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第七章 复数
7.3.1复数的三角表示式
1.知道复数的三角表示式的含义;
2.了解复数的代数式与三角表示式之间的关系，会进行复数三角形式与代数形式之间的转化;
3.了解两个用三角形式表示的复数相等的条件;
4.培养转化、逻辑推理及数学运算能力
重点：复数三角表示以及三角表示式与代数表示式之间的转化
难点：复数的三角表示式的理解
（一）创设情境
回顾：
复数的几何意义
借助复数的几何意义， 复数能不能用其他形式来表示呢？
设计意图：复数的几何意义是得出复数三角表示式的基础，温故知新，激活学生已有的知识储备.为本课时从复数的向量表示出发探究复数的三角表示奠定基础.
（二）探究新知
任务1：探索复数的三角表示式
探究：如图，复数与向量一一对应，复数z由向量的坐标(a,b)唯一确定．
我们知道向量也可以由它的大小和方向唯一确定，那么能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？如何表示？
向量的大小可以用模来刻画，那么向量的方向如何刻画呢？由图容易想到，可以借助以x轴的非负半轴为始边，以向量所在射线（射线OZ）为终边的角来刻画的方向．
思考：你能用向量的模和角来表示复数z吗？
记向量的模,如图可知
所以，
其中
师生活动：的大小可以由复数的模来表示，的方向用哪个量来表示？向量的方向可以选择坐标轴为“基准”，联系三角函数中的象限角的概念，所在的射线（射线OZ）为终边的角来刻画平面向量的方向.
设计意图：借助复数的几何意义，通过数形结合，联系象限角概念，引导学生尝试刻画向量的大小和方向，为得出复数的三角形式作铺垫.
思考：刚才我们画的图角的终边落在第一象限，那么当角的终边落在第二，三，四象限或者落在在实轴、虚轴上这个式子也成立吗？
师生活动：教师利用几何画板，改变平面向量的位置，让学生观察分析，得出结论：不管角的终边落在什么位置，都有.
设计意图：引导学生思考问题要全面，培养学生全面思考的能力以及严谨的逻辑推理能力，培养学生抽象概括的能力.
复数的三角表示式
一般地，任何一个复数都可以表示成，是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角，叫做复数的辐角.
叫做复数的代数表示式，简称代数形式.
说明：
1.任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍.
例如，复数i的辐角是，其中k可以取任何整数．
2.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的．
3.在范围内的辐角θ的值为辐角的主值．通常记作argz，即.
例如，.
师生活动：教师PPT展示题目让学生回答，加强对辐角的主值的理解.
设计意图：让学生利用终边相同的角的特点得出复数辐角的多值性，并通过建立辐角主值区间的必要性和以为主值区间的合理性的讨论，使学生获得基础知识的同时，领悟其中的数学思想和方法.
思考：复数三角形式的结构特点有哪些？
①r是复数的模，；
②式中的三角函数是同一个辐角值θ的余弦和正弦；
③cosθ在前，sinθ在后；
④cosθ和sinθ之间用“+”连接.
设计意图：通过提出问题，明确复数的三角形式及相关概念.
复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式．我们可以根据运算的需要，将复数的三角形式和代数形式进行互化．
思考：两个用代数形式表示的非零复数相等的条件是什么？两个用三角形式表示的非零复数在什么条件下相等呢？
师生活动：引导学生利用类比方法思考、回答.可以引导学生按照下面的思路进行探究：
两个复数相等 两个复数对应的向量相同 两个向量的长度相等且方向相同 两个复数的模相等且辐角主值相等，通过推理，顺理成章地得出结论.
设计意图:让学生运用类比的研究方法，得出两个三角形式的非零复数相等的充要条件，体会推理的严谨性.
两个复数相等 两个复数对应的向量相等
两个向量的长度相等且方向相同
两个复数的模相等且辐角主值相等
（三）应用举例
例1 （多选题）下列不是复数三角形式的有（ ）
解：
总结：复数的三角形式的特点
“模非负，角相同，余弦前，加号连”
师生活动：学生独立完成，口答结果，教师进行评价反馈.教师进一步指出复数的三角表示式的特点.
设计意图：及时巩固新知，检查学生对复数的三角表示式的特点的掌握程度，培养学生运用所学知识解决数学问题的能力.
例2 画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式:
(1); (2)1-i
解：（1）复数对应的向量如图所示，
则.
因为与对应的点在第一象限，
所以arg)=.
于是=cos+isin.
（2）复数1-i对应的向量如图所示，
则
因为与1-i对应的点在第四象限，所以
arg(1 i)=，于是1 i=.
提示：在化代数形式为三角形式时，不一定要求辐角取主值，如本例（2）也可以表示成1 i=.
师生活动：先由学生思考发言，师生共同分析解题的基本思路，教师板书第（1）题，学生书写第（2）小题的完整的解题步骤，展示学生作品师生共同点评并总结：复数的几何意义是解决此类问题的关键，要借助数形结合的数学思想解决问题.只要确定复数的模和一个辐角，就能将复数的代数形式转化为三角形式.
设计意图：帮助学生进一步体会复数的几何意义，感受复数与平面向量一一对应的关系；借助与复数对应点的坐标，判断角的终边所在的象限，并结合三角函数的知识掌握将复数代数形式化为三角形式的基本方法，体会复数、平面向量与三角函数之间的内在联系.
总结：把复数的代数形式转化成三角形式的基本步骤：
(1)求复数的模r:r=
(2)求复数的辐角的主值
(3)写出复数的三角形式:
例3 分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应向量的，并把这些复数表示成代数形式.
(1)；(2)
解：
（2）复数6()的模r=6,一个辐角θ=,对应的向量如图所示.
所以，6()
师生活动：学生独立完成，教师巡视并给予个别指导，学生完成后进行展示交流.
设计意图:本例有两个用意，一是通过几何直观，帮助学生进一步认识复数三角形式中的含义，进而认识到复数实质上是可以用有序实数对来唯一确定，再次感受复数与平面向量的联系，二是帮助学生掌握直接利用三角函数公式，将复数的三角形式化为代数形式的方法.
总结：把复数的三角形式转化成代数形式的基本步骤：
(1)确定复数的模和辐角
(2)直接展开得到复数的代数表示z=a+bi
例4 设复数z，z＋2的辐角主值为的辐角主值为 ，求复数z.
解：设，
∴，
易得
∴，代入①得，∴.
设计意图： 通过例题，掌握在复数相等的充要条件，并能熟练运用.
（四）课堂练习
1.设复数和复数的辐角主值分别为、，则等于( )
A. B. C. D.
解：复数和的辐角主值分别是，，
所以，，且，
所以，
因为，，
所以
故选C．
2.复数化为三角形式正确的是 ( )
A. B.
C. D.
解：．
故选AD．
3.已知复数满足，且，则的三角形式为 ．
解：由，
得，
因为，
所以．
故答案为．
4.画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：
； ； ； ．
解：，，
；
，
；
，，
；
，
．
以上四个复数对应的向量得坐标分别为：
，
表示如下图：
5.已知复数满足，其中为虚数单位．
求复数
求复数的三角形式．
解：设，．
，，
，解得．
．
．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固复数的三角表示式，能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法，说说你的体会？
设计意图：帮助学生对整节课的内容进行归纳，理清思路，形成知识体系.

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