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二次函数图像与性质（2）
【考点1 二次函数的图像与性质】
1.画出y=-x2，y=-(x+1)2，y=-(x-1)2的图象. 函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象和性质如下表：
2.二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的形状及开口方向都 ，二次函数y=a(x-h)2的图象可由二次函数y=ax2的图象 得到.将抛物线y=ax2向右平移h(h>0)个单位长度得到的抛物线是 ，将抛物线y=ax2向左平移h(h>0)个单位长度得到的抛物线是 .
例1.(1)抛物线y=4(x-3)2的开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x= 时，y有最 值，该值是 ；
(2)已知抛物线y=-2(x+2)2，当x= 时，y有最 值，该值是 ，当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小；
(3)抛物线y=a(x-h)2的顶点为A(-3,0)，与y轴交于点B(0,1)，则其解析式为 ，它由抛物线y=x2向 平移 个单位长度所得.
例2.函数y=a(x-1)2和y=ax+a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
例3.如图，抛物线的顶点A在x轴上，与y轴交于点B，点D(9，0)在x轴上，点C在抛物线上.若四边形ABCD是平行四边形，且它的面积为24，求此抛物线的解析式.
例4.如图，抛物线y=a(x+1)2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OB=OA. 若点C(-3，m)在该抛物线上，求△ABC的面积.
练习1.（1）抛物线y=-3(x+2)2向左平移1个单位长度后，所得抛物线的解析式为 ；向右平移2个单位长度后，所得抛物线的解析式为 .
（2）平行于x轴的直线与抛物线y=a(x-2)2的一个交点坐标为(-1，2)，则另一个交点坐标为 .
（3）已知抛物线y=a(x-h)2的对称轴为直线x=-2，且经过点 (1，-3)，则此抛物线的解析式是 .
练习2.如图是一副眼镜镜片下半部轮廓对应的两条抛物线，它们关于y轴对称，AB∥x轴，AB=4 cm，最低点C在x轴上，高CH=1 cm，BD=2 cm.求右轮廓线DFE的函数解析式.
【考点2 二次函数的图像与性质】
1.画出函数y= - (x+2)2－1和y= - (x-4)2+2的图象， 函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象和性质如下表：
思考其图象可由y=-x2的图象怎样平移得到？
例1.（1）对于二次函数y=(x-2)2+1，下列说法错误的是（ ）
A. y的最小值为1
B. 图象的顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x=2
C. 当x＜2时，y的值随x的增大而增大，当x≥2时，y的值随x的增大而减小
D. 它的图象可以由y=x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
（2）将抛物线y=-2x2+1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线的解析式为 .
(3)已知A(-2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y=-(x+1)2+k上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是 .
例2.如图，有一个抛物线形的桥洞，桥洞离水面的最大高度BM为3米，跨度OA为6米，以OA所在直线为x轴，O为原点建立平面直角坐标系.(1)请直接写出O，A，M三点的坐标；(2)求此抛物线形桥洞的解析式.
例3.要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3 m，水管应安装多长？
练习1.（1）已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y=-(x+1)2+2上，则下列结论正确的是（ ）
A. 2>y1>y2 B. 2>y2>y1 C. y1>y2>2 D. y2>y1>2
（2）已知二次函数y=a(x-2)2+k 的图象与x轴交于A(-1，0)，B两点，则线段AB的长为 .
（3）将抛物线y=3(x+2)2-4向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是 .
（4）抛物线y=2(x+9)2-3的顶点坐标是 .
（5）如图是二次函数y=(x+m)2+n的图象，则一次函数y=mx+n的图象不经过第 象限.
（5）题图 （6）题图
（6）如图是抛物线y=a(x+1)2+2的一部分，则该抛物线在y轴右侧部分与x轴的交点的坐标是 .
练习2.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2 m处的点A发出，把球看成点，其运行的高度y(单位：m)与运行的水平距离x(单位：m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与点O的水平距离为9 m，球网的高度为2.43 m，球场的边界距点O的水平距离为18 m.
(1)当h=2.6时，求y与x的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围).
(2)当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由.
(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围.
【考点3 二次函数的图像与性质】
1.将抛物线y=2x2+4x-1用“配方法”转化成顶点式为 .
2.对于任意抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，它的顶点坐标为 ,对称轴为直线 .
3.y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质如下表：
例1. (1)抛物线y=-3x2+12x-8的开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小.
(2)已知抛物线y=ax2-5x+4a经过点(5,4)，则此抛物线的顶点坐标为 .
(3)已知函数y=-2x2+8x-6. ①若x取任意实数，则函数的最大值是 ；②若0≤x≤，则函数的最大值是 .
(4)已知二次函数y=x2-4x+2，当-1≤x≤3时，则函数的最大值是 ，最小值是 .
例2.（1）将抛物线y=x2-4x-4向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的表达式为 .
（2）如图是一个二次函数的图象，则此二次函数的最小值为 .
例3.如图，点P是第一象限的抛物线y=-x2+5x+3上一点，PQ⊥x轴于点Q，当OQ+PQ的值最大时，点P的坐标是 .
例4.如图，已知抛物线经过点A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3).
(1)求此抛物线的解析式及对称轴.
(2)在对称轴上是否存在一点P，使得△PAB中PA=PB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
练习1.函数y=-x2+3x-化成y=a(x-h)2+k的形式是 ，抛物线的开口方向是 ，顶点坐标是 ，对称轴是 . 当x= 时，函数取得最 值，该值为 .
练习2.将抛物线y=-x2-2x+3向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的抛物线必定经过（ ）
A. (-2，2) B. (-1，1) C. (0，6) D. (1，-3)
练习3.已知(-3，y1)，(-2，y2)，(1，y3)是抛物线y=-3x2-12x+m上的点，则（ ）
A. y3＜y2＜y1 B. y3＜y1＜y2 C. y2＜y3＜y1 D. y1＜y3＜y2
练习4.已知二次函数y=ax2+bx-c(a≠0)，其中b>0，c>0，则该函数的图象可能为( )
练习5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表.下列结论不正确的是( )
A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的对称轴为直线x=
C. 抛物线与x轴的一个交点坐标为(2，0) D. 函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大值为
练习6.（1）已知二次函数的图象经过(-1，10)，(1，4)，(2，7)三点，则这个二次函数的解析式为 .
（2）二次函数y=x2+2x+2的图象的对称轴是 .
（3）如图是抛物线y=ax2-3x+a2-1，则此抛物线的顶点坐标为 .
练习7.如图，已知抛物线经过A(-2,0)，B(0,-4)，C(2，-4)三点，且与x轴的另一个交点为E，D为抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)求四边形ABDE的面积.
练习8.如图，抛物线经过A(2，0)，B(-1，0)，C(0，2)三点，点P是第一象限内抛物线上一动点，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N.(1)求抛物线的解析式；(2)求四边形OMPN周长的最大值.
【基础巩固】
1. 抛物线y=2x2与y=2(x+3)2的不同点是（ ）
A. 形状 B. 开口方向 C. 开口大小 D. 对称轴
2.顶点为(-5，0)，且开口方向、形状与函数y=-x2的图象相同的抛物线是（ ）
A. y=-(x-5)2 B. y=-x2-5 C. y=-(x+5)2 D. y=-x2+5
3.关于抛物线y=-2(x+3)2，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向上 B. 顶点坐标是(0，3) C. 对称轴是直线x=3 D. 当x>-3时，y随x的增大而减小
4.将抛物线y=2(x-3)2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ）
A. y=2(x-6)2 B. y=2(x-6)2+4 C. y=2x2 D. y=2x2+4
5.已知点A(a，2)，B(b，2)，C(c，7)都在抛物线y=(x-1)2-2上，点A在点B左侧，下列选项正确的是( )
A. 若c<0，则a0，则a0，则a6.已知点A(-4,y1)，B(-2,y2)，C(0,y3)在二次函数y=3(x+3)2的图象上，则y1，y2和y3之间的大小关为 .
7.如图是二次函数y=a(x+h)2的图象，则一次函数y=ax+h的图象经过 象限.
8.(1)抛物线y=－3(x+2)2的开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标为 .
(2)将抛物线y=-3(x-1)2先向左平移5个单位长度，再向右平移8个单位长度，得到的解析式为 .
(3)已知抛物线的顶点是(-1，8)，且经过点(3，0)，则抛物线的解析式是 .
(4)已知二次函数的图象与x轴的交点坐标是(-1，0)，(-3，0)，且函数有最小值-5，则解析式为 .
(5)已知二次函数的图象与x轴的两个交点之间的距离为2，且当x=2时，函数有最大值1，则解析式为 .
(6)如图，等边△ABC在平面直角坐标系中，AB∥x轴，AB=4，抛物线经过三角形的三个顶点，点C为抛物线的顶点，求抛物线的解析式 .
(6)题图 7题图 8题图
9.如图，抛物线y1=-x2向右平移1个单位长度得到抛物线y2. 完成下列填空：
(1)抛物线y2的顶点坐标为 ；(2)阴影部分的面积为 ；
(3)若将y2绕原点旋转180°得到抛物线y3，则y3的解析式为 .
10.下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
下列说法中：①这个函数的图象开口向下；②这个函数的图象与x轴无交点；③这个函数的最小值小于-6；④当x>1时，y的值随x值的增大而增大.其中正确的说法是 (填序号).
11.下列关于二次函数y=-(x-m)2+m2+1(m为常数)的结论：①该函数的图象与函数y=-x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点(0，1)；③当x>0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y=x2+1的图象上.其中所有正确结论的序号是 .
12.已知二次函数的图象经过点(0，-3)，且顶点坐标为(1，-4).
(1)求这个函数的表达式.(2)当自变量x为何值时，函数值y随x的增大而减小？当自变量x为何值时，函数值为0？
13.如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A(-1，0)，点B(2，-3)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D.
(1)求抛物线的解析式.(2)抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
14.如图，二次函数的图象的顶点是P(2，-1)，与x轴交于点A和点B(3，0).
(1)求这个二次函数的解析式；(2)点Q为第一象限内抛物线上一点，且AQ⊥PA，求点Q的坐标.
【能力提升】
1.已知二次函数y=(x-h)2+1(h为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（ ）
A. 1或-5 B. -1或5 C. 1或-3 D. 1或3
2.如图，菱形ABCD在平面直角坐标系中，顶点A，B在x轴上，已知D(0，4)，C(5，4)，则经过A，C，D三点的抛物线解析式为 .
2题图 3题图
3.如图，抛物线y=(x-2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，过点A作AD∥y轴，交BC于点D，点P在BC下方的抛物线上(点P不与点B，C重合)，连接PC，PD，则△PCD面积的最大值是 .
4.如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1，0),直线y=x+m与该二次函数的图象交于A,B两点,其中点A的坐标为(3,4)，点B在y轴上.
(1)求m的值及这个二次函数的解析式.
(2)抛物线的对称轴与直线AB交于点D，P为线段AB上一动点(不与点A，B重合)，PE∥y轴交抛物线于点E，若PE=CD，求点P的坐标.
【拓展提高】
1.如图，抛物线y=a(x-4)2与y轴交于点A，直线AB∥x轴交抛物线于另一点B，点E为线段AB的中点，
点P(5，)为抛物线上一点.
(1)该抛物线的解析式为 ；
(2)若D是点P右侧抛物线上的一点，且∠DPE=∠PEB，求直线PD的解析式.
2.如图，抛物线y=a(x-h)2-4 经过点(-1，0)，(3，0).
(1)求这个抛物线的解析式.
(2)直线y=x-交抛物线于E，F两点，点P是直线EF下方抛物线上的一点，若点P到直线EF的距离为2，求点P的坐标.

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