所学，提升学生计算能力．在计算过程中，再次强调注意每一步的变形要有依据、解不等式的注意事项等．
限时训练
1.不等式3x 1≥x+3的解集是( )
A. x≤4 B. x≥4 C. x≤2 D. x≥2
答：D
2.如果关于x的不等式ax+4＜0的解集在数轴上如图表示，则( )
A． B．
C． D．
答： C
3.2.当上x或y满足什么条件时，下列关系成立
(1)4x与7的和不小于6;
(2)y与1的差不大于2y与3的差;
答：（1）由题意得4x+7≥6，
移项，得4x≥6-7，
合并同类项，得 4x≥-1，
系数化为1，得 x≥- .所以当x≥ 时，4x与7的和不小于6;
(2)由题意，得y-1≤2y-3.
移项，得y-2y≤-3+1.
合并同类项，得-y≤-2.
系数化为1，得 y≥2.
所以当y≥2时，y与1的差不大于2y与3的差；
师生活动：学生独立完成，教师指定学生回答.
设计意图：通过限时训练巩固新知，加深对本节课的理解及应用.
归纳总结
师生活动：师生交流总结.
设计意图：通过归纳总结，使学生梳理本节课所学的内容，掌握本节课的重点，进一步熟悉巩固本节课所学的知识.第十一章 一元一次不等式
11.3 解一元一次不等式
第2课时
本节课是苏科版初中数学七年级下册第十一章第三节第二课时内容，具有承上启下的重要作用．此内容建立在学生已经掌握了不等式的基本性质、一元一次不等式的概念及其简单解法的基础上．也为学生后期学习一元一次不等式组、一元一次不等式的应用、一次函数等内容奠定了坚实基础．
本节课主要通过类比一元一次方程的解法，探索含分母的一元一次不等式的解法，归纳出解一元一次不等式的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，并熟练解一元一次不等式．在解不等式的过程中，探究解一元一次方程与解一元一次不等式的异同点，感受解方程和解不等式的内在联系，体验类比思想的应用，提高数学思想方法的迁移运用能力．
在学习本节课前，学生已具备一定的知识基础和学习能力．他们已经掌握不等式的基本性质、一元一次不等式的概念及其简单解法；在之前的学生中，已经慢慢了解类比思想，有了一定的数学思想方法的迁移运用能力．
　　1.会解一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集，培养学生的运算能力和数形结合的思想；
　　2.了解解不等式每一步变形的依据，感受化归思想；
3.感受解方程和解不等式的内在联系，体验类比思想的应用，提高数学思想方法的迁移运用能力．
重点：会解含有分母的一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集．
难点：感受解方程和解不等式的内在联系，体验类比思想的应用，提高数学思想方法的迁移运用能力．
情境导入
问题 解方程：2(x+5)<3(x 4);
答：
问题：解不等式：2(x+5)<3(x 4)．
思考：你能类比一元一次方程的解法，解这个一元一次不等式吗？
答：
师生活动：学生类比解一元一次方程解2(x+5)<3(x 4)，指定学生板演．
设计意图：引导学生思考含括号的不等式的解法，一方面让学生强调每一步变形的根据，其次引导学生学会类比，将解一元一次方程的解法迁移到解一元一次不等式的方法当中，让学生感受解方程和解不等式的内在联系，体验类比思想.
探究新知
活动一：探究解一元一次不等式的一般步骤
问题：解一元一次不等式：<．
思考：对比<与 2(x+5)<3(x 4) 在形式上有什么不同？
答：左边的不等式含有分母.
思考： 怎样将不等式<变形，使变形后的不等式不含分母？
答：根据不等式基本性质2，不等式两边同乘分母的最小公倍数6.
答：解: 不等式的两边都乘6，得2(x+5)<3(x 4)．
去括号，得 2x+10<3x 12．
移项，得 2x 3x< 12 10．
合并同类项，得 x< 22．
两边都除以 1，得 x>22．
师提示：不等式的两边同时乘以6．——去分母.
问题：请你总结解一元一次不等式的步骤,并说一说每一步的依据及其注意事项.
师生活动：教师板书，学生代表回答，全班集体交流.
设计意图：通过“情境引入”，学生已经知道如何解含括号的一元一次不等式，通过比较含括号的一元一次不等式和含分母不等式的区别，让学生理解如何去分母.类比解一元一次方程的一般步骤，总结出解一元一次不等式的步骤，更需要掌握解一元一次不等式每一步的依据及其注意的问题，帮助学生加深对一元一次不等式解法的理解.
活动二：探究解一元一次方程与解一元一次不等式的异同点
问题：解不等式2x 1≥3x ，并把它的解集在数轴上表示出来.
解：去分母，得 2(2x 1)≥3x 1．
去括号，得 4x 2≥3x 1．
移项，得 4x 3x≥ 1+2．
合并同类项，得 x≥1．
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
师提示：你还能用其他方法解这个不等式吗？
解：原不等式可转化为 2x 1≥x ．
移项，得 2x x≥1 ．
合并同类项，得 x≥．
两边都乘以2，得 x≥1．
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
师生活动：师指定学生板演，全班集体交流．
设计意图：通过用两种不同的方法解此不等式，一方面让学生体会“去分母”的便利性，另一方面引导学生感受一元一次方程和一元一次不等式的横向关联，体会内容的整体性、方法的一致性.同时，为下面讨论“解一元一次方程与解一元一次不等式有什么相同点和不同点”做铺垫.
讨论：解一元一次方程与解一元一次不等式有什么相同点和不同点？
相同点： 基本步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1；
基本思想：都是运用化归思想，将一元一次方程或一元一次不等式变形为最简形式.
不同点：解法依据：解一元一次不等式的依据是不等式的性质，解一元一次方程的依据是等式的性质；
最简形式：一元一次不等式最简形式是x>a或x师生活动：师生共同总结．
设计意图：通过“讨论”及时总结解一元一次不等式与解一元一次方程的相同和不同之处.深刻体会等式基本性质和不等式基本性质的差异导致了方程和不等式的解法差异.注意突出不同之处，强调解一元一次不等式的注意事项.
应用新知
例1 解不等式1－<，并把它的解集在数轴上表示出来.
解: 去分母，得 6 3(x+6)<2(2x+1)．
去括号，得 6 3x 18<4x+2．
移项，得 3x 4x< 6+18+2．
合并同类项，得 7x<14．
两边都除以 7，得 x> 2．
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
师小结：去分母时要注意：①不要漏乘无分母的项；②若分子是多项式，应把分子视为一个
整体，并加上括号.
师生活动：学生先独立完成，然后指定学生板演．
设计意图：通过例题，适度暴露学生在去分母、去括号、移项、系数化为1等步骤中常见的典型错误.根据典型错误，强调每一步变形的依据，及时再次强调解一元一次不等式的注意事项.同时，锻炼学生的新知运用能力和计算能力，发展创新意识，提高解题技巧.
例2 求不等式3(x+1)≥5x 9的正整数解．
解： 去括号，得 3x+3≥5x 9．
移项，得 3x 5x≥ 3 9．
合并同类项，得 2x≥ 12．
两边都除以 2，得 x≤6．
因为小于或等于6的正整数解有1,2,3,4,5,6，
所以不等式3(x+1)≥5x 9的正整数解为 x=1，2，3，4，5，6．
师小结：要求不等式的正整数解，可以先求出不等式的解集，再从中找出正整数解；在确定
特殊解时，一定要注意是否包括端点的值．
师生活动：学生思考后独立完成，学生代表展示．
设计意图：通过例题，一方面让学生巩固一元一次不等式的解法，掌握求不等式的正整数的方法，提高学生的解题技巧.
例3 当x满足哪些条件时，代数式的值不小于代数式的值？
解： 由题意，得 ≥．
不等式的两边都乘8，得 24 3(x+2)≥2(x 1)．
去括号，得 24 3x 6≥2x 2．
移项，得 3x 2x≥ 24+6 2．
合并同类项，得 5x≥ 20．
两边都除以 5，得 x≤4．
∴当x≤4时，代数式的值不小于代数式的值．
师生活动：学生审题后独立完成，同伴互评互纠．
设计意图：通过例题，一方面让学生再次巩固一元一次不等式的解法，提高计算能力；另一方面，让学生审题后列不等式，总结“如何选取不等号”，发展学生的理解能力，提高解题技巧.
课堂练习
1. 解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
（1）2(x 2)>4； （2）10 3(x+6)≤1； （3）≥； （4） > 4 ．
答：（1）去括号，得2x 4>4，
移项，得2x>4+4，
合并同类项，得 2x>8，
两边都除以2，得 x>4．
这个不等式的解集在数轴上表示如图.
（2）去括号，得10 3x 18≤1，
移项，得 3x≤ 10+18+1，
合并同类项，得 3x≤9，
两边都除以 3，得x≥ 3．
这个不等式的解集在数轴上表示如图.
（3）去分母，得3（x+2）≥2（2x-1）,
去括号，得3x+6≥4x-2，
移项，得3x-4x≥-6-2，
合并同类项，得 -x≥-8，
两边都除以-1，得x≤8．
这个不等式的解集在数轴上表示如图.
（4）去分母，得2x＞24-3（x-2）,
去括号，得2x＞24-3x+6，
移项，得2x+3x＞24+6，
合并同类项，得5x＞30，
两边都除以5，得x>6．
这个不等式的解集在数轴上表示如图.
2.下面解下列不等式 1 <的过程正确吗？为什么？
解：不等式的两边都乘2，得
x+5 1<3x+2
移项、合并同类项，得
2x< 2．
两边都除以 2，得
x<1．
答：不正确，理由：去分母时，-1漏乘了2；系数化为1时，不等号方向没有改变．
师生活动：学生独立完成，学生互评互纠．
设计意图：通过教材练习巩固所学，提升学生计算能力．在计算过程中，再次强调注意每一步的变形要有依据、解不等式的注意事项等．
限时训练
1.解不等式 ≥x－1，下列去分母正确的是(　　)．
A．2x＋1－3x－1≥x－1 B．2(x＋1)－3(x－1)≥x－1
C．2x＋1－3x－1≥6x－1 D．2(x＋1)－3(x－1)≥6(x－1) .
答：D．
2.已知关于x的不等式（5－a）x≤12的解集为x≥，则a的取值范围是 ．
答：a＞5．
3. 解下列不等式：
（1）3(y 2)+1< 2； （2） ≥．
答：（1）y<1；（2）x≥2．
4.已知关于y的方程4y+2m+1=2y+5的解是非正数．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取其最小整数值时，解关于x的不等式x 1>．
解:（1）解关于y的方程4y+2m+1=2y+5，得y= m+2．
∵关于y的方程4y+2m+1=2y+5的解是非正数．
∴y= m+2≤0，解得m≥2．
（2）由（1）知m≥2，∴m的最小整数值是m=2．
∴不等式可转化为x 1>．
去分母，得 3x 3>2x+1．
移项，得 3x 2x>3+1．
合并同类项，得 x>4．
∴不等式x 1>的解集是x>4．
5.若关于x、y的二元一次方程组的解满足x＋y＞，求满足条件的m 的所有正整数值．
解：由①+②，得 3x+3y= 3m+6，∴x+y= m+2．
∵x+y>．∴ m+2>．∴ m> 3.5．即 m<3.5．
∴满足条件的m的所有正整数值为1，2，3．
师生活动：学生独立完成，教师指定学生回答.
设计意图：通过限时训练巩固新知，加深对本节课的理解及应用.
归纳总结

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